\input /home/pasky/school/fastex/lib.tex
%\chapter{4}

%Funkce jedne realne promenne



\subchapter{Z�kladn� definice}{

\definition{
	Nech� $A$ je mno�ina a $n \in \nat_0$, pak o zobrazen�
	$$ \alpha\colon A^n \to A $$
	�ekneme, �e je $n$-�rn� operac�
	\footnote*{$A^n = \{(a_1,\dots,a_n) | a_i \in A\}$ (kart�zsk� sou�in)}.

	\list{
	\olistItem{0-�rn�: nul�rn� (operace $A_0 \to A$ je mno�ina v�ech ``nulatic'' --- dejme tomu $A_0 = \{*\}$)}
	\olistItem{1-�rn�: un�rn�}
	\olistItem{2-�rn�: bin�rn�}
	\olistItem{3-�rn�: tern�rn�}
	}

	Nech� $A$ je mno�ina $\alpha_i$, $i \in I$, a m�jme ($n_i$-�rn�) operace.
	Pak posloupnost $A(\alpha_i | i \in I)$ nazveme {\bf algebrou}.
}

\examples{
\list{
	\listItem{$\nat(+,\cdot)$}
	\listItem{$\intgr(+,-,\cdot)$}
	\listItem{$\rat\setminus\{0\}(\cdot,/)$}
	\listItem{$\real(+,-,\cdot)$}
	\listItem{$\real^+(+,\cdot,\sqrt{\ })$}
}

	(Krom� d�len� a odmoc�ov�n� jde o bin�rn� operace --- v p��pad� d�len�
	jde vpodstat� o hled�n� obr�cen� hodnoty.)
}

\definition{
	Nech� $A$ je mno�ina s $n$-�rn� operac� $\alpha$ a $B \subseteq A$.
	�ekneme, �e $B$ je {\bf uzav�en� na} operaci $\alpha$, pokud
	$$ \forall b_1,\ldots,b_n \in B: \alpha(b_1,\ldots,b_n) \in B $$

	Je-li $A(\alpha_i | i \in I)$ algebra a $B \subseteq A$,
	pak �ekneme, �e $B$ je {\bf podalgebra} $A$,
	pokud $B$ je uzav�en� na~v�echny $\alpha_i$ ($i \in I$).
}

\examples{
\list{
	\listItem{$\nat(+,\cdot)$:
		$$ k \in \nat: k\nat = \{k\cdot n | n \in \nat\} \textnote{v�echny n�sobky} $$
		Je takov� podalgebra uzav�en�?
		\list{
		\listItem{$b_1 + b_2 \in k\nat$}
		\listItem{$b_1 \cdot b_2 \in k\nat$}
		}
		Jde tedy o podalgebru algebry $\nat(+,\cdot)$.
	}
	\listItem{$\intgr(+,-,0)$ m� podalgebry
		$$ k \in \intgr: k\intgr = \{k\cdot z | z \in \intgr\} $$
		a jde dokonce o v�echny podalgebry, neexistuje ��dn� jin�.

		$B$ bu� podalgebra $\intgr(+,-,0)$.
		Je uzav�en� na~nul�rn� operaci?
		0-tice $\mapsto 0 \subseteq B$.
	}
	\listItem{Na vektorov�m prostoru $U$ nad t�lesem $T$
		algebra $U(+,\cdot t | t \in T)$
		s un�rn� operac� $\cdot t\colon U \to U$
		definovanou jako $u \to u\cdot t$.

		$W$ je podprostor $U$,
		pr�v� kdy� $W$ je podalgebra $U(+,\cdot t)$.
	}
}
}

\observation{
	$A(\alpha_i | i \in I)$ bu� algebra, pak $A$ je podalgebrou.

	Pokud ��dn� $\alpha_i$ nen� nul�rn�, $\emptyset$ je podalgebrou $A$.

