— — Řady s nezápornými členy

Řady s nezápornými členy

Studujeme ∑ a_{n}, kde a_{n} ≥ 0 pro ∀n ∈ ℕ.

Pozorování

Pro řady s nezápornými členy mohou nastat pouze dvě možnosti. ∑ a_{n} ∈ ℝ nebo ∑ a_{n} = +∞. To plyne z toho, že posloupnost {s_{m}}_{n=1}^{∞} je neklesající, a tedy dle V2.9- ∃ lims_{m} = ∑ a_{n}.

VĚTA 2 (linearita konvergentních řad): Nechť ∑ a_{n} a ∑ b_{n} konvergují. Pak:

(i) ∑(a_{n} + b_{n}) konverguje. (ii) ∑ c_{n} konverguje ⟺ ∑ αc_{n} konverguje pro ∀α ∈ ℝ \ ∅. Důkaz: ⟨cvičení⟩

VĚTA 3 (srovnávací kritérium):

Nechť ∑ a_{n} a ∑ b_{n} jsou řady s nezápornými členy. Nechť dále existuje n_{0} ∈ ℕ takové, že pro ∀n ≥ n_{0} platí a_{n} ≤ b_{n}. Pak:

(i) ∑ b_{n} konverguje ⇒ ∑ a_{n} konverguje. (ii) ∑ a_{n} diverguje ⇒ ∑ b_{n} diverguje. Obě tvrzení říkají vpodstatě totéž. (a_{n} je “hodnější” řada, b_{n} “zlobivější”.) DŮKAZ:

(i) s_{n} = a_{1} + ⋯ + a_{n}, σ_{m} = b_{1} + ⋯ + b_{m}

Dále definujme σ := limσ_{m} ∈ ℝ.

Navíc víme, že {s_{n}} je posloupnost neklesající.

s_{n} = a_{1} + ⋯ + a_{n_{0}} + a_{n_{0} +1} + ⋯ + a_{n}

≤ a_{1} + ⋯ + a_{n_{0}} + σ_{n} (∀n ≥ n_{0})

≤ a_{1} + ⋯ + a_{n_{0}} + σ (∈ ℝ)

Tedy je {s_{n}} neklesající shora omezená posloupnost, tudíž ∑ a_{n} je dle V2.9- konvergentní. (ii) ⟺ (i) Q.E.D.

— — Řady s nezápornými členy

VĚTA 4 (limitní srovnávací kritérium):

Nechť ∑_{n=1}^{∞} a_{n}, ∑_{n=1}^{∞} b_{n} jsou řady s nezápornými členy. Nechť dále existuje lim_{n→∞} a_{n}/b_{n} = A ∈ ℝ^{∗}. Pak:

(i) A ∈ (0, ∞) ⟹ ∑_{n=1}^{∞}a_{n} konverguje ⇔ ∑_{n=1}^{∞}b_{n} konverguje

(ii) A = 0 ⟹ ∑_{n=1}^{∞}a_{n} konverguje ⇐ ∑_{n=1}^{∞}b_{n} konverguje

(iii) A = ∞ ⟹ ∑_{n=1}^{∞}a_{n} konverguje ⇒ ∑_{n=1}^{∞}b_{n} konverguje

DŮKAZ:

(i) Víme, že ∃ n_{0} ∈ ℕ takové, že pro ∀n ≥ n_{0} platí:

\frac{1}{2}A ≤ \frac{a_{n}}{b_{n}} ≤ 2A (jen šikovné epsilon)

\frac{A}{2}b_{n} ≤ a_{n} ≤ 2Ab_{n}

“⇒”:  ∑_{n=1}^{∞}a_{n} konverguje ⇒^{V.3-} ∑_{n=1}^{∞} \frac{A}{2}b_{n} konverguje ⇒^{V.2-} ∑_{n=1}^{∞}b_{n} konverguje

“⇐”:  ∑_{n=1}^{∞}b_{n} konverguje ⇒^{V.2-} ∑_{n=1}^{∞}2Ab_{n} konverguje ⇒^{V.3-} ∑_{n=1}^{∞}a_{n} konverguje

(ii) Zvol ε = 1, pak ∃ n_{0} takové, že a_{n}/b_{n} < 1 pro ∀n ≥ n_{0}, tedy a_{n} < b_{n}, V.3-.

