— — VĚTA 1 (nutná podmínka konvergence řady):

Nechť ∑_{n=1}^{∞}a_{n} konverguje. Pak lim_{n→∞} a_{n} = 0 .

Pozorování

Pro geometrickou řadu ∑_{n=1}^{∞}q^{n−1} platí:

∑_{n=1}^{∞}a_{n} konverguje ⟺ lim_{n→∞} a_{n} = 0

(Implikace však neplatí pro všechny řady.) DŮKAZ:

Nechť s = ∑_{n=1}^{∞}a_{n} , pak s ∈ ℝ.

lim_{n→∞} s_{n} = s

lim_{n→∞} s_{n+1} = s

0 = s − s = lim_{n→∞} s_{n+1} − lim_{n→∞} s_{n} =^{VOAL} lim_{n→∞}(s_{n+1} − s_{n}) = lim_{n→∞} a_{n+1}

lim_{n→∞} a_{n} = 0

Q.E.D.

Varování

Implikaci nelze obrátit (tedy podmínka není postačující). lim_{n→∞} a_{n} = 0 ⇏ ∑_{n=1}^{∞}a_{n} konverguje

Příklad:

Harmonická řada ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n} = +∞ :

s_{m} = 1 + \frac{1}{2} + ⋯ + \frac{1}{m}

s_{2m} = 1 + \frac{1}{2} + ⋯ + \frac{1}{m} + \frac{1}{m + 1} + ⋯ + \frac{1}{2m}

s_{2m} − s_{m} = \frac{1}{m + 1} + \frac{1}{m + 2} + ⋯ + \frac{1}{2m}

≥ \frac{1}{2m} + \frac{1}{2m} + ⋯ + \frac{1}{2m}

= m\frac{1}{2m} = \frac{1}{2}

s_{2m} − s_{m} ≥ \frac{1}{2} ∀m ∈ ℕ

Tedy neplatí Bolzano-Cauchyova podmínka:

≥^{V2.12-} lim_{n→∞} s_{m} = +∞

/L:1.616 1