\input /home/pasky/school/fastex/lib.tex \subchapter{Řady s nezápornými členy}{ Studujeme \M{\sum a_{n}}, kde $a_{n} \ge 0$ pro $\forall n\in\nat$. \scpart{Pozorování}{ Pro řady s nezápornými členy mohou nastat pouze dvě možnosti. $\sum a_{n} \in \real$ nebo $\sum a_{n} = +\infty$. To plyne z toho, že posloupnost $\{s_{m}\}_{n=1}^{\infty}$ je neklesající, a tedy dle \ias{2}{9}{} $\existss \lim s_{m} = \sum a_{n}$. } \theorem{2}{linearita konvergentních řad}{ Nechť $\sum a_{n}$ a $\sum{b_{n}}$ konvergují. Pak: \list{ \listItem{\M{\sum(a_{n}+b_{n})} konverguje. } \listItem{\M{\sum{c_{n}} \textbox{konverguje} \Longleftrightarrow{} \sum{\a{}c_{n}} \textbox{konverguje}} pro $\forall \a \in{} \real{}\setminus{}\emptyset$. } } \shortdef{Důkaz}{\DCV} } \theorem{3}{srovnávací kritérium}{ Nechť $\sum{a_{n}}$ a $\sum{b_{n}}$ jsou řady s nezápornými členy. Nechť dále existuje $n_{0}\in{}\nat{}$ takové, že pro $\forall n\ge{}n_{0}$ platí $a_{n}\le{}b_{n}$. Pak: \list{ \listItem{\M{\sum{b_{n}} \textbox{konverguje} \Rightarrow{} \sum{a_{n}}} konverguje. } \listItem{\M{\sum{a_{n}} \textbox{diverguje} \Rightarrow{} \sum{b_{n}} } diverguje. } } Obě tvrzení říkají vpodstatě totéž. ($a_{n}$ je ``hodnější'' řada, $b_{n}$ ``zlobivější''.) \proof{ \list{ \listItem{$s_{n} = a_{1} + \cdots + a_{n}$, $\s_{m} = b_{1} + \cdots + b_{m}$ Dále definujme $ \s := \lim{\s_{m}} \in{} \real{}$. Navíc víme, že $\{s_n\}$ je posloupnost neklesající. $$ s_{n} = a_{1} + \cdots + a_{n_{0}} + a_{n_{0}+1} + \cdots + a_{n} $$ $$ \le{} a_{1} + \cdots + a_{n_{0}} + \s_{n}\qquad (\forall n\ge{}n_{0}) $$ $$ \le{} a_{1} + \cdots + a_{n_{0}} + \s \qquad (\in{} \real{}) $$ Tedy je $\{s_{n}\}$ neklesající shora omezená posloupnost, tudíž $\sum{a_{n}}$ je dle \ias{2}{9}{} konvergentní. } \listItem{$\Longleftrightarrow{}$ (i)} } \qed } } \penalty-10000 \theorem{4}{limitní srovnávací kritérium}{ Nechť $\sum_{n=1}^{\infty}{a_{n}}$, $\sum_{n=1}^{\infty}{b_{n}}$ jsou řady s nezápornými členy. Nechť dále existuje $\lim_{n\to{}\infty}{a_{n}/b_{n}} = A \in{} \real^{*}$. Pak: \list{ \listItem{\M{A \in{} (0, \infty) \Longrightarrow{} \sum_{n=1}^{\infty}{a_{n}} \textbox{konverguje} \Leftrightarrow{} \sum_{n=1}^{\infty}{b_{n}} \textbox{konverguje}}} \listItem{\M{A = 0 \Longrightarrow{} \sum_{n=1}^{\infty}{a_{n}} \textbox{konverguje} \Leftarrow{} \sum_{n=1}^{\infty}{b_{n}} \textbox{konverguje}}} \listItem{\M{A = \infty \Longrightarrow{} \sum_{n=1}^{\infty}{a_{n}} \textbox{konverguje} \Rightarrow{} \sum_{n=1}^{\infty}{b_{n}} \textbox{konverguje}}} } \proof{ \list{ \listItem{Víme, že $\existss n_{0}\in{}\nat{}$ takové, že pro $\forall n\ge{}n_{0}$ platí: $$ {1\over{}2}A \le{} {a_{n}\over{}b_{n}} \le{} 2A \qquad\textnote{jen šikovné epsilon} $$ $$ {A\over{}2}b_{n} \le{} a_{n} \le{} 2Ab_{n} $$ \iproofrightimpl{ \M{\quad\sum_{n=1}^{\infty}{a_{n}} \textbox{konverguje} \becauseof{\ias{}{3}{}}{\Rightarrow} \sum_{n=1}^{\infty}{{A\over{}2}b_{n}} \textbox{konverguje} \becauseof{\ias{}{2}{}}{\Rightarrow} \sum_{n=1}^{\infty}{b_{n}} \textbox{konverguje}} } \iproofleftimpl{ \M{\quad\sum_{n=1}^{\infty}{b_{n}} \textbox{konverguje} \becauseof{\ias{}{2}{}}{\Rightarrow} \sum_{n=1}^{\infty}{2Ab_{n}} \textbox{konverguje} \becauseof{\ias{}{3}{}}{\Rightarrow} \sum_{n=1}^{\infty}{a_{n}} \textbox{konverguje}} } } \listItem{Zvol $\eps=1$, pak $\existss{n_{0}}$ takové, že ${a_{n}/b_{n}} < 1$ pro $\forall{n\ge{}n_{0}}$, tedy $a_{n} 1$ pro $\forall{n\ge{}n_{0}}$, tedy $a_{n}>b_{n}$, \ias{}{3}{}.} } \qed } \examples{ \list{ \listItem{\M{\sum_{n=1}^{\infty}{{n^3+1}\over{}\sqrt{3+n+2n^8}} \hypothetically{\approx{}} {n^3\over{}n^4} = {1\over{}n}} $$a_{n} = {{n^3+1}\over{}\sqrt{3+n+2n^8}}, \textbox{zvol} b_{n} = {1\over{}n}$$ $$ \lim_{n\to{}\infty}{a_{n}\over{}b_{n}} = \lim_{n\to{}\infty}{{n^4+n}\over{}\sqrt{3+n+2n^8}} = {\sqrt{2}\over{}2} \in{} (0, \infty) $$ Tedy dle (i) $\sum{a_{n}} \textbox{konverguje} \Leftrightarrow{} \sum{b_{n}}$ konverguje. My ale víme, že $\sum{b_{n}} = \sum{1\over{}n} = +\infty $ diverguje. $$ \sum_{n=1}^{\infty}{a_{n}} = +\infty \eqno\textnote{diverguje} $$ } \penalty-1000 \listItem{\M{\sum_{n=1}^{\infty}{n^{15}\over{}3^n}} $a_{n} = {n^{15}\over{}3^n}$, zvol $b_{n} = {1/2^n}$ Potom $$ \lim_{n\to{}\infty}{a_{n}\over{}b_{n}} = \lim_{n\to{}\infty}{n^{15}\over{}\left(3\over{}2\right)^n} = 0 $$ indukcí, Bernoulli, $\ldots$ (\DCV) Navíc víme, že: $$ \sum{b_{n}} \textbox{konverguje} \textnote{geometrická řada} \becauseof{(ii)}{\Rightarrow} \sum{a_{n}} \textbox{konverguje} $$ } } } } \theorem{5}{Cauchyovo odmocninové kritérium}{ Nechť $\sum{a_{n}}$ je řada s nezápornými členy: \list{ \listItem{Nechť $\existss{q \in{} (0, 1)},\ \existss{n_{0} \in{} \nat{}},\ \forall{n \ge{} n_{0}}:\ \root n \of {a_{n}} \le{} q$. Pak $\sum{a_{n}}$ konverguje.} \listItem{Nechť $\limsup_{n\to{}\infty}{\root n \of{a_{n}}} < 1$. Pak $\sum{a_{n}}$ konverguje.} \listItem{Nechť $\lim_{n\to{}\infty} {\root n \of{a_{n}}} < 1$. Pak $\sum{a_{n}}$ konverguje.} \listItem{Nechť $\limsup_{n\to{}\infty}{\root n \of{a_{n}}} > 1$. Pak $\sum{a_{n}}$ diverguje.} \listItem{Nechť $\lim_{n\to{}\infty} {\root n \of{a_{n}}} > 1$. Pak $\sum{a_{n}}$ diverguje.