Luboš Pick

Matematická analýza I

Přepsal Petr Baudiš v ak. roce 2004/2005

“Když ji miluješ, není co řešit.”

◯^{c} 2004/2005 Luboš Pick, Petr Baudiš Verze 1.61/L:1.616. Tato verze není garantována, nemusí být kompletní a může obsahovat chyby. Aktuální verzi vždy najdete na http://math.or.cz/. Sazba v programu TEX.

Luboš Pick — Matematická analýza I Úvod do matematické analýzy —

Úvod do matematické analýzy

Výroková logika

Definice:

Logika: věda o správnosti výroků. Výrok: tvrzení, o kterém má smysl říci, zda je pravdivé nebo ne. Obvykle ve formě “premisa ⇒

důsledek”. Tarskiho definice: “Výrok A je pravdivý, jestliže A.”

Příklad:

\begin{aligned}(A ⇒ B) & ⟺ (¬B ⇒ ¬A) \\ & ⟺ ¬(A ∧ ¬B) \end{aligned}

Výroková funkce: výraz, z nějž obdržíme výrok po dosazení prvků za proměnné. Zapisujeme V (x_{1}, …, x_{n}), x_{n} ∈ M_{n}.

Kvantifikátory: všeobecný (∀) a existenční (∃). Platí princip stejnoměrnosti:

∀x ∃ y : V (x, y) ⟸ ∃ y ∀x : V (x, y)

Základní metody důkazů

Používáme zejména důkazy sporem, indukcí, přímo a nepřímo. Je záhodno se vyhnout důkazu kruhem.

Při dokazování je vhodné si uvědomit formální definici dokazovaného výroku a aplikovat ji na náš konkrétní případ (např. dokazujeme-li existenci limity, může pomoci vyjít z dosazení do její definice).

Tvrzení: Pro ∀n ∈ ℕ : n^{2} liché ⇒ n liché. Důkazy:

(i) Přímo:

n^{2} = p_{1}^{2} ⋯ p_{k}^{2} (prvočíselný rozklad)
n = p_{1} ⋯ p_{k}
j = 1, …, k : p_{j} ≠ 2 ⇒ n liché

(ii) Nepřímo:

n sudé ⇒ n = 2m ⇒ n^{2} = 4m^{2} ⇒ n^{2} sudé

(iii) Sporem:

n^{2} liché ∧ n sudé
⟹ n^{2} + n liché ⟹ n(n + 1) liché

♯̸ Spor (iv) Indukcí:

n = 1: 1^{2} liché, 1 liché.

n ⇒ n + 2: n^{2} liché ⇒ (n + 2)^{2} liché (neboť (n + 2)^{2} = n^{2} + 2n + 4 = 2n + 5 je liché).

Q.E.D.

Úvod do matematické analýzy — Výroková logika Luboš Pick — Matematická analýza I

Další příklady:

• Přímo: A ⇒ C_{1} ⇒ C_{2} ⇒ ⋯ ⇒ C_{n} ⇒ B Cauchyho nerovnost:

(∑_{i=1}^{n}a_{i}b_{i})^{2} ≤ (∑_{i=1}^{n}a_{i}^{2}) (∑_{i=1}^{n}b_{i}^{2})

∀m ∈ ℕ, a_{1}, …, a_{n}, b_{1}, …, b_{n} ∈ ℝ

(1) a_{1} = a_{2} = ⋯ = a_{n} = 0, tedy platí.

(2) ∃ i ∈ {1, …, n} : a_{i} ≠ 0.

Trik: Definujme si:

f(x) := ∑_{i=1}^{n}(a_{i}x + b_{i}) ^{2}

Pak platí:

f(x) = (∑_{i=1}^{n}a_{i}^{2}) x^{2} + (∑_{i=1}^{n}2a_{i}b_{i})x + (∑_{i=1}^{n}b_{i}^{2}) = αx^{2} + βx + γ

α > 0, f(x) > 0 ⟹^{z grafu} D ≤ 0 ⇔ β^{2} − 4αγ ≤ 0

β^{2} − 4αγ ≤ 0 ⟹ β^{2} ≤ 4αγ = 4 (∑_{i=1}^{n}a_{i}b_{i})^{2} ≤ 4 (∑_{i=1}^{n}a_{i}^{2}) (∑_{i=1}^{n}b_{i}^{2})

Q.E.D.

• Sporem: Předpokládáme opak a dokážeme jeho neplatnost.

