— —

Definice:

Nechť f je reálná funkce, a ∈ ℝ. Pak derivací funkce f v bodě a rozumíme

f′(a) := lim_{h→0} \frac{f(a + h) − f(a)}{h}

(pokud existuje). Derivací zprava a zleva rozumíme

\begin{aligned}f′_{+} (a) & = lim_{h→0_{+}} \frac{f(a + h) − f(a)}{h} \\ f′_{−}(a) & = lim_{h→0_{−}} \frac{f(a + h) − f(a)}{h} \end{aligned}

Poznámky:

(i)

f′(a) \{ \begin{matrix}existuje & \{ \begin{matrix}vlastní \\ nevlastní & \{ \begin{matrix}+∞ \\ −∞ \end{matrix} \end{matrix} \\ neexistuje \end{matrix}

(ii) f′(a) existuje ⟺ existuje f′_{+} (a), f′_{−}(a) ∧ f′_{+} (a) = f′_{−}(a)

(iii) f′(a) = lim_{x→a} \frac{f(x) − f(a)}{x − a} ⟨cvičení⟩

Příklady:

(i) f(x) ≡ a

f′(b) = lim_{h→0} \frac{f(b + h) − f(b)}{h} = lim_{h→0} \frac{a − a}{h} = lim_{h→0} \frac{0}{h} = 0

(ii) f(x) = x^{n}

f′(a) = lim_{h→0} \frac{(a + h)^{n} − a^{n}}{h}

= lim_{h→0} \frac{a^{n} + nha^{n−1} + \binom{n}{2}h^{2}a^{n−2} + ⋯ + h^{n} − a^{n}}{h}

= na^{n−1} + lim_{h→0} (\binom{n}{2}ha^{n−2} + ⋯ h^{n−1}) = na^{n−1}

(iii) f(x) = e^{x}

f′(a) = lim_{h→0} \frac{e^{a+h} − e^{a}}{h} = e^{a} \underbrace{lim_{h→0} \frac{e^{h} − 1}{h}}_{1} = e^{a}

(iv) f(x) = sinx f′(a) = lim_{h→0} \frac{sin(a + h) − sina}{h} = lim_{h→0} \frac{sina · cosh + cosa · sinh − sina}{h} 1

= lim_{h→0} sina · \underbrace{\frac{cosh − 1}{h}}_{→0}+ cosa · \underbrace{\frac{sinh}{h}}_{→1} = cosa

— — (v) f(x) = cosx ⇒ f′(a) = − sina ⟨cvičení⟩ (vi) f(x) = |x|

f′(a) = \{ \begin{matrix}1 & a > 0 \\ −1 & a < 0 \end{matrix}

f′_{+} (0) = 1, f′_{−}(0) = −1 ⇒ f′(0) neexistuje. (vii) f(x) = signx

f′(a) = 0, a ≠ 0

f′_{+} (0) = lim_{h→0} \frac{sign(0 + h) − sign0}{h} = lim_{h→0_{+}} \frac{1}{h} = +∞

f′_{−}(0) = lim_{h→0} \frac{sign(0 + h) − sign0}{h} = lim_{h→0_{−}} \frac{−1}{h} = +∞

sign′(0) = +∞

VĚTA 16 (vztah derivace a spojitosti): Má-li funkce f v bodě a vlastní derivaci, pak je f spojitá v bodě a. DŮKAZ:

lim_{x→a} (f(x) − f(a)) = lim_{x→a} \underbrace{\frac{f(x) − f(a)}{x − a}}_{f′(a)∈ℝ}· \underbrace{(x − a)}_{→0} = 0

Q.E.D.

VĚTA 17 (aritmetika derivací):

Nechť existují f′(a), g′(a).

(i) (f + g)′(a) = f′(a) + g′(a), je-li pravá strana definovaná. (ii) Je-li g spojitá v a, pak (fg)′(a) = f′(a)g(a) + f(a)g′(a), je-li pravá strana definovaná. (iii) Je-li g spojitá v a, g(a) ≠ 0, pak

(\frac{f}{g} )′ (a) = \frac{f′(a)g(a) − g′(a)f(a)}{g(a)^{2}}.

