\input /home/pasky/school/fastex/lib.tex
%\chapter{4}

%Funkce jedne realne promenne



\subchapter{Základní definice}{

\definition{
	Nechť $A$ je množina a $n \in \nat_0$, pak o zobrazení
	$$ \alpha\colon A^n \to A $$
	řekneme, že je $n$-ární operací
	\footnote*{$A^n = \{(a_1,\dots,a_n) | a_i \in A\}$ (kartézský součin)}.

	\list{
	\olistItem{0-ární: nulární (operace $A_0 \to A$ je množina všech ``nulatic'' --- dejme tomu $A_0 = \{*\}$)}
	\olistItem{1-ární: unární}
	\olistItem{2-ární: binární}
	\olistItem{3-ární: ternární}
	}

	Nechť $A$ je množina $\alpha_i$, $i \in I$, a mějme ($n_i$-ární) operace.
	Pak posloupnost $A(\alpha_i | i \in I)$ nazveme {\bf algebrou}.
}

\examples{
\list{
	\listItem{$\nat(+,\cdot)$}
	\listItem{$\intgr(+,-,\cdot)$}
	\listItem{$\rat\setminus\{0\}(\cdot,/)$}
	\listItem{$\real(+,-,\cdot)$}
	\listItem{$\real^+(+,\cdot,\sqrt{\ })$}
}

	(Kromě dělení a odmocňování jde o binární operace --- v případě dělení
	jde vpodstatě o hledání obrácené hodnoty.)
}

\definition{
	Nechť $A$ je množina s $n$-ární operací $\alpha$ a $B \subseteq A$.
	Řekneme, že $B$ je {\bf uzavřená na} operaci $\alpha$, pokud
	$$ \forall b_1,\ldots,b_n \in B: \alpha(b_1,\ldots,b_n) \in B $$

	Je-li $A(\alpha_i | i \in I)$ algebra a $B \subseteq A$,
	pak řekneme, že $B$ je {\bf podalgebra} $A$,
	pokud $B$ je uzavřená na~všechny $\alpha_i$ ($i \in I$).
}

\examples{
\list{
	\listItem{$\nat(+,\cdot)$:
		$$ k \in \nat: k\nat = \{k\cdot n | n \in \nat\} \textnote{všechny násobky} $$
		Je taková podalgebra uzavřená?
		\list{
		\listItem{$b_1 + b_2 \in k\nat$}
		\listItem{$b_1 \cdot b_2 \in k\nat$}
		}
		Jde tedy o podalgebru algebry $\nat(+,\cdot)$.
	}
	\listItem{$\intgr(+,-,0)$ má podalgebry
		$$ k \in \intgr: k\intgr = \{k\cdot z | z \in \intgr\} $$
		a jde dokonce o všechny podalgebry, neexistuje žádná jiná.

		$B$ buď podalgebra $\intgr(+,-,0)$.
		Je uzavřená na~nulární operaci?
		0-tice $\mapsto 0 \subseteq B$.
	}
	\listItem{Na vektorovém prostoru $U$ nad tělesem $T$
		algebra $U(+,\cdot t | t \in T)$
		s unární operací $\cdot t\colon U \to U$
		definovanou jako $u \to u\cdot t$.

		$W$ je podprostor $U$,
		právě když $W$ je podalgebra $U(+,\cdot t)$.
	}
}
}

\observation{
	$A(\alpha_i | i \in I)$ buď algebra, pak $A$ je podalgebrou.

	Pokud žádná $\alpha_i$ není nulární, $\emptyset$ je podalgebrou $A$.

	Je-li $A(\alpha_i | i \in I)$ algebra (kde $\alpha_i$ je $n_i$-ární operace)
	a $B$ její podalgebra,
	$$ \beta_i = \alpha_i \restring_{B^{n_i}} \colon B^n \to B $$
	má ``přirozeně danou'' strukturu algebry na~$B$ (s restringovanými ($\restring$) operacemi).
}

\examples{
\list{
	\listItem{$\rat(+,\cdot)$, $\intgr \subseteq \rat$, $\intgr$ je podalgebra.

		$$\rat(+,\cdot) \opupon{restr.}{\derived} \intgr(+,\cdot)$$
	}
	\listItem{Mějme $M_2(\real) = \left\{\pmatrix{r_1&r_2\cr r_3& r_4} \bigg| r_i \in \real\right\}$
		a algebru $M_2(\real)(\cdot)$.