Iracionalita \sqrt{2}:

x > 0 : x^{2} = 2 ⇒ x ∉ ℚ

Nechť x = p/q, kde p, q jsou nesoudělná:

x^{2} = 2 ⟹ p^{2}/q^{2} = 2 ⟹ p^{2} = 2q^{2}
p^{2} = 4m ⟹ q^{2} = 2m

To je ale spor s nesoudělností p, q. Q.E.D.

• Indukcí: Dokazujeme, že pro ∀n ∈ ℕ : V (n). Stačí dokázat:

(i) V (1) (ii) V (n) ⇒ V (n + 1)

Bernoulliho nerovnost:

(1 + x)^{n} ≥ 1 + nx ∀n ∈ ℕ, x ≥ −1

(1) n = 1:

1 + x ≥ 1 + x Luboš Pick — Matematická analýza I Úvod do matematické analýzy — Výroková logika

(2) V (n) ⇒ V (n + 1): (1 + x)^{n}(1 + x) ≥ (1 + nx)(1 + x) = 1 + (n + 1)x + nx^{2} ≥ 1 + (n + 1)x

Q.E.D. A-G nerovnost:

\frac{a_{1} + a_{2} + ⋯ + a_{n}}{n} ≥ ^{n} \sqrt{a_{1}a_{2} ⋯ a_{n}}

∀n ∈ ℕ, a_{1}, a_{2}, …, a_{n} > 0

V (1) je triviální. V (2): (a_{1} + a_{2})/2 ≥ ^{2} \sqrt{a_{1}a_{2}}. Nechť a = A^{2} a b = B^{2}:

(A − B)^{2} = A^{2} + B^{2} − 2AB ≥ 0

V (n) ⇒ V (2n):

\frac{a_{1} + ⋯ + a_{n} + a_{n+1} + ⋯ + a_{2n}}{2n} =

= \frac{a_{1} + ⋯ + a_{n}}{n} + \frac{a_{n+1} + ⋯ + a_{2n}}{n} ≥

{V (2) \atop ≥} ^{2} \sqrt{\frac{a_{1} + ⋯ + a_{n}}{n} · \frac{a_{n+1} + ⋯ + a_{2n}}{n}} ≥

{V (n) \atop ≥} ^{2} \sqrt{^{n} \sqrt{a_{1} ⋯ a_{n}} · ^{n} \sqrt{a_{n+1} ⋯ a_{2n}}} =

= ^{2n} \sqrt{a_{1} ⋯ a_{2n}} ⟹ V (2n)

V (n + 1) ⇒ V (n): Mějme a_{1}, …, a_{n}. Trik: Definujme:

\begin{aligned}b_{1} & := \frac{a_{1}}{\sqrt[n]{a_{1} ⋯ a_{n}}} \\ b_{2} & := \frac{a_{2}}{\sqrt[n]{a_{1} ⋯ a_{n}}} \\ b_{n} & := \frac{a_{n}}{\sqrt[n]{a_{1} ⋯ a_{n}}} \\ b_{n+1} & := 1 \end{aligned}

\begin{aligned}V (n + 1) ⟹ \frac{b_{1} + b_{2} + ⋯ + b_{n+1}}{n + 1} & ≥ ^{n+1}\sqrt{b_{1}b_{2} ⋯ b_{n+1}} = 1 \\ b_{1} + b_{2} + ⋯ + b_{n+1} & ≥ n + 1 \\ \frac{a_{1} + a_{2} + ⋯ + a_{n}}{\sqrt[n]{a_{1} ⋯ a_{n}}} & ≥ n \\ \frac{a_{1} + a_{2} + ⋯ + a_{n}}{n} & ≥ ^{n} \sqrt{a_{1} ⋯ a_{n}} ⟹ V (n) \end{aligned}

Q.E.D.

Úvod do matematické analýzy — Množina reálných čísel Luboš Pick — Matematická analýza I

Množina reálných čísel

Definice:

Množina A je induktivní, jestliže:

(i) 1 ∈ A (ii) k ∈ A ⇒ k + 1 ∈ A

ℕ =^{def} průnik všech induktivních množin (nebo také {1, 2, 3, 4, …}).

ℤ =^{def} ℕ ∪ {0} ∪ (−ℕ)

ℚ =^{def} {p/q : p ∈ ℤ, q ∈ ℕ}

ℝ za okamžik. ℂ se zabývat nebudeme.

