Jan Žemlička

Algebra I

Přepsal Petr Baudiš v ak. roce 2005/2006

“”

◯^{c} 2005/2006 Jan Žemlička, Petr Baudiš Verze 0.20051006/L:1.616. Tato verze není garantována, nemusí být kompletní a může obsahovat chyby. Aktuální verzi vždy najdete na http://math.or.cz/. Sazba v programu TEX.

Jan Žemlička — Algebra I Algebry, homomorfismy a kongruence —

Algebry, homomorfismy a kongruence

Základní definice

Definice:

Nechť A je množina a n ∈ ℕ_{0}, pak o zobrazení

α: A^{n} → A

řekneme, že je n-ární operací *.

• 0-ární: nulární (operace A_{0} → A je množina všech “nulatic” — dejme tomu A_{0} = {∗})

• 1-ární: unární

• 2-ární: binární

• 3-ární: ternární Nechť A je množina α_{i}, i ∈ I, a mějme (n_{i}-ární) operace. Pak posloupnost A(α_{i}|i ∈ I) nazveme

algebrou.

Příklady:

(i) ℕ(+, ·) (ii) ℤ(+, −, ·) (iii) ℚ \ {0}(·, /) (iv) ℝ(+, −, ·)

(v) ℝ^{+} (+, ·, √ )

(Kromě dělení a odmocňování jde o binární operace — v případě dělení jde vpodstatě o hledání obrácené hodnoty.)

Definice:

Nechť A je množina s n-ární operací α a B ⊆ A. Řekneme, že B je uzavřená na operaci α, pokud

∀b_{1}, …, b_{n} ∈ B : α(b_{1}, …, b_{n}) ∈ B

Je-li A(α_{i}|i ∈ I) algebra a B ⊆ A, pak řekneme, že B je podalgebra A, pokud B je uzavřená na všechny α_{i} (i ∈ I).

Příklady:

(i) ℕ(+, ·):

k ∈ ℕ : kℕ = {k · n|n ∈ ℕ} (všechny násobky)

Je taková podalgebra uzavřená?

(1) b_{1} + b_{2} ∈ kℕ

(2) b_{1} · b_{2} ∈ kℕ Jde tedy o podalgebru algebry ℕ(+, ·).

* A^{n} = {(a_{1}, …, a_{n})|a_{i} ∈ A} (kartézský součin)

Algebry, homomorfismy a kongruence — Základní definice Jan Žemlička — Algebra I

(ii) ℤ(+, −, 0) má podalgebry

k ∈ ℤ : kℤ = {k · z|z ∈ ℤ}

a jde dokonce o všechny podalgebry, neexistuje žádná jiná. B buď podalgebra ℤ(+, −, 0). Je uzavřená na nulární operaci? 0-tice ↦ 0 ⊆ B.

(iii) Na vektorovém prostoru U nad tělesem T algebra U(+, ·t|t ∈ T) s unární operací ·t: U → U definovanou jako u → u · t. W je podprostor U, právě když W je podalgebra U(+, ·t).

Pozorování:

A(α_{i}|i ∈ I) buď algebra, pak A je podalgebrou. Pokud žádná α_{i} není nulární, ∅ je podalgebrou A. Je-li A(α_{i}|i ∈ I) algebra (kde α_{i} je n_{i}-ární operace) a B její podalgebra,

β_{i} = α_{i} ↾_{B^{n_{i}}}: B^{n} → B

má “přirozeně danou” strukturu algebry na B (s restringovanými (↾) operacemi).

Příklady:

(i) ℚ(+, ·), ℤ ⊆ ℚ, ℤ je podalgebra.

ℚ(+, ·) ⇝^{restr.}ℤ(+, ·)

(ii) Mějme M_{2}(ℝ) = \{( \begin{matrix}r_{1} & r_{2} \\ r_{3} & r_{4} \end{matrix} ) |r_{i} ∈ ℝ\} a algebru M_{2}(ℝ)(·).

D_{2}(ℝ) = \{( \begin{matrix}r_{1} & 0 \\ 0 & r_{3} \end{matrix} ) |r_{1}, r_{3} ∈ ℝ\}

je podalgebra M_{2}(ℝ)(·). Pak můžeme zavést např. D_{2}(ℝ)(·) s operací

·: ( \begin{matrix}r_{1} & 0 \\ 0 & r_{3} \end{matrix} ) ( \begin{matrix}s_{1} & 0 \\ 0 & s_{3} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}r_{1}s_{1} & 0 \\ 0 & r_{3}s_{3} \end{matrix} )

Poznámka:

(i) Nechť A je množina s operací α a nechť A_{j}, j ∈ J, je systém podmnožin A uzavřených na α. Pak ⋂ A_{j} je opět uzavřená na α.

(ii) Nechť A(α_{i}|i ∈ I) je algebra a A_{j}, j ∈ J jsou její podalgebry. Pak ⋂_{j∈J} A_{j} je podalgebra.

DŮKAZ:

(i) α buď n-ární operace.

⋂_{j′∈J} A_{j′} ⊆ A_{j} ∀j ∈ J

T-O-D-O: tady je něco nějaké divné…?!

⟹ α(a_{1}, …, a_{n}) ∈ A_{j} ⟹^{def. průniku} α(a_{1}, …, a_{n}) ⊆ ⋂_{j∈J} A_{j}

Jan Žemlička — Algebra I Algebry, homomorfismy a kongruence — Základní definice

(ii) A_{j} jsou uzavřené na α_{i} pro ∀i ∈ I, ∀j ∈ J.

⟹^{(1)} ⋂_{j∈J} A_{j} je uzavřený na α_{i} pro ∀i ∈ I

⟹ ⋂_{j∈J} A_{j} je uzavřená na všechny operace na A(α_{i}|i ∈ I)

⟹^{def.} ⋂_{j∈J} A_{j} je podalgebra A(α_{i}|i ∈ I)

Q.E.D.

Definice:

Buď A a B množiny s n-ární operací α a f: A → B. Řekneme, že f je slučitelná s α, pokud

∀α, a_{n} ∈ A : α(f(a_{1}), f(a_{2}), …, f(a_{n})) = f(α(a_{1}, …, a_{n})

Řekneme, že algebra A(α_{i}|i ∈ I) a B(α_{i}|i ∈ I) jsou stejného typu, pokud α_{i} na A a α_{i} operace na B jsou obě stejné arity (obě n_{i}-ární) ∀i ∈ I.

Buď A(α_{i}|i ∈ I) a B(α_{i}|i ∈ I) dvě algebry stejného typu. Pak zobrazení f: A → B je homomorfismus, pokud je f slučitelná s α_{i} pro ∀i ∈ I.

Poznámka:

(i) Buď A, B, C množiny s n-ární operací α, f: A → B, g: B → C zobrazení slučitelná s a. Pak gf(A → C) je slučitelné s α. Pokud je f bijekce, tak f^{−1} je zase slučitelné s α.

(ii) Nechť A(α_{i}|i ∈ I), B(α_{i}|i ∈ I), C(α_{i}|i ∈ I) jsou algebry stejného typu a f: A → B, g: B → C jsou homomorfismy. Pak gf je opět homomorfismus. Je-li f bijekce, pak f^{−1} je také homomorfismus.

