— — L’Hospital a přátelé

L’Hospital a přátelé

Idea

Počítat limity přes derivace, když jsou tak derivace definované.

lim_{x→0_{+}} \frac{f(x) − f(a)}{g(x) − g(a)} = lim \frac{\frac{f(x)−f(a)}{x−a}}{\frac{g(x)−g(a)}{x−a}} =^{?} \begin{matrix}lim & … \\ lim & … \end{matrix} =^{?} \frac{f′(a)}{g′(a)}

VĚTA 21 (Rolleova):

Nechť f je spojitá na [a, b], a < b a nechť existuje f′(x) pro každé x ∈ (a, b). Nechť f(a) = f(b). Pak existuje ξ ∈ (a, b) takové, že f′(ξ) = 0.

DŮKAZ:

(i) Nechť f(x) = f(a) pro ∀x ∈ [a, b], pak f′(x) = 0 pro ∀x ∈ (a, b).

(ii) Nechť ∃ x ∈ (a, b), f(x) ≠ f(a), tedy bez újmy na obecnosti f(x) > f(a). Protože f je spojitá na [a, b], existuje lokální extrém ξ ∈ [a, b] (největší f(x)). Dle předpokladu f′(ξ) musí existovat, tedy podle V.20- je f′(ξ) = 0.

Q.E.D.

VĚTA 22 (Lagrangeova věta o střední hodnotě):

Nechť f je spojitá na [a, b], a < b a nechť existuje f′(x) pro ∀x ∈ (a, b). Potom ∃ ξ ∈ (a, b) takové, že

f′(ξ) = \frac{f(b) − f(a)}{b − a}.

(Tedy existuje v nějakém bodě derivace (tečna) rovnoběžná s nakloněnou podstavou (spojnicí krajních bodů). T-O-D-O: Obrázek.)

DŮKAZ:

Definujme

F (x) := f(x) − f(a) − \frac{f(b) − f(a)}{b − a} · (x − a)

(na základě divoké analyticko-geometrické úvahy). Potom F (a) = 0 ∧ F (b) = 0. Pak podle Rolleovy věty ∃ ξ ∈ (a, b) : F′(ξ) = 0. Tedy

0 = F′(ξ) = f′(ξ) − \frac{f(b) − f(a)}{b − a}

a tudíž

f′(ξ) = \frac{f(b) − f(a)}{b − a}.

Q.E.D.

VĚTA 23 (Cauchyova věta o střední hodnotě):

Nechť f, g jsou spojité na [a, b], a < b a nechť ∃ f′(x) pro ∀x ∈ (a, b) a ∃ g′(x) vlastní a nenulová pro ∀x ∈ (a, b). Potom ∃ ξ ∈ (a, b) takové, že

\frac{f(b) − f(a)}{g(b) − g(a)} = \frac{f′(ξ)}{g′(ξ)}

DŮKAZ:

g(a) ≠ g(b), neboť jinak by dle Rolleovy věty existovalo ξ ∈ (a, b) : g′(ξ) = 0, což by byl spor. Definujeme

H(x) := (f (x) − f (a))(g (x) − g (a)) − (g (x) − g (a))(f (x) − f (a)).

Potom H(a) = H(b) = 0, H je spojitá na [a, b], existuje H′ na [a, b]. Tedy dle Rolleovy věty ∃ ξ ∈ (a, b) takové, že

0 = H′(ξ) = f′(ξ) (g (b) − g (a)) − g′(ξ) (f (b) − f (a)) ⇒ \frac{f(b) − f(a)}{g(b) − g(a)} = \frac{f′(ξ)}{g′(ξ)}

(neboť g′(ξ) ≠ 0, g(b) − g(a) ≠ 0).

Q.E.D.

VĚTA 24 (L’Hospitalovo pravidlo):

Nechť a ∈ ℝ^{∗} a funkce f, g jsou definovány na nějakém P^{+} (a, δ).

(i) Nechť lim_{x→a_{+}} f(x) = lim_{a→a_{+}} g(x) = 0 a existuje

lim_{x→a_{+}} \frac{f′(x)}{g′(x)}.

Potom

lim_{x→a_{+}} \frac{f(x)}{g(x)} = lim_{x→a_{+}} \frac{f′(x)}{g′(x)}.

(ii) Nechť lim_{x→a_{+}} |g(x)| = +∞ a existuje

lim_{x→a_{+}} \frac{f′(x)}{g′(x)}.

Potom

lim_{x→a_{+}} \frac{f(x)}{g(x)} = lim_{x→a_{+}} \frac{f′(x)}{g′(x)}.

