\input /home/pasky/school/fastex/lib.tex


\subchapter{Limita funkce}{

Nech� $f\colon M \to{} \real{}$, $M \subset{} \real{}$.
�ekneme, �e $f$ m� v bod� $a \in \real^{*}$ {\bf{}limitu}
$A \in \real^{*}$, jestli�e:

$$ \forall \eps > 0\ \existss{\delta > 0},\ \forall x \in \cP(a, \delta) \Rightarrow{} f(x) \in \cU(A, \eps) $$

Zna��me: \M{\lim_{x\to{}a} f(x) = A}


\notes{
\list{
	\listItem{$\lim_{x\to{}a} f(x) = A$, pak je funkce definov�na na n�jak�m prstencov�m okol� bodu $a$.
		V~bod� $a$ funkce $f$ m��e a nemus� b�t definov�na. Je-li $f$ definov�na v $a$,
		pak $f(a)$ nem� vliv na limitu $\lim_{x\to{}a} f(x)$.
	}

	\listItem{$\lim_{x\to{}a} f(x)$ neexistuje, existuje nevlastn� ($A = \pm\infty$)
		nebo existuje vlastn� ($A \in \real{}$).
	}

	\listItem{Limitu po��t�me bu� ve vlastn�m bod� ($a \in \real{}$) nebo v nevlastn�m bod� ($a = \pm\infty$).}
}
}

\scpart{Jin� (ekvivalentn�) formulace:}{
	$a \in \real{}$, $A \in \real{}$:
	$$ \lim_{x\to{}a} f(x) = A \Longleftrightarrow{} \forall \eps > 0\ \existss{\delta > 0},\ \forall x \in (a-\delta, a+\delta) - \{a\}
	        \Rightarrow{} f(x) \in (A-\eps, A+\eps) $$

	$a \in \real{}$, $A = +\infty$:
	$$ \lim_{x\to{}\infty} f(x) = A \Longleftrightarrow{} \forall K \in \real{}\ \existss{\delta > 0},\ \forall x \in (a-\delta, a+\delta) - \{a\}
	        \Rightarrow{} f(x) > K $$

	\shortdef{Obecn�}{$\forall \eps > 0$ $\existss{\delta > 0}$: $f(\cP(a,\delta)) \subset{} \cU(A,\eps)$}
}


\definition{
	Nech� $f\colon M \to{} \real{}$, $M \subset{} \real{}$, $a \in \real{}$.
	�ekneme, �e $f$ m� v $a$ limitu zprava (zleva) rovnou $A \in \real^{*}$, jestli�e:
	$$ \forall \eps > 0\ \existss{\delta > 0},\ \forall x \in \cP^+(a,\delta) \Rightarrow{} f(x) \in \cU(A, \eps) $$

	(Zleva $\cP^-$.)

	Zna��me \M{\lim_{x\to{}a\pm} f(x) = A}.
}


\observation{
	$a \in \real{}$, $A \in \real^{*}$:
	$$ \lim_{x\to{}a} f(x) = A \Longleftrightarrow{} \lim_{x\to{}a+} f(x) = \lim_{x\to{}a-} f(x) = A $$

	\shortdef{D�kaz}{\DCV}
}


\examples{
\list{
	\listItem{
		$$ f(x) = \sqrt{x},\ x \in [0, \infty) $$
		$$ \lim_{x\to{}25} f(x) = 5 $$

		$$ f(x) = \cases{\sqrt{x} & $x \in [0, \infty)-\{25\}$\cr
		                 \pi^2/8  & $x = 25$} $$
		$$ \lim_{x\to{}25} f(x) = 5 $$

		\shortdef{D�kaz z definice}{
			D�no $\eps > 0$, chci $\delta > 0$ tak, aby
			$$x \in (25-\delta, 25+\delta)-\{25\} \Rightarrow{} \sqrt{x} \in (5-\eps, 5+\eps)$$
			$\delta$ vol�m tak, aby $\sqrt{25+\delta} < 5 + \eps \land{} \sqrt{25-\delta} > 5 - \eps$
			$$ \Rightarrow{} \delta \opupon{vol�m}{=} \min \{(5+\eps)^2-25, 25-(5-\eps)^2\} $$
		}
	}