DŮKAZ:

(i) a_{1}, …, a_{n} ∈ A

g(f(\underbrace{α}_{A}(a_{1}, …, a_{n}))) = g(\underbrace{α}_{B}(f(a_{n}), …, f(a_{n}))) =^{def.} \underbrace{α}_{C}(g(f(a_{1})), g(f(a_{2})), …, g(f(a_{n})))

Je-li f bijekce, f^{−1} je zobrazení B → A.

b_{1}, …, b_{n} ∈ B

f_{−1}(\underbrace{α}_{B}(b_{1}, …, b_{n}))=^{?} \underbrace{α}_{A}(f^{−1}(b_{1}), …, f^{−1}(b_{n}))

f(\underbrace{α}_{A}(f^{−1}(b_{1}), …, f^{−1}(b_{n})))=^{def} \underbrace{α}_{B}(\underbrace{f(f^{−1}(b_{1}))}_{b_{1}}, …))

α(f^{−1}(b_{1}), …, f^{−1}(b_{n})) = f^{−1}(f(α(f^{−1}(b_{1})), …)) =

= f^{−1}(α(b_{1}, …, b_{n}))

(ii) Dle (1) je ???? slučitelná s α_{i} pro ∀i ∈ I, tedy z definice gf je homomorfismus. f^{−1} je slučitelna se všemi α_{i}, tedy opět z definice je i f^{−1} homomorfismus.

Q.E.D.

Definice:

Jsou-li A(α_{i}|i ∈ I), B(α_{i}|i ∈ I) algebry stejného typu a zobrazení f: A → B je bijektivní homomorfismus, mluvíme o isomorfismu.

A a B jsou isomorfní algebry, pokud mezi nimi existuje isomorfismus. Isomorfismus zachovává všechny algebraické vlastnosti, tedy veškeré formule zapsané v jedné

algebře platí i v té druhé. Tedy dvě isomorfní algebry mají “stejné algebraické vlastnosti”. Přesná formulace a důkaz na rozmyšlenou, jste-li vzdělaní v logice.

Poznámka:

(i) Nechť A a B jsou množiny s operací α a C ⊆ A, D ⊆ B jsou uzavřené na α. Je-li f: A → B slučitelná s α, pak f(C) je uzavřené na α v B a f^{−1}(D) = {a ∈ A|f(a) ∈ D} je množina uzavřená na α v A.

(ii) Nechť A(α_{i}|i ∈ I) a B(α_{i}|i ∈ I) jsou algebry stejného typu a C ⊆ A, D ⊆ B jsou podalgebry. Je-li f: A → B homomorfismus, pak f(C) ⊆ B a f^{−1}(D) ⊆ A jsou podalgebry.

DŮKAZ:

(i) Je f(C) uzavřené na α? (α buď n-ární.)

b_{1} … b_{n} ∈ f(C) ⇒ ∃ a_{1}, …, a_{n} ∈ C : f(a_{i}) = b_{i}
α(b_{1}, …, b_{n}) = α(f(a_{1}), …, f(a_{n})) =

Protože f je slučitelné s α,

= f(\underbrace{α(a_{1}, …, a_{n})}_{∈C} ∈ f(C)

tedy ať proženu skrz α cokoliv z C, vždy to skončí v f(C). Jinak řečeno je f(C) uzavřené na operaci α.

a_{1}, …, a_{n} ∈ f^{−1}(D) ⇒ f(a_{i}) ∈ D

f(α(a_{1}, …, a_{n})) def_{=} sluč. α(f(a_{1}, …, f(a_{n})) ∈ D

protože všechny argumenty α leží v D a D je uzavřená na α.

⇒ α(a_{1}, …, a_{n}) ∈ f^{−1}(D)

(ii) Pro ∀i ∈ I aplikuji (1) na α_{i}.

Q.E.D.

Příklady:

(i) Lineární zobrazení f: U → V, kde U, V jsou vektorové prostory nad tělesem T, jsou homomorfismy algeber U(+, ·t|t ∈ T) a V (+, ·t|t ∈ T).

(ii) Determinant: M_{n}(T) → T je isomorfismus algebry M_{n}(T)(·) (maticové násobení) do T (·)

(kde M_{n}(T) je čtvercová matice n × n na tělese T). (iii) Π_{n}: ℤ → ℤ_{n}, Π_{n}(k) = k modn. Pak Π_{n} je homomorfismus algebry ℤ(+, ·) do ℤ_{n}( \underbrace{+, ·}_{mod n}).

Jan Žemlička — Algebra I Algebry, homomorfismy a kongruence — Základní definice

Definice:

Řekneme, že ϱ je relace na množině A, pokud ϱ ⊆ A × A. Buď ϱ relace na A, pak

ϱ^{−} = {(b, a) ∈ A × A|(a, b) ∈ ϱ}

ϱ^{+} = {(a, b) ∈ A × A|∃ a_{1}, …, a_{n} ∈ A : a_{1} = a, a_{n} = b, (a_{i}, a_{i−1}) ∈ ϱ}
(a, b), (b, c) ∈ ϱ ⇒ (a, c) ∈ ϱ^{+}
id = {(a, a) ⊆ A × A|a ∈ A}

Řekneme, že ϱ je:

• reflexivní, pokud id ⊆ ϱ.

• symetrická, pokud ϱ^{−} ⊆ ϱ.

• tranzitivní, pokud ϱ^{+} ⊆ ϱ. ϱ je ekvivalence, jde-li o reflexivní, symetrickou a tranzitivní relaci. Lze ji zapsat jako:

(a, b) ∈ ϱ ⇔ aϱb

Definujme si ještě faktor A podle ϱ jako množinu A/ϱ = {[a]_{ϱ} : a ∈ A} [a]_{ϱ} = {b ∈ A : (a, b) ∈ ϱ}

Poznámka:

A/ϱ tvoří rozklad. DŮKAZ:

A = ⋃{[a]_{ϱ} : a ∈ A} ⇔ a ∈ [a]_{ϱ} (reflexivita)

x ∈ [a]_{ϱ} ∩ [b]_{ϱ} ⇒ \{ \begin{matrix}(a, x) ∈ ϱ \\ (x, b) ∈ ϱ \end{matrix}\} ⇒ \{ \begin{matrix}(x, a) ∈ ϱ \\ (x, b) ∈ ϱ \end{matrix}\} ⇒ \{ \begin{matrix}(a, b) ∈ ϱ \\ (b, a) ∈ ϱ \end{matrix}\} ⇒ (a, b) ∈ ϱ

[b]_{ϱ} = {y ∈ A : (b, y) ∈ ϱ}

Přitom však (a, b) ∈ ϱ, tedy zároveň tranzitivně (a, y) ∈ ϱ a platí

∀y ∈ [b]_{ϱ} : (a, y) ∈ ϱ ⇒ y ∈ [a]_{ϱ}

To znamená, že [b]_{ϱ} ⊆ [a]_{ϱ}. Ale symetricky i [a]_{ϱ} ⊆ [b]_{ϱ}. Tedy [a]_{ϱ} = [b]_{ϱ}.