		$$D_2(\real) = \left\{\pmatrix{r_1&0\cr 0& r_3} \bigg| r_1, r_3 \in \real\right\}$$
		je podalgebra $M_2(\real)(\cdot)$.
		Pak můžeme zavést např. $D_2(\real)(\cdot)$ s operací
		$$ \cdot\colon \pmatrix{r_1 & 0 \cr 0 & r_3}\pmatrix{s_1 & 0 \cr 0 & s_3} = \pmatrix{r_1s_1 & 0 \cr 0 & r_3s_3} $$
	}
}
}

\note{ % 1.1
\list{
\listItem{
	Nechť $A$ je množina s operací $\alpha$
	a nechť $A_j$, $j \in J$, je systém podmnožin $A$ uzavřených na~$\alpha$.
	Pak $\bigcap A_j$ je opět uzavřená na~$\alpha$.
}
\listItem{
	Nechť $A(\alpha_i | i \in I)$ je algebra
	a $A_j$, $j \in J$ jsou její podalgebry.
	Pak $\bigcap_{j \in J} A_j$ je podalgebra.
}
}

\proof{
\list{
\listItem{
	$\alpha$ buď $n$-ární operace.
		$$ \bigcap_{j' \in J} A_{j'} \subseteq A_j \qquad \forall j \in J $$
	\TODO{tady je něco nějaké divné\dots?!}
		$$ \Longrightarrow \alpha(a_1,\ldots,a_n) \in A_j
			\becauseof{$\hbox{def.}\atop\hbox{průniku}$}{\Longrightarrow}
			\alpha(a_1,\ldots,a_n) \subseteq \bigcap_{j \in J} A_j $$
}
\listItem{
	$A_j$ jsou uzavřené na~$\alpha_i$ pro $\forall i \in I$, $\forall j \in J$.
	$$ \becauseof{(1)}{\Longrightarrow} \bigcap_{j \in J} A_j
		\textbox{je uzavřený na $\alpha_i$ pro $\forall i \in I$} $$
	$$ \becauseof{}{\Longrightarrow} \bigcap_{j \in J} A_j
		\textbox{je uzavřená na všechny operace na $A(\alpha_i|i \in I)$} $$
	$$ \becauseof{def.}{\Longrightarrow} \bigcap_{j \in J} A_j
		\textbox{je podalgebra $A(\alpha_i|i \in I)$} $$
}
}
\qed
}
}



\definition{
	Buď $A$ a $B$ množiny s $n$-ární operací $\alpha$ a $f\colon A \to B$.
	Řekneme, že $f$ je {\bf slučitelná s $\alpha$}, pokud
	$$ \forall \alpha, a_n \in A: \alpha(f(a_1),f(a_2),\ldots,f(a_n)) = f(\alpha(a_1,\ldots,a_n) $$

	Řekneme, že algebra $A(\alpha_i | i \in I)$ a $B(\alpha_i | i \in I)$
	jsou {\bf stejného typu}, pokud $\alpha_i$ na $A$ a $\alpha_i$ operace na $B$ jsou obě stejné arity (obě $n_i$-ární) $\forall i \in I$.

	Buď $A(\alpha_i | i \in I)$ a $B(\alpha_i | i \in I)$ dvě algebry stejného typu.
	Pak zobrazení $f\colon A \to B$ je homomorfismus, pokud je $f$ slučitelná s $\alpha_i$ pro $\forall i \in I$.
}

\note{ % 1.2
	\list{
	\listItem{Buď $A,B,C$ množiny s $n$-ární operací $\alpha$, $f\colon A \to B$, $g\colon B \to C$
		zobrazení slučitelná s $a$. Pak $gf(A \to C)$ je slučitelné s $\alpha$.
		Pokud je $f$ bijekce, tak $f^{-1}$ je zase slučitelné s $\alpha$.
	}
	\listItem{Nechť $A(\alpha_i | i \in I)$, $B(\alpha_i | i \in I)$, $C(\alpha_i | i \in I)$
		jsou algebry stejného typu a $f\colon A \to B$, $g\colon B \to C$ jsou homomorfismy.
		Pak $gf$ je opět homomorfismus.
		Je-li $f$ bijekce, pak $f^{-1}$ je také homomorfismus.
	}
	}

	\proof{
	\list{
	\listItem{$a_1,\ldots,a_n \in A$
		$$ g(f(\undernote{\alpha}{A}(a_1,\ldots,a_n))) = g(\undernote{\alpha}{B}(f(a_n),\ldots,f(a_n)))
			\opupon{def.}{=} \undernote{\alpha}{C}(g(f(a_1)),g(f(a_2)),\ldots,g(f(a_n))) $$

		Je-li $f$ bijekce, $f^{-1}$ je zobrazení $B \to A$.

