\input /home/pasky/school/fastex/lib.tex

\subchapter{Spojité funkce na intervalu}{


\definition{
	Je-li $(a,b)$ interval, pak $a$ nazýváme {\bf počátečním bodem} intervalu,
	$b$ pak {\bf koncovým bodem} a $x \in (a,b)$ {\bf vnitřními body} intervalu.
	Obdobně pro uzavřené a polouzavřené intervaly.
}

\definition{
	Řekneme, že funkce $f$ je {\bf spojitá na intervalu $I$}, jestliže je spojitá zprava
	ve všech bodech intervalu kromě koncového a zároveň spojitá zleva ve všech bodech
	intervalu kromě počátečího.
}


\theorem{8}{Darbouxova}{
	Nechť $f$ je spojitá na uzavřeném intervalu $[a,b]$, $a<b$, $a,b\in\real$ a $f(a)<f(b)$. Pak
	$$ \forall y \in (f(a),f(b))\ \existss x \in (a,b):\ f(x) = y $$
	(Neboli spojitá funkce nabývá na intervalu všech mezihodnot.)

	\proof{
		\TODO{diagram}

		Definujeme množinu $M := \{ x \in [a,b]: f(x) < y \}$.
		Je neprázdná ($a \in M$) a omezená ($M \subseteq [a,b]$).

		Označ $x_0 = \sup M$.  Tvrdíme, že $f(x_0) = y$.
		To nyní dokážeme sporem s vlastnostmi suprema.
		Předpokládejme:
		$$ f(x_0) < y \Rightarrow \existss{\eps > 0}: f(x_0) \notin \cU(y,\eps) \Rightarrow y \notin \cU(f(x_0),\eps) $$

		Funkce je spojitá, tedy k $\eps$ $\existss \delta > 0$ taková, že
		$$ f(x) \notin \cU(y,\eps)\qquad\forall x \in \cU(x_0,\delta) \cap [a,b] $$
		($f(x_0)$ je ``strašně'' daleko od $y$ a nevejde se do $\eps$-okolí $y$)
		\TODO{Diagram}

		Čili $x_0$ není supremem množiny $M$, neboť existují body $x > x_0$,
		což je spor s první vlastností suprema!

		Nechť $f(x_0) > y$. To je ve sporu s druhou vlastností suprema.
		$\existss \eps > 0$ takové, že $y \notin \cU(f(x_0), \eps)$.
		K $\eps$ potom $\existss \delta > 0$ taková, že
		$$ \forall x \in \cU(x_0,\eps): f(x) > y \Rightarrow \forall x \in (x_0-\delta, x_0): f(x) > y $$

		Pak ale $x_0$ nemůže být supremum, protože je před ním ``díra'' $x_0-\delta$.

		\XXX
	}
}


\theorem{9}{zobrazení intervalu spojitou funkcí}{
	(Nebo také ``o spojitém obrazu intervalu''.)

	Nechť $I$ je interval a nechť $f\colon I \to \real$ je spojitá.
	Pak $f(I)$ je interval.
	(Pozor, obrazem otevřeného intervalu je uzavřený interval.)

	\proof{
		\lemma{}{
			Nechť $\emptyset \ne M \subset \real$ a nechť platí
			$$ \forall x,y \in M,\ \forall z \in \real:\ x < z < y \Rightarrow z \in M $$

			Pak $M$ je interval.

			\proof{
				Definujme $a := \inf M$, $b := \sup M$, $a \le b$ (množina $M$ je neprázdná)
				a tedy $(a,b) \subseteq M \subseteq [a,b]$. Tedy $M$ je interval.
				\qed
			}
		}

		Nechť $y_1, y_2 \in f(I)$:
		$$\existss x_1,x_2 \in I:\ f(x_1) = y_1 \land f(x_2) = y_2$$

		Bez újmy na obecnosti předpokládejme $y_1 < y_2$.
		Nechť $y_3 \in (y_1,y_2)$.
		Dle \ias{}{8}{} pak
		$$\existss x_3 \in [x_1,x_2]:\ f(x_3) = y_3 $$

		Tedy má $f(I)$ vlastnosti množiny $M$ z lemmatu, takže je dle lemmatu $f(I)$ interval.
		\qed
	}
}


\definition{
	Máme-li $f\colon M \to \real$, $M \subseteq \real$, řekneme, že $f$ nabývá v bodě $a \in M$:

	\list{
		\listItem{{\bf maxima na $M$}, jestliže $\forall x \in M,\ f(x) \le f(a)$}
		\listItem{{\bf minima na $M$}, jestliže $\forall x \in M,\ f(x) \ge f(a)$}
		\listItem{{\bf ostrého maxima na $M$}, jestliže $\forall x \in M\setminus\{a\},\ f(x) < f(a)$}
		\listItem{{\bf ostrého minima na $M$}, jestliže $\forall x \in M\setminus\{a\},\ f(x) > f(a)$}
		\namedListItem{v--viii}{{\bf lokálních}, jestliže existuje $\delta > 0$ tak,
					  že $f$ nabývá na množině $M \cap \cU(a,\delta)$ maxima (minima)}
	}
}


\TODO{1S je nějaké {\bf divné}\dots}

\theorem{1S}{Heineova věta pro spojitost}{
	Nechť $f$ je definovaná na okolí bodu $a \in \real$.
	Pak $f$ je spojitá v bodě $a$, právě když pro každou posloupnost
	$\{x_n\} \in D(f)$, $\lim_{n\to a} x_n = a$ platí
	$\lim_{n\to a} f(x_n) = f(a)$.

