— — Limita funkce

Limita funkce

Nechť f: M → ℝ, M ⊂ ℝ. Řekneme, že f má v bodě a ∈ ℝ^{∗} limitu A ∈ ℝ^{∗}, jestliže:

∀ε > 0 ∃ δ > 0, ∀x ∈ P(a, δ) ⇒ f(x) ∈ U(A, ε)

Značíme: lim_{x→a} f(x) = A

Poznámky:

(i) lim_{x→a} f(x) = A, pak je funkce definována na nějakém prstencovém okolí bodu a. V bodě a funkce f může a nemusí být definována. Je-li f definována v a, pak f(a) nemá vliv na limitu lim_{x→a} f(x).

(ii) lim_{x→a} f(x) neexistuje, existuje nevlastní (A = ±∞) nebo existuje vlastní (A ∈ ℝ). (iii) Limitu počítáme buď ve vlastním bodě (a ∈ ℝ) nebo v nevlastním bodě (a = ±∞).

Jiné (ekvivalentní) formulace:

a ∈ ℝ, A ∈ ℝ:

lim_{x→a} f(x) = A ⟺ ∀ε > 0 ∃ δ > 0, ∀x ∈ (a − δ, a + δ) − {a} ⇒ f(x) ∈ (A − ε, A + ε)

a ∈ ℝ, A = +∞:

lim_{x→∞} f(x) = A ⟺ ∀K ∈ ℝ ∃ δ > 0, ∀x ∈ (a − δ, a + δ) − {a} ⇒ f(x) > K

Obecně: ∀ε > 0 ∃ δ > 0: f(P(a, δ)) ⊂ U(A, ε)

Definice:

Nechť f: M → ℝ, M ⊂ ℝ, a ∈ ℝ. Řekneme, že f má v a limitu zprava (zleva) rovnou A ∈ ℝ^{∗}, jestliže:

∀ε > 0 ∃ δ > 0, ∀x ∈ P^{+} (a, δ) ⇒ f(x) ∈ U(A, ε)

(Zleva P^{−}.) Značíme lim_{x→a±} f(x) = A .

Pozorování:

a ∈ ℝ, A ∈ ℝ^{∗}:

lim_{x→a} f(x) = A ⟺ lim_{x→a+} f(x) = lim_{x→a−} f(x) = A

Důkaz: ⟨cvičení⟩

Příklady:

(i)

f(x) = \sqrt{x}, x ∈ [0, ∞)

lim_{x→25} f(x) = 5

f(x) = \{ \begin{matrix}\sqrt{x} & x ∈ [0, ∞) − \{25\} \\ π^{2}/8 & x = 25 \end{matrix}

lim_{x→25} f(x) = 5

Důkaz z definice: Dáno ε > 0, chci δ > 0 tak, aby

x ∈ (25 − δ, 25 + δ) − \{25\} ⇒ \sqrt{x} ∈ (5 − ε, 5 + ε)

δ volím tak, aby \sqrt{25 + δ} < 5 + ε ∧ \sqrt{25 − δ} > 5 − ε

⇒ δ =^{volím} min{(5 + ε)^{2} − 25, 25 − (5 − ε)^{2}}

(ii) f(x) = c, x ∈ ℝ:

Pak lim_{x→a} f(x) = c pro ∀a ∈ ℝ. Dáno ε ⇒ δ libovolné.

(iii) f(x) = signx:

signx = \{ \begin{matrix}−1 & x ∈ (−∞, 0) \\ 0 & x = 0 \\ 1 & x ∈ (0, ∞) \end{matrix}

lim_{x→0} f(x) neexistuje (neboť lim_{x→0−} f(x) = −1 , lim_{x→0+} f(x) = 1 ).

(iv) Dirichletova funkce D(x) = bool(x ∈ Q):

Nemá ani jednostrannou limitu v žádném bodě x ∈ ℝ.

(v) Riemannova funkce:

R(x) = \{ \begin{matrix}0 & x ∉ ℚ \\ 1/q & x ∈ ℚ, x = p/q \end{matrix}

(viz D1).

lim_{x→a} R(x) = 0 ∀a ∈ ℝ

(Pro každé ε si najdu oblast, kde z něj nic nevyskočí, a to bude δ.)

Spojitost

Nechť f: M → ℝ, M ⊂ ℝ. Funkce f je spojitá v a ∈ ℝ, jestliže

lim_{x→a} f(x) = f(a)

Příklad:

R(x) je spojitá v ∀x ∉ ℚ.