	Je-li $A(\alpha_i | i \in I)$ algebra (kde $\alpha_i$ je $n_i$-�rn� operace)
	a $B$ jej� podalgebra,
	$$ \beta_i = \alpha_i \restring_{B^{n_i}} \colon B^n \to B $$
	m� ``p�irozen� danou'' strukturu algebry na~$B$ (s restringovan�mi ($\restring$) operacemi).
}

\examples{
\list{
	\listItem{$\rat(+,\cdot)$, $\intgr \subseteq \rat$, $\intgr$ je podalgebra.

		$$\rat(+,\cdot) \opupon{restr.}{\derived} \intgr(+,\cdot)$$
	}
	\listItem{M�jme $M_2(\real) = \left\{\pmatrix{r_1&r_2\cr r_3& r_4} \bigg| r_i \in \real\right\}$
		a algebru $M_2(\real)(\cdot)$.

		$$D_2(\real) = \left\{\pmatrix{r_1&0\cr 0& r_3} \bigg| r_1, r_3 \in \real\right\}$$
		je podalgebra $M_2(\real)(\cdot)$.
		Pak m��eme zav�st nap�. $D_2(\real)(\cdot)$ s operac�
		$$ \cdot\colon \pmatrix{r_1 & 0 \cr 0 & r_3}\pmatrix{s_1 & 0 \cr 0 & s_3} = \pmatrix{r_1s_1 & 0 \cr 0 & r_3s_3} $$
	}
}
}

\note{ % 1.1
\list{
\listItem{
	Nech� $A$ je mno�ina s operac� $\alpha$
	a nech� $A_j$, $j \in J$, je syst�m podmno�in $A$ uzav�en�ch na~$\alpha$.
	Pak $\bigcap A_j$ je op�t uzav�en� na~$\alpha$.
}
\listItem{
	Nech� $A(\alpha_i | i \in I)$ je algebra
	a $A_j$, $j \in J$ jsou jej� podalgebry.
	Pak $\bigcap_{j \in J} A_j$ je podalgebra.
}
}

\proof{
\list{
\listItem{
	$\alpha$ bu� $n$-�rn� operace.
		$$ \bigcap_{j' \in J} A_{j'} \subseteq A_j \qquad \forall j \in J $$
	\TODO{tady je n�co n�jak� divn�\dots?!}
		$$ \Longrightarrow \alpha(a_1,\ldots,a_n) \in A_j
			\becauseof{$\hbox{def.}\atop\hbox{pr�niku}$}{\Longrightarrow}
			\alpha(a_1,\ldots,a_n) \subseteq \bigcap_{j \in J} A_j $$
}
\listItem{
	$A_j$ jsou uzav�en� na~$\alpha_i$ pro $\forall i \in I$, $\forall j \in J$.
	$$ \becauseof{(1)}{\Longrightarrow} \bigcap_{j \in J} A_j
		\textbox{je uzav�en� na $\alpha_i$ pro $\forall i \in I$} $$
	$$ \becauseof{}{\Longrightarrow} \bigcap_{j \in J} A_j
		\textbox{je uzav�en� na v�echny operace na $A(\alpha_i|i \in I)$} $$
	$$ \becauseof{def.}{\Longrightarrow} \bigcap_{j \in J} A_j
		\textbox{je podalgebra $A(\alpha_i|i \in I)$} $$
}
}
\qed
}
}



\definition{
	Bu� $A$ a $B$ mno�iny s $n$-�rn� operac� $\alpha$ a $f\colon A \to B$.
	�ekneme, �e $f$ je {\bf slu�iteln� s $\alpha$}, pokud
	$$ \forall \alpha, a_n \in A: \alpha(f(a_1),f(a_2),\ldots,f(a_n)) = f(\alpha(a_1,\ldots,a_n) $$

	�ekneme, �e algebra $A(\alpha_i | i \in I)$ a $B(\alpha_i | i \in I)$
	jsou {\bf stejn�ho typu}, pokud $\alpha_i$ na $A$ a $\alpha_i$ operace na $B$ jsou ob� stejn� arity (ob� $n_i$-�rn�) $\forall i \in I$.