Poznámka:

Mějme {B_{i} : i ∈ I} rozklad množiny A. Pak relace na A definovaná předpisem

(a, b) ∈ ϱ ⇔ ∃ i ∈ I : a, b ∈ B_{i}

je ekvivalence a A/ϱ = {B_{i} : i ∈ I}.

DŮKAZ:

(a) Reflexivita: a ∈ B_{i} pro nějaké i ∈ I, neboť (a, a) ∈ ϱ

(b) Symetrie: (a, b) ∈ ϱ ⇒ ∃ i : a, b ∈ B_{i} ⇒ (b, a) ∈ ϱ
(c) Tranzitivita: (a, b), (b, c) ∈ ϱ ⇒ ∃ i, j : a, b ∈ B_{i}, b, c ∈ B_{j}
Ale v tom případě B_{i} ∩ B_{j} ≠ ∅, tedy nutně B_{i} = B_{j} a c ∈ B_{i}.
(d) Faktor: a ∈ B_{i} ⇒ [a]_{ϱ} = B_{i}.

Definice:

Nechť f: A → B je zobrazení. Pak jádrem f nazveme relaci Ker danou předpisem:

(a_{1}, a_{2}) ∈ Kerf ⇔ f(a_{1}) = f(a_{2})

Je-li ϱ ekvivalence na množině A, pak zobrazení Π_{ϱ}: A → A/ϱ daném Π_{ϱ}(a) = [a]_{ϱ} řekneme přirozená projekce podle ϱ.

Poznámka:

Buď f: A → B zobrazení a ϱ ekvivalence na A. Pak platí:

(i) Ker_{ϱ} je ekvivalence (ii) f je prosté ⇔ Ker = id (iii) KerΠ_{ϱ} = ϱ (iv) Zobrazení ϱ: A/ϱ → B s vlastností (g · Π_{ϱ}) = f existuje ⇔ ϱ ⊆ Ker_{f}

DŮKAZ:

(i) Ověříme všechny tři vlastnosti: (1) f(a) = f(a) ⇒ (a, a) ∈ Kerf

(2) f(a_{1}) = f(a_{2}) ⇒ (a_{1}, a_{2}) ∈ Kerf ⇒ (a_{2}, a_{1}) ∈ Kerf

(3) (a_{1}, a_{2}), (a_{2}, a_{3}) ∈ Kerf ⇒ f(a_{1}) = f(a_{2}) = f(a_{3}) ⇒ (a_{1}, a_{3}) ∈ Kerf (ii) a_{1} ≠ a_{2} ⇒ (f(a_{1}) ≠ f(a_{2}) ⇔ (a_{1}, a_{2}) ∉ Kerf) (iii) (a_{1}, a_{2}) ∈ KerΠ_{ϱ} ⇔ Π_{ϱ}(a_{1}) = Π_{ϱ}(a_{2}) ⇔ (a_{1}, a_{2}) ∈ ϱ (iv) Ověříme obě implikace:

“⇒” Předpokládejme existenci g:

gΠ_{ϱ} = f
∀a ∈ A : g([a]_{ϱ}) = g ∘ Π_{ϱ}(a) = f(a)

Nyní stačí vzít a, b ∈ ϱ : [a]_{ϱ} = [b]_{ϱ}:

f(a) = g([a]_{ϱ}) = g([b]_{ϱ}) = f(b) ⇒ (a, b) ∈ Kerf

“⇐”

Předpokládejme ϱ ∈ Kerf:

g([a]_{ϱ}) = f(a)

Máme ale problém s korektností definice g. Musíme ji ověřit:

[a]_{ϱ} = [b]_{ϱ} ⇒ (a, b) ∈ ϱ ⊆ Kerf
g([a]_{ϱ}) = f(a) = f(b) = g([b]_{ϱ})

Tedy je g skutečně definována korektně. gΠ_{ϱ} = f je zřejmé.

Q.E.D.

Definice:

Nechť α je n-ární operace na A a ϱ je ekvivalence na A. Řekneme, že ϱ je slučitelné s α, pokud pro i = 1 … n platí:

(a_{i}, b_{i}) ∈ ϱ ⇒ α(a_{1}, …, a_{n})ϱα(b_{1}, …, b_{n})

Je-li A(α_{i} : i ∈ I) algebra a ϱ je ekvivalence na A, pak ϱ je kongruence na A, pokud ϱ je slučitelné s α_{i} pro ∀i ∈ I.

Poznámka:

(i) Nechť A, B jsou množiny, α je operace na A, B a f je zobrazení A → B slučitelné s α. Pak Kerf je slučitelné s α.

(ii) Buď A, B algebry stejného typu a f homomorfismus A → B. Potom Kerf je kongruence.

DŮKAZ:

(i) (a_{i}, b_{i}) ∈ Kerf ⇒ f(a_{i}) = f(b_{i}) ∀i = 1, …, n

f(α(a_{1}, …, a_{n})) = α(f(a_{1}), …, f(a_{n})) = α(f(b_{1}), …, f(b_{n})) = f(α(b_{1}, …, b_{n}))

⇒ (α(a_{1}, …, a_{n}), α(b_{1}, …, b_{n})) ∈ Kerf

Kerf je ekvivalence (dle V1.6-(i)).

(ii) plyne z (i).

Q.E.D.

VĚTA 1.8 ():

(i) Nechť ϱ je ekvivalence na A, α je operace na A. Pak ϱ je slučitelná s α, právě když Π_{ϱ} je slučitelná s α.

(ii) Nechť ϱ je ekvivalence na algebře A. Pak ϱ je kongruence, právě když Π_{ϱ} je homeomorfismus.

DŮKAZ:

A buď množina s ekvivalencí ϱ a relací α. Definujme operaci α na A/ϱ:

α([a_{1}]_{ϱ}, …, [a_{n}]_{ϱ}) = [α(a_{1}, …, a_{n})]_{ϱ}

Na algebře A/ϱ definuji stejným způsobem algebru stejného typu jako A za předpokladu, že A je algebra. Definice je korektní, právě když

[a_{1}]_{ϱ}= [b_{1}]_{ϱ} ; ⋮ ; [a_{n}]_{ϱ}= [b_{n}]_{ϱ} ⇒ (a_{1}, b_{1}) ∈ ϱ ; ⋮ ; (a_{n}, b_{n}) ∈ ϱ

Všimněme si, že

[α(a_{1}, …, a_{n})]_{ϱ} = [α(b_{1}, …, b_{n})]_{ϱ}

platí, právě když ϱ je slučitelné s α. Pro algebry je definice korektní, právě když ϱ je kongruence.

(i) Dokážeme obě implikace:

“⇒” ϱ je slučitelná s α ⇒ α je dobře definovaná na A/ϱ. Je Π_{ϱ}: A → A/ϱ slučitelné s α?

Π_{ϱ}(α(a_{1}, …, a_{n})) = [α(a_{1}, …, a_{n})] = α([a_{1}]_{ϱ}, …, [a_{n}]_{ϱ} = α(Π_{ϱ}(a_{1}), …, Π_{ϱ}(a_{n}))

Tedy Π_{ϱ} je s α slučitelné s α.