(iii) Zvol ε = 1, pak ∃ n_{0} takové, že a_{n}/b_{n} > 1 pro ∀n ≥ n_{0}, tedy a_{n} > b_{n}, V.3-.

Q.E.D.

Příklady:

(i) ∑_{n=1}^{∞} \frac{n^{3} + 1}{\sqrt{3 + n + 2n^{8}}} ≈^{?} \frac{n^{3}}{n^{4}} = \frac{1}{n}

a_{n} = \frac{n^{3} + 1}{\sqrt{3 + n + 2n^{8}}} , zvol b_{n} = \frac{1}{n}

lim_{n→∞} \frac{a_{n}}{b_{n}} = lim_{n→∞} \frac{n^{4} + n}{\sqrt{3 + n + 2n^{8}}} = \frac{\sqrt{2}}{2} ∈ (0, ∞)

Tedy dle (i) ∑ a_{n} konverguje ⇔ ∑ b_{n} konverguje. My ale víme, že ∑ b_{n} = ∑ \frac{1}{n} = +∞ diverguje.

∑_{n=1}^{∞}a_{n} = +∞  (diverguje)

(ii) ∑_{n=1}^{∞} \frac{n^{15}}{3^{n}} a_{n} = \frac{n^{15}}{3^{n}} , zvol b_{n} = 1/2^{n}

Potom

lim_{n→∞} \frac{a_{n}}{b_{n}} = lim_{n→∞} \frac{n^{15}}{(\frac{3}{2})n} = 0

indukcí, Bernoulli, … (⟨cvičení⟩) Navíc víme, že:

∑ b_{n} konverguje (geometrická řada) ⇒^{(ii)} ∑ a_{n} konverguje

VĚTA 5 (Cauchyovo odmocninové kritérium):

Nechť ∑ a_{n} je řada s nezápornými členy:

(i) Nechť ∃ q ∈ (0, 1), ∃ n_{0} ∈ ℕ, ∀n ≥ n_{0} : ^{n} \sqrt{a_{n}} ≤ q. Pak ∑ a_{n} konverguje. (ii) Nechť lim sup_{n→∞} \sqrt[n]{a_{n}} < 1. Pak ∑ a_{n} konverguje. (iii) Nechť lim_{n→∞} \sqrt[n]{a_{n}} < 1. Pak ∑ a_{n} konverguje. (iv) Nechť lim sup_{n→∞} \sqrt[n]{a_{n}} > 1. Pak ∑ a_{n} diverguje.

(v) Nechť lim_{n→∞} \sqrt[n]{a_{n}} > 1. Pak ∑ a_{n} diverguje.

DŮKAZ:

(i) Položme b_{n} = q^{n}, pak a_{n} ≤ b_{n} pro n ≥ n_{0}. Dále ∑ b_{n} konverguje (geometrická řada, q < 1) ⇒^{V.3-} také ∑_{n=1}^{∞} a_{n} konverguje.

(ii) Označ lim sup_{n→∞} ^{n} \sqrt{a_{n}} = A < 1. Zvol ε > 0, A + ε < 1.

∃ n_{0}, ∀n ≥ n_{0} : sup\{ ^{n} \sqrt{a_{k}}, k ≥ n\} ≤ A + ε

Tedy ^{n} \sqrt{a_{n}} ≤ A + ε, n ≥ n_{0}. Označ q =^{def} A + ε < 1, tvrzení plyne z V.-1.

(iii) Plyne z V.-2: ∃ lim ⇒ lim = lim sup. (iv)

lim sup_{n→∞} ^{n} \sqrt{a_{n}} > 1

⇒ ∃ vybraná posloupnost \{a_{n_{k}}\}_{k=1}^{∞} , ^{n_{k}} \sqrt{a_{n_{k}}} > 1

⇒ a_{n_{k}} > 1 ∀k ∈ ℕ

⇒ neplatí nutná podmínka lim_{n→∞} a_{n} = 0 ⇒ ∑{a_{n}}

Jiný pohled na poslední krok

∑_{n=1}^{∞}a_{n} ≥ ∑_{n=1}^{∞}a_{n_{k}} (neboť a_{n} ≥ 0) ≥ ∑_{n=1}^{∞}1 = +∞

(v) Ihned plyne z V.-4. Q.E.D.