		$b_1,\ldots,b_n \in B$

		$$ f_{-1}(\undernote{\alpha}{B}(b_1,\ldots,b_n)) \opupon{?}{=} \undernote{\alpha}{A}(f^{-1}(b_1),\ldots,f^{-1}(b_n)) $$
		$$ f(\undernote{\alpha}{A}(f^{-1}(b_1),\ldots,f^{-1}(b_n))) \opupon{def}{=} \undernote{\alpha}{B}(\undernote{f(f^{-1}(b_1))}{b_1},\ldots)) $$
		$$ \alpha(f^{-1}(b_1),\ldots,f^{-1}(b_n)) = f^{-1}(f(\alpha(f^{-1}(b_1)),\ldots)) = $$
		$$ = f^{-1}(\alpha(b_1,\ldots,b_n)) $$
	}
	\listItem{Dle (1) je ???? slučitelná s $\alpha_i$ pro $\forall i \in I$,
		tedy z definice $gf$ je homomorfismus.

		$f^{-1}$ je slučitelna se všemi $\alpha_i$,
		tedy opět z definice je i $f^{-1}$ homomorfismus.
	}
	}
		\qed
	}
}

\penalty-1000


\definition{
	Jsou-li $A(\alpha_i | i \in I)$, $B(\alpha_i | i \in I)$
	algebry stejného typu
	a zobrazení $f\colon A \to B$ je bijektivní homomorfismus,
	mluvíme o {\bf isomorfismu}.

	$A$ a $B$ jsou {\bf isomorfní} algebry,
	pokud mezi nimi existuje isomorfismus.

	Isomorfismus zachovává všechny algebraické vlastnosti,
	tedy veškeré formule zapsané v jedné algebře platí i v té druhé.
	Tedy dvě isomorfní algebry mají ``stejné algebraické vlastnosti''.
	Přesná formulace a důkaz na rozmyšlenou,
	jste-li vzdělaní v logice.
}

\note{ % 1.3
	\list{
	\listItem{Nechť $A$ a $B$ jsou množiny s operací $\alpha$
		a $C \subseteq A$, $D \subseteq B$ jsou uzavřené na $\alpha$.
		Je-li $f\colon A \to B$ slučitelná s $\alpha$,
		pak $f(C)$ je uzavřené na $\alpha$ v $B$
		a $f^{-1}(D) = \{a \in A | f(a) \in D\}$
		je množina uzavřená na $\alpha$ v $A$.
	}
	\listItem{Nechť $A(\alpha_i | i \in I)$ a $B(\alpha_i | i \in I)$ jsou algebry stejného typu
		a $C \subseteq A$, $D \subseteq B$ jsou podalgebry.
		Je-li $f\colon A \to B$ homomorfismus,
		pak $f(C) \subseteq B$ a $f^{-1}(D) \subseteq A$ jsou podalgebry.
	}
	}

	\proof{
	\list{
	\listItem{Je $f(C)$ uzavřené na $\alpha$? ($\alpha$ buď $n$-ární.)

		$$ b_1 \ldots b_n \in f(C) \Rightarrow \existss a_1, \ldots, a_n \in C: f(a_i) = b_i $$
		$$ \alpha(b_1,\ldots,b_n) = \alpha(f(a_1),\ldots,f(a_n)) = $$
		Protože $f$ je slučitelné s $\alpha$,
		$$ = f(\undernote{\alpha(a_1,\ldots,a_n)}{\in C} \in f(C) $$
		tedy ať proženu skrz $\alpha$ cokoliv z $C$, vždy to skončí v $f(C)$.
		Jinak řečeno je $f(C)$ uzavřené na operaci $\alpha$.