VĚTA 1 (Heineova věta):

Nechť f: M → ℝ, M ⊂ ℝ. Nechť f je definována na nějakém prstencovém okolí bodu a ∈ ℝ^{∗} (P(a, δ_{0})). Potom jsou následující dvě tvrzení ekvivalentní:

(i) lim_{x→a} f(x) = A ∈ ℝ^{∗} (ii) Pro každou posloupnost {x_{n}}_{n=1}^{∞} splňující pro ∀n ∈ ℕ x_{n} ∈ D(f), lim_{n→∞} x_{n} = a a x_{n} ≠ a

platí lim_{n→∞} f(x_{n}) = A. (Viz D2)

DŮKAZ:

(i) ⇒ (ii)

Víme: ∀ε > 0 ∃ δ > 0: f(P(a, δ)) ⊂ U(A, ε) Nechť {x_{n}} splňuje požadavky (ii), tj.

lim_{n→∞} x_{n} = a,

x_{n} ≠ a (∀n ∈ ℕ)

Tedy k ε > 0:

∃ n_{0} ∈ ℕ, ∀n ≥ n_{0} : x_{n} ∈ U(a, δ)

(neboť limx_{n} = a). Ale

x_{n} ≠ a ∀n ⇒ ∃ n_{0}, ∀n ≥ n_{0} : x_{n} ∈ P(a, δ)

Tedy

f(x_{n}) ∈ U(A, ε) ⇒ lim_{n→∞} f(x_{n}) = A

(ii) ⇒ (i)

Sporem: Předpokládáme, že neplatí (i), ale platí (ii).

Neplatí (i), tedy:

lim_{x→a} f(x) ≠ A ⟺ ∃ ε > 0, ∀δ > 0 ∃ x ∈ P(a, δ) : f(x) ∉ U(A, ε)

Nechť je dáno n ∈ ℕ. Zkonstruujeme x_{n} tak, že x_{n} ∈ P(a, 1/n) ∩ P(a, δ_{0}) a f(x_{n}) ∉ U(A, ε). Toto lze udělat, stačí položit δ = 1/n. To provedu pro ∀n ∈ ℕ.

Nyní máme tedy posloupnost {x_{n}}_{n=1}^{∞} . Zřejmě platí:

x_{n} ∈ D(f) (x_{n} ∈ P(a, δ_{0}), ∀n ∈ ℕ)
x_{n} ≠ a ∀n ∈ ℕ

lim_{n→∞} x_{n} = a (x_{n} ∈ P(a, 1/n), lim_{n→∞} 1/n = 0)

Ale lim_{n→∞} f(x_{n}) ≠ A , protože jsme si řekli f(x_{n}) ∉ U(A, ε).
♯̸ Spor

VĚTA 2 (o jednoznačnosti limity funkce):

Funkce f má v každém bodě nanejvýše jednu limitu.

DŮKAZ:

Nechť lim_{x→a} f(x) = A ∧ lim_{x→a} f(x) = B. Nechť {x_{n}} splňuje lim_{n→∞} x_{n} = a.

⟹^{Heine} limf(x_{n}) = A, limf(x_{n}) = B ⇒ A = B ⇒^{V.2-} tvrzení věty.

Q.E.D.

— — Limita funkce VĚTA 3 (o lokální omezenosti funkce s vlastní limitou):

Nechť f má v a ∈ ℝ vlastní limitu. Potom existuje δ > 0 taková, že f je na P(a, δ) omezená. DŮKAZ:

Víme: Pro ∀ε > 0 ∃ δ > 0 takové, že f(P(a, δ)) ≤ U(a, ε). Limita je vlastní, A ∈ ℝ ⇒ U(A, ε) : (A − ε, A + ε). Zvol ε = 1. Pak existuje δ > 0 taková, že:

f(P(a, δ)) ≤ U(A, 1)
f(x) ∈ (A − 1, A + 1) ∀x ∈ P(A, δ)
⇒ f je omezená na P(a, δ)

Q.E.D.

Poznámka:

VĚTA 4 (o aritmetice limit funkcí):

Nechť lim_{x→a} f(x) = A , lim_{x→a} g(x) = B , a ∈ ℝ^{∗}. Pak:

(i) lim_{x→a}(f(x) + g(x)) = A + B , je-li výraz vpravo definován. (ii) lim_{x→a}(f(x) · g(x)) = AB , je-li výraz vpravo definován. (iii) lim_{x→a} f(x)/g(x) = A/B , je-li výraz vpravo definován.

DŮKAZ:

(i)

Zvol posloupnost {x_{n}}, lim_{n→∞} x_{n} = a, x_{n} ≠ a. Potom dle Heine 1:

lim_{n→∞} f(x_{n}) = A

lim_{n→∞} g(x_{n}) = B

⟹^{VOAL} lim_{x→∞}(f(x_{n}) + g(x_{n})) = A + B

a protože je posloupnost libovolná,

⟹^{Heine 2} lim_{x→∞}(f(x) + g(x)) = A + B

(ii), (iii) analogicky. Q.E.D.

