— —

Chceme definovat transcendentní funkce, zejména:

• exp, log, a^{x}

• goniometrické funkce (sin, cos, tg, cotg)

• cyklometrické funkce (arcsin, arccos, arctg, arccotg)

• hyperbolické funkce (sinh, cosh, tgh, cotgh)

VĚTA 13 (zavedení exponenciální funkce):

∃! reálná funkce “exp” splňující axiomy:

(i) exp(x + y) = expx · expy ∀x, y ∈ ℝ (ii) expx ≥ 1 + x ∀x ∈ ℝ

DŮKAZ:

(A) Jednoznačnost (předpokládáme, že existuje): (1) exp(mx) = (expx)^{m} ∀n ∈ ℕ, x ∈ ℝ: Triviálně indukcí z (i).

(2) exp(0) = 1:

exp(0) = exp(0 + 0) =^{(i)} exp(0)^{2} ⇒ exp(0) = \{ \begin{matrix}1 \\ 0 & nikdy — (ii) \end{matrix}

(3) exp(−x) = \frac{1}{expx} :

1 = exp(0) = exp(x − x) = exp(x) · exp(−x)

(4) expx ≠ 0 ∀x ∈ ℝ: Ihned plyne z (3).

(5) lim_{x→∞} expx = +∞ : Ihned plyne z (ii) — dolní policajt (1 + x).

(6) lim_{x→−∞} expx = 0 : Kombinace (3) a (5).

(7) expx > 1 ∀x > 0: Ihned z (ii).

(8) exp ↗ na ℝ:

x < y ⇒ 1 <^{(7)} exp(y − x) = \frac{expy}{expx} ⇒ expy > expx

(9) lim_{x→0} \frac{expx − 1}{x} = 1 (!)

\frac{1}{expx} =^{(3)} exp(−x) ≥^{(ii)} 1 − x

To znamená:

1 + x ≤^{(ii)} expx ≤ \frac{1}{1 − x}

⇒ x ≤ expx − 1 ≤ \frac{1}{1 − x} − 1 = \frac{x}{1 − x}

⇒ \underbrace{1}_{→1} ≤ \underbrace{\frac{expx − 1}{x}}_{→1} ≤ \underbrace{\frac{1}{1 − x}}_{→1}

— —

(10) exp je spojitá na ℝ:

Pro ∀a ∈ ℝ musí platit:

lim_{x→a}(expx − expa) = lim_{x→a} expa · (\frac{expx}{expa} − 1) =

= lim_{x→a} \underbrace{expa}_{→exp a} \underbrace{(\frac{exp(x − a) − 1}{x − a})}_{(9)_{→} 1} \underbrace{(x − a)}_{→0} =^{VOAL} 0

(11) expx = lim_{x→∞} (1 + \frac{x}{n}) ^{n} ∀x ∈ ℝ (!!)

Takto při definici limitou také dokážeme jednoznačnost — limity jsou jednoznačné.

exp(−\frac{x}{n}) ≥^{(ii)} 1 − \frac{x}{n}

To znamená:

∀x ∈ ℝ, n ∈ ℕ : (1 + \frac{x}{n}) ^{n} ≤ expx ≤ (1 − \frac{x}{n})^{−n}

∀x > 0 : \underbrace{1}_{→1} ≤ \frac{expx}{(1 + \frac{x}{n}) ^{n}} ≤ \underbrace{(1 − \frac{x^{2}}{n^{2}} )^{−n}}_{→1} ≤^{Bernoulli} \underbrace{(1 − \frac{x^{2}}{n} )^{−1}}_{→1}

(pro dost velká n)

(B) Existence:

Dokazujeme existenci lim_{n→∞} (1 + \frac{x}{n}) ^{n} pro ∀x ∈ ℝ.

1. krok \{(1 + \frac{x}{n}) ^{n}\} je rostoucí pro x > 0. Použijeme AG-nerovnost ve tvaru

n+1\sqrt{a_{1} … a_{n+1}} ≤ \frac{a_{1} + a_{2} + ⋯ + a_{n+1}}{n + 1}

pro a_{1} = a_{2} = ⋯ = a_{n} = 1 + \frac{x}{n}, a_{n+1} = 1:

n+1\sqrt{(1 + \frac{x}{n}) ^{n}} ≤^{AG} \frac{(1 + \frac{x}{n}) n + 1}{n + 1} = 1 + \frac{x}{n + 1}

(1 + \frac{x}{n}) ^{n} ≤ (1 + \frac{x}{n + 1} ) ^{n+1}

Tedy je posloupnost \{(1 + \frac{x}{n}) ^{n}\} rostoucí.