	Bu� $A(\alpha_i | i \in I)$ a $B(\alpha_i | i \in I)$ dv� algebry stejn�ho typu.
	Pak zobrazen� $f\colon A \to B$ je homomorfismus, pokud je $f$ slu�iteln� s $\alpha_i$ pro $\forall i \in I$.
}

\note{ % 1.2
	\list{
	\listItem{Bu� $A,B,C$ mno�iny s $n$-�rn� operac� $\alpha$, $f\colon A \to B$, $g\colon B \to C$
		zobrazen� slu�iteln� s $a$. Pak $gf(A \to C)$ je slu�iteln� s $\alpha$.
		Pokud je $f$ bijekce, tak $f^{-1}$ je zase slu�iteln� s $\alpha$.
	}
	\listItem{Nech� $A(\alpha_i | i \in I)$, $B(\alpha_i | i \in I)$, $C(\alpha_i | i \in I)$
		jsou algebry stejn�ho typu a $f\colon A \to B$, $g\colon B \to C$ jsou homomorfismy.
		Pak $gf$ je op�t homomorfismus.
		Je-li $f$ bijekce, pak $f^{-1}$ je tak� homomorfismus.
	}
	}

	\proof{
	\list{
	\listItem{$a_1,\ldots,a_n \in A$
		$$ g(f(\undernote{\alpha}{A}(a_1,\ldots,a_n))) = g(\undernote{\alpha}{B}(f(a_n),\ldots,f(a_n)))
			\opupon{def.}{=} \undernote{\alpha}{C}(g(f(a_1)),g(f(a_2)),\ldots,g(f(a_n))) $$

		Je-li $f$ bijekce, $f^{-1}$ je zobrazen� $B \to A$.

		$b_1,\ldots,b_n \in B$

		$$ f_{-1}(\undernote{\alpha}{B}(b_1,\ldots,b_n)) \opupon{?}{=} \undernote{\alpha}{A}(f^{-1}(b_1),\ldots,f^{-1}(b_n)) $$
		$$ f(\undernote{\alpha}{A}(f^{-1}(b_1),\ldots,f^{-1}(b_n))) \opupon{def}{=} \undernote{\alpha}{B}(\undernote{f(f^{-1}(b_1))}{b_1},\ldots)) $$
		$$ \alpha(f^{-1}(b_1),\ldots,f^{-1}(b_n)) = f^{-1}(f(\alpha(f^{-1}(b_1)),\ldots)) = $$
		$$ = f^{-1}(\alpha(b_1,\ldots,b_n)) $$
	}
	\listItem{Dle (1) je ???? slu�iteln� s $\alpha_i$ pro $\forall i \in I$,
		tedy z definice $gf$ je homomorfismus.

		$f^{-1}$ je slu�itelna se v�emi $\alpha_i$,
		tedy op�t z definice je i $f^{-1}$ homomorfismus.
	}
	}
		\qed
	}
}

\penalty-1000


\definition{
	Jsou-li $A(\alpha_i | i \in I)$, $B(\alpha_i | i \in I)$
	algebry stejn�ho typu
	a zobrazen� $f\colon A \to B$ je bijektivn� homomorfismus,
	mluv�me o {\bf isomorfismu}.

	$A$ a $B$ jsou {\bf isomorfn�} algebry,
	pokud mezi nimi existuje isomorfismus.

