\input /home/pasky/school/fastex/lib.tex \newcount\oldlistlevel %\chapter{Zavedení elementární funkce}{ Chceme definovat transcendentní funkce, zejména: \list{ \olistItem{$\exp$, $\log$, $a^x$} \olistItem{goniometrické funkce ($\sin$, $\cos$, $\tg$, $\cotg$)} \olistItem{cyklometrické funkce ($\arcsin$, $\arccos$, $\arctg$, $\arccotg$)} \olistItem{hyperbolické funkce ($\sinh$, $\cosh$, $\tgh$, $\cotgh$)} } \theorem{13}{zavedení exponenciální funkce}{ $\onexists$ reálná funkce ``$\exp$'' splňující axiomy: \list{ \listItem{$\exp(x+y) = \exp x \cdot \exp y\qquad \forall x,y \in \real$} \listItem{$\exp x \ge 1 + x\qquad \forall x \in \real$} } \proof{ \list{ \namedListItem{A}{Jednoznačnost (předpokládáme, že existuje): \list{ \oldlistlevel=\listlevel \listlevel=2 \listItem{%1 $\exp(mx) = (\exp x)^m\quad \forall n \in \nat, x \in \real$: Triviálně indukcí z (i). } \listItem{%2 $\exp(0) = 1$: $$ \exp(0) = \exp(0+0) \becauseof{(i)}{=} \exp(0)^2 \Rightarrow \exp(0) = \cases{1&\cr 0&nikdy --- (ii)} $$ } \listItem{%3 \M{\exp(-x) = {1\over\exp x}}: $$ 1 = \exp(0) = \exp(x-x) = \exp(x) \cdot \exp(-x) $$ } \listItem{%4 $\exp x \ne 0\quad \forall x \in \real$: Ihned plyne z (3). } \listItem{%5 \M{\lim_{x\to \infty} \exp x = +\infty}: Ihned plyne z (ii) --- dolní policajt $(1+x)$. } \listItem{%6 \M{\lim_{x\to -\infty} \exp x = 0}: Kombinace (3) a (5). } \listItem{%7 $\exp x > 1\quad \forall x > 0$: Ihned z (ii). } \listItem{%8 $\exp \nearrow$ na $\real$: $$ x < y \Rightarrow 1 \becauseof{(7)}{<} \exp(y-x) = {\exp y\over \exp x} \Rightarrow \exp y > \exp x $$ } \listItem{%9 \M{\lim_{x\to 0} {\exp x - 1\over x} = 1} (!) $$ {1\over\exp x} \becauseof{(3)}{=} \exp(-x) \becauseof{(ii)}{\ge} 1-x $$ To znamená: $$ 1+x \becauseof{(ii)}{\le} \exp x \le {1\over 1-x} $$ $$ \Rightarrow x \le \exp x - 1 \le {1\over1-x}-1 = {x \over 1-x} $$ $$ \Rightarrow \undernote{1}{\to1} \le \undernote{\exp x - 1\over x}{\to1} \le \undernote{1\over1-x}{\to1} $$ } \listItem{%10 $\exp$ je spojitá na $\real$: Pro $\forall a \in \real$ musí platit: $$ \lim_{x\to a} (\exp x - \exp a) = \lim_{x\to a} \exp a \cdot \left({\exp x \over \exp a} - 1\right) = $$ $$ = \lim_{x\to a} \undernote{\exp a}{\to \exp a} \undernote{\left(\exp(x-a)-1\over x-a\right)}{\becauseof{(9)}{\to} 1} \undernote{(x-a)}{\to 0} \becauseof{\ref{VOAL}}{=} 0 $$ } \listItem{%11 \M{\exp x = \lim_{x\to \infty} \left(1+{x\over n}\right)^n\quad \forall x \in \real} (!!) Takto při definici limitou také dokážeme jednoznačnost --- limity jsou jednoznačné. $$ \exp\left(-{x\over n}\right) \becauseof{(ii)}{\ge} 1-{x\over n} $$ To znamená: $$ \forall x \in \real, n \in \nat: \left(1+{x \over n}\right)^n \le \exp x \le \left(1-{x\over n}\right)^{-n} $$ $$ \forall x > 0:\ \undernote{1}{\to1} \le {\exp x \over \left(1+{x \over n}\right)^n} \le \undernote{\left(1-{x^2\over n^2}\right)^{-n}}{\to1} \becauseof{\ref{Bernoulli}}{\le} \undernote{\left(1-{x^2\over n}\right)^{-1}}{\to1} $$ (pro dost velká $n$) } \listlevel=\oldlistlevel } } \namedListItem{B}{Existence: Dokazujeme existenci \M{\lim_{n\to \infty} \left(1+{x\over n}\right)^n} pro $\forall x \in \real$. \medskip \scpart{1. krok}{ \M{\{\left(1+{x\over n}\right)^n\}} je rostoucí pro $x>0$. Použijeme \ref{AG-nerovnost} ve tvaru $$\root{n+1}\of{\strut a_1\ldots a_{n+1}} \le {a_1 + a_2 + \cdots + a_{n+1}\over n+1}$$ pro $a_1 = a_2 = \cdots = a_n = 1+ {x \over n}$, $a_{n+1} = 1$: $$ \root{n+1}\of{\left(1+{x\over n}\right)^n} \becauseof{AG}{\le} {\left(1+{x\over n}\right)n + 1\over n + 1} = 1+ {x\over n+1} $$ $$ \left(1+{x\over n}\right)^n \le \left(1+{x\over n+1}\right)^{n+1} $$ Tedy je posloupnost \M{\{\left(1+{x\over n}\right)^n\}} rostoucí. } \medskip \scpart{2. krok}{ Posloupnost \M{\{\left(1+{x\over n}\right)^n\}} je omezená. Víme, že je monotónní, tedy stačí dokázat, že nějaká podposloupnost je omezená. \shortdef{Tvrzení}{$\{a_n\}$ monotónní a $\{a_{n_k}\}$ omezená $\Rightarrow$ $\{a_n\}$ omezená. Důkaz: \DCV.} Dokážeme, že $$\forall x \in \real^+\ \exists k \in \nat,\ \forall n \in \nat: \left(1+{x\over nk}\right)^{nk} \le \left(1-{x\over k}\right)^k$$ Potřebuji $k$ tak velké, aby \M{{x\over k + x} < 2}, tj. aby platil \ref{Bernoulli}. $$\left(1+{x\over nk}\right)^{-n} = \left(nk+x\over nk\right)^{-n} = \left(nk\over nk+x\right)^{n} = \left(x-{x\over nk+x}\right)^{n} $$ $$\becauseof{\ref{Bernoulli}}{\ge} 1 - {nx\over nk+x} \ge 1 - {x\over k}, \textbox{umocnit na $k$} $$ Poslední nerovnost platí, neboť $nkx \le nkx + x^2$. } } \medskip \qed } } \notes{ \list{ \listItem{$\exp(0) = 1$ } \listItem{$\exp(1) = \lim_{n\to \infty} \left(1+{1\over n}\right)^n = e$ } \listItem{$\exp$ je rostoucí, $\exp\colon \real \to (0,\infty)$ $\Rightarrow$ $\exp$ má inverzní funkci na $(0,\infty)$. Tuto funkci nazveme přirozeným logaritmem, značíme ``$\log$''. } \listItem{$a > 0$, def. $\log_a x = {\log x \over \log a}$ } } } } \theorem{14}{základní vlastnosti logaritmu}{ Funkce $\log$, definovaná předpisem $$\log = \exp^{-1}$$ má následující vlastnosti: \list{ \listItem{$D(\log) = (0,\infty)$, $\log\colon (0,\infty) \to \real$ } \listItem{$\log(xy) = \log x + \log y\quad \forall x,y\in(0,\infty)$, $\log(x^n) = n\log x$ } \listItem{$\log$ je spojitý, rostoucí na $(0,\infty)$, $\log 1 = 0$, $\log e = 1$, $\log {1/x} = -\log x$ } \listItem{Základní limity: $$\lim_{x\to 0_+} \log x = -\infty$$ $$\lim_{x\to \infty} \log x = \infty$$ $$\lim_{x\to 1} {\log x\over x - 1} = \lim_{x\to 1} {\log (x+1)\over x} = 1$$ } } \proof{ Plyne z odpovídajících vlastností funkce $\exp$. \DCV \qed } } \scpart{Obecná mocnina}{ $a > 0$ (!), $b \in \real$, pak definuji $$ a^b \defined \exp(b\log a) $$ Speciálně, definuji funkci $a^x \defined \exp(x\log a)$. Pro $a = e:\ e^x = \exp x$. \penalty-100 \note{ $$x^2 = e^{2\log x} = e^{\log x + \log x} = e^{\log x}\cdot e^{\log x} = x\cdot x = x^2$$ } } \scpart{Sinus}{ \scpart{Co od něj chceme?}{ \list{ \olistItem{definovaná na $\real$ } \olistItem{spojitá } \olistItem{$2\pi$-periodická } \olistItem{omezená } \olistItem{$\lim_{x\to0}{\sin x\over x} = 1$ } \olistItem{součtové vzorce } \olistItem{pevné body: $$ \eqalign{\sin(0) = 0,&\ \sin({\pi/2})=1,\ \sin(\pi) = 0\cr \sin(0) = 1,&\ \sin({\pi/2})=0,\ \sin(\pi) = -1} $$ } } } \scpart{Středoškolská definice}{ $$\sin \a = {a\over c}$$ Ale v čem měřím $\a$? Ve stupních vznikne něco ``rozhňácaného'', ale s radiány se dostáváme do kruhu, neboť nemáme definovánu obloukovou vzdálenost. Tu bych musel matematicky definovat zase přes $\sin$. } \theorem{15}{goniometrické funkce}{ $\onexists$ reálná funkce $s$ a $\onexists$ reálná funkce $c$ takové, že: \list{ \listItem{$$\eqalign{s(x+y) &= s(x)c(y) + c(x)s(y)\cr c(x+y) &= c(x)c(y) - s(x)s(y)}$$} \listItem{$s$ lichá, $c$ sudá (na $\real$)} \listItem{$s > 0$ na $(0,1)$, $s(1) = 0$} } \proof{ Nechť takové funkce existují. Pak: \list{ \oldlistlevel=\listlevel \listlevel=2 \listItem{%1 $s(0) = 0$ (z lichosti) $c(0) = 1$: $$ c(x + (-x)) = c(x)c(-x) - s(x)s(-x) \becauseof{sudost}{=} c^2(x) + s^2(x) $$ $$ c(0) = c(0+0) = c^2(0) + s^2(0) = c^2(0) \Rightarrow c(0) = 1 $$ \TODO{Ale to platí i pro $c(0) = 0$ $\ldots$?!} } \listItem{%2 $c^2(x) + s^2(x) = 1\quad \forall x \in \real$ Plyne z předchozího --- ekvivalentní k $c(x + (-x)) = c(0) = 1$. } \listItem{%3 \M{\eqalign{\forall x \in \real:\ s(2x) &= 2s(x)c(x)\cr c(2x) &= c^2(x)-s^2(x)}} Ihned plyne z (i). } \listItem{%4 $s\left(1/2\right) = 1,\ c\left(1/2\right) = 0$ $$ \eqalign{0 \becauseof{(iii)}{=} s(1) \becauseof{(3)}{=} 2 \* \undernote{s\left(1/2\right)}{> 0 \textbox{(iii)}} \* c\left(1/2\right) &\Rightarrow c\left(1/2\right) = 0\cr &\becauseof{(2)}{\Rightarrow} s\left(1/2\right) = 1} $$ } \listItem{%5 $c(1) = -1$ $$ c(1) = c\left(2\cdot{1/2}\right) \becauseof{(3)}{=} c^2\left(1/2\right) - s^2\left(1/2\right) = 0 - 1 $$ } \listItem{%6 $s(x+1)=-s(x)$ (antiperiodicita): $$ s(x+1) = s(x)\undernote{c(1)}{-1} + c(x)\undernote{s(1)}{0} = -s(x) $$ $s(x+2)=s(x)$ (periodicita): $$ \eqalign{s(x+2) &= s(x)c(2\cdot1) + c(x)s(2\cdot1)\cr &= s(x)\undernote{(c^2(1) - s^2(1))}{1} + c(x)\undernote{(2s(1)c(1))}{0}\cr &= s(x) } $$ } \listItem{%7 $s\left({1/2}-x\right) = c(x)$ $$ s\left({1/2}-x\right) = \undernote{s\left(1/2\right)}{1}c(x) - \undernote{c\left(1/2\right)}{0}s(x) = c(x) $$ } \listItem{%8 $c>0$ na $\left(0,{1/2}\right)$ --- z (7) a (iii) } \listItem{%9 $s$ je rostoucí na $\left(0,{1/2}\right)$, $c$ je klesající na $\left(0,{1/2}\right)$. Volíme $x$, $y$ tak, aby $0 < x - y < x < {1/2}$ (tedy také $0 < y < x$), $$ \eqalign{s(x-y) &= s(x)\undernote{c(y)}{\le1} - \undernote{c(x)s(y)}{>0 \textbox{(8), (iii)}}\cr &\le s(x)} $$ } \namedListItem{10-}{ $$\eqalign{c\left(1/2^n\right) &= \sqrt{1+c{1/2^{n-1}}\over2}\cr s\left(1/2^n\right) &= \sqrt{1-c{1/2^{n-1}}\over2}} $$ \DCV } \listItem{%10 $s$, $c$ spojité v bodě 0. V bodech $k2^{-n}$ definujeme funkce $s$, $c$ dle (10--). V ostatních bodech ($x \ne k2^{-n}$) pak limitně supremem: $$ x \ne k2^{-n}:\ s(x) = \sup \{s(y), y = k2^{-n}, y < x\},\ x \in \left(0,{1/2}\right)$$ Stačí definovat na $\left(0,{1/2}\right)$, na zbytku nadefinujeme z periodicity a antiperiodicity. $a_n := c\left(1/2^n\right)$, pak $a_{n+1} = \sqrt{1+a_n\over2}$. Podle (9) je $a_n$ rostoucí a omezená $\Rightarrow$ $\lim a_n = A$, $A = \sqrt{1+A\over2}$ $\Rightarrow$ $A = 1$ $\Rightarrow$ $\lim_{x\to0} s(0) = 0$ $\Rightarrow$ $c$ je spojité. } \listItem{%11 $s(a) - s(b) = 2s\left(a-b\over2\right)c\left(a+b\over2\right)$ \DCV: Z (i). } \listItem{%12 $s$, $c$ spojité na $\real$: $$ \lim_{x\to a} (s(x)-s(a)) \becauseof{(ii)}{=} 2\lim_{x\to a} \undernote{s\left(x-a\over2\right)}{\to0} \undernote{c\left(x+a\over2\right)}{\le1} $$ } \listItem{%13 Existuje vlastní \M{\lim_{x\to 0} {s(x)\over x} = \pi}. {\bf (Důležité!)} $$ t(x) \defined {s(x) \over c(x)},\ x \in \real \setminus \{{\hbox{$1/2$}}+k\} $$ Potom $t$ je lichá, rostoucí na $\left(-{1/2},{1/2}\right)$ a $$ t(x + y) = {t(x)+t(y) \over 1 - t(x)t(y)} $$ $$ t\left(1/4\right) = 1 $$ $$ \eqalign{x,y \in \left(0,{1/4}\right):\ t(x+y) &\ge t(x)+t(y)\cr s(x+y) &\le s(x)+s(y)} $$ $$ \Rightarrow t(x) \ge s(x) $$ $$ \Rightarrow\ \forall k,m,n \in \nat,\ k2^{-n} \in \left(0,{1/4}\right): $$ $$ t(k2^{-n}) \ge kt(2^{-n}) \ge ks(2^{-n}) \ge {k\over m}s(2^{-n}m) $$ $$ \Rightarrow {t(k2^{-n})\over k2^{-n}} \ge {s(2^{-n}m) \over m2^{-n}} $$ $$ \Rightarrow {t(y)\over y} \ge {s(y)\over y}\qquad \forall x,y \in \left(0, {1/2}\right) $$ Definujeme \M{\pi := \inf_{y\in\left(0,{1/2}\right)} {t(y)\over y}}. $$ \undernote{\pi}{\to\pi} \ge \undernote{{s(x)\over x} = {t(x)\over x}c(x)}{\to\pi (policie)} \ge \undernote{\pi c(x)}{\to\pi1} $$ \qed } \listlevel=\oldlistlevel } } Definujeme: $$ \eqalign{\sin(x) &= s\left(x\over\pi\right)\cr \cos(x) &= c\left(x\over\pi\right)\cr \tg(x) &= {\sin x\over\cos x}\cr \cotg(x)&= {\cos x\over\sin x}} $$ Pak bude platit: \list{ \listItem{$\sin, \cos$ jsou $2\pi$--periodické, $\pi$--antiperiodické a spojité na $\real$} \listItem{$\sin$ je rostoucí na $\left(-{\pi/2},{\pi/2}\right)$} \listItem{$\cos$ je klesající na $\left(0,\pi\right)$} \listItem{Základní limity: $$\lim_{x\to 0} {\sin x\over x} = 1$$ $$\lim_{x\to 0} {\tg x\over x} = 1$$ $$\lim_{x\to 0} {1-\cos x\over x^2} = \lim_{x\to 0} {1-\cos^2 x\over x^2(1+\sin x)} = {1/2}$$ } } } } \notes{ \list{ \listItem{Alternativní způsob: $$ \exp(x) = \sum_{n=0}^\infty {x^n\over n!} = 1 + x + {x^2\over2} + {x^3\over6} + \cdots $$ $$ E(x) := \sum_{n=0}^\infty {x^n\over n!} \hypothetically{=} \lim_{n\to \infty} \left(1+{x\over n}\right)^n $$ Buď můžeme dokázat pomocí odhadů, že $$\lim_{n\to \infty} \left(1+{x\over n}\right)^n = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=0}^n {x^k\over k!},$$ nebo dokázat, že: $$ E(x+y) = E(x) \cdot E(y) \textnote{součin řad} $$ $$ E(x) \ge 1 + x \textnote{pro $y>0$ triviální} $$ $$ \sin(x) = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n {x^{2n+1}\over(2n+1)!} = x - {x^3\over6} + {x^5\over5!} - \cdots $$ $$ \cos(x) = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n {x^2n\over(2n)!} = 1 - {x^2\over2} + {x^4\over4!} - \cdots $$ } \listItem{Základní limity: $$ \lim_{x\to0} {e^x-1\over x} = 1 $$ $$ \lim_{x\to0} {\sin x\over x} = 1 $$ $$ a>0:\ \lim_{x\to0} {a^x-1\over x} = \lim_{x\to 0} {e^{x\log a}-1\over \undernote{x\log a}{\to 1}}\log a = \log a $$ $$ \lim_{x\to0} {1 - \cos x\over x^2} = \lim_{x\to 0} {1 - \cos^2 x\over x^2(1+\cos x)} = \lim_{x\to0} \undernote{\sin^2x\over x^2}{\to 1} \cdot \undernote{1\over1+\cos x}{\to 1/2} = {1/2} $$ Tedy v nule se $e^x-1$ a $\sin x$ chovají v okolí nuly stejně jako lineární, $1-\cos x$ jako kvadratické. $$ \lim_{x\to0} {1-\cos x\over x} = \lim_{x\to0} {1-\cos x\over x^2}x = 0 $$ } } } \bend