2. krok Posloupnost \{(1 + \frac{x}{n}) ^{n}\} je omezená. Víme, že je monotónní, tedy stačí dokázat, že nějaká podposloupnost je omezená. Tvrzení: {a_{n}} monotónní a {a_{n_{k}}} omezená ⇒ {a_{n}} omezená. Důkaz: ⟨cvičení⟩. Dokážeme, že

∀x ∈ ℝ^{+} ∃k ∈ ℕ, ∀n ∈ ℕ : (1 + \frac{x}{nk} ) ^{nk} ≤ (1 − \frac{x}{k})^{k}

— —

Potřebuji k tak velké, aby \frac{x}{k + x} < 2, tj. aby platil Bernoulli.

(1 + \frac{x}{nk} ) ^{−n} = (\frac{nk + x}{nk} )^{−n} = (\frac{nk}{nk + x} )^{n} = (x − \frac{x}{nk + x} )^{n}

≥^{Bernoulli} 1 − \frac{nx}{nk + x} ≥ 1 − \frac{x}{k}, umocnit na k

Poslední nerovnost platí, neboť nkx ≤ nkx + x^{2}.

Q.E.D.

Poznámky:

(i) exp(0) = 1 (ii) exp(1) = lim_{n→∞} (1 + \frac{1}{n}) ^{n} = e (iii) exp je rostoucí, exp: ℝ → (0, ∞) ⇒ exp má inverzní funkci na (0, ∞). Tuto funkci

nazveme přirozeným logaritmem, značíme “log”. (iv) a > 0, def. log_{a} x = \frac{log x}{log a}

VĚTA 14 (základní vlastnosti logaritmu):

Funkce log, definovaná předpisem

log = exp^{−1}

má následující vlastnosti:

(i) D(log) = (0, ∞), log: (0, ∞) → ℝ (ii) log(xy) = logx + logy ∀x, y ∈ (0, ∞), log(x^{n}) = n logx (iii) log je spojitý, rostoucí na (0, ∞), log1 = 0, loge = 1, log1/x = − logx (iv) Základní limity:

lim_{x→0_{+}} logx = −∞

lim_{x→∞} logx = ∞

lim_{x→1} \frac{logx}{x − 1} = lim_{x→1} \frac{log(x + 1)}{x} = 1

DŮKAZ:

Plyne z odpovídajících vlastností funkce exp. ⟨cvičení⟩ Q.E.D.

Obecná mocnina

a > 0 (!), b ∈ ℝ, pak definuji

a^{b} =^{def} exp(b loga)

Speciálně, definuji funkci a^{x} =^{def} exp(x loga). Pro a = e : e^{x} = expx.

— —

Poznámka:

x^{2} = e^{2 log x} = e^{log x+log x} = e^{log x} · e^{log x} = x · x = x^{2}

Sinus

Co od něj chceme?

• definovaná na ℝ

• spojitá

• 2π-periodická

• omezená

• lim_{x→0} \frac{sin x}{x} = 1

• součtové vzorce

• pevné body:

sin(0) = 0, sin(π/2) = 1, sin(π) = 0
sin(0) = 1, sin(π/2) = 0, sin(π) = −1

Středoškolská definice

sinα = \frac{a}{c}

Ale v čem měřím α? Ve stupních vznikne něco “rozhňácaného”, ale s radiány se dostáváme do kruhu, neboť nemáme definovánu obloukovou vzdálenost. Tu bych musel matematicky definovat zase přes sin.