		$$ a_1,\ldots,a_n \in f^{-1}(D) \Rightarrow f(a_i) \in D $$
		$$ f(\alpha(a_1,\ldots,a_n)) {{\hbox{\eightrm def}\atop=}\atop\hbox{\eightrm sluč.}} \alpha(f(a_1,\ldots,f(a_n)) \in D $$
		protože všechny argumenty $\alpha$ leží v $D$ a $D$ je uzavřená na $\alpha$.
		$$ \Rightarrow \alpha(a_1,\ldots,a_n) \in f^{-1}(D) $$
	}
	\listItem{Pro $\forall i \in I$ aplikuji (1) na $\alpha_i$.
	}
	}
		\qed
	}
}

\examples{
\list{
\listItem{Lineární zobrazení $f\colon U \to V$,
	kde $U,V$ jsou vektorové prostory nad tělesem $T$,
	jsou homomorfismy algeber $U(+,\cdot t | t \in T)$ a $V(+,\cdot t | t \in T)$.
}
\listItem{Determinant: $M_n(T) \to T$ je isomorfismus
	algebry $M_n(T)(\cdot)$ (maticové násobení) do $T(\cdot)$
	(kde $M_n(T)$ je čtvercová matice $n\times n$ na tělese $T$).
}
\listItem{$\Pi_n\colon \intgr \to \intgr_n$, $\Pi_n(k) = k \mod n$.
	Pak $\Pi_n$ je homomorfismus algebry $\intgr(+,\cdot)$ do $\intgr_n(\undernote{+,\cdot}{\mod n})$.
}
}
}


\penalty-1000


\definition{
	Řekneme, že $\ro$ je relace na množině $A$, pokud $\ro \subseteq A \times A$.
	Buď $\ro$ relace na $A$, pak
	$$ \ro^- = \{ (b,a) \in A \times A | (a,b) \in \ro \} $$
	$$ \ro^+ = \{ (a,b) \in A \times A | \existss a_1,\ldots,a_n \in A: a_1 = a, a_n = b,\ (a_i,a_{i-1}) \in \ro \} $$
	$$ (a,b),(b,c) \in \ro \Rightarrow (a,c) \in \ro^+ $$
	$$ \id = \{ (a,a) \subseteq A \times A | a \in A \} $$

	Řekneme, že $\ro$ je:
	\list{
	\olistItem{{\bf reflexivní}, pokud $\id \subseteq \ro$.}
	\olistItem{{\bf symetrická}, pokud $\ro^- \subseteq \ro$.}
	\olistItem{{\bf tranzitivní}, pokud $\ro^+ \subseteq \ro$.}
	}

	$\ro$ je {\bf ekvivalence}, jde-li o reflexivní, symetrickou a tranzitivní relaci.
	Lze ji zapsat jako:
	$$ (a,b) \in \ro \Leftrightarrow a \ro b $$

	Definujme si ještě {\bf faktor $A$ podle $\ro$} jako množinu
	$$ A/\ro = \{ [a]_\ro: a \in A \} \qquad [a]_\ro = \{ b \in A: (a,b) \in \ro \} $$
}

\note{ % 1.4
	$A/\ro$ tvoří rozklad.

	\proof{
		$$A = \bigcup \{ [a]_\ro: a \in A \} \Leftrightarrow a \in [a]_\ro \textnote{reflexivita}$$
		$$x \in [a]_\ro \cap [b]_\ro \Rightarrow \left\{\eqalign{(a,x) \in \ro &\cr (x,b) \in \ro}\right\}
					\Rightarrow \left\{\eqalign{(x,a) \in \ro &\cr (x,b) \in \ro}\right\}
					\Rightarrow \left\{\eqalign{(a,b) \in \ro &\cr (b,a) \in \ro}\right\}
					\Rightarrow (a,b) \in \ro $$
		$$ [b]_\ro = \{ y \in A: (b,y) \in \ro \} $$

		Přitom však $(a,b) \in \ro$, tedy zároveň tranzitivně
		$(a,y) \in \ro$ a platí
		$$ \forall y \in [b]_\ro: (a,y) \in \ro \Rightarrow y \in [a]_\ro $$
		
		To znamená, že $[b]_\ro \subseteq [a]_\ro$.
		Ale symetricky i $[a]_\ro \subseteq [b]_\ro$.
		Tedy $[a]_\ro = [b]_\ro$.
	}
}

\note{ % 1.5
	Mějme $\{B_i: i \in I\}$ rozklad množiny $A$.
	Pak relace na $A$ definovaná předpisem
	$$(a,b) \in \ro \Leftrightarrow \existss i \in I: a,b \in B_i$$
	je ekvivalence a $A/\ro = \{B_i: i \in I\}$.