	\listItem{$f(x) = c$, $x \in \real{}$:

		Pak \M{\lim_{x\to{}a} f(x) = c} pro $\forall a \in \real{}$. D�no $\eps \Rightarrow{} \delta$ libovoln�.
	}

	\listItem{$f(x) = \sign x$:

		$$\sign x = \cases{-1 & $x \in (-\infty, 0)$\cr
		                   0  & $x = 0$\cr
				   1  & $x \in (0,\infty)$}$$

		\M{\lim_{x\to{}0} f(x)} neexistuje (nebo� \M{\lim_{x\to{}0-} f(x) = -1}, \M{\lim_{x\to{}0+} f(x) = 1}).
	}

	\listItem{Dirichletova funkce $D(x) = \bool(x \in Q)$:

		Nem� ani jednostrannou limitu v ��dn�m bod� $x \in \real{}$.
	}

	\listItem{Riemannova funkce:

		$$ R(x) = \cases{0   & $x \notin \rat$\cr
		                 1/q & $x \in \rat$, $x = p/q$} $$
		(viz D1).

		$$ \lim_{x\to{}a} R(x) = 0\qquad \forall a \in \real{} $$
		(Pro ka�d� $\eps$ si najdu oblast, kde z n�j nic nevysko��, a to bude $\delta$.)
	}
}
}


\scpart{Spojitost}{
	Nech� $f\colon M \to{} \real{}$, $M \subset{} \real{}$.
	Funkce $f$ je spojit� v $a \in \real{}$, jestli�e
	$$ \lim_{x\to{}a} f(x) = f(a) $$

	\example{
		$R(x)$ je spojit� v $\forall x \notin{} \rat{}$.
	}
}



\theorem{1}{Heineova v�ta}{
	Nech� $f\colon M \to{} \real{}$, $M \subset{} \real{}$.
	Nech� $f$ je definov�na na n�jak�m prstencov�m okol�
	bodu $a \in \real^{*}$ ($\cP(a,\delta_{0})$).
	Potom jsou n�sleduj�c� dv� tvrzen� ekvivalentn�:

	\list{
		\listItem{$\lim_{x\to{}a} f(x) = A \in \real^{*}$}
		\listItem{Pro ka�dou posloupnost $\{x_{n}\}_{n=1}^\infty$ spl�uj�c� pro $\forall n \in \nat$ $x_{n} \in D(f)$,
			$\lim_{n\to{}\infty} x_{n} = a$ a $x_{n} \not= a$ plat�
			$\lim_{n\to{}\infty} f(x_{n}) = A$. (Viz D2)
		}
	}



\penalty-100
\proof{
	\scpart{(i) $\Rightarrow$ (ii)}{

		\shortdef{V�me}{$\forall \eps > 0$ $\existss \delta > 0$: $f(\cP(a,\delta)) \subset{} \cU(A,\eps)$}

		Nech� $\{x_{n}\}$ spl�uje po�adavky (ii), tj.
		$$\lim_{n\to{}\infty} x_{n} = a,$$
		$$x_{n} \not= a\qquad (\forall n \in \nat{})$$
		Tedy k $\eps > 0$:
		$$\existss{n_{0} \in \nat{}},\ \forall n \ge{} n_{0}:\ x_{n} \in \cU(a,\delta)$$
		(nebo� $\lim x_{n} = a$).  Ale
		$$x_{n} \not= a\ \forall n \Rightarrow{} \existss{n_{0}},\ \forall n \ge{} n_{0}:\ x_{n} \in \cP(a,\delta)$$
		Tedy
		$$f(x_{n}) \in \cU(A, \eps) \Rightarrow{} \lim_{n\to{}\infty} f(x_{n}) = A$$
	}

	\scpart{(ii) $\Rightarrow$ (i)}{
		\shortdef{Sporem}{P�edpokl�d�me, �e neplat� (i), ale plat� (ii).}

		Neplat� (i), tedy:

		\indentLevel{
			$$ \lim_{x\to{}a} f(x) \not= A
				\Longleftrightarrow{} \existss{\eps>0},\ \forall \delta>0\ \existss{x\in \cP(a,\delta)}:\ 
			        f(x) \notin{} \cU(A,\eps) $$

			Nech� je d�no $n \in \nat{}$. Zkonstruujeme $x_{n}$ tak, �e
			$x_{n} \in \cP(a, {1/n}) \cap{} \cP(a, \delta_{0})$ a $f(x_{n}) \notin{} \cU(A,\eps)$.
			Toto lze ud�lat, sta�� polo�it $\delta = 1/n$. To provedu pro $\forall n \in \nat{}$.

