— —

Definice

Nechť {a_{n}} je posloupnost reálných čísel. Mějme m ∈ ℕ, pak s_{m} = a_{1} + a_{2} + ⋯ + a_{m} nazveme m-tým částečným součtem řady ∑ a_{n}. Součtem nekonečné řady ∑_{i=1}^{∞} a_{n} nazýváme limitu posloupnosti {s_{m}}_{m=1}^{∞} , pokud tato limita existuje. Limitu značíme ∑_{n=i}^{∞} a_{n}.

∑_{n=1}^{∞}a_{n} = \{ \begin{matrix}A ∈ ℝ & řada konverguje \\ ±∞ & řada diverguje \\ neexistuje & diverguje či osciluje \end{matrix}

Příklady:

(i) ∑_{n=1}^{∞}(−1)^{n} neexistuje

(ii) ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n(n + 1)} = ∑ (\frac{1}{n} − \frac{1}{n + 1} ) = 1 − \frac{1}{2} + \frac{1}{2} − \frac{1}{3} + \frac{1}{3} − \frac{1}{4} + ⋯

s_{2n+2} = 1 − \frac{1}{m} ⇒ lims_{m} = 1 ⇒ ∑ a_{n} = 1

(iii) ∑ \frac{1}{n^{2}} = \frac{π^{2}}{6}
(iv) ∑ \frac{1}{\sqrt{n^{4} + 3}} konverguje, součet nelze vyjádřit
(v) ∑ q^{n−1} = 1 + q + q^{2} + q^{3} + ⋯

s_{m} = 1 + q + ⋯ + q^{n−1} = \{ \begin{matrix}\frac{q^{n}−1}{q−1} & q ≠ 1 \\ m & q = 1 \end{matrix}

lims_{m} = \{ \begin{matrix}∞ & q ≥ 1 \\ \frac{1}{1−q} & |q| < 1 \\ neexistuje & q ≤ −1 \end{matrix}

⇒ ∑ q^{n−1} konverguje ⇔ |q| < 1

limq^{n−1} = lima_{n} = \{ \begin{matrix}+∞ & q > 1 \\ 1 & q = 1 \\ 0 & |q| < 1 \\ neexistuje & q ≤ −1 \end{matrix}

/L:1.616 1