— — Řady s nezápornými členy

VĚTA 6 (d’Alembertovo podílové kritérium): Nechť ∑ a_{n} je řada s kladnými členy:

(i) ∃ q ∈ (0, 1), ∃ n_{0} ∈ ℕ, ∀n ≥ n_{0}: \frac{a_{n+1}}{a_{n}} ≤ q ⇒ ∑ a_{n} konverguje . (ii) Nechť lim sup_{n→∞} \frac{a_{n+1}}{a_{n}} < 1. Pak ∑ a_{n} konverguje. (iii) Nechť lim_{n→∞} \frac{a_{n+1}}{a_{n}} < 1. Pak ∑ a_{n} konverguje. (iv) Nechť lim_{n→∞} \frac{a_{n+1}}{a_{n}} > 1. Pak ∑ a_{n} diverguje.

DŮKAZ:

(i)

a_{n_{0} +1} ≤ qa_{n_{0}}
a_{n_{0} +2} ≤ qa_{n_{0} +1} ≤ qa_{n_{0}}
a_{n_{0} +k} ≤ q^{k}a_{n_{0}}

⇒ ∑_{n=1}^{∞}a_{n} ≤ \underbrace{∑_{n=1}^{∞}a_{n} + a_{n_{0}} ∑_{n=1}^{∞}q^{k}}_{konverguje}

⇒^{V.3-} ∑ a_{n} konverguje

(ii) (i) ⇒ (ii) (⟨cvičení⟩)

(iii) (ii) ⇒ (iii) (⟨cvičení⟩)

(iv)

lim_{n→∞} \frac{a_{n+1}}{a_{n}} > 1 ⇒ ∃ n_{0}, ∀n ⇒ n_{0} : \frac{a_{n+1}}{a_{n}} > 1

⇒ {a_{n}} je rostoucí od jistého indexu

⇒ lim_{n→∞} a_{n} ≠ 0 ⇒^{V.1-} ∑ a_{n} diverguje

Q.E.D.

Poznámka o nebezpečích

(i) lim_{n→∞} \sqrt[n]{a_{n}} = 1 ⇒ nevíme nic. (ii) lim_{n→∞} \frac{a_{n+1}}{a_{n}} = 1 ⇒ nevíme nic.

Příklad:

∑ \frac{1}{n} diverguje, ∑ \frac{1}{n^{2}} konverguje, obě mají limitu 1.

(iii) Parametr q < 1 je důležitý!

Příklad:

n \sqrt{a_{n}} < 1 ⇏ ∑ a_{n} konverguje ∀n ≥ n_{0}

\frac{a_{n+1}}{a_{n}} < 1 ⇏ ∑ a_{n} konverguje ∀n ≥ n_{0}

— — Řady s nezápornými členy

(iv) Jestliže lim sup_{n→∞} \frac{a_{n+1}}{a_{n}} > 1, řada divergovat nemusí.

Příklad:

1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + ⋯ + \frac{1}{2^{n}} konverguje. Po zpřeházení také, ale limes superior už nesedí.

Příklad:

Vyšetřete, pro která a ≥ 0 konverguje řada ∑_{n=1}^{∞} \frac{a^{n}n^{n}}{n!}.

Pozorování

(i) a = 0: ∑ a_{n} konverguje. (ii) a moc velké: ∑ a_{n} diverguje. (iii) a = 1: ∑_{n=1}^{∞} \frac{n^{n}}{n!} = +∞ ⇒ ∑ a_{n} konverguje.

Dle d’Alemberta:

\frac{a_{n+1}}{a_{n}} = \frac{a^{n+1} (n + 1)^{n+1}}{(n + 1)!} \frac{n!}{a^{n}n^{n}} = a (\frac{n + 1}{n} )^{n} = a (1 + \frac{1}{n}) ^{n}

⇒ lim_{n→∞} \frac{a_{n+1}}{a_{n}} = ae

⇒ a ∈ (0, 1/e) ⇒ ∑ a_{n} konverguje

⇒ a ∈ (1/e, ∞) ⇒ ∑ a_{n} diverguje

⇒ a = \frac{1}{e} ⇒ nevíme nic

Zbývající vyšetření

a = \frac{1}{e} ⇒ ∑_{n=1}^{∞}((\frac{n}{e})^{n} \frac{1}{n!})