	\proof{
	\list{
	\alistItem{Reflexivita: $a \in B_i$ pro nějaké $i \in I$, neboť $(a,a) \in \ro$}
	\alistItem{Symetrie: $(a,b) \in \ro \Rightarrow \existss i: a,b \in B_i \Rightarrow (b,a) \in \ro$}
	\alistItem{Tranzitivita: $(a,b), (b,c) \in \ro \Rightarrow \existss i,j: a,b \in B_i,\ b,c \in B_j$
	
		Ale v tom případě $B_i \cap B_j \ne \emptyset$, tedy nutně $B_i = B_j$ a $c \in B_i$.}
	\alistItem{Faktor: $a \in B_i \Rightarrow [a]_\ro = B_i$.}
	}
	}
}

\penalty-500

\definition{
	Nechť $f\colon A \to B$ je zobrazení.
	Pak {\bf jádrem $f$} nazveme relaci $\Ker$ danou předpisem:
	$$ (a_1,a_2) \in \Ker f \Leftrightarrow f(a_1) = f(a_2) $$

	Je-li $\ro$ ekvivalence na množině $A$,
	pak zobrazení $\Pi_\ro\colon A \to A/\ro$
	daném $\Pi_\ro(a) = [a]_\ro$
	řekneme {\bf přirozená projekce podle $\ro$}.
}

\note{ % 1.6
	Buď $f\colon A \to B$ zobrazení a $\ro$ ekvivalence na $A$. Pak platí:
	\list{
	\listItem{$\Ker_\ro$ je ekvivalence}
	\listItem{$f$ je prosté $\Leftrightarrow \Ker = \id$}
	\listItem{$\Ker \Pi_\ro = \ro$}
	\listItem{Zobrazení $\ro\colon A/\ro \to B$ s vlastností $(g\cdot \Pi_\ro) = f$
		existuje $\Leftrightarrow \ro \subseteq \Ker_f$}
	}

	\proof{
	\list{
	\listItem{Ověříme všechny tři vlastnosti:
		\list{
		\listItem{$f(a)=f(a) \Rightarrow (a,a) \in \Ker f$}
		\listItem{$f(a_1)=f(a_2) \Rightarrow (a_1,a_2) \in \Ker f \Rightarrow (a_2,a_1) \in \Ker f$}
		\listItem{$(a_1,a_2),(a_2,a_3) \in \Ker f \Rightarrow f(a_1) = f(a_2) = f(a_3) \Rightarrow (a_1,a_3) \in \Ker f$}
		}
	}
	\listItem{$a_1 \ne a_2 \Rightarrow (f(a_1) \ne f(a_2) \Leftrightarrow (a_1,a_2) \notin \Ker f)$}
	\listItem{$(a_1,a_2) \in \Ker \Pi_\ro \Leftrightarrow \Pi_\ro(a_1) = \Pi_\ro(a_2) \Leftrightarrow (a_1,a_2) \in \ro$}
	\listItem{Ověříme obě implikace:
		\proofrightimpl{
			Předpokládejme existenci $g$:
			$$ g\Pi_\ro = f $$
			$$ \forall a \in A: g([a]_\ro) = g \circ \Pi_\ro(a) = f(a) $$

			Nyní stačí vzít $a,b \in \ro: [a]_\ro = [b]_\ro$:
			$$ f(a) = g([a]_\ro) = g([b]_\ro) = f(b) \Rightarrow (a,b) \in \Ker f $$
		}
		\proofleftimpl{
			Předpokládejme $\ro \in \Ker f$:
			$$ g([a]_\ro) = f(a) $$
			
			Máme ale problém s korektností definice $g$.
			Musíme ji ověřit:
			$$ [a]_\ro = [b]_\ro \Rightarrow (a,b) \in \ro \subseteq \Ker f $$
			$$ g([a]_\ro) = f(a) = f(b) = g([b]_\ro) $$
			Tedy je $g$ skutečně definována korektně.
			$g\Pi_\ro = f$ je zřejmé.
		}
	}
	}
		\qed
	}
}

\penalty-200

\definition{
	Nechť $\alpha$ je $n$-ární operace na $A$ a $\ro$ je ekvivalence na $A$.
	Řekneme, že {\bf $\ro$ je slučitelné s $\alpha$},
	pokud pro $i = 1\ldots n$ platí:
	$$(a_i,b_i) \in \ro \Rightarrow \alpha(a_1,\ldots,a_n) \ro \alpha(b_1,\ldots,b_n)$$

