\input /home/pasky/school/fastex/lib.tex

\scpart{Definice}{
	Nech» $\{a_{n}\}$ je posloupnost reálných čísel. Mějme $m \in \nat$, pak $s_{m} = a_{1}
	+ a_{2} + \cdots + a_{m}$ nazveme {\it $m$-tým částečným součtem} řady $\sum a_{n}$.
	{\bf Součtem} nekonečné řady $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ nazýváme limitu
	posloupnosti $\{s_{m}\}_{m=1}^\infty$, pokud tato limita existuje.

	$$\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} = \cases{A \in \real         &řada {\bf konverguje}\cr
	                                     \pm\infty           &řada {\bf diverguje}\cr
					     \textbox{neexistuje}&diverguje či osciluje
					     }$$
}


\examples{
\list{
	\listItem{$\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \textbox{neexistuje}}$}

	\listItem{$\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} {1 \over n(n+1)} = \sum\left({1\over{}n} - {1\over{}n+1}\right) = 1 - {1\over{}2} + {1\over{}2} - {1\over{}3} + {1\over{}3} - {1\over{}4} + \cdots}$

		$$ s_{2n+2} = 1 - {1\over{}m}  \Rightarrow  \lim s_{m} = 1 \Rightarrow{} \sum a_{n} = 1 $$
		}

	\listItem{$\displaystyle{\sum {1\over{}n^2} = {\pi^2\over{}6}}$}

	\listItem{$\displaystyle{\sum {1\over{}\sqrt{n^4 + 3}} \textbox{konverguje, součet nelze vyjádřit} }$}

	\listItem{$\displaystyle{\sum q^{n-1} = 1 + q + q^2 + q^3 + \cdots}$
		$$ s_{m} = 1 + q + \cdots + q^{n-1} = \cases{q^n-1\over{}q-1&$q \not= 1$\cr
		                                             m              &$q = 1$
							     } $$
		$$ \lim s_{m} = \cases{\infty              &$q \ge 1$\cr
		                       1\over{}1-q         &$|q|<1$\cr
		                       \textbox{neexistuje}&$q \le -1$
				       } $$
		$$ \Rightarrow{} \sum q^{n-1} \textbox{konverguje} \Leftrightarrow{} |q| < 1 $$
		$$ \lim q^{n-1} = \lim a_{n} = \cases{+\infty             &$q > 1$\cr
		                                      1                   &$q = 1$\cr
		                                      0                   &$|q| < 1$\cr
						      \textbox{neexistuje}&$q \le -1$
						      } $$
		}


}
}

\bend