	Isomorfismus zachov�v� v�echny algebraick� vlastnosti,
	tedy ve�ker� formule zapsan� v jedn� algeb�e plat� i v t� druh�.
	Tedy dv� isomorfn� algebry maj� ``stejn� algebraick� vlastnosti''.
	P�esn� formulace a d�kaz na rozmy�lenou,
	jste-li vzd�lan� v logice.
}

\note{ % 1.3
	\list{
	\listItem{Nech� $A$ a $B$ jsou mno�iny s operac� $\alpha$
		a $C \subseteq A$, $D \subseteq B$ jsou uzav�en� na $\alpha$.
		Je-li $f\colon A \to B$ slu�iteln� s $\alpha$,
		pak $f(C)$ je uzav�en� na $\alpha$ v $B$
		a $f^{-1}(D) = \{a \in A | f(a) \in D\}$
		je mno�ina uzav�en� na $\alpha$ v $A$.
	}
	\listItem{Nech� $A(\alpha_i | i \in I)$ a $B(\alpha_i | i \in I)$ jsou algebry stejn�ho typu
		a $C \subseteq A$, $D \subseteq B$ jsou podalgebry.
		Je-li $f\colon A \to B$ homomorfismus,
		pak $f(C) \subseteq B$ a $f^{-1}(D) \subseteq A$ jsou podalgebry.
	}
	}

	\proof{
	\list{
	\listItem{Je $f(C)$ uzav�en� na $\alpha$? ($\alpha$ bu� $n$-�rn�.)

		$$ b_1 \ldots b_n \in f(C) \Rightarrow \existss a_1, \ldots, a_n \in C: f(a_i) = b_i $$
		$$ \alpha(b_1,\ldots,b_n) = \alpha(f(a_1),\ldots,f(a_n)) = $$
		Proto�e $f$ je slu�iteln� s $\alpha$,
		$$ = f(\undernote{\alpha(a_1,\ldots,a_n)}{\in C} \in f(C) $$
		tedy a� pro�enu skrz $\alpha$ cokoliv z $C$, v�dy to skon�� v $f(C)$.
		Jinak �e�eno je $f(C)$ uzav�en� na operaci $\alpha$.

		$$ a_1,\ldots,a_n \in f^{-1}(D) \Rightarrow f(a_i) \in D $$
		$$ f(\alpha(a_1,\ldots,a_n)) {{\hbox{\eightrm def}\atop=}\atop\hbox{\eightrm slu�.}} \alpha(f(a_1,\ldots,f(a_n)) \in D $$
		proto�e v�echny argumenty $\alpha$ le�� v $D$ a $D$ je uzav�en� na $\alpha$.
		$$ \Rightarrow \alpha(a_1,\ldots,a_n) \in f^{-1}(D) $$
	}
	\listItem{Pro $\forall i \in I$ aplikuji (1) na $\alpha_i$.
	}
	}
		\qed
	}
}

\examples{
\list{
\listItem{Line�rn� zobrazen� $f\colon U \to V$,
	kde $U,V$ jsou vektorov� prostory nad t�lesem $T$,
	jsou homomorfismy algeber $U(+,\cdot t | t \in T)$ a $V(+,\cdot t | t \in T)$.
}
\listItem{Determinant: $M_n(T) \to T$ je isomorfismus
	algebry $M_n(T)(\cdot)$ (maticov� n�soben�) do $T(\cdot)$
	(kde $M_n(T)$ je �tvercov� matice $n\times n$ na t�lese $T$).
}
\listItem{$\Pi_n\colon \intgr \to \intgr_n$, $\Pi_n(k) = k \mod n$.
	Pak $\Pi_n$ je homomorfismus algebry $\intgr(+,\cdot)$ do $\intgr_n(\undernote{+,\cdot}{\mod n})$.
}
}
}


\penalty-1000


\definition{
	�ekneme, �e $\ro$ je relace na mno�in� $A$, pokud $\ro \subseteq A \times A$.
	Bu� $\ro$ relace na $A$, pak
	$$ \ro^- = \{ (b,a) \in A \times A | (a,b) \in \ro \} $$
	$$ \ro^+ = \{ (a,b) \in A \times A | \existss a_1,\ldots,a_n \in A: a_1 = a, a_n = b,\ (a_i,a_{i-1}) \in \ro \} $$
	$$ (a,b),(b,c) \in \ro \Rightarrow (a,c) \in \ro^+ $$
	$$ \id = \{ (a,a) \subseteq A \times A | a \in A \} $$