VĚTA 15 (goniometrické funkce): ∃! reálná funkce s a ∃! reálná funkce c takové, že: (i)

\begin{aligned}s(x + y) & = s(x)c(y) + c(x)s(y) \\ c(x + y) & = c(x)c(y) − s(x)s(y) \end{aligned}

(ii) s lichá, c sudá (na ℝ) (iii) s > 0 na (0, 1), s(1) = 0

DŮKAZ:

Nechť takové funkce existují. Pak:

(1) s(0) = 0 (z lichosti)

c(0) = 1:

c(x + (−x)) = c(x)c(−x) − s(x)s(−x) =^{sudost} c^{2}(x) + s^{2}(x)

c(0) = c(0 + 0) = c^{2}(0) + s^{2}(0) = c^{2}(0) ⇒ c(0) = 1

T-O-D-O: Ale to platí i pro c(0) = 0 …?!

(2) c^{2}(x) + s^{2}(x) = 1 ∀x ∈ ℝ Plyne z předchozího — ekvivalentní k c(x + (−x)) = c(0) = 1.

— —

(3) \begin{aligned}∀x ∈ ℝ : s(2x) & = 2s(x)c(x) \\ c(2x) & = c^{2}(x) − s^{2}(x) \end{aligned}

Ihned plyne z (i).

(4) s (1/2) = 1, c (1/2) = 0

\begin{aligned}0 =^{(iii)} s(1) =^{(3)} 2 \underbrace{s (1/2)}_{>0 (iii)} c (1/2) & ⇒ c (1/2) = 0 \\ & ⇒^{(2)} s (1/2) = 1 \end{aligned}

(5) c(1) = −1

c(1) = c (2 · 1/2) =^{(3)} c^{2} (1/2) − s^{2} (1/2) = 0 − 1

(6) s(x + 1) = −s(x) (antiperiodicita):

s(x + 1) = s(x) \underbrace{c(1)}_{−1}+c(x) \underbrace{s(1)}_{0} = −s(x)

s(x + 2) = s(x) (periodicita):

s(x + 2) = s(x)c(2 · 1) + c(x)s(2 · 1)

= s(x) \underbrace{(c^{2}(1) − s^{2}(1))}_{1}+c(x) \underbrace{(2s(1)c(1))}_{0}

= s(x)

(7) s (1/2 − x) = c(x)

s (1/2 − x) = \underbrace{s (1/2)}_{1}c(x) − \underbrace{c (1/2)}_{0}s(x) = c(x)

(8) c > 0 na (0, 1/2) — z (7) a (iii)

(9) s je rostoucí na (0, 1/2), c je klesající na (0, 1/2). Volíme x, y tak, aby 0 < x − y < x < 1/2 (tedy také 0 < y < x),

\begin{aligned}s(x − y) & = s(x) \underbrace{c(y)}_{≤1}− \underbrace{c(x)s(y)}_{>0 (8), (iii)} \\ & ≤ s(x) \end{aligned}

(10-)

\begin{aligned}c (1/2^{n}) & = \sqrt{\frac{1 + c1/2^{n−1}}{2}} \\ s (1/2^{n}) & = \sqrt{\frac{1 − c1/2^{n−1}}{2}} \end{aligned}

⟨cvičení⟩

(10) s, c spojité v bodě 0.

V bodech k2^{−n} definujeme funkce s, c dle (10–). V ostatních bodech (x ≠ k2^{−n}) pak limitně supremem:

x ≠ k2^{−n} : s(x) = sup{s(y), y = k2^{−n}, y < x}, x ∈ (0, 1/2) Stačí definovat na (0, 1/2), na zbytku nadefinujeme z periodicity a antiperiodicity. a_{n} := c (1/2^{n}), pak a_{n+1} = \sqrt{\frac{1+a_{n}}{2}} . Podle (9) je a_{n} rostoucí a omezená ⇒ lima_{n} =

A, A = \sqrt{\frac{1+A}{2}} ⇒ A = 1 ⇒ lim_{x→0} s(0) = 0 ⇒ c je spojité.

— —

(11) s(a) − s(b) = 2s (\frac{a−b}{2}) c (\frac{a+b}{2} )

⟨cvičení⟩: Z (i).

