— Průběh funkce —

Průběh funkce

Cvičení:

Vyšetřete průběh funkce

f(x) = arcsin(\frac{2x}{1 + x^{2}} )

(1) D(f)

\begin{aligned}D (\frac{2x}{1 + x^{2}} ) & = ℝ \\ D(arcsin) & = [−1, 1] \end{aligned}

⇒ D(f) = \{x ∈ ℝ, −1 ≤ \frac{2x}{1 + x^{2}} ≤ 1\}

\begin{matrix}−1 & ≤ \frac{2x}{1 + x^{2}} \\ −1 − x^{2} & ≤ 2x \\ 0 & ≤ 1 + 2x + x^{2} = (x + 1)^{2} \end{matrix}  \} ⇒ x ∈ ℝ

\begin{matrix}\frac{2x}{1 + x^{2}} & ≤ 1 \\ 2x & ≤ 1 + x^{2} \\ 0 & ≤ 1 − 2x + x^{2} = (x − 1)^{2} \end{matrix} \} ⇒ x ∈ ℝ

⇒ D(f) = ℝ

Obor spojitosti: 2x, 1 + x^{2} — polynomy ⇒ spojité na ℝ. sin spojitý a ryze monotonní na [−\frac{π}{2}, \frac{π}{2}] ⇒ dle věta o inverzní funkci je arcsin spojitý na [−1, 1] ⇒ dle VOLSF (P1) je f spojitá na ℝ.

(2) Průsečík s osou y: f(0) = 0, [0, 0] Průsečík(y) s osou x: f(x) = 0 ⇔ \frac{2x}{1+x^{2}} = 0 ⇒ x = 0, [0, 0]

(3) Symetrie:

Funkce je lichá, neboť

f(−x) = arcsin(\frac{−2x}{1 + (−x)^{2}} ) = − arcsin(\frac{2x}{1 + x^{2}} ) = −f(x)

(arcsin je lichý). Funkce není sudá (neboť f ≢ 0) nebo f(1) = \frac{π}{2}, ale f(−1) = −\frac{π}{2}. Funkce není periodická, neboť f(0) = 0, ale f(x) ≠ 0 ∀x ∈ ℝ \ {0}.

(4) Limity v ±∞:

lim_{x→−∞} f(x)

lim_{x→−∞} \frac{2x}{1 + x^{2}} = 0

lim_{x→0} arcsin(y) = 0

arcsin je spojitý v 0 ⇒ (P1)

⇒ lim_{x→−∞} f(x) = 0

— Průběh funkce —

Z lichosti (nebo analogickým výpočtem)

lim_{x→+∞} f(x) = 0

(5) První derivace:

f′(x) = \frac{1}{\sqrt{1 − (\frac{2x}{1+x^{2}} )^{2}}} · \frac{2(1 + x^{2}) − 2x · 2x}{(1 + x^{2})^{2}}

= \frac{2(1 − x^{2})}{(1 + x^{2})\sqrt{(1 + x^{2})^{2} − 4x^{2}}} = \frac{2(1 − x^{2})}{(1 + x^{2})\sqrt{(1 + x^{2})^{2}}}

⇒ f′(x) = \frac{2}{1 + x^{2}} · \frac{1 − x^{2}}{\sqrt{(1 − x^{2})^{2}}}

pro x ≠ ±1.

Pozn.: \sqrt{y^{2}} = |y|

⇒ f′(x) = \frac{2}{1 + x^{2}} · \frac{1 − x^{2}}{|1 − x^{2}|}, x ∈ ℝ \ \{±1\}

Pozn.: \frac{y}{|y|} = sign(y) jen pro y ≠ 0!

(−∞, −1)  (−1, 1)  (1, ∞)
f′(x)  −\frac{2}{1+x^{2}}  \frac{2}{1+x^{2}}  −\frac{2}{1+x^{2}}

Existuje f′(±1)? Nevíme, ale spočítáme f′_{±}(±1). Dvě možnosti:

• Z definice: f′_{+} (1) = lim_{x→1+} \frac{f(x)−f(1)}{x−1}

• Z věty o limitě derivací: f′_{+} (1) = lim_{x→1+} f′(x), f je spojitá na P^{+} (1). Z věty o limitě derivací:

f′_{+} (1) = lim_{x→1_{+}} f′(x) = lim_{x→1_{+}} \frac{−2}{1 + x^{2}} =^{dosazení + spojitost} \frac{−2}{1 + x} = −1

f′_{−}(−1) = lim_{x→1_{−}} \frac{f(x) − f(1)}{x − 1} = lim_{x→1_{−}} \frac{arcsin(\frac{2x}{1+x^{2}} ) − \frac{π}{2}}{x − 1}

=^{L’H “ \frac{0}{0} ”} lim_{x→1_{−}} \frac{2}{1 + x^{2}} =^{dosazení} \frac{2}{1 + 1} = 1

⇒ f′(1) neexistuje

(Analogicky f′(−1) neexistuje. Buď z lichosti nebo analogickým výpočtem.)