“⇐”

Π_{ϱ} je slučitelné s α, KerΠ_{ϱ} = ϱ (V1.6-(iii)). Tedy α je korektně definována (V1.7- (i)).

Q.E.D.

Jan Žemlička — Algebra I Algebry, homomorfismy a kongruence — Grupoidy, monoidy, grupy

Grupoidy, monoidy, grupy

Definice:

Grupoidem nazveme algebru G(·) s binární operací “·”. Prvek e ∈ G nazveme neutrálním prvekm grupoidu G(·), pokud

e · g = g · e = g ∀g ∈ G

Řekneme, že algebra M(·, e) je monoid, pokud “·” je asociativní binární operace a e je neutrální prvek M(·).

Příklady:

(i) 𝕏 buď množina “písmen”, množina slov pak bude

M(𝕏) = {x_{1}, …, x_{n} : x_{i} ∈ 𝕏}

x_{1} … x_{n} · y_{1} … y_{n} = x_{1} … x_{n}y_{1} … y_{n}

Pak e buď prázdné slovo, a M(𝕏, e) monoid (tzv. slovní monoid). (ii) X ≠ ∅, T (X) = {f: X → X : f je zobrazení }. Pak T (X)(∘, id_{X}) je tzv. transformační

monoid. (iii) T buď těleso, M_{n}(T) čtvercové matice nad T. Monoid je M_{n}(T)(·, I_{n}).

Mějme det: M_{n}(T) → T, to je homomorfismus monoidů M_{n}(T)(·, I_{n}) a T (·, 1).

Poznámka:

Nechť G(·) je grupoid. Pak na G existuje nejvýše jeden neutrální prvek. DŮKAZ:

Nechť e, f ∈ G jsou neutrální:

e f = e · f e = f

Q.E.D.

Poznámka:

Buď M(·, e) monoid. Mějme a, b, c ∈ M takové, že e = a · b = c · a. Pak b = c. DŮKAZ:

c = c · (a · b) =^{asoc.} (c · a) · b = e · b = b

Q.E.D.

Definice:

Mějme monoid M(·, 1). Pak prvek m^{−1} nazveme inverzním prvkem k m ∈ M, pokud

m · m^{−1} = m^{−1} · m = 1

Prvek m je invertibilní, existuje-li k němu prvek inverzní.

Algebry, homomorfismy a kongruence — Grupoidy, monoidy, grupy Jan Žemlička — Algebra I

Příklady:

(i) Slovní monoid M(𝕏) obsahuje pouze jeden invertibilní prvek, a to prázdné slovo.

(ii) V transformačním monoidu T (X) jsou invertibilní právě bijekce.

Nechť X je nekonečná. Pak ∃ f ∈ T (X), pro něj najdeme g ∈ T (x): g ∘ f = id, ale f není invertibilní.

Vezměme např. f: ℕ → ℕ, n → 2n (prosté, ale ne na). K němu pak vybereme g: ℕ → ℕ, n → [n/2]. Pak gf = id, ale fg není na.

Poznámka:

(1.11) Nechť M(·, 1) je monoid a M^{∗} množina všech invertibilních prvků. Pak M^{∗} tvoří podmonoid a navíc inverzní prvek (k nějakému invertibilní) je stále invertibilní.

DŮKAZ:

M^{∗} = {n ∈ M : ∃ n ∈ M : n · m = m · n = 1}

Platí, že 1 · 1 = 1, tj. 1 je inverzní sám k sobě. Tudíž 1 ∈ M^{∗} (uzavřenost na operaci “1”).

a, b ∈ M^{∗} ⇒ ∃ c, d ∈ M \begin{aligned}a · c & = c · a & = 1 \\ b · d & = d · b & = 1 \end{aligned}

(a · b)(d · c) = a · (b · d) · c = (a · 1) · c = a · c = 1

(d · c)(a · b) = d · (c · a) · b = (d · 1) · b = d · b = 1

Tedy (a · b) ∈ M^{∗}.

∀m ∈ M ∃ n : n · m = m · n = 1

(Pro n vezmu vhodné m; (m^{−1})^{−1} = m.) Q.E.D.

Definice:

Řekneme, že G(·,^{−1}, 1) je grupa, pokud G(·, 1) je monoid a ^{−1} je unární operace inverzního prvku (tj. ()^{−1} : G → G, ∀g : g · g^{−1} = g^{−1} · g = 1).

Poznámka:

(1.12) Nechť M(·, 1) je monoid, M^{∗} množina všech invertibilních prvků a · ↾_{M^{∗}}: M^{∗} × M^{∗} → M^{∗} operace taková, že m· ↾_{M^{∗}} n = m · n pro ∀m, n ∈ M^{∗} a ()^{−1} přiřadí každému prvku z M^{∗} prvek k němu inverzní. Pak M^{∗}(· ↾_{M^{∗}},^{−1}, 1) je grupa.

Důkaz: Definice a poznámka 1.11. Q.E.D.

Příklady:

(i) T (X)(∘, id) buď monoid a S(X) všechny bijekce. Pak (T (X))^{∗} = S(X) a podle pozn. 1.12 bude platit, že S(X)(∘,^{−1}, id) je grupa. Speciálně S({1, …, n}) jsou permutace na {1, …, n}.

(ii) M_{n}(T)(·, I_{n}) je monoid, GL_{n}(T)(·,^{−1}, id) je grupa.

Jan Žemlička — Algebra I Algebry, homomorfismy a kongruence — Grupoidy, monoidy, grupy

Definice:

Nechť G(·,^{−1}, 1) je grupa. Řekneme, že H ⊆ G je podgrupa, pokud H je podalgebra algebry G(·,^{−1}, 1). Řekneme, že podgrupa H je normální, pokud

∀g ∈ G, ∀h ∈ H : g · h · g^{−1} ∈ H

Řekneme, že grupa G(·,^{−1}, 1) je komutativní, je-li operace · komutativní.

Poznámka:

Všechny podgrupy komutativní grupy jsou normální.

DŮKAZ:

Nechť G(·,^{−1}, 1) je komutativní grupa a nechť H je podgrupa G.

g ∈ G, h ∈ H; g · h · g^{−1} = (g · g^{−1}) · h = h ∈ H

Q.E.D.

Příklad:

S({1, 2, 3})(·,^{−1}, id)

H = {id, (12)} (podgrupa)

(13) ∘ (12) ∘ (13)^{−1} = (23) ≠ H

(Tedy H není normální.)

VĚTA 1.14 ():

Nechť G(·,^{−1}, 1) je grupa. Pak ϱ je kongruence na grupě G(·,^{−1}, 1), právě když [1]_{ϱ} je normální podgrupa, a také platí (g, h) ∈ ϱ ⇔ g^{−1}h ∈ [1]_{p}.

DŮKAZ:

“⇒”
[1]_{ϱ} = {h ∈ G : (1, h) ∈ σ}

[1]_{ϱ} je podgrupa. (1, 1) ∈ ϱ, z definice kongruence 1 ∈ [1]_{ϱ}.

