— — Konvexní a konkávní funkce

Konvexní a konkávní funkce

Definice:

Nechť f má v bodě a ∈ ℝ vlastní derivaci. Označíme

T_{a} = {[x, y] ∈ ℝ^{2}, y = f(a) + f′(a)(x − a)}.

Řekneme, že bod [x, f(x)] ∈ ℝ^{2} leží nad (pod) tečnou T_{a}, jestliže f(x) > f(a) + f′(a)(x − a) (resp. f(x) < …).

Definice:

Nechť f má v bodě a ∈ ℝ vlastní derivaci. Řekneme, že f má v bodě a inflexi, jestliže ∃ δ tak, že:

Buď: ∀x ∈ (a − δ, a) : [x, f(x)] leží nad T_{a} a ∀x ∈ (a, a + δ) : [x, f(x)] leží pod T_{a} nebo: ∀x ∈ (a − δ, a) : [x, f(x)] leží pod T_{a} a ∀x ∈ (a, a + δ) : [x, f(x)] leží nad T_{a}.

VĚTA 27 (nutná podmínka existence inflexe):

Jestliže f′′(a) ≠ 0, pak f nemá v bodě a inflexi.

DŮKAZ:

Bez újmy na obecnosti nechť f′′(a) > 0. Potom

lim_{x→a} \frac{f′(x) − f′(a)}{x − a} > 0

Tedy ∃ δ > 0 takové, že

∀x ∈ (a, a + δ) : f′(x) > f′(a) ∧ ∀x ∈ (a − δ, a) : f′(x) < f′(a)

Zvolme y ∈ (a, a + δ). Pak f je spojitá na [a, y] a ∃ f′ na (a, y). Tedy dle pana Lagrange ∃ ξ ∈ (a, y):

\frac{f(x) − f(a)}{y − a} = f′(ξ) > f′(a)

f(y) > f(a) + f′(a)(y − a) ∀y ∈ (a, a + δ)

Tedy jsme nad T_{a}. Analogicky: Zvolme z ∈ (a − δ, a). Pak f je spojitá na [z, a] a ∃ f′ na (z, a). Tedy dle pana Lagrange

∃ ψ ∈ (z, a):

\frac{f(a) − f(z)}{a − z} = f′(ψ) < f′(a)

f(z) < f(a) + f′(a)(z − a) ∀z ∈ (a − δ, a)

Tedy není inflexe v a!

Poznámky:

(i) f′′(a) = 0 ⇏ f má v bodě a inflexi! Viz f(x) = x^{4}, a = 0. f′(x) = 4x^{3}, f′′(x) = 12x^{2}, f′′(0) = 0.

(ii) Jestliže f′′(a) neexistuje, pak f může a nemusí mít inflexi v bodě a. Viz f(x) = x|x|. f′′(0) neexistuje, ale f má v bodě nula inflexní bod.

VĚTA 28 (postačující podmínka pro existenci inflexe):

Nechť f má spojitou první derivaci na intervalu (a, b). Nechť z ∈ (a, b). Nechť pro ∀x ∈ (a, z) platí f′′(x) > 0 a pro ∀x ∈ (z, b) platí f′′(x) < 0 (nebo naopak). Pak z je bod inflexe funkce f.

DŮKAZ:

Nechť f′′ > 0 na (a, z), f′′ < 0 na (z, b). Potom dle V.26- je f′ rostoucí na (a, z) a klesající na (z, b).

∃ ξ ∈ (z, b) : \frac{f(b) − f(z)}{b − z} = f′(ξ) < f′(z)

⇒ f(b) < f(z) + f′(z)(b − z)

(pod tečnou)

∃ η ∈ (a, z) : \frac{f(z) − f(a)}{z − a} = f′(η) < f′(z)

⇒ f(a) > f(z) + f′(z)(a − z)

(nad tečnou) Totéž platí pro každý bod x ∈ (z, b) a y ∈ (a, z), tedy

\begin{matrix}f(x) & < f(z) + f′(z)(x − z) \\ f(y) & > f(z) + f′(z)(y − z) \end{matrix} \} ⇒ f má v bodě z inflexi.

Q.E.D.

Příklad:

f(x) = arctgx

f′(x) = \frac{1}{1 + x^{2}}

f′′(x) = \frac{−1}{(1 + x^{2})^{2}} 2x

f′′(x) = \frac{−2x}{(1 + x^{2})^{2}} \{ \begin{matrix}> 0 & pro x < 0 \\ < 0 & pro x > 0 \end{matrix} ⇒ f má v 0 inflexi

f′′(0) existuje ⇒ f′′(0) = 0

T-O-D-O: TADY TOHO HODNĚ CHYBÍ! (DEFINICE KONK/KONV, TŘI VĚTY, ASYMP-TOTY, …)

Asymptoty

(Zhruba.)

lim_{x→∞} f(x)/x = a

lim_{x→∞} f(x) − ax = b

Pokud jsou obě limity konečné, asymptota je

y = ax + b

(jinak asymptota není). (Ekviv. druhá asymptota pro −∞.)