VĚTA 1 (o reálném tělese):

Existuje právě jedno uspořádané těleso ℝ, na němž jsou dány operace “+” a “·”, prvky “0” a “1” a binární relace “≥” s následujícími vlastnostmi:

I. Algebraické vlastnosti tělesa: (i) (x + y) + z = x + (y + z) (asociativita) ∀x, y, z ∈ ℝ (ii) x + y = y + x (komutativita) ∀x, y ∈ ℝ (iii) x + 0 = 0 + x = x ∀x ∈ ℝ (iv) x + (−x) = 0 ∀x ∈ ℝ : ∃ − x ∈ ℝ (v) (xy)z = x(yz) ∀x, y, z ∈ ℝ (vi) xy = yx ∀x, y ∈ ℝ (vii) 1x = x1 = x ∀x ∈ ℝ (viii) xx^{−1} = x^{−1}x = 1 ∀x ∈ ℝ \ {0} : ∃ x^{−1} ∈ ℝ (ix) x(y + z) = xy + xz ∀x, y, z ∈ ℝ

II. Axiomy uspořádání:

(i) x ≤ y ∧ y ≤ x ⟹ x = y (slabá antisymetrie) ∀x, y ∈ ℝ (ii) x ≤ y ∧ y ≤ z ⟹ x ≤ z (tranzitivita) ∀x, y, z ∈ ℝ (iii) x ≤ y ∨ y ≤ z (dichotomie) ∀x, y ∈ ℝ (iv) x ≤ y ⟹ x + z ≤ y + z ∀x, y, z ∈ ℝ (v) xy ≥ 0 ∀x, y ∈ ℝ, x ≥ 0, y ≥ 0

Axiom o supremu

Nechť M ∈ ℝ. Řekneme, že M je:

(i) shora omezená, jestliže ∃ K ∈ ℝ pro ∀x ∈ M takové, že x ≤ K. (ii) zdola omezená, jestliže ∃ K ∈ ℝ pro ∀x ∈ M takové, že x ≥ K. (iii) omezená, jestliže je omezená shora i zdola. K pak nazýváme horní (dolní) závorou množiny M.

Luboš Pick — Matematická analýza I Úvod do matematické analýzy — Množina reálných čísel

Supremum

Nechť M je neprázdná a shora omezená podmnožina ℝ. Pak ∃! G ∈ ℝ, pro které platí:

(i) ∀x ∈ M : x ≤ G (horní závora) (ii) ∀G′ < G ∃ x ∈ M : G′ ≤ x (nejmenší horní závora)

(pro uzavřený interval G ∈ M, pro otevřený interval však nikoliv.

G = supM

Infimum

Nechť M je neprázdná a zdola omezená podmnožina ℝ. Pak ∃! g ∈ ℝ, pro které platí:

(i) ∀x ∈ M : x ≥ g (dolní závora) (ii) ∀g′ > g ∃ x ∈ M : g′ ≥ x (nejmenší dolní závora)

g = inf M

DŮKAZ:

Definujme množinu −M := {−x, x ∈ M}. Pak −M je shora omezená (neboť M je zdola omezená). Tedy ∃ G = sup(−M) (supremum máme zavedeno axiomaticky).

G ≥ −x ⇒ −G ≤ x ⇒ g ≤ x ∀x ∈ M

Pak ovšem g := −G = inf(M).

Příklady:

(0, 2) inf M = 0 ∉ M supM = 2 ∉ M
[0, 2] inf M = 0 ∈ M supM = 2 ∈ M
{n ∈ ℕ : x = 2 − 1/n} inf M = 1 ∈ M supM = 2 ∉ M
(0, 2) ∪ {3} inf M = 0 ∉ M supM = 3 ∈ M

VĚTA 2 (Archimédova vlastnost):

∀x ∈ ℝ ∃ n ∈ ℕ : x < n

DŮKAZ:

Sporem: předpokládejme, že ∃ x ∈ ℝ takové, že pro ∀n ∈ ℕ : n ≤ x. Pak je ℕ shora omezená, tedy ∃ G = supℕ.

Přitom pro ℕ platí: ∀n ∈ ℕ ⇒ n + 1 ∈ ℕ (jde o průnik všech induktivních množin). Tedy n + 1 ≤ G pro ∀n ∈ ℕ, tudíž n ≤ G − 1 pro ∀n ∈ ℕ. Ovšem v tom případě supℕ = G − 1!