Příklad:

lim_{x→0} \frac{x − sinx}{x^{3}} = lim_{x→0} \frac{1 − cosx}{3x^{2}} = lim_{x→0} \frac{sinx}{6x} = lim_{x→0} \frac{cosx}{6} = \frac{1}{6}

DŮKAZ:

(i) Nechť a ∈ ℝ a nechť

lim_{x→a_{+}} \frac{f′(x)}{g′(x)} = A ∈ ℝ.

Potom

∃ δ > 0, ∀x ∈ P^{+} (a, δ) : ∃ f′(x) ∈ ℝ, g′(x) ∈ ℝ \ {0}.

“Dodefinuji” funkce f a g v bodě A: f(a) = g(a) = 0. Nyní nechť x ∈ P^{+} (a, δ). (Obrázek.) Potom f, g jsou spojité na [a, x], neboť obě mají vlastní derivaci na celém P^{+} (a, δ).

Tedy jsou splněny předpoklady V.23- (na intervalu [a, x]!) a proto platí, že ∃ ξ ∈ (a, x) takové, že

\frac{f′(ξ)}{g′(ξ)} = \frac{f(x) − f(a)}{g(x) − g(a)}

(ξ závisí na x! Značíme ξ = ξ(x).) Zvolme ε > 0. Víme, že existuje ω > 0 takové, že

∀y ∈ P^{+} (a, ω) : \frac{f′(y)}{g′(y)} ∈ U(A, ε).

Pro x ∈ P^{+} (a, δ) ∩ P^{+} (a, ω) najdeme ξ = ξ(x) podle receptu na začátku důkazu. Potom

\frac{f′(ξ)}{g′(ξ)} ∈ U(A, ε).

Víme ale, že

\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f(x) − f(a)}{g(x) − g(a)} = \frac{f′(ξ)}{g′(ξ)},

tedy také

\frac{f(x)}{g(x)} ∈ U(A, ε).

Takže

lim_{x→a_{+}} \frac{f(x)}{g(x)} = A = lim_{x→a_{+}} \frac{f′(x)}{g′(x)}.

(i) a = −∞ Převedeme na předchozí případ pomocí substituce

\begin{matrix}F (y) = f (−\frac{1}{y} ) , & F′(y) = f′ (−\frac{1}{y} ) · \frac{1}{y} \\ G(y) = g (−\frac{1}{y} ) , & G′(y) = g′ (−\frac{1}{y} ) · \frac{1}{y} \end{matrix}

⟹ \underbrace{lim_{y→0_{+}} \frac{F (y)}{G(y)}}_{=lim_{x→−∞} \frac{f(x)}{g(x)}} = lim_{y→0_{+}} \frac{F′(y)}{G′(y)} = lim_{x→−∞} \frac{f′(x)}{y′(x)}

(ii) Technická záležitost, považujeme za dokázané (nezkouší se).

Poznámky, příklady, varování:

(i) lim_{x→0} \frac{3x + 1}{2x + 2} ≠ lim_{x→0} \frac{3}{2} = \frac{2}{2}
(ii) lim_{x→0} \frac{e^{−1/x}}{x} = lim_{x→0} \frac{e^{−1/x} · \frac{1}{x^{2}}}{1} = lim_{x→0} \frac{e^{−1/x}}{x^{2}}

(iii) lim_{x→∞} \frac{x^{2}}{x + sinx} = +∞ , ale lim_{x→∞} \frac{2x}{1 + cosx} neexistuje.

(iv) L’Hospital vhodný např. pro

lim_{x→0} \frac{x − sinx}{x^{3}}, lim_{x→0} \frac{e^{x} − x − 1}{x^{2}}, lim_{x→0} \frac{cosx − 1 + \frac{x}{2}^{2}}{x^{4}} , …

(v) lim_{x→1_{−}}(2 − x)^{tg}^{(^{\frac{πx}{2}})}

e^{tg(\frac{π}{2}x)\frac{log (2−x)}{1−x} (1−x)} = tg(\frac{π}{2}x)(1 − x) = \frac{sin(\frac{π}{2}x)}{cos(\frac{π}{2}x)}(1 − x)

lim_{x→1_{−}} \frac{1 − x}{cos(\frac{π}{2}x)} =^{L’H} lim_{x→1_{−}} \frac{−1}{− sin(\frac{π}{2}x)} \frac{2}{π} → \frac{2}{π}

(vi) lim_{n→∞} \frac{n^{2}}{3^{n}} =^{Heine + L’H “ \frac{∞}{∞} ”} lim_{x→∞} \frac{2x}{3^{x} log3} =^{L’H “ \frac{∞}{∞} ”} lim_{x→∞} \frac{2}{3^{x}(log3)^{2}} = 0
(vii) lim_{x→∞} \frac{logx}{x} =^{L’H “ \frac{∞}{∞} ”} lim_{x→∞} \frac{\frac{1}{x}}{1} = 0