DŮKAZ:

(i)

lim_{h→0} \frac{f(a + g) + g(a + h) − (f(a) + g(a))}{h}

= lim_{h→0} \frac{f(a + h) − f(a)}{h} + lim_{h→0} \frac{g(a + h) − g(a)}{h} = f′(a) + g′(a)

(ii)

lim_{h→0} \frac{f(a + h)g(a + h) − f(a)g(a)}{h}

= lim_{h→0} \frac{f(a + h)g(a + h) − f(a)g(a + h) + f(a)g(a + h) − f(a)g(a)}{h}

/L:1.616 2 — —

= lim_{h→0} \underbrace{g(a + h)}_{(spojitost!)^{→g(a)}} \underbrace{\frac{f(a + h) − f(a)}{h}}_{→f′(a)}+f(a) lim_{h→0} \frac{g(a + h) − g(a)}{h}

= g(a)f′(a) + f(a)g′(a)

(iii)

lim_{h→0} \frac{\frac{f(a+h)}{g(a+h)} − \frac{f(a)}{g(a)}}{h}

= lim_{h→0} \frac{f(a + h)g(a) − f(a)g(a + h)}{g(a + h)g(a)h}

= lim_{h→0} \frac{f(a + h)g(a) − f(a)g(a) + f(a)g(a) − f(a)g(a + h)}{g(a + h)g(a)h}

= \frac{g(a)f′(a) − g′(a)f(a)}{g(a)^{2}}

(Opět jsme použili spojitost, tedy lim_{h→0} g(a + h) = g(a).)

VĚTA 18 (o derivaci složené funkce):

Nechť f má derivaci v bodě y_{0}, g v bodě x_{0}, g je spojitá v x_{0} a y_{0} = g(x_{0}). Potom (f ∘ g)′(x_{0}) = f′(y_{0})g′(x_{0}) = f′(g(x_{0}))g′(x_{0}), je-li výraz na pravé straně definován (tedy se nejedná o 0 · ∞).

DŮKAZ:

Idea:

(f ∘ g)′(x_{0}) = lim_{x→x_{0}} \frac{f(g(x)) − f(g(x_{0}))}{x − x_{0}} =

= lim_{x→x_{0}} \frac{f(g(x)) − f(g(x_{0}))}{g(x) − g(x_{0})} · \frac{g(x) − g(x_{0})}{x − x_{0}} = f′(g(x_{0})) · g′(x_{0})

Ale co když g(x) − g(x_{0}) = 0?

(i) Nechť f′(y_{0}) ∈ ℝ: Definujme funkci

F (y) := \{ \begin{matrix}\frac{f(y)−f(y_{0} )}{y−y_{0}} & pokud y ≠ y_{0} \\ f′(y_{0}) & pokud y = y_{0} \end{matrix}

F definujeme na nějakém okolí bodu y_{0}. Potom je F spojitá v bodě y_{0}. Víme, že f je definována na nějakém okolí y_{0} a g na nějakém okolí x_{0}. Tvrdím tedy, že

lim_{x→x_{0}} F (g(x)) = f′(y_{0}),

neboť

lim_{x→x_{0}} g(x) = g(x_{0}) ∧ lim_{y→g(x_{0} )} F (y) = F (g(x_{0}))

(to vyhovuje předpokladu 2 věty o spojitosti složené funkce).

(f ∘ g)′(x_{0}) = lim_{x→x_{0}} \frac{f(g(x)) − f(g(x_{0}))}{x − x_{0}} = lim_{x→x_{0}} F (g(x)) · \frac{g(x) − g(x_{0})}{x − x_{0}} = F′(y_{0})g′(x_{0})

(dle VOAL, neboť výraz vpravo je definován).