— — Limita funkce VĚTA 5 (o uspořádání a funkčních policajtech):

(i) Nechť lim_{x→a} f(x) > lim_{x→a} g(x), a ∈ ℝ^{∗}. Pak existuje prstencové okolí P(a, δ) takové, že pro ∀x ∈ P(a, δ) platí f(x) > g(x).

(ii) Nechť pro ∀x ∈ P(a, δ) platí f(x) ≤ g(x) a nechť existuje lim_{x→a} f(x) a lim_{x→a} f(x). Potom

lim_{x→a} f(x) ≤ lim_{x→a} g(x). (iii) Nechť pro ∀x ∈ P(a, δ) platí f(x) ≤ h(x) ≤ g(x) a nechť limf(x) = limg(x). Potom existuje

limh(x) a limf(x) = limh(x) = limg(x). (“Policajti.”) DŮKAZ:

(i) Nechť lim_{x→a} f(x) = A, lim_{x→a} g(x) = B, A > B. Zvolím ε > 0 tak, aby U(A, ε) ∩

U(B, ε) = ∅ (futrály se nepotkají). K tomuto ε existuje δ taková, že:

f(P(a, δ)) ⊆ U(A, ε), g(P(a, δ)) ⊆ U(B, ε)

⇒ f(x) > g(x) ∀x ∈ P(a, δ)

(ii) Skoro totéž. (iii) Zvolím ε > 0, pak existuje δ_{0} > 0 taková, že:

f(P(a, δ_{0})) ⊆ U(A, ε), g(P(a, δ_{0})) ⊆ U(A, ε)

⇒ γ = min(δ, δ_{0}) : h(P(A, γ)) ⊆ U(A, ε)

⇒ lim_{x→a} h(x) = A

Q.E.D.

Poznámka:

Všechny věty v této části platí i pro jednostranné limity. Např. Heine:

lim_{x→a_{+}} f(x) ⟺ \{ \begin{matrix}x_{n} ∈ P(f) \\ x_{n} ∈ P^{+} (a, δ) & pro nějaké δ > 0 \\ lim_{n→∞} x_{n} = a \end{matrix}

⟹ lim_{n→∞} f(x_{n}) = A

Příklady:

(i) lim_{x→0} xD(x) = 0

(ii) lim_{x→∞} sin(x) neexistuje (Heine).

Stačí zvolit posloupnost {x_{n}}, x_{n} → inf, limf(x_{n}) = limsin(x_{n}). Volíme x_{n} = nπ/2. x_{n} = {1, 0, −1, 0, 1, 0, −1, …}. Limita neexistuje.

(iii) lim_{x→0_{+}} sin(1/x)

Zvolím x_{n} = 2/(πn), použijeme Heineho větu.

Spojitá funkce

a ∈ ℝ, f je spojitá v a, právě když: /L:1.616 5

lim_{x→a} f(x) = f(a)

⟺ ∀ε > 0 ∃ δ > 0 : f(U(a, δ)) ⊆ U(f(a), ε)

f je spojitá zprava v a, právě když výše uvedené platí pro x → a_{+} a f(U^{+} (a, δ)). f je spojitá zleva v a, právě když výše uvedené platí pro x → a_{−} a f(U^{−}(a, δ)).

Důsledek VOALF:

Nechť f a g jsou spojité v bodě a ∈ ℝ. Pak f ± g a f · g jsou také spojité v a ∈ ℝ. A jestliže navíc g(a) ≠ 0, pak také podíl f/g je spojitý v bodě a ∈ ℝ.

Příklad:

Neboť lim_{x→a} x = a ∀a ∈ ℝ, je každá funkce tvaru

P(x) = a_{n}x^{n} + a_{n−1}x^{n−1} + ⋯ + ax + a_{0} (a_{0}, a_{1}, …, a_{n} ∈ ℝ)

spojitá v každém bodě a ∈ ℝ. Takovou funkci nazýváme polynom.

Složená funkce

sin(x^{2}) je funkce složená. Podobné jako skládání zobrazení:

x↦^{g}g(x)↦^{f}f(g(x)) ⟺ (f ∘ g)

(f ∘ g)(x) =^{def} f(g(x)) — složená funkce. f nazýváme vnější funkce, g vnitřní funkce. Např.:

g(x) = x^{2}, f(y) = sin(y) ⇒ (f ∘ g)(x) = sin(x^{2})

Varování: Skládání zobrazení není komutativní! (g ∘ f)(y) = (siny)^{2} Nechť:

lim_{x→a} g(x) = A

lim_{x→A} f(y) = B (Pozor na x → A!)