			Nyn� m�me tedy posloupnost $\{x_{n}\}_{n=1}^\infty$. Z�ejm� plat�:

			$$ x_{n} \in D(f)\quad (x_{n} \in \cP(a,\delta_{0}),\ \forall n \in \nat{}) $$
			$$ x_{n} \not= a\quad \forall n \in \nat{} $$
			$$ \lim_{n\to{}\infty} x_{n} = a\quad (x_{n} \in \cP(a, {1/n}),\ \lim_{n\to{}\infty} {1/n} = 0) $$
			Ale \M{\lim_{n\to{}\infty} f(x_{n}) \not= A}, proto�e jsme si �ekli $f(x_{n}) \notin{} \cU(A,\eps)$.

			\XXX
		} %: \indentLevel
	}
}

}



\theorem{2}{o jednozna�nosti limity funkce}{

	Funkce $f$ m� v ka�d�m bod� nanejv��e jednu limitu.

	\proof{
		Nech� $\lim_{x\to{}a} f(x) = A \land{} \lim_{x\to{}a} f(x) = B$.

		Nech� $\{x_{n}\}$ spl�uje $\lim_{n\to{}\infty} x_{n} = a$.

		$$\becauseof{\ref{Heine}}{\Longrightarrow} \lim f(x_{n}) = A,\ \lim f(x_{n}) = B \Rightarrow{} A = B \becauseof{\ias{}{2}{}}{\Rightarrow} \rm tvrzen�\ v�ty.$$

		\qed
	}

}


%\TODO{Tady n�co chyb�! (Strana 56, nebo tak n�co.)}


\penalty-100
\theorem{3}{o lok�ln� omezenosti funkce s vlastn� limitou}{

	Nech� $f$ m� v $a \in \real$ vlastn� limitu. Potom existuje $\delta>0$ takov�, �e
		$f$ je na $\cP(a,\delta)$ omezen�.

	\proof{
		\shortdef{V�me}{Pro $\forall{\eps > 0}$ $\existss{\delta > 0}$ takov�, �e $f(\cP(a,\delta)) \le \cU(a,\eps)$.}

		Limita je vlastn�, $A \in \real$ $\Rightarrow \cU(A,\eps): (A-\eps, A+\eps)$.

		Zvol $\eps = 1$. Pak existuje $\delta>0$ takov�, �e:

			$$f(\cP(a,\delta)) \le \cU(A,1)$$
			$$f(x) \in (A-1,A+1)\quad \forall{x \in \cP(A,\delta)}$$
			$$\Rightarrow f \textbox{je omezen� na} \cP(a,\delta)$$

		\qed
	}

	\note{
		%\TODO{A tady chyb� kus ze strany 58.}
	}
}


\theorem{4}{o aritmetice limit funkc�}{
	Nech� \M{\lim_{x\to a} f(x) = A}, \M{\lim_{x\to a} g(x) = B}, $a \in \real^*$.
	Pak:

	\list{
		\listItem{\M{\lim_{x\to a} (f(x)+g(x)) = A+B}, je-li v�raz vpravo definov�n.}
		\listItem{\M{\lim_{x\to a} (f(x)\cdot g(x)) = AB}, je-li v�raz vpravo definov�n.}
		\listItem{\M{\lim_{x\to a} {f(x)/g(x)} = {A/B}}, je-li v�raz vpravo definov�n.}
	}

	\proof{
		\scpart{(i)}{
			Zvol posloupnost $\{x_n\}$, $\lim_{n\to \infty} x_n = a$, $x_n \ne a$. Potom
			dle \ref{Heine 1}:

			$$\lim_{n\to \infty} f(x_n) = A$$
			$$\lim_{n\to \infty} g(x_n) = B$$

			$$\becauseof{\ref{VOAL}}{\Longrightarrow} \lim_{x\to \infty} (f(x_n) + g(x_n)) = A + B$$
			a proto�e je posloupnost libovoln�,
			$$\becauseof{\ref{Heine 2}}{\Longrightarrow} \lim_{x\to \infty} (f(x) + g(x)) = A + B$$
		}

		(ii), (iii) analogicky.