(12) s, c spojité na ℝ:

lim_{x→a}(s(x) − s(a)) =^{(ii)} 2 lim_{x→a} \underbrace{s (\frac{x − a}{2})}_{→0} \underbrace{c (\frac{x + a}{2} )}_{≤1}

(13) Existuje vlastní lim_{x→0} \frac{s(x)}{x} = π . (Důležité!)

t(x) =^{def} \frac{s(x)}{c(x)}, x ∈ ℝ \ \{1/2 + k\}

Potom t je lichá, rostoucí na (−1/2, 1/2) a

t(x + y) = \frac{t(x) + t(y)}{1 − t(x)t(y)}

t (1/4) = 1

\begin{aligned}x, y ∈ (0, 1/4) : t(x + y) & ≥ t(x) + t(y) \\ s(x + y) & ≤ s(x) + s(y) \end{aligned}

⇒ t(x) ≥ s(x)

⇒ ∀k, m, n ∈ ℕ, k2^{−n} ∈ (0, 1/4) :

t(k2^{−n}) ≥ kt(2^{−n}) ≥ ks(2^{−n}) ≥ \frac{k}{m}s(2^{−n}m)

⇒ \frac{t(k2^{−n})}{k2^{−n}} ≥ \frac{s(2^{−n}m)}{m2^{−n}}

⇒ \frac{t(y)}{y} ≥ \frac{s(y)}{y} ∀x, y ∈ (0, 1/2)

Definujeme π := inf_{y∈(0,1/2)} \frac{t(y)}{y} .

\underbrace{π}_{→π} ≥ \underbrace{\frac{s(x)}{x} = \frac{t(x)}{x}c(x)}_{→π(policie)} ≥ \underbrace{πc(x)}_{→π1}

Q.E.D.

Definujeme:

sin(x) = s (\frac{x}{π} )
cos(x) = c (\frac{x}{π} )
tg(x) = \frac{sinx}{cosx}
cotg(x) = \frac{cosx}{sinx}

Pak bude platit:

(i) sin, cos jsou 2π–periodické, π–antiperiodické a spojité na ℝ (ii) sin je rostoucí na (−π/2, π/2) (iii) cos je klesající na (0, π)

— —

(iv) Základní limity:

lim_{x→0} \frac{sinx}{x} = 1

lim_{x→0} \frac{tgx}{x} = 1

lim_{x→0} \frac{1 − cosx}{x^{2}} = lim_{x→0} \frac{1 − cos^{2} x}{x^{2}(1 + sinx)} = 1/2

Poznámky:

(i) Alternativní způsob:

exp(x) = ∑_{n=0}^{∞} \frac{x^{n}}{n!} = 1 + x + \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{6} + ⋯

E(x) := ∑_{n=0}^{∞} \frac{x^{n}}{n!} =^{?} lim_{n→∞} (1 + \frac{x}{n}) ^{n}

Buď můžeme dokázat pomocí odhadů, že

lim_{n→∞} (1 + \frac{x}{n}) ^{n} = lim_{n→∞} ∑_{k=0}^{n} \frac{x^{k}}{k!},

nebo dokázat, že:

E(x + y) = E(x) · E(y) (součin řad) E(x) ≥ 1 + x (pro y > 0 triviální)

sin(x) = ∑_{n=0}^{∞}(−1)^{n} \frac{x^{2n+1}}{(2n + 1)!} = x − \frac{x^{3}}{6} + \frac{x^{5}}{5!} − ⋯

cos(x) = ∑_{n=0}^{∞}(−1)^{n} \frac{x^{2}n}{(2n)!} = 1 − \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{4}}{4!} − ⋯

(ii) Základní limity:

lim_{x→0} \frac{e^{x} − 1}{x} = 1

lim_{x→0} \frac{sinx}{x} = 1

a > 0 : lim_{x→0} \frac{a^{x} − 1}{x} = lim_{x→0} \frac{e^{x log a} − 1}{\underbrace{x loga}_{→1}} loga = loga

lim_{x→0} \frac{1 − cosx}{x^{2}} = lim_{x→0} \frac{1 − cos^{2} x}{x^{2}(1 + cosx)} = lim_{x→0} \underbrace{\frac{sin^{2} x}{x^{2}}}_{→1}· \underbrace{\frac{1}{1 + cosx}}_{→1/2} = 1/2

Tedy v nule se e^{x}−1 a sinx chovají v okolí nuly stejně jako lineární, 1−cosx jako kvadratické.

lim_{x→0} \frac{1 − cosx}{x} = lim_{x→0} \frac{1 − cosx}{x^{2}}x = 0