	�ekneme, �e $\ro$ je:
	\list{
	\olistItem{{\bf reflexivn�}, pokud $\id \subseteq \ro$.}
	\olistItem{{\bf symetrick�}, pokud $\ro^- \subseteq \ro$.}
	\olistItem{{\bf tranzitivn�}, pokud $\ro^+ \subseteq \ro$.}
	}

	$\ro$ je {\bf ekvivalence}, jde-li o reflexivn�, symetrickou a tranzitivn� relaci.
	Lze ji zapsat jako:
	$$ (a,b) \in \ro \Leftrightarrow a \ro b $$

	Definujme si je�t� {\bf faktor $A$ podle $\ro$} jako mno�inu
	$$ A/\ro = \{ [a]_\ro: a \in A \} \qquad [a]_\ro = \{ b \in A: (a,b) \in \ro \} $$
}

\note{ % 1.4
	$A/\ro$ tvo�� rozklad.

	\proof{
		$$A = \bigcup \{ [a]_\ro: a \in A \} \Leftrightarrow a \in [a]_\ro \textnote{reflexivita}$$
		$$x \in [a]_\ro \cap [b]_\ro \Rightarrow \left\{\eqalign{(a,x) \in \ro &\cr (x,b) \in \ro}\right\}
					\Rightarrow \left\{\eqalign{(x,a) \in \ro &\cr (x,b) \in \ro}\right\}
					\Rightarrow \left\{\eqalign{(a,b) \in \ro &\cr (b,a) \in \ro}\right\}
					\Rightarrow (a,b) \in \ro $$
		$$ [b]_\ro = \{ y \in A: (b,y) \in \ro \} $$

		P�itom v�ak $(a,b) \in \ro$, tedy z�rove� tranzitivn�
		$(a,y) \in \ro$ a plat�
		$$ \forall y \in [b]_\ro: (a,y) \in \ro \Rightarrow y \in [a]_\ro $$
		
		To znamen�, �e $[b]_\ro \subseteq [a]_\ro$.
		Ale symetricky i $[a]_\ro \subseteq [b]_\ro$.
		Tedy $[a]_\ro = [b]_\ro$.
	}
}

\note{ % 1.5
	M�jme $\{B_i: i \in I\}$ rozklad mno�iny $A$.
	Pak relace na $A$ definovan� p�edpisem
	$$(a,b) \in \ro \Leftrightarrow \existss i \in I: a,b \in B_i$$
	je ekvivalence a $A/\ro = \{B_i: i \in I\}$.

	\proof{
	\list{
	\alistItem{Reflexivita: $a \in B_i$ pro n�jak� $i \in I$, nebo� $(a,a) \in \ro$}
	\alistItem{Symetrie: $(a,b) \in \ro \Rightarrow \existss i: a,b \in B_i \Rightarrow (b,a) \in \ro$}
	\alistItem{Tranzitivita: $(a,b), (b,c) \in \ro \Rightarrow \existss i,j: a,b \in B_i,\ b,c \in B_j$
	
		Ale v tom p��pad� $B_i \cap B_j \ne \emptyset$, tedy nutn� $B_i = B_j$ a $c \in B_i$.}
	\alistItem{Faktor: $a \in B_i \Rightarrow [a]_\ro = B_i$.}
	}
	}
}

\penalty-500

\definition{
	Nech� $f\colon A \to B$ je zobrazen�.
	Pak {\bf j�drem $f$} nazveme relaci $\Ker$ danou p�edpisem:
	$$ (a_1,a_2) \in \Ker f \Leftrightarrow f(a_1) = f(a_2) $$

	Je-li $\ro$ ekvivalence na mno�in� $A$,
	pak zobrazen� $\Pi_\ro\colon A \to A/\ro$
	dan�m $\Pi_\ro(a) = [a]_\ro$
	�ekneme {\bf p�irozen� projekce podle $\ro$}.
}