		\qed
	}
}


\penalty-1000
\theorem{5}{o uspo��d�n� a funk�n�ch policajtech}{
\list{
	\listItem{Nech� $\lim_{x\to a} f(x) > \lim_{x\to a} g(x)$, $a \in \real^*$.
		Pak existuje prstencov� okol� $\cP(a,\delta)$ takov�, �e pro $\forall x \in \cP(a,\delta)$ plat� $f(x) > g(x)$.
	}

	\listItem{Nech� pro $\forall x \in \cP(a,\delta)$ plat� $f(x) \le g(x)$ a nech� existuje
		$\lim_{x\to a} f(x)$ a $\lim_{x\to a} f(x)$.
		Potom $\lim_{x\to a} f(x) \le \lim_{x\to a} g(x)$.
	}

	\listItem{Nech� pro $\forall x \in \cP(a,\delta)$ plat� $f(x) \le h(x) \le g(x)$ a nech�
		$\lim f(x) = \lim g(x)$. Potom existuje $\lim h(x)$ a $\lim f(x) = \lim h(x) = \lim g(x)$.
		(``Policajti.'')
	}
}

\proof{
\list{
	\listItem{Nech� $\lim_{x\to a} f(x) = A$, $\lim_{x\to a} g(x) = B$, $A > B$.
		Zvol�m $\eps > 0$ tak, aby $\cU(A, \eps) \cap \cU(B, \eps) = \emptyset$ (futr�ly se nepotkaj�).
		K tomuto $\eps$ existuje $\delta$ takov�, �e:
		$$ f(\cP(a,\delta)) \subseteq \cU(A,\eps),\ g(\cP(a,\delta)) \subseteq \cU(B,\eps) $$
		$$ \Rightarrow f(x) > g(x)\qquad \forall x \in \cP(a,\delta) $$
	}

	\listItem{Skoro tot�.}

	\listItem{Zvol�m $\eps > 0$, pak existuje $\delta_0 > 0$ takov�, �e:
		$$ f(\cP(a,\delta_0)) \subseteq \cU(A,\eps),\ g(\cP(a,\delta_0)) \subseteq \cU(A,\eps)$$
		$$\Rightarrow \gamma = \min(\delta,\delta_0):\ h(\cP(A,\gamma)) \subseteq \cU(A,\eps)$$
		$$\Rightarrow \lim_{x\to a} h(x) = A$$
	}

	\qed
}
}

}


\note{
	V�echny v�ty v t�to ��sti plat� i pro jednostrann� limity. Nap�. Heine:

	$$ \lim_{x\to a_+} f(x) \Longleftrightarrow \cases{x_n \in \cP(f)              &\cr
	                                                   x_n \in \cP^+(a,\delta)     &pro n�jak� $\delta>0$\cr
							   \lim_{n\to \infty} x_n = a  &\cr} $$
	$$ \Longrightarrow \lim_{n\to \infty} f(x_n) = A $$
}


\examples{
\list{
	\listItem{\M{\lim_{x\to 0} xD(x) = 0}

		%\TODO{tady n�co chyb�$\ldots$}
	}

	%\listItem{
	%	\TODO{$\ldots$!}
	%}

	\listItem{\M{\lim_{x\to\infty} \sin(x)} neexistuje (\ref{Heine}).

		Sta�� zvolit posloupnost $\{x_n\}$, $x_n \to \inf$, $\lim f(x_n) = \lim \sin(x_n)$.
		Vol�me $x_n = {n\pi/2}$. $x_n = \{1,0,-1,0,1,0,-1,\ldots\}$. Limita neexistuje.
	}

	\listItem{\M{\lim_{x\to 0_+} \sin({1/x})}

		Zvol�m $x_n = {2/(\pi n)}$, pou�ijeme \ref{Heine}ho v�tu.
	}
}
}


\scpart{Spojit� funkce}{
	$a \in \real$, $f$ je {\bf spojit�} v $a$, pr�v� kdy�:

	$$\lim_{x\to a} f(x) = f(a)$$
	$$\Longleftrightarrow \forall \eps > 0\ \existss \delta > 0:\ f(\cU(a,\delta)) \subseteq \cU(f(a),\eps)$$

	$f$ je {\bf spojit� zprava} v $a$, pr�v� kdy� v��e uveden� plat� pro $x\to a_+$ a $f(\cU^+(a,\delta))$.