— —

(ii) Nechť f′(y_{0}) = ±∞:

Protože f′(y_{0})g′(x_{0}) je definován (dle předpokladu) a f′(y_{0}) = ±∞, pak jistě g′(x_{0}) ≠ 0. Tedy ∃ P(x_{0}, δ) takové, že \frac{g(x)−g(x_{0} )}{x−x_{0}} ≠ 0, tedy g(x) ≠ g(x_{0}). Tudíž

(f ∘ g)′(x_{0}) = lim_{x→x_{0}} \frac{f(g(x)) − f(g(x_{0}))}{g(x) − g(x_{0})} · \frac{g(x) − g(x_{0})}{x − x_{0}} = f′(g(x_{0})) · g′(x_{0})

Q.E.D.

Příklad:

(i) (a^{x})′ = (e^{x log a})′ = e^{x log a} · loga = a^{x} loga (a > 0)

(ii) (x^{x})′ = (e^{x log x})′ = e^{x log x} · (x logx)′ = x^{x} · (1 logx + x\frac{1}{x}) = x^{x}(logx + 1) (x > 0)

VĚTA 19 (o derivaci inverzní funkce):

Nechť f je spojitá a ryze monotónní na intervalu I, a buď vnitřní bod I. Označíme b = f(a).

(i) Je-li f′(a) ∈ ℝ^{∗} \ {0}:

(f^{−1})′(b) = \frac{1}{f′(a)} = \frac{1}{f′(f^{−1}(b))}

(ii) Je-li f′(a) = 0 (např. v nule pro x^{3}) a f je rostoucí (klesající):

(f^{−1})′(b) = +∞ (−∞)

DŮKAZ:

Idea:

f^{−1}(y) = x, y = f(x)

(f^{−1})′(b) = lim_{y→b} \frac{f^{−1}(y) − f^{−1}(b)}{y − b} = lim_{x→a} \frac{x − a}{f(x) − f(a)} = \frac{1}{f′(a)}

Víme: f^{−1} je definovaná, spojitá a ryze monotónní na f(I), b je vnitřním bodem itnervalu f(I), a = f^{−1}(b).

(i) (f^{−1})′(b) = lim_{y→b} \frac{f^{−1} (y)−f^{−1} (b)}{y−b} Definujme funkci

F (y) := \{ \begin{matrix}\frac{f(x)−f(a)}{x−a} & pokud x ≠ a \\ f′(a) & pokud x = a \end{matrix}

Tak lim_{x→a} F (x) = f′(a) a zároveň je F spojitá v a (bude zastupovat vnější funkci).

Dále lim_{y→b} f^{−1}(y) = f^{−1}(b) (vnitřní funkce), neboť f^{−1} je spojitá na f(I). Tedy dle věty o spojitosti složené funkce:

lim_{y→b} \frac{f(f^{−1}(y)) − f(a)}{f^{−1}(y) − a} = f′(a)

f′(a) = lim_{y→b} \frac{f(f^{−1}(y)) − f(f^{−1}(b))}{f^{−1}(y) − f^{−1}(b)}

= lim_{y→b} \frac{y − b}{f^{−1}(y) − f^{−1}(b)}

= \frac{1}{lim_{y→b} \frac{f^{−1} (y)−f^{−1} (b)}{y−b}}

— — (ii) Bez újmy na obecnosti nechť je f rostoucí, f′(a) = 0.

\begin{matrix}x > a & ⇒ f(x) > f(a) & ⇒ y > b & ⇒ f^{−1}(y) > f^{−1}(b) \\ x < a & ⇒ f(x) < f(a) & ⇒ y < b & ⇒ f^{−1}(y) < f^{−1}(b) \end{matrix}\} ⇒ lim_{y→b} \frac{f^{−1}(y) − f^{−1}(b)}{y − b} = +∞

Q.E.D.

Poznámka:

Využili jsme větu: lim_{x→a} g(x) = 0, g(x) > 0 na P(a, δ), pak lim_{x→a} \frac{1}{g(x)} = +∞ (viz V2.8-a Heine).