Diverguje, neboť

lim_{n→∞} ((\frac{n}{e})^{n} \frac{1}{n!}) ≠ 0

⟨cvičení⟩

VĚTA 7 (Cauchyovo kondenzační kritérium):

Nechť ∑ a_{n} je řada s nezápornými členy a nechť ∃ n_{0} ∈ ℕ takové, že pro ∀n ≥ n_{0} platí a_{n+1} ≤ a_{n}. Pak:

∑_{n=1}^{∞}a_{n} konverguje ⟺ ∑_{n=1}^{∞}2^{n}a_{2^{n}} konverguje

DŮKAZ:

“⇐”: Přímo: Nechť ∑ 2^{n}a_{2^{n}} konverguje. Označ:

s_{n} = a_{1} + ⋯ + a_{n}
t_{k} = a_{1} + 2a_{2} + 4a_{4} + ⋯ + 2^{k}a_{2^{k}}

Víme: lim_{k→∞} t_{k} < ∞

Potom k danému n ∃ k: n < 2^{k}.

s_{n} = a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} + ⋯ + a_{n}
≤ a_{1} + (a_{2} + a_{3}) + (a_{4} + ⋯ + a_{7}) + ⋯ + (a_{2^{k}} + ⋯ + a_{2^{k+1} −1})
≤ a_{1} + 2a_{2} + 4a_{4} + ⋯ + 2^{k}a_{2^{k}} = t_{k}
⇒ ∀n : s_{n} ≤ lim_{t→∞} t_{k} ⇒ s_{n} je omezená ⇒ ∑ a_{n} konverguje

“⇒”: Nepřímo: Nechť ∑ 2^{n}a_{2^{n}} diverguje.

Víme: lim_{k→∞} t_{k} = +∞

Potom k danému n ∃ k: n > 2^{k}.

s_{n} = a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} + ⋯ + a_{n}
= a_{1} + a_{2} + (a_{3} + a_{4}) + (a_{5} + ⋯ + a_{7}) + ⋯ + (a_{2^{k−1} +1} + ⋯ + a_{2^{k}})

≥ \frac{a_{1}}{2} + a_{2} + 2a_{4} + 4a_{8} + ⋯ + 2^{k−1}a_{2^{k}} = \frac{1}{2}t_{k}

⇒ lim_{n→∞} s_{n} ≥ lim_{k→∞} t_{k} = +∞

⇒ ∑ a_{n} diverguje

Q.E.D.

Příklad:

Pro která α ∈ ℝ konverguje řada ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{α}}?

Z původních kritérií nevyplývá nic, neboť lim_{n→∞} \sqrt[n]{\frac{1}{n^{α}}} = 1, lim_{n→∞} \frac{(n+1)^{α}}{n^{α}} = 1. Navíc víme, že řada konverguje pro α = 2 a diverguje pro α = 1. Pro α ≤ 0 diverguje také. Pro α > 0 je \frac{1}{n^{α}} klesající, tedy lze užít V.7-.

∑ \frac{1}{n^{α}} konverguje ⟺^{V.7-} ∑_{n=1}^{∞}(2^{n} \frac{1}{(2^{n})^{α}}) konverguje

⇔ ∑_{n=1}^{∞}(\frac{1}{2^{α−1}} )^{n} konverguje

⇔ α > 1 (geometrická řada)

Závěr

∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{α}} konverguje ⇔ α > 1

— — Řady s nezápornými členy

Příklad:

∑_{n=2}^{∞} \frac{1}{n log^{α} n} konverguje ⇔ α > 1

DŮKAZ:

∑ konverguje ⇔ ∑_{n=2}^{∞}(2^{n} \frac{1}{2^{n} log^{α} 2^{n}}) konverguje ⇔

⇔ \frac{1}{log^{α} 2} ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{α}} konverguje ⇔ α > 1

VĚTA 8 (Raabeovo kriterium):

Nechť ∑ a_{n} je řada s kladnými členy.

lim_{n→∞} n (\frac{a_{n}}{a_{n+1}} − 1) > 1 ⇒ ∑ a_{n} konverguje

lim_{n→∞} n (\frac{a_{n}}{a_{n+1}} − 1) < 1 ⇒ ∑ a_{n} diverguje

Příklad:

∑ a_{n}, a_{n} = (\frac{1 · 4 · 7 ⋯ (3n − 2)}{3 · 6 · 9 ⋯ 3n})^{2}

⟨cvičení⟩