	$f$ je {\bf spojit� zleva} v $a$, pr�v� kdy� v��e uveden� plat� pro $x\to a_-$ a $f(\cU^-(a,\delta))$.


	\scpart{D�sledek \ref{VOALF}:}{
		Nech� $f$ a $g$ jsou spojit� v bod� $a \in \real$. Pak $f\pm g$ a $f\cdot g$ jsou tak� spojit� v $a \in \real$.
		A~jestli�e nav�c $g(a) \ne 0$, pak tak� pod�l $f/g$ je spojit� v bod� $a \in \real$.

		\example{
			Nebo� $\lim_{x\to a} x = a\quad \forall a \in \real$, je ka�d� funkce tvaru
			$$ \cP(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + ax + a_0\qquad (a_0,a_1,\ldots,a_n \in \real) $$
			spojit� v ka�d�m bod� $a \in \real$. Takovou funkci naz�v�me {\bf polynom}.
		}
	}

}



\scpart{Slo�en� funkce}{
	$\sin(x^2)$ je funkce slo�en�. Podobn� jako skl�d�n� zobrazen�:

	$$ x \opupon{g}{\mapsto} g(x) \opupon{f}{\mapsto} f(g(x))  \Longleftrightarrow  (f \circ g) $$

	$ (f \circ g)(x) \defined f(g(x)) $ --- {\bf slo�en� funkce}.
	$f$ naz�v�me {\bf vn�j�� funkce}, $g$ {\bf vnit�n� funkce}.
	Nap�.:
	$$ g(x) = x^2,\ f(y) = \sin(y) \Rightarrow (f \circ g)(x) = \sin(x^2) $$

	\shortdef{Varov�n�}{Skl�d�n� zobrazen� nen� komutativn�! $(g \circ f)(y) = (\sin y)^2$}

	Nech�:
	$$ \lim_{x\to a} g(x) = A $$
	$$ \lim_{x\to A} f(y) = B \textnote{Pozor na $x \to A$!} $$

	Plat� pak, �e $\lim_{x\to a} (f \circ g)(x) = B$? Neplat�!

	\example{
		$$ g(x) \equiv 0 $$
		$$ f(x) \cases{0 & $x \ne 0$\cr
		               1 & $x = 0$} $$
		$$ (f \circ g)(x) \equiv 1 $$
		$$ \lim_{x\to 0} (f \circ g)(x) = 1 $$

\penalty-100
		Ale:
		$$ \lim_{x\to 0} g(x) = 0 $$
		$$ \lim_{y\to 0} f(y) = 0 $$
		(bl��� se k 0, ale nikdy tam nedoraz�).

		\XXX
	}

	Co d�l�me �patn�?
	\list{
		\listItem{Vnit�n� funkce je konstantn�.}
		\listItem{Vn�j�� funkce je nespojit� v tomto bod�.}
	}


\theorem{6}{o limit� slo�en� funkce}{
	Nech� $\lim_{x\to a} g(x) = A$ (vnit�n� funkce), $\lim_{y\to A} f(y) = B$ (vn�j�� funkce); $a, A, B \in \real^*$.
	Nech� nav�c plat� jeden z p�edpoklad�:
	\list{
		\namedListItem{P1}{$f$ je spojit� v bod� $A$.}
		\namedListItem{P2}{$\existss \delta > 0$ takov�, �e $g(x) \ne A$ pro $\forall x \in \cP(a,\delta)$
					(tedy se vnit�n� funkce ``vyh�b�'' sv� limit�).}
	}

	Potom plat�: \M{\lim_{x\to a} (f \circ g)(x) = B}.

