\input /home/pasky/school/fastex/lib.tex

\subchapter{Další vlastnosti derivací}{

$f'_+(a)$, je $f'(a)$ spojitá zprava v $a$?

$$f'(a) = \lim_{h\to 0} {f(a+h) - f(a) \over h}$$

Derivace v bodě je číslo (směrnice tečny), vyjadřující míru změny.
Zároveň je ale $f'$ funkce, $x \mapsto f'(x)$.

$f$ buď spojitá na $I$, $\existss f'$ (vlastní) na $I$.
Je $f'$ spojitá?

Není.

\example{
	$\sin {1\over x}$ není definována v nule.

	$$f(x) = \cases{x^2\sin{1\over x} & $ x \ne 0 $\cr
	               0                 & $ x = 0 $} $$
	(obrázek)

	Tvrdím, že tato funkce má v nule derivaci nula.

	$$f'(0) = \lim_{x\to 0} {f(x) - f(0) \over x - 0} = \lim_{x\to 0} \left(x\sin{1\over x}\right) = 0$$

	$$x \ne 0: f'(x) = 2x\sin{1\over x} - x^2\cos\left({1\over x}{-1\over x^2}\right)
		= 2x\sin{1\over x} - \cos {1\over x} $$

	Je $f'$ v 0 spojitá? Není, protože $\lim_{x\to 0} f'(x)$ neexistuje.

	Co kdyby limita existovala?
}


\theorem{25}{o limitě derivací}{

	Nechť $f$ je spojitá zprava v bodě $a \in \real$
	a nechť \M{\existss \lim_{x\to a_+} f'(x) = A \in \real^*}.
	Potom $f'_+(a) = A$.

	\proof{
		$$ f'_+(a) = \lim_{x\to a_+} {f(x) - f(a) \over x - a} \hypothetically{=} \lim_{x\to a_+} {f'(x) \over 1} = A $$

		Můžeme L'Hospitalovat?
		$$ \sesac{\eqalign{\lim_{x\to a_+} (x-a)         &= 0\cr
		                   \lim_{x\to a_+} (f(x) - f(a)) &= 0}}{\Rightarrow \textbox{můžeme}} $$

		\qed
	}

}


\theorem{26}{vztah derivace a monotonie}{

	Nechť $I$ je nezdegenrovaný interval, označme $\Int(I) = \{$vnitřní body $I$$\}$.
	Nechť $f$ je spojitá na $I$ a $f'$ existuje vlastní na $\Int(I)$.

	\list{
		\listItem{Je-li $f'>0$ na $\Int I$, pak $f$ je rostoucí na $I$.}
		\listItem{Je-li $f'\ge0$ na $\Int I$, pak $f$ je neklesající na $I$.}
		\listItem{Je-li $f'<0$ na $\Int I$, pak $f$ je klesající na $I$.}
		\listItem{Je-li $f'\le0$ na $\Int I$, pak $f$ je nerostoucí na $I$.}
	}

	\penalty-100
	\proof{
		\shortdef{Idea}{
			Mějme $f(a)$, $f(b)$, pak existuje mezi $a$ a $b$ bod $\xi$,
			$0 < f'(\xi) = {f(b) - f(a) \over b - a}$.
		}

		\ref{Lagrange}:
		$$\forall a,b \in I\ (a<b)\ \existss \xi \in (a,b): f'(\xi) = {f(b) - f(a) \over b-a}$$
		ale $f'(\xi) > 0 \et b - a > 0$ $\Rightarrow$ $f(b) - f(a) > 0$ $\Rightarrow$ $f(b) > f(a)$
		$\Rightarrow$ $f$ rostoucí na $I$.

		Pro ostatní případy analogicky.

		\qed
	}

	\note{
		$$ f(x) = \tg x $$
		$$ f'(x) = {1 \over \cos^2 x} > 0\qquad \forall x \in D(f) $$
		
		Ale funkce $f$ není rostoucí na $D(f)$. Tedy je důležitá úloha {\bf intervalu}.

		\scpart{Varování}{
			$f'>0$ na $I_1 \cup I_2$ $\not\Rightarrow$ $f$ rostoucí na $I_1$, $I_2$.
		}
	}

}


}

\bend