\note{ % 1.6
	Bu� $f\colon A \to B$ zobrazen� a $\ro$ ekvivalence na $A$. Pak plat�:
	\list{
	\listItem{$\Ker_\ro$ je ekvivalence}
	\listItem{$f$ je prost� $\Leftrightarrow \Ker = \id$}
	\listItem{$\Ker \Pi_\ro = \ro$}
	\listItem{Zobrazen� $\ro\colon A/\ro \to B$ s vlastnost� $(g\cdot \Pi_\ro) = f$
		existuje $\Leftrightarrow \ro \subseteq \Ker_f$}
	}

	\proof{
	\list{
	\listItem{Ov���me v�echny t�i vlastnosti:
		\list{
		\listItem{$f(a)=f(a) \Rightarrow (a,a) \in \Ker f$}
		\listItem{$f(a_1)=f(a_2) \Rightarrow (a_1,a_2) \in \Ker f \Rightarrow (a_2,a_1) \in \Ker f$}
		\listItem{$(a_1,a_2),(a_2,a_3) \in \Ker f \Rightarrow f(a_1) = f(a_2) = f(a_3) \Rightarrow (a_1,a_3) \in \Ker f$}
		}
	}
	\listItem{$a_1 \ne a_2 \Rightarrow (f(a_1) \ne f(a_2) \Leftrightarrow (a_1,a_2) \notin \Ker f)$}
	\listItem{$(a_1,a_2) \in \Ker \Pi_\ro \Leftrightarrow \Pi_\ro(a_1) = \Pi_\ro(a_2) \Leftrightarrow (a_1,a_2) \in \ro$}
	\listItem{Ov���me ob� implikace:
		\proofrightimpl{
			P�edpokl�dejme existenci $g$:
			$$ g\Pi_\ro = f $$
			$$ \forall a \in A: g([a]_\ro) = g \circ \Pi_\ro(a) = f(a) $$

			Nyn� sta�� vz�t $a,b \in \ro: [a]_\ro = [b]_\ro$:
			$$ f(a) = g([a]_\ro) = g([b]_\ro) = f(b) \Rightarrow (a,b) \in \Ker f $$
		}
		\proofleftimpl{
			P�edpokl�dejme $\ro \in \Ker f$:
			$$ g([a]_\ro) = f(a) $$
			
			M�me ale probl�m s korektnost� definice $g$.
			Mus�me ji ov��it:
			$$ [a]_\ro = [b]_\ro \Rightarrow (a,b) \in \ro \subseteq \Ker f $$
			$$ g([a]_\ro) = f(a) = f(b) = g([b]_\ro) $$
			Tedy je $g$ skute�n� definov�na korektn�.
			$g\Pi_\ro = f$ je z�ejm�.
		}
	}
	}
		\qed
	}
}

\penalty-200

\definition{
	Nech� $\alpha$ je $n$-�rn� operace na $A$ a $\ro$ je ekvivalence na $A$.
	�ekneme, �e {\bf $\ro$ je slu�iteln� s $\alpha$},
	pokud pro $i = 1\ldots n$ plat�:
	$$(a_i,b_i) \in \ro \Rightarrow \alpha(a_1,\ldots,a_n) \ro \alpha(b_1,\ldots,b_n)$$

	Je-li $A(\alpha_i: i \in I)$ algebra a $\ro$ je ekvivalence na $A$,
	pak {\bf $\ro$ je kongruence na $A$},
	pokud $\ro$ je slu�iteln� s $\alpha_i$ pro $\forall i \in I$.
}

\note{ % 1.7
	\list{
	\listItem{Nech� $A,B$ jsou mno�iny, $\alpha$ je operace na $A,B$
		a $f$ je zobrazen� $A \to B$ slu�iteln� s $\alpha$.
		Pak $\Ker f$ je slu�iteln� s $\alpha$.
	}
	\listItem{Bu� $A,B$ algebry stejn�ho typu a $f$ homomorfismus $A \to B$.
		Potom $\Ker f$ je kongruence.
	}
	}