Nechť h ∈ [1]_{ϱ}, tj. (1, h) ∈ ϱ, ale ze slučitelnosti ϱ s ^{−1} platí (1^{−1}, h^{−1}) ∈ ϱ, tedy h^{−1} ∈ [1]_{ϱ}.

h_{1}, h_{2} ∈ [1]_{ϱ}, tedy ze slučitelnosti ϱ s ·:

\begin{matrix}(1, h_{1}) & ∈ ϱ \\ (1, h_{2}) ∈ ϱ \end{matrix} \} ⇒ (1 · 1, h_{1} · h_{2}) ∈ ϱ

Tedy h_{1} · h_{2} ∈ [1]_{ϱ}.

Zbývá dokázat, že [1]_{ϱ} je normální. Vezměme g ∈ G. h ∈ [1]_{ϱ}, tedy (1, h) ∈ ϱ. ϱ je ekvivalence, tedy (g, g) ∈ ϱ a (g^{−1}, g^{−1}) ∈ ϱ. Ze slučitelnosti ϱ s · ale

(g · 1, g · h) ∈ ϱ
(g · 1 · g^{−1}, g · h · g^{−1}) ∈ ϱ
⇒ ghg^{−1} ∈ [1]_{ϱ}

? — Jan Žemlička — Algebra I

?

?

T-O-D-O: tady toho spoustu chybí, musím ještě dopsat T-O-D-O: tenhle fragment je extrémně neuhlazený :/

VĚTA 3.6 (první věta o isomorfismu):

Nechť f: A → B je homomorfismus algeber stejného typu. Pak f(A) je podalgebra B (čili algebra stejného typu) a A/ Kerf ≅ f(A).

DŮKAZ:

f: A → f(A) ⊆ B 3.5: ϱ = Kerf

∃ Kerf = ϱ → g je isomorfismus

Příklady:

(i) φ_{n}: ℤ → ℤ_{n}, φ_{n}(k) = (k) modn φ_{n} je homomorfismus ℤ(+, −, 0) a ℤ_{n}(+, −, 0) (modn).

ℤ/ Kerφ_{n} ≅ φ(ℤ) = ℤ_{n}
(k, l) = Kerφ_{n} = (k) modn = (l) modn = n/k · l

(ii) ψ_{α} : ℝ[x] → ℝ, ψ_{α}(p) = p(α), α ∈ ℝ ψ_{α} je homomorfismus algeber ℝ[x](+, −, 0, 1, ·) a ℝ(+, −, 0, 1, ·). 3.6 -¿ ℝ[x]/ Kerψ_{α} ≅ ℝ

VĚTA 3.7 ():

Nechť ϱ ⊆ σ jsou dvě kongruence na algebře A. Pak A/ϱ / σ/ϱ ≅ A/σ.

DŮKAZ:

A \underrightarrow{Π_{ϱ}} A/σ

ϱ ⊆ σ
KerΠ_{σ} = σ

∃ g : A/ϱ → A/σ
g([a]_{ϱ}) = [a]_{σ}

homomorfismus g je dle 3.6 na, tedy A/ϱ / Kerg ≅ A/σ.

Kerg = \{([a]_{ϱ}, [b]_{ϱ}) : \underbrace{[a]_{σ} = [b]_{σ}}_{⇒(a,b)=σ}\}

{def σ/ϱ \atop =} σ/ϱ

Jan Žemlička — Algebra I ? —

⇒ A/ϱ / σ/ϱ = A/ϱ / Kerg ≅ A/σ

Q.E.D.

Příklad:

φ_{n}: ℤ → ℤ_{n}, φ_{m}: ℤ → ℤ_{m}

Kerφ_{n} ⊆ Kerφ_{m} ⇔ n/m(n = my)

(a, b) ∈ Kerφ_{n} ⇔ n/(a − b)((a − b) = nx = nxy)

Svazy — Jan Žemlička — Algebra I

Svazy

Definice:

Řekneme, že relace ≤ na M je uspořádání, pokud je ≤ reflexivní, tranzitivní a platí

a ≤ b, b ≤ a ⇒ a = b

(tzv. slabá antisymetrie).

Příklady:

(i) P(x) — potence na X, pak ⊆ je uspořádání. (ii) ≤ na ℤ je uspořádání. (iii) / na ℕ (“dělí”: a/b ⇔ ∃ x ∈ ℕ : b = xa). (iv) id na M

Definice:

Nechť ≤ je uspořádání na M ≠ ∅ a A ⊆ M. Řekneme, že m ∈ A je největší (resp. nejmenší) prvek A, platí-li

∀a ∈ A : a ≤ m

Řekneme, že sup_{≤}(A) (resp. inf_{≤}(A)) ∈ M je supremum (resp. infimum) množiny A, pokud sup_{≤}(A) je nejmenší prvek množiny

{m ∈ M : a ≤ m ∀a ∈ A}

a inf_{≤}(A) je největší prvek množiny

{m ∈ M : m ≤ e ∀a ∈ A}

Řekneme, že dvojice (M, ≤) je svaz, existuje-li sup_{≤}({a, b}) i inf_{≤}({a, b}) pro ∀a, b ∈ M. O svazu (M, ≤) řekneme, že je úplný, existuje-li sup_{≤}(A) a inf_{≤}(A) pro ∀A ⊂ M.

Příklady:

(i) Mějme P(x). Vezmeme B ⊆ P(x), ⋂ B = inf_{⊆}(B). Naopak ⋃ B = sup_{⊆}(B). Tedy (P(x), ⊆) je úplný svaz.

(ii) Mějme ≤ na ℤ. Pak inf_{≤}({a, b}) = min_{≤}(a, b) a naopak sup_{≤}({a, b}) = max_{≤}(a, b). Tedy je

(ℤ, ≤) svaz (ale ne úplný, museli bychom mít ±∞). (iii) Pro / na ℕ je inf_{/}(a, b) = NSD(a, b), sup_{/}(a, b) = nsn(a, b).

Poznámka:

Nechť (M, ≤) je svaz a definujme lineární ∨, ∧ na M předpisem

a, b ∈ M : a ∧ b = inf_{≤}({a, b}) a ∨ b = sup_{≤}({a, b})

Pak pro ∀a, b, c ∈ M platí

(i) a ∧ b = b ∨ a, a ∨ b = b ∧ a (ii) a ∧ a = a = a ∨ a

Jan Žemlička — Algebra I Svazy —

(iii) \begin{aligned}a ∧ (b ∧ c) & = (a ∧ b) ∧ c \\ a ∨ (b ∨ c) & = (a ∨ b) ∨ c \end{aligned}

(iv) \begin{aligned}a ∧ (b ∨ a) & = a \\ a ∨ (b ∧ a) & = a \end{aligned}

DŮKAZ:

(i) Triviální. (ii) Triviální. (iii) Dokažme pro ∧ (pro ∨ bude symetrický). Stačí dokázat, že

a ∧ (b ∧ c) =^{?} inf({a, b, c}) (= c ∧ (a ∧ b))

Jak bude vypadat největší dolní odhad? i ≤ a, i ≤ b, i ≤ c. Tedy i ≤ a, i ≤ b ∧ c (neboť b ∧ c je definován jako největší dolní odhad). Tudíž i ≤ a ∧ (b ∧ c) = J.