} } \proof{ \list{ \listItem{Položme $b_{n} = q^n$, pak $a_{n} \le{} b_{n}$ pro $n \ge{} n_{0}$. Dále $\sum{b_{n}}$ konverguje (geometrická řada, $q < 1$) $\becauseof{\ias{}{3}{}}{\Rightarrow}$ také $\sum_{n=1}^{\infty}{a_{n}}$ konverguje. } \listItem{Označ $\limsup_{n\to{}\infty}\root n \of{a_{n}} = A < 1$. Zvol $\eps > 0$, $A + \eps < 1$. $$\existss{n_{0}},\ \forall{n \ge{} n_{0}}:\ \sup \{ \root n \of{a_{k}}, k \ge{} n \} \le{} A + \eps$$ Tedy $\root n \of{a_{n}} \le{} A + \eps$, $n \ge{} n_{0}$. Označ $q \defined{} A + \eps < 1$, tvrzení plyne z \ias{}{}{1}. } \listItem{Plyne z \ias{}{}{2}: $\existss{\rm lim} \Rightarrow{} \lim = \limsup$.} \listItem{ $$ \limsup_{n\to{}\infty}\root n \of{a_{n}} > 1 $$ $$ \Rightarrow{} \existss{\textbox{vybraná posloupnost} \{a_{n_{k}}\}_{k=1}^{\infty},\ \root{\raise2pt\hbox{$\scriptscriptstyle n_k$}}\of{a_{n_{k}}} > 1} $$ $$ \Rightarrow{} a_{n_{k}} > 1\ \forall{k \in{} \nat{}} $$ $$ \Rightarrow{} \textbox{neplatí nutná podmínka} \lim_{n\to{}\infty}{a_{n}} = 0 \Rightarrow{} \sum\{a_{n}\} $$ \scpart{Jiný pohled na poslední krok}{ $$ \sum_{n=1}^{\infty}{a_{n}} \ge{} \sum_{n=1}^{\infty}{a_{n_{k}}} \textnote{neboť $a_{n} \ge{} 0$} \ge{} \sum_{n=1}^{\infty}{1} = +\infty $$ } } \listItem{Ihned plyne z \ias{}{}{4}.} } \qed } } \penalty-100 \theorem{6}{d'Alembertovo podílové kritérium}{ Nechť $\sum{a_{n}}$ je řada s kladnými členy: \list{ \listItem{$\existss{q \in{} (0, 1)}$, $\existss{n_{0} \in{} \nat{}}$, $\forall{n \ge{} n_{0}}$: ${a_{n+1}\over{}a_{n}} \le{} q \Rightarrow{} \sum{a_{n}} \textbox{konverguje}$.} \listItem{Nechť $\limsup_{n\to{}\infty}{a_{n+1}\over{}a_{n}} < 1$. Pak $\sum{a_{n}}$ konverguje.} \listItem{Nechť $\lim_{n\to{}\infty}{a_{n+1}\over{}a_{n}} < 1$. Pak $\sum{a_{n}}$ konverguje.} \listItem{Nechť $\lim_{n\to{}\infty}{a_{n+1}\over{}a_{n}} > 1$. Pak $\sum{a_{n}}$ diverguje.} } \proof{ \list{ \listItem{ $$ a_{n_{0}+1} \le{} qa_{n_{0}} $$ $$ a_{n_{0}+2} \le{} qa_{n_{0}+1} \le{} qa_{n_{0}} $$ $$ a_{n_{0}+k} \le{} q^{k}a_{n_{0}} $$ $$ \Rightarrow{} \sum_{n=1}^{\infty}{a_{n}} \le{} \undernote{\sum_{n=1}^{\infty}{a_{n}} + a_{n_{0}} \sum_{n=1}^{\infty}{q^k}}{konverguje} $$ $$ \becauseof{\ias{}{3}{}}{\Rightarrow} \sum{a_{n}} \textbox{konverguje} $$ } \listItem{(i) $\Rightarrow{}$ (ii) (\DCV)} \listItem{(ii) $\Rightarrow{}$ (iii) (\DCV)} \listItem{ $$ \lim_{n\to{}\infty}{a_{n+1}\over{}a_{n}} > 1 \Rightarrow{} \existss{n_{0},\ \forall{n\Rightarrow{}n_{0}}}:\ {a_{n+1}\over{}a_{n}} > 1 $$ $$ \Rightarrow{} \{a_{n}\} \textbox{je rostoucí od jistého indexu} $$ $$ \Rightarrow{} \lim_{n\to{}\infty}{a_{n}} \not= 0 \becauseof{\ias{}{1}{}}{\Rightarrow} \sum{a_{n}} \textbox{diverguje} $$ } } \qed } } \scpart{Poznámka o nebezpečích}{ \list{ \listItem{$\lim_{n\to{}\infty}{\root n\of{a_{n}}} = 1 \Rightarrow{}$ nevíme nic.