♯̸ Spor

Spočetnost: Množina A je spočetná, existuje-li zobrazení f: ℕ ⟷^{1–1} A.

VĚTA 3 (hustota racionálních a iracionálních čísel v reálných číslech):

ℕ ↔ ℚ: Kardinálně |ℚ| = |ℕ|, můžeme zobrazit všechna racionální čísla na ℕ (matice, řádky budou p a sloupce q, číslujeme diagonálně).

Pro každá a, b ∈ ℝ, a < b ∃ q ∈ ℚ, r ∈ ℝ \ ℚ takové, že a < q < b, a < r < b (ať uděláme sebeužší mezírku na reálné ose, vejde se nám tam nějaké racionální a iracionální číslo).

Úvod do matematické analýzy — Množina reálných čísel Luboš Pick — Matematická analýza I

DŮKAZ:

Přímo:

(ℚ) q = m/n , m ∈ ℤ, n ∈ ℕ. Z Archimeda ⇒ ∃ n ∈ ℕ takové, že 1/(b−a) < n, tedy b−a > 1/n. Pak ale jistě existuje m ∈ ℤ tak, že m/n ∈ (a, b).

(ℝ \ ℚ) Nechť q_{1}, q_{2} ∈ ℚ, a < q_{1} < q_{2} < b. Zvolme r = q_{1} + 1/\sqrt{2}(q_{2} − q_{1}). Pak:

(i) r ∈ (q_{1}, q_{2}) ⊂ (a, b), neboť 1/\sqrt{2} < 1.

(ii) r ∈ ℝ \ ℚ (⟨cvičení⟩).

VĚTA 4 (o existenci n-té odmocniny):

(Tato věta je těžká!)

∀x > 0, x ∈ ℝ ∧ ∀n ∈ ℕ : ∃ y > 0, y ∈ ℝ, y^{n} = x

DŮKAZ:

Nejdříve si označme:

R_{0}^{+} = {x ∈ ℝ : x ≥ 0}
R^{+} = {x ∈ ℝ : x > 0}

Definujme si nějaké pomocné množiny:

M_{1} := {k > 0, k ∈ ℝ : k^{n} ≤ x}
M_{2} := {k > 0, k ∈ ℝ : k^{n} ≥ x}

LEMMA 1:

R^{+} = M_{1} ∪ M_{2}

DŮKAZ:

Zřejmě M_{1} ⊆ ℝ^{+} , M_{2} ⊆ ℝ^{+} ⇒ M_{1} ∪ M_{2} ⊆ ℝ^{+} .

Kdyby ℝ^{+} ≠ (M_{1} ∪ M_{2}), pakk ∃ k, k ≠ (M_{1} ∪ M_{2}), tedy k^{n} ≰ x ani k^{n} ≱ x, což je ve sporu s dichotomií.

♯̸ Spor

Nyní si definujme y_{1} = supM_{1}, y_{2} = inf M_{2}.

LEMMA 2:

y_{1}^{n} ≤ x ∧ x ≤ y_{2}^{n}

DŮKAZ:

Dokažme y_{1}^{n} ≤ x sporem: y_{1}^{n} > x.

Pak by dle Archimeda ∃ h > 0, h > \frac{ny_{1}^{n}}{y_{1}^{n} − x} (trik). Tedy:
k ∈ M_{1} ⇒ k^{n} ≤ x ⇒ −x ≤ −k^{n}
y_{1}^{n} − x ≤ y_{1}^{n} − k^{n}

Z binomické věty:

y_{1}^{n} − k^{n} = (y_{1} − k) \underbrace{(y_{1}^{n−1} + y_{1}^{n−2}k + ⋯ + y_{1}k^{n−2} + k^{n−1})}_{n členů, všechny ≤ y_{1}^{n−1}} ≤ (y_{1} − k)ny_{1}^{n−1}

Z (ii) vl. suprema ∃ k ∈ M_{1} : k > y_{1} − 1/h, tedy:

(y_{1} − k)ny_{1}^{n−1} < \frac{ny_{1}^{n−1}}{h} < ny_{1}^{n−1} \frac{y_{1}^{n} − x}{ny_{1}^{n−1}} = y_{1}^{n} − x

y_{1}^{n} − x < y_{1}^{n} − x

♯̸ Spor Analogicky x ≤ y_{2}^{n}.