	\proof{
		\note{
			Pro� v�ta nelze dok�zat bez p�edpoklad�? L�id�kaz:

			Ke zvolen�mu $\eps > 0$ najdu $\psi > 0$ takov�, �e:

			$$ f(\cP(A,\psi)) \subseteq \cU(B,\eps) $$

			K $\psi > 0$ $\existss \mu > 0$ takov�, �e:

			$$ g(\cP(a,\mu)) \subseteq \cU(A,\psi) $$
			$$ \hypothetically{\Rightarrow} (f \circ g)(\cP(A,\mu)) \subseteq f(\cU(A,\psi)) $$

			Chci tak $\subset \cU(B,\eps)$, to ale nejde!
			M�sto $f(\cU(A,\psi))$ bychom v tom p��pad� museli pou��t $f(\cP(A,\psi))$.
		}

		Mo�n� cesty z nouze:
		\list{
			\listItem{U� od za��tku si vezmu $\cU(A,\psi)$ --- po�aduji spojitost.}
			\listItem{Nebo vnit�n� funkci zak�i, aby nab�vala sv� limity --- dostanu $\cP(A,\psi)$.}
		}

		Tedy:
		\list{
			\namedListItem{P1}{Zvol $\eps > 0$:
				$$ \existss \psi > 0 : f(\cU(A,\psi)) \subseteq \cU(B,\eps) $$
				($\cU(A,\psi)$ m�sto $\cP$ si mohu dovolit, nebo� je $f$ v bod� $A$ spojit�, tj. $f(A) = B$.)
				$$ \existss \mu : g(\cP(a,\mu)) \subseteq \cU(A,\psi) $$
				$$ (f \circ g)(\cP(a,\mu)) = f(g(\cP(a,\mu))) \subseteq f(\cU(A,\psi)) \subseteq \cU(B,\eps) $$
			}

			\namedListItem{P2}{Zvol $\eps > 0$:
				$$ \existss \psi > 0 : f(\cP(A,\psi)) \subseteq \cU(B,\eps) $$

				Nebo� $g(x) \ne A$ pro $x \in \cP(a,\delta)$ a k $\psi$:
				$$ \existss \mu : g(\cP(a,\mu)) \subseteq \cU(A,\psi) $$

				$$ \gamma = \min(\delta,\mu) : g(\cP(a,\gamma)) \subseteq \cP(A,\psi) $$
				$$ f(g(\cP(a,\mu))) \subseteq f(\cP(A,\psi)) \subseteq \cU(B,\eps) $$
			}
		}

		\qed
	}
}

} % scpart Slo�en� funkce




\scpart{Intervaly}{
	Nech� $a,b \in \real^*,\ a < b$. Pak {\bf otev�en�m intervalem} $(a,b)$
	naz�v�me mno�inu v�ech $\{x \in \real,\ a<x<b\}$. {\bf Uzav�en� interval}
	$[a,b]$ je definov�n pro $a \le b$ jako mno�ina $\{x \in \real,\ a \le x \le b\}$.
}


\theorem{7}{o limit� monot�nn� funkce}{
	Nech� funkce je monot�nn� na otev�en�m intervalu $(a,b)$,
	kde $a,b \in \real^*$, $a<b$.
	Potom existuj� $\lim_{x \to a_+} f(x)$ i $\lim_{x \to b_-} f(x)$.

	\proof{
		\TODO{diagram}

		Nech� $f$ je nap�. neklesaj�c�. Zvol�me $\eps > 0$ a definujeme
		mno�inu $M = f((a,b)) = \{f(x),\ x \in (a,b)\}$.
		Potom definujeme $A := \inf M$. Z (ii) vlastnosti infima:
		$$ \existss x_0,\ x_0 \in (a,b): A \le f(x) \le f(x_0) \qquad \forall x \in (a,x_0) $$

		Tedy:
		$$ f(x) \in \cU(A,\eps) $$

		Tud�� $f((a,x_0)) \subseteq \cU(A,\eps)$ a sta�� zvolit $\delta > 0$,
		aby $\cP^+(a,\delta) \subseteq (a,x_0)$. Tedy

		$$ \lim_{x \to a_+} f(x) = A $$

		Analogicky dal�� p��pady.

		\qed
	}
}


}

\bend