	Je-li $A(\alpha_i: i \in I)$ algebra a $\ro$ je ekvivalence na $A$,
	pak {\bf $\ro$ je kongruence na $A$},
	pokud $\ro$ je slučitelné s $\alpha_i$ pro $\forall i \in I$.
}

\note{ % 1.7
	\list{
	\listItem{Nechť $A,B$ jsou množiny, $\alpha$ je operace na $A,B$
		a $f$ je zobrazení $A \to B$ slučitelné s $\alpha$.
		Pak $\Ker f$ je slučitelné s $\alpha$.
	}
	\listItem{Buď $A,B$ algebry stejného typu a $f$ homomorfismus $A \to B$.
		Potom $\Ker f$ je kongruence.
	}
	}

	\proof{
		\list{
		\listItem{$(a_i,b_i) \in \Ker f \Rightarrow f(a_i) = f(b_i)\qquad \forall i = 1,\ldots,n$
			$$ f(\alpha(a_1,\ldots,a_n)) = \alpha(f(a_1),\ldots,f(a_n))
				= \alpha(f(b_1),\ldots,f(b_n)) = f(\alpha(b_1,\ldots,b_n)) $$
			$$ \Rightarrow (\alpha(a_1,\ldots,a_n),\alpha(b_1,\ldots,b_n)) \in \Ker f $$

			$\Ker f$ je ekvivalence (dle \ias{1}{6}{(i)}).
		}
		\listItem{plyne z (i).}
		}
		\qed
	}
}

\theorem{1.8}{}{
	\list{
	\listItem{Nechť $\ro$ je ekvivalence na $A$,
		$\alpha$ je operace na $A$.
		Pak $\ro$ je slučitelná s $\alpha$,
		právě když $\Pi_\ro$ je slučitelná s $\alpha$.
	}
	\listItem{Nechť $\ro$ je ekvivalence na algebře $A$.
		Pak $\ro$ je kongruence,
		právě když $\Pi_\ro$ je homeomorfismus.
	}
	}

	\proof{
		$A$ buď množina s ekvivalencí $\ro$ a relací $\alpha$.
		Definujme operaci $\alpha$ na $A/\ro$:
		$$ \alpha([a_1]_\ro,\ldots,[a_n]_\ro) = [\alpha(a_1,\ldots,a_n)]_\ro $$

		Na algebře $A/\ro$ definuji stejným způsobem
		algebru stejného typu jako $A$
		za předpokladu, že $A$ je algebra.
		Definice je korektní, právě když
		$$ \eqalign{[a_1]_\ro &= [b_1]_\ro \cr &\vdots \cr [a_n]_\ro &= [b_n]_\ro}
			\Rightarrow
			\eqalign{(a_1,b_1) &\in \ro \cr &\vdots \cr (a_n,b_n) &\in \ro} $$

		Všimněme si, že
		$$ [\alpha(a_1,\ldots,a_n)]_\ro = [\alpha(b_1,\ldots,b_n)]_\ro $$
		platí, právě když $\ro$ je slučitelné s $\alpha$.
		Pro algebry je definice korektní, právě když $\ro$ je kongruence.

\penalty-200

		\list{
		\listItem{Dokážeme obě implikace:
			\proofrightimpl{
				$\ro$ je slučitelná s $\alpha$ $\Rightarrow$
				$\alpha$ je dobře definovaná na $A/\ro$.

				Je $\Pi_\ro\colon A \to A/\ro$ slučitelné s $\alpha$?
				$$ \Pi_\ro(\alpha(a_1,\ldots,a_n))
					= [\alpha(a_1,\ldots,a_n)]
					= \alpha([a_1]_\ro,\ldots,[a_n]_\ro
					= \alpha(\Pi_\ro(a_1),\ldots,\Pi_\ro(a_n)) $$
				Tedy $\Pi_\ro$ je s $\alpha$ slučitelné s $\alpha$.
			}
			\proofleftimpl{
				$\Pi_\ro$ je slučitelné s $\alpha$,
				$\Ker \Pi_\ro = \ro$ (\ias{1}{6}{(iii)}).
				Tedy $\alpha$ je korektně definována (\ias{1}{7}{(i)}).
			}
		}
		}
		\qed
	}
}

}

\bend