Z definice pak J ≤ a, ale zároveň J ≤ (b ∧ c), tedy J ≤ b a J ≤ c. To ale znamená, že a ∧ (b ∧ c) ≤ i. Ovšem máme slabou antisymetrii, tedy a ∧ (b ∧ c) = i.

(iv) Víme, že a ∧ (b ∨ a) ≤ a. Z reflexivity a ≤ a, zároveň zřejmě a ≤ b ∨ a (tady je a nějaký dolní odhad {a, b ∨ a}). Tudíž a ≤ a ∧ (b ∨ a). A díky slabé antisymetrii proto a = a ∧ (b ∨ a).

Q.E.D.

LEMMA4.2L1:

a ∨ b = b ⇔ a ∧ b = a

DŮKAZ:

“⇒”

a ∧ b = a ∧ (a ∨ b) = a ∧ (b ∨ a) = a

“⇐”

a = a ∧ b
b ∨ a = b ∨ (a ∧ b) = b

Q.E.D.

Poznámka:

Nechť M(∧, ∨) je algebra s dvojicí lineárních operací splňujících V4.1-(i)-(iv). Definujme na M relaci ≤ předpisem

a ≤ b =^{def} a ∧ b = b

(nebo a ∧ b = a). Pak (M, ≤) je svaz a platí

a ∧ b = inf_{≤}({a, b})

a ∨ b = sup_{≤}({a, b})

DŮKAZ:

Platí a ∧ a = a, a ∨ a = a, tedy a ≤ a (reflexivita ≤).

T-O-D-O: (a little of) stuff missing

VĚTA 4.3 ():

Nechť C je uzávěrový systém. Pak (C, ≤) je úplný svaz, kde inf_{≤}(B) = ⋂ B a sup_{≤}(B) = cl_{C}(⋃ B) (pro B ⊆ C).

DŮKAZ:

Přímo z definice uzávěrového systému a sup a inf.

Q.E.D.

Poznámka:

Buď M(∧, ∨) svaz. Pak M(∨, ∧) je také svaz (je “opačným” uspořádáním ≥).

DŮKAZ:

Definice ≤ (a ≤ b =^{def} b ≥ a). (S1)–(S4) symetrické.

Q.E.D.

Definice:

Nechť (M, ≤) je svaz a a, b ∈ M. Řekneme, že b pokrývá a a (a < b), pokud a ≤ b, a ≠ b,

a ≤ c ≤ b ⇒ a = c

nebo b = c.

Nechť e ∈ M je nejmenší (a f ∈ M největší) prvek M. Řekneme, že a ∈ M je atom (resp. koatom), pokud e < a (resp. a < f). O (orientovaném) grafu řekneme, že je Hasseovým diagramem svazu M, pokud jeho vrcholy tvoří M.

Dva prvky a, b jsou spojené hranou tak, že a je pod b, pokud a < b.

Příklady:

(i)

a / “ b f / “ — c d — “ / — e — “ / g — h

M = {a, b, c, d, e, f, g, h}

c ∧ f = inf_{≤}({c, f}) = g

c ∨ f = sup_{≤}({c, f}) = a

c ∨ d = e
b ∨ e = b
b ∧ e = e

(ii)

* * —“ /— —/ “— * * “ / *

není Hasseův diagram svazu!

Poznámka 4.5:

Nechť (M, ≤) je svaz. Pokud a, b, c ∈ M, a ≤ c, potom a ∨ (b ∧ c) ≤ (a ∨ b) ∧ c.

DŮKAZ:

a ≤ a ∨ ba ≤ c } ⇒ a ≤ (a ∨ b) ∧ c

(nějaké nejlepší a T-O-D-O: nečitelné)

b ∧ c ≤ b ≤ a ∨ ba ∧ c ≤ c } ⇒ (b ∧ c) ≤ (a ∨ b) ∧ c

Teď to dáme dohromady:

⇒ a ∨ (b ∧ c) ≤ (a ∨ b) ∧ c

nejmenší Q.E.D.

Definice:

Řekneme, že svaz M(∧, ∨) je modulární, pokud a ≤ c ⇒ a ∨ (b ∧ c) = (a ∨ b) ∧ c.

T-O-D-O: a zase kus chybí

Poznámka 4.8:

Nechť C je uzávěrový systém ležící v množině všech ekvivalencí na A. Nechť N ∈ P(A) a e ∈ A tak, že:

(i) ϱ ⊂ C ⇒ [e]_{ϱ} ∈ N (ii) N ∈ N ⇒ ∃ ϱ ∈ C : N = [e]_{ϱ} (iii) [e]_{ϱ} ⊆ [e]_{μ}, bla ϱ, μ ∈ C ⇒ ϱ ⊆ μ

Pak N je uzávěrový systém (tudíž dle V4.3- svaz) a zobrazení φ: C → N dané vztahem φ(ϱ) = [e]_{ϱ} je svazový isomorfismus.

T-O-D-O: a zase velký kus chybí…;-)

Definice:

Nechť A, B jsou množiny a α: P(A) → P(B), β: P(B) → P(A). řekneme, že α, β tvoří Galoisovu korespondenci, platí-li pro ∀A_{1}, A_{2} ∈ P(A), B_{1}, B_{2} ∈ P(B):

(i) A_{1} ⊆ A_{2} ⇒ α(A_{1}) ⊇ α(A_{2}) V_{1} ⊆ B_{2} ⇒ β(B_{1}) ⊇ β(B_{2})

(ii) A_{1} ⊆ (βα)(A_{1}), B_{1} ⊆ (αβ)(B_{1})

Poznámka 4.10:

Nechť α: P(A) → P(B) a β: P(B) → P(A) je Galoisova korespondence. Pak βα (resp. αβ) je uzávěrový operátor na P(A) (resp. na P(B).

Buď A resp. B uzávěrové systémy příslušné βα resp. αβ. Dále α(A) ⊆ B, β(B) ⊆ A. Restrinkce α (resp. β) na A (resp. B) (označíme α′: A → B, β′: B → A) jsou vzájemně inverzní

bijekce (mezi A a B).

(Restrinkce == omezení) f: C → D E ⊆ C g = f ↾ E g: E → \{ \begin{matrix}D \\ f(E) \end{matrix} g(e) = f(e)

DŮKAZ:

βα je uzávěrový operátor (αβ symetricky).