	\proof{
		\list{
		\listItem{$(a_i,b_i) \in \Ker f \Rightarrow f(a_i) = f(b_i)\qquad \forall i = 1,\ldots,n$
			$$ f(\alpha(a_1,\ldots,a_n)) = \alpha(f(a_1),\ldots,f(a_n))
				= \alpha(f(b_1),\ldots,f(b_n)) = f(\alpha(b_1,\ldots,b_n)) $$
			$$ \Rightarrow (\alpha(a_1,\ldots,a_n),\alpha(b_1,\ldots,b_n)) \in \Ker f $$

			$\Ker f$ je ekvivalence (dle \ias{1}{6}{(i)}).
		}
		\listItem{plyne z (i).}
		}
		\qed
	}
}

\theorem{1.8}{}{
	\list{
	\listItem{Nech� $\ro$ je ekvivalence na $A$,
		$\alpha$ je operace na $A$.
		Pak $\ro$ je slu�iteln� s $\alpha$,
		pr�v� kdy� $\Pi_\ro$ je slu�iteln� s $\alpha$.
	}
	\listItem{Nech� $\ro$ je ekvivalence na algeb�e $A$.
		Pak $\ro$ je kongruence,
		pr�v� kdy� $\Pi_\ro$ je homeomorfismus.
	}
	}

	\proof{
		$A$ bu� mno�ina s ekvivalenc� $\ro$ a relac� $\alpha$.
		Definujme operaci $\alpha$ na $A/\ro$:
		$$ \alpha([a_1]_\ro,\ldots,[a_n]_\ro) = [\alpha(a_1,\ldots,a_n)]_\ro $$

		Na algeb�e $A/\ro$ definuji stejn�m zp�sobem
		algebru stejn�ho typu jako $A$
		za p�edpokladu, �e $A$ je algebra.
		Definice je korektn�, pr�v� kdy�
		$$ \eqalign{[a_1]_\ro &= [b_1]_\ro \cr &\vdots \cr [a_n]_\ro &= [b_n]_\ro}
			\Rightarrow
			\eqalign{(a_1,b_1) &\in \ro \cr &\vdots \cr (a_n,b_n) &\in \ro} $$

		V�imn�me si, �e
		$$ [\alpha(a_1,\ldots,a_n)]_\ro = [\alpha(b_1,\ldots,b_n)]_\ro $$
		plat�, pr�v� kdy� $\ro$ je slu�iteln� s $\alpha$.
		Pro algebry je definice korektn�, pr�v� kdy� $\ro$ je kongruence.

\penalty-200

		\list{
		\listItem{Dok�eme ob� implikace:
			\proofrightimpl{
				$\ro$ je slu�iteln� s $\alpha$ $\Rightarrow$
				$\alpha$ je dob�e definovan� na $A/\ro$.

				Je $\Pi_\ro\colon A \to A/\ro$ slu�iteln� s $\alpha$?
				$$ \Pi_\ro(\alpha(a_1,\ldots,a_n))
					= [\alpha(a_1,\ldots,a_n)]
					= \alpha([a_1]_\ro,\ldots,[a_n]_\ro
					= \alpha(\Pi_\ro(a_1),\ldots,\Pi_\ro(a_n)) $$
				Tedy $\Pi_\ro$ je s $\alpha$ slu�iteln� s $\alpha$.
			}
			\proofleftimpl{
				$\Pi_\ro$ je slu�iteln� s $\alpha$,
				$\Ker \Pi_\ro = \ro$ (\ias{1}{6}{(iii)}).
				Tedy $\alpha$ je korektn� definov�na (\ias{1}{7}{(i)}).
			}
		}
		}
		\qed
	}
}

}

\bend