Platí pak, že lim_{x→a}(f ∘ g)(x) = B? Neplatí!

Příklad:

g(x) ≡ 0

f(x) \{ \begin{matrix}0 & x ≠ 0 \\ 1 & x = 0 \end{matrix}

(f ∘ g)(x) ≡ 1

lim_{x→0}(f ∘ g)(x) = 1

Ale:

lim_{x→0} g(x) = 0

lim_{y→0} f(y) = 0

(blíží se k 0, ale nikdy tam nedorazí).

♯̸ Spor

Co děláme špatně?

(i) Vnitřní funkce je konstantní.

— — Limita funkce (ii) Vnější funkce je nespojitá v tomto bodě.

VĚTA 6 (o limitě složené funkce):

Nechť lim_{x→a} g(x) = A (vnitřní funkce), lim_{y→A} f(y) = B (vnější funkce); a, A, B ∈ ℝ^{∗}. Nechť navíc platí jeden z předpokladů: (P1) f je spojitá v bodě A. (P2) ∃ δ > 0 taková, že g(x) ≠ A pro ∀x ∈ P(a, δ) (tedy se vnitřní funkce “vyhýbá” své

limitě). Potom platí: lim_{x→a}(f ∘ g)(x) = B . DŮKAZ:

Poznámka:

Proč věta nelze dokázat bez předpokladů? Lžidůkaz: Ke zvolenému ε > 0 najdu ψ > 0 takové, že:

f(P(A, ψ)) ⊆ U(B, ε)

K ψ > 0 ∃ μ > 0 takové, že:

g(P(a, μ)) ⊆ U(A, ψ)

⇒^{?} (f ∘ g)(P(A, μ)) ⊆ f(U(A, ψ))

Chci tak ⊂ U(B, ε), to ale nejde! Místo f(U(A, ψ)) bychom v tom případě museli použít f(P(A, ψ)).

Možné cesty z nouze:

(i) Už od začátku si vezmu U(A, ψ) — požaduji spojitost. (ii) Nebo vnitřní funkci zakáži, aby nabývala své limity — dostanu P(A, ψ). Tedy:

(P1) Zvol ε > 0:

∃ ψ > 0 : f(U(A, ψ)) ⊆ U(B, ε)

(U(A, ψ) místo P si mohu dovolit, neboť je f v bodě A spojitá, tj. f(A) = B.)

∃ μ : g(P(a, μ)) ⊆ U(A, ψ)
(f ∘ g)(P(a, μ)) = f(g(P(a, μ))) ⊆ f(U(A, ψ)) ⊆ U(B, ε)

(P2) Zvol ε > 0:

∃ ψ > 0 : f(P(A, ψ)) ⊆ U(B, ε)

Neboť g(x) ≠ A pro x ∈ P(a, δ) a k ψ:

∃ μ : g(P(a, μ)) ⊆ U(A, ψ)
γ = min(δ, μ) : g(P(a, γ)) ⊆ P(A, ψ)
f(g(P(a, μ))) ⊆ f(P(A, ψ)) ⊆ U(B, ε)

Q.E.D.

Intervaly

Nechť a, b ∈ ℝ^{∗}, a < b. Pak otevřeným intervalem (a, b) nazýváme množinu všech {x ∈ ℝ, a < x < b}. Uzavřený interval [a, b] je definován pro a ≤ b jako množina {x ∈ ℝ, a ≤ x ≤ b}.

VĚTA 7 (o limitě monotónní funkce):

Nechť funkce je monotónní na otevřeném intervalu (a, b), kde a, b ∈ ℝ^{∗}, a < b. Potom existují lim_{x→a_{+}} f(x) i lim_{x→b_{−}} f(x).

DŮKAZ:

T-O-D-O: diagram Nechť f je např. neklesající. Zvolíme ε > 0 a definujeme množinu M = f((a, b)) = {f(x), x ∈

(a, b)}. Potom definujeme A := inf M. Z (ii) vlastnosti infima:

∃ x_{0}, x_{0} ∈ (a, b) : A ≤ f(x) ≤ f(x_{0}) ∀x ∈ (a, x_{0})

Tedy:

f(x) ∈ U(A, ε)

Tudíž f((a, x_{0})) ⊆ U(A, ε) a stačí zvolit δ > 0, aby P^{+} (a, δ) ⊆ (a, x_{0}). Tedy

lim_{x→a_{+}} f(x) = A

Analogicky další případy. Q.E.D.