(ii) ⇒ a_{1} ⊆ βα(A_{1}) A_{1} ⊆ A_{2} ⇒^{(1)?} α(A_{1}) ⊇ α(A_{2}) ⇒ βα(A_{1}) ⊆ βα(A_{2})

? (βα)(βα)(A_{1}) = βα(A_{1})

βα(A_{1}) ⇒ βα(βα(A_{1})) ⊇ βα(A_{2}) α(A_{1})(= B_{1}) ⇒^{(2)} αβ(α(A_{1})) ⊇ α(A_{1}) ⇒^{(1)} βαβα(A_{1}) ⊆

βα(A_{1})

A = {A_{1} ∈ P(A) : βα(A_{1}) = A_{1}}
B = {B_{1} ∈ P(B) : αβ(B_{1}) = B_{1}}

? α(A) ⊆ B (β(B) ⊆ A symetricky)

A_{1} ∈ A ⇒ βα(A_{1}) = A_{1}

αβ(α(A_{1})) = α(βα(A_{2})) = α(A_{1}) ⇒ α(A_{1}) ∈ B

α′β′: B → B =^{?} id_{B} β′α′: A → A =^{?} id_{A}

α′β′(B_{1}) = αβ(B_{1}) = B_{1} ⇒ α′β′ = id_{B} αβ(B_{1}) = B_{1} ∀B_{1} ∈ B

Q.E.D.

Příklad:

T-O-D-O: dopsat později Jan Žemlička — Algebra I Grupy —

Grupy

Podívejme se na grupy nyní ještě jednou a tentokrát pořádně. Mějme G(·,^{−1}, 1). Řekneme, že jde o grupu, a 1 nazveme neutrálním prvkem, pokud · označuje

binární operaci, ^{−1} unární, a platí

a · a^{−1} = a^{−1} · a = 1

.

Poznámka 5.1:

Nechť G(·,^{−1}, 1) a H(·,^{−1}, 1) jsou dvě grupy a f: G → H je slučitelné s ·. Pak f je homomorfismus G(·,^{−1}, 1) do H(·,^{−1}, 1).

DŮKAZ:

Díky slučitelnosti s · platí:

f(1) = f(1 · 1) = f(1) · f(1)
f(1) = f(1) · f(1)
(f(1) · f(1)^{−1}) = f(1) f(1)^{−1} ∈ H

Tedy f je slučitelná s 1.

1 = f(1) = f(a · a^{−1}) = f(a) · f(a^{−1})
⇒ (f(a))^{−1} = f(a^{−1}) (zprava vynásobím f(a^{−1}))

Tedy je f slučitelná i s ^{−1}. Q.E.D.

Definice:

Nechť G(·,^{−1}, 1) je grupa a H, K ⊆ G. Definujme si:

H · K = {h · k : h ∈ H, k ∈ K} h ∈ G
h · K = {h} · K K · h = K · {h}

Zavedeme relace r modH ⊆ G × G (resp. l modH ⊆ G × G) tak, že (a, b) ∈ r modH (resp. ∈ l modH) definujeme jako ab^{−1} ∈ H (resp. a^{−1}b ∈ H).

Poznámka 5.2:

Nechť G(·,^{−1}, 1) je grupa a H její podgrupa. Pak platí pro a, b ∈ G:

(a) r modH, l modH jsou ekvivalence na G

(b) (a, b) ∈ r modH ⇔ (a^{−1}, b^{−1}) ∈ l modH

(c) |G/_{r mod H}| = |G/_{l mod H}|

(d) [a]_{r mod H} = Ha, [a]_{l mod H} = aH

(e) |H| = |[a]_{r mod H}| = |[a]_{l mod H}|

DŮKAZ:

(a) (viz také V1.14-) a^{−1}a = aa^{−1} = 1 ∈ H ⇒ r modH (l modH) je reflexivní.
ab^{−1} ∈ H ⇒ (ab^{−1})^{−1} ∈ H ⇒ r modH (l modH) je symetrická.

\begin{matrix}ab^{−1} & ∈ H \\ bc^{−1} & ∈ H \end{matrix} \} ⇒ac^{−1} = (ab^{−1})(bc^{−1}) ∈ H

tedy r modH (l modH) je symetrická.

Grupy — Jan Žemlička — Algebra I (b) Vezměme (a, b) ∈ r modH. Z uzavřenosti H na ^{−1}:

ab^{−1} ∈ H ⇒ (ab^{−1})^{−1} = (b^{−1})^{−1}a^{−1} ⇒ (b^{−1}, a^{−1}) ∈ l modH ⇒^{(a)} (a^{−1}, b^{−1}) ∈ l modH

Zpětná implikace se dokáže symetricky.

(c) G/_{r mod H} →^{f}G/_{l mod H} →^{g}G/_{r mod H}:

[a]_{r mod H} → [a^{−1}]_{l mod H} [b]_{l mod H} → [b^{−1}]_{l??? mod H}

Tedy fg i gf jsou identity. Z (b) tedy plyne korektnost definice f i g, a to takto:

[a_{1}]_{r mod H} = [a_{2}]_{r mod H} ⇒ (a_{1}, a_{2}) ∈ r modH

ale (b) nám říká, že i (a_{1}^{−1}, a_{2}^{−1}) ∈ l modH, tedy f(a_{1}) = f(a_{2}).

(d) Podívejme se, čemu se vlastně rovná [a]_{r mod H}:

[a]_{r mod H} = \{x ∈ G : \underbrace{(a, x) ∈ r modH}_{⇔ax^{−1} ∈H}\} = \{x ∈ G : ∃ h ∈ H, \underbrace{ax^{−1} = h}_{⇔a=hx_{⇔h^{−1} a=x}}\} =

= {x ∈ G : ∃ h′ ∈ H, h′a = x} = Ha

(e) H→^{b}Ha, h → ha. Tvrdím, že b je na:

h_{1}a = b(h_{1}) = b(h_{2}) = h_{2}a

Pronásobením a^{−1} dostanu h_{1} = h_{2}. Q.E.D.

Definice:

|G| říkáme řád grupy. Indexem podgrupy H v G nazveme

[G : H] = |G/_{r mod H}| = |G/_{l mod H}|

VĚTA 5.3 (Lagrange):

Nechť G(·,^{−1}, 1) je grupa a H je její podgrupa. Pak platí

|G| = |H| · |G/_{r mod H}| = |H| · |G/_{l mod H}| = |H| · [G : H]

DŮKAZ:

Položme G′ = G/_{r mod H}:

G = |⋃{[g]_{r mod H} : [g]_{r mod H} ∈ G′}⊧ ∑_{x∈G′} |x| =^{V5.2-(e)} ∑_{x∈G′} |H| = |H| · |G/′|

Q.E.D.

Příklad:

Nechť S_{4} je podgrupa permutací na čtyřech prvcích:

|S_{4}| = 4! = 24

tedy neexistují žádné podgrupy S_{4} o patnácti nebo sedmi prvcích.

Jan Žemlička — Algebra I Grupy —

Definice:

G(·,^{−1}, 1) buď grupa, g ∈ G, n ∈ ℤ. Definujme umocňování:

(i) g^{0} = 1 (ii) g^{n} = g · g^{n−1} ∀n > 0 (iii) g^{n} = (g^{−1})^{−n} ∀n < 0

Poznámka 5.4:

Definujme zobrazení f: ℤ → G tak, že vezmeme nějaké g ∈ G a položíme f(n) = g^{n}. Pak f je homomorfismus grup ℤ(+, −, 0) a G(·,^{−1}, 1).