Příklady:

(i) (e^{x})′ = e^{x}, (logx)′ = \frac{1}{x}, neboť exp^{−1} = log.

e^{x} = y, x = logy

(e^{x})′ = \frac{1}{(logy)′} = \frac{1}{\frac{1}{y}} = y = e^{x}

(logy)′ = \frac{1}{(e^{x})′} = \frac{1}{e^{x}} = \frac{1}{y}

(ii) (arcsinx)′

y = arcsinx, x = siny

cosy = \sqrt{1 − sin^{2} y}, y ∈ (−\frac{π}{2}, \frac{π}{2})

(arcsinx)′ =^{V.19-} \frac{1}{(siny)′} = \frac{1}{cosy} = \frac{1}{\sqrt{1 − sin^{2} y}} = \frac{1}{\sqrt{1 − x^{2}}} , x ∈ (−1, 1)

(iii) (arctgx)′

y = arctgx, x = tgy
1 + tg^{2}y = \frac{cos^{2} y + sin^{2} y}{cos^{2} y} = \frac{1}{cos^{2} y}

(arctgx)′ =^{V.19-} \frac{1}{(tgy)′} = \frac{1}{\frac{1}{cos^{2} y}} = cos^{2} y = \frac{1}{1 + tg^{2} y} = \frac{1}{1 + x^{2}} , x ∈ ℝ

(iv) (arccosx)′ = \frac{−1}{\sqrt{1−x^{2}}} , x ∈ (−1, 1)

(v) (arccotgx)′ = \frac{−1}{1+x^{2}} , x ∈ ℝ — —

VĚTA 20 (nutná podmínka existence lokálního extrému):

Nechť M ⊆ ℝ, f: M → ℝ. Nechť f má v bodě a ∈ M lokální extrém. Potom buď f′(a) neexistuje, nebo f′(a) = 0 (tedy má funkce v tomto bodě tečnu rovnoběžnou s osou x).

DŮKAZ:

Sporem: Nechť f′(a) existuje, leč f′(a) ≠ 0. Z existence derivace plyne existence okolí U(a, δ) ⊆ M. Bez újmy na obecnosti nechť f′(a) >

0. Potom ∃ ξ > 0 takové, že \frac{f(x)−f(a)}{x−a} > 0 ∀x ∈ U(a, ξ). Tedy, je-li x < a, pak x − a < 0 ⇒ f(x) − f(a) < 0 ∀x ∈ P^{−}(a, ξ). Naopak, je-li x > a, pak x − a > 0 ⇒ f(x) − f(a) > 0 ∀x ∈ P^{+} (a, ξ).

\begin{matrix}f(x) < f(a), & x ∈ P^{−}(a, ξ) \\ f(x) > f(a), & x ∈ P^{+} (a, ξ) \end{matrix} \} ⇒ f nemá lokální extrém v a

♯̸ Spor

Typická úloha

f spojitá na [a, b], najděte maximum (minimum) funkce na [a, b]. Postup:

1. f spojitá na [a, b] ⇒ f nabývá maxima, minima

2. V.20- ⇒ tyto extrémy mohou být pouze v bodech, kde:

(i) f′(x_{0}) = 0 (ii) f′(x_{0}) neexistuje (iii) x_{0} = a, x_{0} = b

Příklad:

Tzv. “bačův problém” — bača má k dispozici 100m plotu a chce si s ním oplotit co největší pastvinu. Definuje si tedy hodnotící funkci pastviny

f(x) = 50x − x^{2}, x ∈ [0, 50]

a derivací hledá maximum:

f′(x) existuje pro ∀x ∈ (0, 50)
f′(x) = 50 − 2x
f′(x) = 0 ⇔ x = 25

Tedy máme 3 kandidáty na extrémy:

\begin{aligned}x = 25 & ⇒ f(x) = 625 m^{2} \\ x = 0 & ⇒ f(x) = 0 \\ x = 50 & ⇒ f(x) = 0 \end{aligned}