— — Další vlastnosti derivací

Další vlastnosti derivací

f′_{+} (a), je f′(a) spojitá zprava v a?

f′(a) = lim_{h→0} \frac{f(a + h) − f(a)}{h}

Derivace v bodě je číslo (směrnice tečny), vyjadřující míru změny. Zároveň je ale f′ funkce, x ↦ f′(x). f buď spojitá na I, ∃ f′ (vlastní) na I. Je f′ spojitá? Není.

Příklad:

sin \frac{1}{x} není definována v nule.

f(x) = \{ \begin{matrix}x^{2} sin \frac{1}{x} & x ≠ 0 \\ 0 & x = 0 \end{matrix}

(obrázek)

Tvrdím, že tato funkce má v nule derivaci nula.

f′(0) = lim_{x→0} \frac{f(x) − f(0)}{x − 0} = lim_{x→0} (x sin \frac{1}{x}) = 0

x ≠ 0 : f′(x) = 2x sin \frac{1}{x} − x^{2} cos(\frac{1}{x} \frac{−1}{x^{2}}) = 2x sin \frac{1}{x} − cos \frac{1}{x}

Je f′ v 0 spojitá? Není, protože lim_{x→0} f′(x) neexistuje. Co kdyby limita existovala?

VĚTA 25 (o limitě derivací):

Nechť f je spojitá zprava v bodě a ∈ ℝ a nechť ∃ lim_{x→a_{+}} f′(x) = A ∈ ℝ^{∗} . Potom f′_{+} (a) = A.

DŮKAZ:

f′_{+} (a) = lim_{x→a_{+}} \frac{f(x) − f(a)}{x − a} =^{?} lim_{x→a_{+}} \frac{f′(x)}{1} = A

Můžeme L’Hospitalovat?

\begin{matrix}lim_{x→a_{+}} (x − a) & = 0 \\ lim_{x→a_{+}} (f(x) − f(a)) & = 0 \end{matrix} \} ⇒ můžeme

Q.E.D.

VĚTA 26 (vztah derivace a monotonie):

Nechť I je nezdegenrovaný interval, označme Int(I) = {vnitřní body I}. Nechť f je spojitá na I a f′ existuje vlastní na Int(I).

(i) Je-li f′ > 0 na IntI, pak f je rostoucí na I. (ii) Je-li f′ ≥ 0 na IntI, pak f je neklesající na I. (iii) Je-li f′ < 0 na IntI, pak f je klesající na I. (iv) Je-li f′ ≤ 0 na IntI, pak f je nerostoucí na I.

DŮKAZ:

Idea: Mějme f(a), f(b), pak existuje mezi a a b bod ξ, 0 < f′(ξ) = \frac{f(b)−f(a)}{b−a} . Lagrange:

∀a, b ∈ I (a < b) ∃ ξ ∈ (a, b) : f′(ξ) = \frac{f(b) − f(a)}{b − a}

ale f′(ξ) > 0 ∧ b − a > 0 ⇒ f(b) − f(a) > 0 ⇒ f(b) > f(a) ⇒ f rostoucí na I. Pro ostatní případy analogicky. Q.E.D.

Poznámka:

f(x) = tgx

f′(x) = \frac{1}{cos^{2} x} > 0 ∀x ∈ D(f)

Ale funkce f není rostoucí na D(f). Tedy je důležitá úloha intervalu.

Varování

f′ > 0 na I_{1} ∪ I_{2} ⇏ f rostoucí na I_{1}, I_{2}.