DŮKAZ:

Stačí dokázat slučitelnost + ↔ ·.

n = 0, m = 0 : f(n + m) = f(n) · f(m)

n, m > 0 : f(n + m) = \underbrace{g ⋯ g}_{n+m}

f(n) · f(m) = \underbrace{(g ⋯ g)}_{n} · \underbrace{(g ⋯ g)}_{m}

n + m ≥ 0, n > 0 > m : f(n + m) = \underbrace{g ⋯ g}_{n+m} = f(n) · f(m)

f(n) · f(m) = \underbrace{g ⋯ (g}_{n} · \underbrace{g^{−1}) ⋯ g^{−1}}_{−m} = \underbrace{g ⋯ g}_{n−(−m)} = f(n + m)

Q.E.D.

T-O-D-O: jedna a kousek přednášky

Okruhy a ideály — Jan Žemlička — Algebra I

Okruhy a ideály

Definice:

O algebře R(+, ·, −, 0, 1) řekneme, že je okruhem, pokud R(+, −, 0) je komutativní grupa, R(·, 1) je monoid, a platí

∀a, b, c ∈ R : a(b + c) = a · b + a · c (a + b) · c = a · c + b · c

Komutativní okruh má rovněž operaci · komutativní.

Příklady:

(i) ℤ(+, ·, −, 0, 1), ℤ_{n}(+, ·, −, 0, 1) — komutativní okruhy (ii) T buď těleso, pak T (+, ·, −, 0, 1) je okruh (iii) V buď vektorový prostor nad tělesem T, End(V) = {f: V → V : f T -lineární }:

0(v) = 0
[f + g](v) = f(v) + g(v)
[−f](v) = −f(v)

V takovém případě End(V)(+, ·, 0, id_{V}) je okruh.

Značení

R(+, ·, −, 0, 1) bude vždy okruh, a, b ∈ ℝ, a − b = a + (−b).

Poznámka 6.1:

(i) 0 · a = a · 0 = 0 (ii) (−a) · b = a · (−b) = −(a · b) (iii) (−1) · b = b · (−1) = −b (iv) (−a) · (−b) = a · b

(v) 0 ≠ 1 ⇔ |R| > 1

DŮKAZ:

(i) 0 · a = (0 + 0) · a = 0a + 0a ⇒ 0 = 0a, symetricky a · 0 = 0. (ii) (−a) · b + a · b = (−a + a) · b = 0 · b = 0 (iii) (ii) pro a = 1 (iv) (−a) · (−b) = −(a · (−b)) = −(−a(a · b)) = a · b

(v) 0 = 1 ⇒ ∀r ∈ R : r = r · 1 = r · 0 = 0, tedy R = {0}

Q.E.D.

Jan Žemlička — Algebra I Okruhy a ideály —

Definice:

Množina I ⊆ R je pravý (resp. levý) ideál okruhu R, pokud I je podgrupa grupy R(+, −, 0) a platí

∀i ∈ I, ∀r ∈ R : i · r ∈ I

(resp. r · i ∈ I). I je ideál, jde-li o pravý i levý ideál.

Příklady:

(i) {0} a R jsou ideály každého okruhu R.

(ii) Ideály ℤ(+, ·, −, 0, 1) a ℤ_{n}(+, ·, −, 0, 1) jsou právě tvaru

k · ℤ = {k · x : x ∈ ℤ}
k · ℤ_{n} = {k · x : x ∈ ℤ_{n}}
k · x ∈ k · ℤ
(k · x) · r = k · (x · r) ∈ k · ℤ ∀r ∈ ℤ

(iii) R buď okruh, a ∈ R. Pak

aR = {a · r : r ∈ R}

nazveme hlavním pravým ideálem,

Ra = {r · a : r ∈ R}

nazveme hlavním levým ideálem daného prvku a.

VĚTA 6.2 ():

Nechť ϱ je relace na okruhu R. Pak ϱ je kongruence, právě když [0]_{ϱ} je ideál. Navíc (a, b) ∈ ϱ, právě když b − a ∈ [0]_{p}.

Množina všech ideálů tvoří uzávěrový systém a svazy všech kongruencí na R a všech ideálů jsou isomorfní.

DŮKAZ:

C nechť jsou všechny kongruence na R a N množina všech ideálů. Mějme φ(ϱ) = [0]_{ϱ}.

Ověřujeme předpoklady V4.8-:

(i) ϱ je kongruence, je [0]_{ϱ} ideál? ϱ je kongruence na R(+, −, 0), což je komutativní grupa (tedy dle V1.13- je každá pod-

grupa normální). Podle V1.14- je [0]_{ϱ} podgrupa R(+, −, 0). Neboť jde o kongruenci,

i ∈ [0]_{ϱ} : (i, 0) ∈ ϱ r ∈ R : (r, r) ∈ ϱ

⇒ \begin{aligned}(i · 0, 0 · r) & = (i · 0, 0) ∈ ϱ \\ (r · i, r · 0) & = (r · i, 0) ∈ ϱ \end{aligned}

⇒ r · i, i · r ∈ [0]_{ϱ}
⇒ [0]_{p} ∈ N

(ii) I je ideál, tzn. (a, b) ∈ ϱ ⇔ b − a ∈ I. I je normální podgrupa R(+, −0), tedy dle V1.14je ϱ kongruencí na R(+, −, 0), [0]_{ϱ} = I. Zbývá dokázat slučitelnost ϱ s · a 1. (1, 1) ∈ ϱ, bez problémů.

(r_{1}, s_{1}) ∈ ϱ (r_{2}, s_{2}) ∈ ϱ

⇒ \begin{aligned}s_{1} − r_{1} & ∈ I \\ s_{2} − r_{2} & ∈ I \end{aligned} ⇒ \begin{aligned}(s_{1} − r_{1}) · s_{2} & ∈ I \\ r_{1} · (s_{2} − r_{2}) & ∈ I \end{aligned}

s_{1} · r_{2} − r_{1} · s_{2} = (s_{1} − r_{1}) · s_{2} + r_{1} · (s_{2} − r_{1}) ∈ I
⇒ (r_{1}, r_{2}), (s_{1}, s_{2}) ∈ ϱ

(iii) Přímo z V1.14- plyne, že φ je prosté.

Tedy dle tvrzení V4.8- je φ isomorfismus svazů a N je uzávěrový systém (tj. svaz). Q.E.D.

Značení

I je ideál, odpovídá mu jednoznačně (díky V6.2-) kongruence ϱ_{I}.

R/ϱ_{I} = R/I

Definice:

Řekneme, že prvek a ∈ R je invertibilní v okruhu R(+, ·, −, 0, 1), je-li invertibilní v R(·, 1).

Poznámka 6.3:

a ∈ R je invertibilní, právě když aR = Ra = R.

DŮKAZ:

“⇒”

∃ a^{−1} : a · a^{−1} = a^{−1} · a = 1

1 = a · a^{−1} ∈ aR
1 = a^{−1} · a ∈ Ra

⇒ ∀r ∈ R : r = \{ \begin{matrix}r · 1 ∈ Ra \\ 1 · r ∈ aR \end{matrix}

⇒ R = Ra = aR

“⇐”

1 ∈ R = aR = Ra

∃ x ∈ R y ∈ R : 1 = a · x = y · a ⟹^{V1.10-} x = y

a tedy a je invertibilní.

Q.E.D.