— — Spojité funkce na intervalu

Spojité funkce na intervalu

Definice:

Je-li (a, b) interval, pak a nazýváme počátečním bodem intervalu, b pak koncovým bodem a x ∈ (a, b) vnitřními body intervalu. Obdobně pro uzavřené a polouzavřené intervaly.

Definice:

Řekneme, že funkce f je spojitá na intervalu I, jestliže je spojitá zprava ve všech bodech intervalu kromě koncového a zároveň spojitá zleva ve všech bodech intervalu kromě počátečího.

VĚTA 8 (Darbouxova):

Nechť f je spojitá na uzavřeném intervalu [a, b], a < b, a, b ∈ ℝ a f(a) < f(b). Pak

∀y ∈ (f(a), f(b)) ∃ x ∈ (a, b) : f(x) = y

(Neboli spojitá funkce nabývá na intervalu všech mezihodnot.)

DŮKAZ:

T-O-D-O: diagram Definujeme množinu M := {x ∈ [a, b] : f(x) < y}. Je neprázdná (a ∈ M) a omezená

(M ⊆ [a, b]).

Označ x_{0} = supM. Tvrdíme, že f(x_{0}) = y. To nyní dokážeme sporem s vlastnostmi suprema. Předpokládejme:

f(x_{0}) < y ⇒ ∃ ε > 0 : f(x_{0}) ∉ U(y, ε) ⇒ y ∉ U(f(x_{0}), ε)

Funkce je spojitá, tedy k ε ∃ δ > 0 taková, že

f(x) ∉ U(y, ε) ∀x ∈ U(x_{0}, δ) ∩ [a, b]

(f(x_{0}) je “strašně” daleko od y a nevejde se do ε-okolí y) T-O-D-O: Diagram

Čili x_{0} není supremem množiny M, neboť existují body x > x_{0}, což je spor s první vlastností suprema!

Nechť f(x_{0}) > y. To je ve sporu s druhou vlastností suprema. ∃ ε > 0 takové, že y ∉ U(f(x_{0}), ε). K ε potom ∃ δ > 0 taková, že

∀x ∈ U(x_{0}, ε) : f(x) > y ⇒ ∀x ∈ (x_{0} − δ, x_{0}) : f(x) > y

Pak ale x_{0} nemůže být supremum, protože je před ním “díra” x_{0} − δ. ♯̸ Spor

VĚTA 9 (zobrazení intervalu spojitou funkcí):

(Nebo také “o spojitém obrazu intervalu”.) Nechť I je interval a nechť f: I → ℝ je spojitá. Pak f(I) je interval. (Pozor, obrazem otevřeného

intervalu je uzavřený interval.)

DŮKAZ:

LEMMA:

Nechť ∅ ≠ M ⊂ ℝ a nechť platí

∀x, y ∈ M, ∀z ∈ ℝ : x < z < y ⇒ z ∈ M

Pak M je interval.

DŮKAZ:

Definujme a := inf M, b := supM, a ≤ b (množina M je neprázdná) a tedy (a, b) ⊆ M ⊆ [a, b]. Tedy M je interval.

Q.E.D.

Nechť y_{1}, y_{2} ∈ f(I):

∃ x_{1}, x_{2} ∈ I : f(x_{1}) = y_{1} ∧ f(x_{2}) = y_{2}

Bez újmy na obecnosti předpokládejme y_{1} < y_{2}. Nechť y_{3} ∈ (y_{1}, y_{2}). Dle V.8- pak

∃ x_{3} ∈ [x_{1}, x_{2}] : f(x_{3}) = y_{3}

Tedy má f(I) vlastnosti množiny M z lemmatu, takže je dle lemmatu f(I) interval. Q.E.D.

Definice:

Máme-li f: M → ℝ, M ⊆ ℝ, řekneme, že f nabývá v bodě a ∈ M:

(i) maxima na M, jestliže ∀x ∈ M, f(x) ≤ f(a) (ii) minima na M, jestliže ∀x ∈ M, f(x) ≥ f(a) (iii) ostrého maxima na M, jestliže ∀x ∈ M \ {a}, f(x) < f(a) (iv) ostrého minima na M, jestliže ∀x ∈ M \ {a}, f(x) > f(a)

(v–viii) lokálních, jestliže existuje δ > 0 tak, že f nabývá na množině M ∩ U(a, δ) maxima (minima)

T-O-D-O: 1S je nějaké divné…

VĚTA 1S (Heineova věta pro spojitost):

Nechť f je definovaná na okolí bodu a ∈ ℝ. Pak f je spojitá v bodě a, právě když pro každou posloupnost {x_{n}} ∈ D(f), lim_{n→a} x_{n} = a platí lim_{n→a} f(x_{n}) = f(a).