(6) Intervaly monotonie:

\begin{matrix}(−∞, −1) & (−1, 1) & (1, ∞) \\ f′ < 0 ⇒↗ & f′ > 0 ⇒↘ & f′ < 0 ⇒↗ \end{matrix}

(7) Extrémy:

Mohou být jen v bodech x, kde f′(x) neexistuje nebo f′(x) = 0.

f′(x) = 0 … neexistují
f′(x) ∄ … x = ±1, kandidáti na extrém

(i) x = −1:

\begin{matrix}f ↘ & … P^{−}(−1, δ) \\ f ↗ & … P^{+} (−1, δ) \end{matrix} \} ⇒ −1 je bod lokálního minima

(ii) x = 1: Z lichosti: x = 1 je bod lokálního maxima. Další extrémy f nemá.

Jsou extrémy globální?

(i) x = −1:

\begin{aligned}f ↘ & … & (−∞, −1) & ⇒ f(y) ≥ f(−1) & ∀y ∈ (−∞, −1) \\ f ↗ & … & (−1, 1) & ⇒ f(y) ≥ f(−1) & ∀y ∈ (−1, 1) \end{aligned}

f(−1) = −\frac{π}{2}, f(y) ≤ 0 ∀x ∈ (1, ∞) ⇒ f(y) ≥ f(−1)

Tedy -1 je globální minimum. (ii) x = 1:

Z lichosti: x = 1 je bod globálního maxima.

(8) Druhá derivace, konvexita:

(\frac{2}{1 + x^{2}} )′ = \frac{−2}{(1 + x^{2})^{2}} · 2x = \frac{−4x}{(1 + x^{2})^{2}}

(−∞, −1)  (−1, 1)  (1, ∞)
f′(x)  −\frac{2}{1+x^{2}}  \frac{2}{1+x^{2}}  −\frac{2}{1+x^{2}}
f′′(x)  \frac{4x}{(1+x^{2} )^{2}}  −\frac{4x}{(1+x^{2} )^{2}}  \frac{4x}{(1+x^{2} )^{2}}
f′′ < 0 ⇒ ∪ (konk.)  \begin{aligned}f′′ > 0 na (−1, 0) & ⇒ ∩ \\ f′′ < 0 na (0, 1) & ⇒ ∪ \end{aligned}  f′′ > 0 ⇒ ∩ (konv.)

\begin{matrix}(−∞, −1) & (−1, 0) & (0, 1) & (1, ∞) \\ ∩ & ∪ & ∩ & ∪ \end{matrix}

f′′(±1) neexistuje, neboť f′(±1) neexistuje.

(9) Inflexní body:

Buď f′′ ∄ nebo f′′(x) = 0. f′′ ∄: x = ±1 — bod inflexe není, neboť ∄f′. f′′(x) = 0: x = 0 — kandidát na inflexi.

\begin{matrix}f′′ > 0 & … P^{−}(0, δ) \\ f′′ < 0 & … P^{+} (0, δ) \end{matrix} \} ⇒ x = 0 je inflexním bodem.

Jiné inflexní body f nemá (nutná podmínka jinde nesplněna).

— Průběh funkce —

(10) Asymptoty:

lim_{x→∞} \frac{f(x)}{x} = lim_{x→∞} \frac{arcsin(\frac{2x}{1+x^{2}} )}{x} = 0

lim_{x→∞} (f(x) − 0x) = 0

a = b = 0

Nulová přímka, tedy osa x.

(11) Obor hodnot:

H(f) = [−\frac{π}{2}, \frac{π}{2}]

−\frac{π}{2} … globální minimum, − \frac{π}{2} = f(−1)
\frac{π}{2} … globální maximum, \frac{π}{2} = f(1)

⇒^{Darboux} f nabývá každé mezihodnoty