} \listItem{$\lim_{n\to{}\infty}{a_{n+1}\over{}a_{n}} = 1 \Rightarrow{}$ nevíme nic.} \example{$\sum{1\over{}n}$ diverguje, $\sum{1\over{}n^2}$ konverguje, obě mají limitu 1.} \listItem{Parametr $q < 1$ je důležitý! \example{ $$\root n\of{a_{n}} < 1 \not\Rightarrow{} \sum{a_{n}} \textbox{konverguje}\qquad\forall{n \ge n_0}$$ $${a_{n+1}\over{}a_{n}} < 1 \not\Rightarrow{} \sum{a_{n}} \textbox{konverguje}\qquad\forall{n \ge n_0}$$ } } \penalty-100 \listItem{Jestliže \M{\limsup_{n\to{}\infty}{a_{n+1}\over{}a_{n}} > 1}, řada divergovat nemusí. \example{ \M{1 + {1\over{}2} + {1\over{}4} + {1\over{}8} + \cdots + {1\over{}2^n}} konverguje. Po zpřeházení také, ale limes superior už nesedí. } } } } \example{ Vyšetřete, pro která $a \ge{} 0$ konverguje řada \M{\sum_{n=1}^{\infty}{a^n n^n\over{}n!}}. \scpart{Pozorování}{ \list{ \listItem{$a = 0$: $\sum{a_{n}}$ konverguje.} \listItem{$a$ moc velké: $\sum{a_{n}}$ diverguje.} \listItem{$a = 1$: $\sum_{n=1}^{\infty}{n^n\over{}n!} = +\infty$ $\Rightarrow{}$ $\sum{a_{n}}$ konverguje.} } } Dle \ref{d'Alembert}a: $$ {a_{n+1}\over{}a_{n}} = {{a^{n+1}(n+1)^{n+1}}\over{}(n+1)!} {n!\over{}{a^n n^n}} = a \left({{n+1}\over{}n}\right)^n = a \left(1 + {1\over{}n}\right)^n $$ $$ \Rightarrow{} \lim_{n\to{}\infty}{a_{n+1}\over{}a_{n}} = a e $$ $$ \Rightarrow{} a \in{} (0, {1/e}) \Rightarrow{} \sum{a_{n}} \textbox{konverguje} $$ $$ \Rightarrow{} a \in{} ({1/e}, \infty) \Rightarrow{} \sum{a_{n}} \textbox{diverguje} $$ $$ \Rightarrow{} a = {1\over{}e} \Rightarrow{} \textbox{nevíme nic} $$ \scpart{Zbývající vyšetření}{ $$ a = {1\over{}e} \Rightarrow{} \sum_{n=1}^{\infty}\left(\left({n\over{}e}\right)^n {1\over{}n!}\right) $$ Diverguje, neboť $$\lim_{n\to{}\infty}\left(\left({n\over{}e}\right)^n {1\over{}n!}\right) \not= 0$$ \DCV } } \theorem{7}{Cauchyovo kondenzační kritérium}{ Nechť $\sum{a_{n}}$ je řada s nezápornými členy a nechť $\existss{n_{0}\in{}\nat{}}$ takové, že pro $\forall{n\ge{}n_{0}}$ platí $a_{n+1}\le{}a_{n}$. Pak: $$ \sum_{n=1}^{\infty}{a_{n}} \textbox{konverguje} \Longleftrightarrow{} \sum_{n=1}^{\infty}{2^n a_{2^n}} \textbox{konverguje} $$ \penalty-1000 \proof{ \iproofleftimpl{Přímo: Nechť \M{\sum{2^n a_{2^n}}} konverguje. Označ: $$s_{n} = a_{1} + \cdots + a_{n}$$ $$t_{k} = a_{1} + 2a_{2} + 4a_{4} + \cdots + 2^k a_{2^k}$$ Víme: \M{\lim_{k\to{}\infty}{t_{k}} < \infty} Potom k danému $n$ $\existss{k}$: $n < 2^k$. $$ s_{n} = a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} + \cdots + a_{n} $$ $$ \le{} a_{1} + (a_{2} + a_{3}) + (a_{4} + \cdots + a_{7}) + \cdots + (a_{2^k} + \cdots + a_{2^{k+1}-1}) $$ $$ \le{} a_{1} + 2a_{2} + 4a_{4} + \cdots + 2^k a_{2^k} = t_{k} $$ $$ \Rightarrow{} \forall{n}:\quad s_{n} \le{} \lim_{t\to{}\infty}{t_{k}} \Rightarrow{} \textbox{$s_{n}$ je omezená} \Rightarrow{} \sum{a_{n}} \textbox{konverguje} $$ } \iproofrightimpl{Nepřímo: Nechť \M{\sum{2^n a_{2^n}}} diverguje. Víme: \M{\lim_{k\to{}\infty}{t_{k}} = +\infty} Potom k danému $n$ $\existss{k}$: $n > 2^k$. $$ s_{n} = a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} + \cdots + a_{n} $$ $$ = a_{1} + a_{2} + (a_{3} + a_{4}) + (a_{5} + \cdots + a_{7}) + \cdots + (a_{2^{k-1}+1} + \cdots + a_{2^k}) $$ $$ \ge{} {a_{1}\over{}2} + a_{2} + 2a_{4} + 4a_{8} + \cdots + 2^{k-1} a_{2^k} = {1\over{}2} t_{k} $$ $$ \Rightarrow{} \lim_{n\to{}\infty}{s_{n}} \ge{} \lim_{k\to{}\infty}{t_{k}} = +\infty $$ $$ \Rightarrow{} \sum{a_{n}} \textbox{diverguje} $$ \qed } } \example{ Pro která $\a\in{}\real{}$ konverguje řada \M{\sum_{n=1}^{\infty}{1\over{}n^\a}}? Z původních kritérií nevyplývá nic, neboť $\lim_{n\to{}\infty}{\root n\of{1\over{}n^\a}} = 1$, $\lim_{n\to{}\infty}{(n+1)^\a\over{}n^\a} = 1$. Navíc víme, že řada konverguje pro $\a = 2$ a diverguje pro $\a = 1$. Pro $\a \le{} 0$ diverguje také. Pro $\a > 0$ je $1\over{}n^\a$ klesající, tedy lze užít \ias{}{7}{}. $$ \sum{1\over{}n^\a} \textbox{konverguje} \becauseof{\ias{}{7}{}}{\Longleftrightarrow} \sum_{n=1}^{\infty}\left(2^n {1\over{}(2^n)^\a}\right) \textbox{konverguje} $$ $$ \Leftrightarrow{} \sum_{n=1}^{\infty}{\left(1\over{}2^{\a-1}\right)^n} \textbox{konverguje} $$ $$ \Leftrightarrow{} \a > 1 \textnote{geometrická řada} $$ } \scpart{Závěr}{ $$ \sum_{n=1}^{\infty}{1\over{}n^\a} \textbox{konverguje} \Leftrightarrow{} \a > 1 $$ } \example{ $$ \sum_{n=2}^{\infty}{1\over{}n\log^\a n} \textbox{konverguje} \Leftrightarrow{} \a > 1 $$ \proof{ $$ \sum{} \textbox{konverguje} \Leftrightarrow{} \sum_{n=2}^{\infty}\left(2^n {1\over{}2^n\log^\a2^n}\right) \textbox{konverguje} \Leftrightarrow{} $$ $$ \Leftrightarrow{} {1\over{}\log^\a2} \sum_{n=1}^{\infty}{1\over{}n^\a} \textbox{konverguje} \Leftrightarrow{} \a > 1 $$ } } } \theorem{8}{Raabeovo kriterium}{ Nechť $\sum{a_{n}}$ je řada s kladnými členy. $$\lim_{n\to{}\infty}{n\left({a_{n}\over{}a_{n+1}} - 1\right)} > 1 \Rightarrow{} \sum{a_{n}} \textbox{konverguje}$$ $$\lim_{n\to{}\infty}{n\left({a_{n}\over{}a_{n+1}} - 1\right)} < 1 \Rightarrow{} \sum{a_{n}} \textbox{diverguje}$$ \example{ $$ \sum{a_{n}},\ a_{n} = \left({{1\cdot4\cdot7\cdots(3n-2)}\over{}{3\cdot6\cdot9\cdots3n}}\right)^2 $$ \DCV } } } \bend