Cvičení:

Rozmyslete si, proč v této větě musí být navíc předpoklad x_{n} ≠ a.

Známe: f spojitá v a ⇔ [x_{n} → a ⇒ f(x_{n}) → f(a)]. Otázka: Kdy nabývá funkce svého maxima či minima?

A = {f(x), x ∈ D(f)}, ∃ supA

Příklady:

(i) f(x) = x na (0, 1). T-O-D-O: graf (ii) f na [0, 1] nemá maximum. Je spojitá na [a, b]? T-O-D-O: graf

VĚTA 10 (vztah spojitosti a extrémů):

Nechť f je spojitá na [a, b]. Pak f nabývá na [a, b] svého minima i maxima.

DŮKAZ:

A = {f(x), x ∈ [a, b]}, M = supA

Z vlastností suprema: ∃ posloupnost {f(x_{n})}_{n=1}^{∞} taková, že lim_{n→∞} f(x_{n}) = M. Pak {x_{n}} ⊂ [a, b], tedy {x_{n}} je omezená.

Tudíž dle Bolzano-Weistrasse ∃ posloupnost {x_{n_{k}}},

lim_{n_{k}→∞} x_{n_{k}} = c ∈ [a, b]

f je spojitá v c, tudíž

lim_{n_{k}→∞} f(x_{n_{k}}) = f(c)

Ale přitom lim_{n→∞} f(x_{n}) = M, neboli

lim_{n_{k}→∞} f(x_{n_{k}}) = M

Podle věty o jednoznačnosti limity: M = f(c), tedy f nabývá svého maxima M v bodě c. Minimum obdobně. Q.E.D.

VĚTA 11 (vztah spojitosti a omezenosti):

Spojitá funkce na [a, b] je omezená.

DŮKAZ:

Dle V.10- f nabývá min, max. Označme m = minf, M = maxf. Pak m ≤ f(x) ≤ M pro ∀x ∈ [a, b] ⇒ f je omezená.

Q.E.D.

Pozn.: Předpoklady jsou podstatné!

Prostá funkce

Definice:

Řekneme, že f je prostá (injektivní) funkce, jestliže x ≠ y ⇒ f(x) ≠ f(y) pro ∀x, y ∈ D(f).

Příklady:

(i) sin není prostý na ℝ, ale je na [−π/2, π/2]. (ii) Konstantní funkce nebývá prostá.

Inverzní funkce

Definice:

Nechť f je prostá funkce na M ⊂ ℝ, kdy f: M ↦ f(M). Pak inverzní funkce k f (označíme f^{−1}) je definována na f(M) pro ∀y ∈ f(M) jako:

f^{−1}(y) = x ⇔ y = f(x)

Příklady:

(i) f(x) = x^{2} na [0, ∞) (ii) f(y) = \sqrt{y} na [0, ∞)

— — Spojité funkce na intervalu

VĚTA 12 (o inverzní funkci):

Nechť I je interval v ℝ, f je definovaná, spojitá a rostoucí (či klesající) na I. Pak f^{−1} je definovaná, spojitá a rostoucí či klesající na f(I).

DŮKAZ:

Definovanost a monotonie Nechť f je například rostoucí, pak f^{−1} je definovaná a rostoucí na f(I).

\begin{aligned}y_{i} & = f(x_{i}) \\ x_{i} & = f^{−1}(y_{i}) \end{aligned}

y_{1} < y_{2} ⟺ f(x_{1}) < f(x_{2}) \underleftrightarrow{f ↑} x_{1} < x_{2} ⟺ f^{−1}(y_{1}) < f^{−1}(y_{2}) Spojitost

Zvolíme y_{0} ∈ f(I), y_{0} = f(x_{0}), x_{0} = f^{−1}(y_{0}), ε > 0. Nechť y_{0} je vnitřním bodem f(I), pak x_{0} je vnitřním bodem I.

∃ x_{1}, x_{2}, x_{1} < x_{0} < x_{2} ⇒ (x_{1}, x_{2}) ⊂ U(x_{0}, ε) Zvol δ > 0 tak, aby U(y, δ) ⊆ (f(x_{1}), f(x_{2})). Tedy pro ε > 0 ∃ δ > 0 tak, že:

f^{−1} (U(y_{0}, δ)) ⊆ f^{−1} (f(x_{1}), f(x_{2})) = (x_{1}, x_{2}) ⊆ U(x_{0}, ε) = U (f^{−1}(y_{0}), ε)

Tedy f^{−1} je spojitá v y_{0}. Obdobně pro krajní body (⟨cvičení⟩). Q.E.D.