	\exercise{
		Rozmyslete si, proč v této větě musí být navíc předpoklad $x_n \ne a$.
	}

	\shortdef{Známe}{$f$ spojitá v $a$ $\Leftrightarrow$ $[x_n \to a \Rightarrow f(x_n) \to f(a)]$.}

	\shortdef{Otázka}{Kdy nabývá funkce svého maxima či minima?}

	$$ A = \{ f(x),\ x \in D(f) \},\ \existss{\sup A} $$

	\examples{
	\list{
		\listItem{$f(x) = x$ na $(0,1)$. \TODO{graf}}
		\listItem{$f$ na $[0,1]$ nemá maximum. Je spojitá na $[a,b]$? \TODO{graf}}
	}
	}
}


\theorem{10}{vztah spojitosti a extrémů}{
	Nechť $f$ je spojitá na $[a,b]$. Pak $f$ nabývá na $[a,b]$ svého minima i maxima.

	\proof{
		$$ A = \{f(x),\ x \in [a,b]\},\ M=\sup A $$

		Z vlastností suprema:
		$\existss$ posloupnost $\{f(x_n)\}_{n=1}^\infty$ taková, že $\lim_{n\to \infty} f(x_n) = M$.
		Pak $\{x_n\} \subset [a,b]$, tedy $\{x_n\}$ je omezená.

		Tudíž dle \ref{Bolzano-Weistrass}e $\existss$ posloupnost
		$\{x_{n_k}\}$, $$\lim_{n_k\to \infty} x_{n_k} = c \in [a,b]$$

		$f$ je spojitá v $c$, tudíž $$\lim_{n_k\to \infty} f(x_{n_k}) = f(c)$$
		Ale přitom $\lim_{n\to \infty} f(x_n) = M$, neboli $$\lim_{n_k\to \infty} f(x_{n_k}) = M$$

		Podle \href{věty o jednoznačnosti limity}{VOJL}: $M = f(c)$,
		tedy $f$ nabývá svého maxima $M$ v bodě~$c$.

		Minimum obdobně.

		\qed
	}
}


\theorem{11}{vztah spojitosti a omezenosti}{
	Spojitá funkce na $[a,b]$ je omezená.

	\proof{
		Dle \ias{}{10}{} $f$ nabývá $\min$, $\max$. Označme $m = \min f$, $M = \max f$.
		Pak $m \le f(x) \le M$ pro $\forall x \in [a,b]$ $\Rightarrow$ $f$ je omezená.

		\qed
	}

	\shortnote{Předpoklady jsou podstatné!}
}


\scpart{Prostá funkce}{
	\definition{
		Řekneme, že $f$ je {\bf prostá (injektivní)} funkce,
		jestliže $x \ne y$ $\Rightarrow$ $f(x) \ne f(y)$ pro $\forall x,y \in D(f)$.
	}

	\examples{
	\list{
		\listItem{$\sin$ není prostý na $\real$, ale je na $[-{\pi/2},{\pi/2}]$.}
		\listItem{Konstantní funkce nebývá prostá.}
	}
	}
}


\scpart{Inverzní funkce}{
	\definition{
		Nechť $f$ je prostá funkce na $M \subset \real$, kdy $f\colon M \mapsto f(M)$.
		Pak {\bf inverzní} funkce k $f$ (označíme $f^{-1}$) je definována na $f(M)$
		pro $\forall y \in f(M)$ jako: $$ f^{-1}(y) = x \Leftrightarrow y = f(x) $$
	}

	\examples{
	\list{
		\listItem{$f(x) = x^2$ na $[0,\infty)$}
		\listItem{$f(y) = \sqrt{y}$ na $[0,\infty)$}
	}
	}


	\penalty-100
	\theorem{12}{o inverzní funkci}{
		Nechť $I$ je interval v $\real$, $f$ je definovaná, spojitá a rostoucí (či klesající) na $I$.
		Pak $f^{-1}$ je definovaná, spojitá a rostoucí či klesající na $f(I)$.

		\proof{
			\scpart{Definovanost a monotonie}{
				Nechť $f$ je například rostoucí, pak $f^{-1}$ je definovaná a rostoucí na $f(I)$.
				$$ \eqalign{y_i &= f(x_i)\cr
					    x_i &= f^{-1}(y_i)} $$
				$$ y_1 < y_2 \Longleftrightarrow
					f(x_1) < f(x_2) \becauseof{$f\uparrow\strut$}{\Longleftrightarrow}
					x_1 < x_2 \Longleftrightarrow
					f^{-1}(y_1) < f^{-1}(y_2) $$
			}

			\scpart{Spojitost}{
				Zvolíme $y_0 \in f(I)$, $y_0 = f(x_0)$, $x_0 = f^{-1}(y_0)$, $\eps > 0$.
				Nechť $y_0$ je vnitřním bodem $f(I)$, pak $x_0$ je vnitřním bodem $I$.
				$$ \existss x_1,x_2,\ x_1 < x_0 < x_2 \Rightarrow (x_1,x_2) \subset \cU(x_0, \eps) $$

				Zvol $\delta > 0$ tak, aby $\cU(y,\delta) \subseteq \left(f(x_1),f(x_2)\right)$.
				Tedy pro $\eps > 0$ $\existss \delta > 0$ tak, že:
				$$ f^{-1}\left(\cU(y_0,\delta)\right) \subseteq f^{-1}\left(f(x_1),f(x_2)\right)
					= (x_1,x_2) \subseteq \cU(x_0,\eps) = \cU\left(f^{-1}(y_0),\eps\right) $$

				Tedy $f^{-1}$ je spojitá v $y_0$.
				Obdobně pro krajní body (\DCV).
			}

			\qed
		}
	}
}


}

\bend