Nyní konečně můžeme dokázat y_{1} = y_{2}. Víme, že nejde, aby y_{2} < y_{1} (jinak y_{1}^{n} > y_{2}^{n}), tedy stačí vyloučit y_{1} < y_{2}. Kdyby to ovšem platilo, dle V.3- by ∃ q ∈ ℚ, q ∈ (y_{1}, y_{2}), což je však spor s ℝ^{+} = M_{1} ∪ M_{2}.

Q.E.D.

Posloupnosti — Luboš Pick — Matematická analýza I

Posloupnosti

Definice:

Je-li ∀n ∈ ℕ přiřazeno a_{n} ∈ ℝ, pak množinu {a_{n}}_{n=1}^{∞} nazýváme posloupností reálných čísel. a_{n} pak nazýváme n-tým členem posloupnosti.

Příklady:

(i) {n}_{n=1}^{∞} : 1, 2, 3, 4, 5, … (ii) {2n + 1}_{n=1}^{∞} : 3, 5, 7, 9, 11, … (iii) {2^{n}}_{n=1}^{∞} : 2, 4, 8, 16, 32, … (iv) {p_{n} : p_{n} = n-té prvočíslo}_{n=1}^{∞} : 2, 3, 5, 7, 11, …

(v) {1}_{n=1}^{∞} : 1, 1, 1, 1, 1, … (vi) {(−1)^{n}}_{n=1}^{∞} : −1, 1, −1, 1, −1, … (vii) a_{1} = 1, a_{n+1} = 1 + a_{n}^{2}: 1, 2, 5, 26, 677, …

Definice:

Posloupnost {a_{n}}_{n=1}^{∞} je omezená, je-li omezená množina čísel {a_{n} : n ∈ ℕ}. Posloupnost {a_{n}}_{n=1}^{∞} je:

• neklesající, pokud a_{n+1} ≥ a_{n} ∀n ∈ ℕ • nerostoucí, pokud a_{n+1} ≤ a_{n} ∀n ∈ ℕ • (ostře) rostoucí, pokud a_{n+1} > a_{n} ∀n ∈ ℕ • (ostře) klesající, pokud a_{n+1} < a_{n} ∀n ∈ ℕ • monotónní, je-li neklesající, nerostoucí, rostoucí či klesající.

• ryze monotónní, je-li rostoucí či klesající.

Příklady:

(i) {1/n} je klesající. (ii) {logn} je rostoucí. (iii) {(−1)^{n}} není monotónní. (iv) {5326}_{n=1}^{∞} je neklesající a nerostoucí.

(v) {(1 + 1/n)^{n}} je rosstoucí (je třeba dokázat).

Luboš Pick — Matematická analýza I Posloupnosti — Vlastní limita posloupnosti

Vlastní limita posloupnosti

Definice:

Posloupnost {a_{n}}_{n=1}^{∞} má vlastní limitu (je konvergentní) A ∈ ℝ, jestliže:

∀ε > 0 ∃ n_{0} ∈ ℕ, ∀n ∈ ℕ, n ≥ n_{0} : |a_{n} − A| < ε

Značíme: lim_{n→∞} a_{n} = A Posloupnost {a_{n}}_{n=1}^{∞} nemá vlastní limitu (je divergentní), jestliže:

∀A ∈ ℝ ∃ ε > 0, ∀n_{0} ∈ ℕ ∃ n ∈ ℕ, n ≥ n_{0} : |a_{n} − A| > ε

Pozn.: Divergentní posloupností myslíme i posloupnost oscilující.

Příklady:

(i) lim_{n→∞} 1/n = 0
(ii) lim_{n→∞} ^{n} \sqrt{n} = 1

(iii) lim_{n→∞}(−1)^{n} není definovaná.

(iv) lim_{n→∞}(1 + 1/n)^{n} = e
(v) lim_{n→∞} a = a

DŮKAZ:

(i) A = 0, dáno ε > 0. Zvolme n_{0} > 1/ε:

∀n ∈ ℕ, n ≥ n_{0} : 1/n ≤ 1/n_{0} < ε

⟹ lim_{n→∞} 1/n = 0

(ii) A = 1, mějme a_{n} = ^{n} \sqrt{n} = 1 + δ_{n}, kde δ_{n} > 0 pro ∀n ≥ 2.

Sporem: nechť lim ≠ 1:

∃ ε > 0, ∀n_{0} ∈ ℕ ∃ n ∈ ℕ, n ≥ n_{0} : ^{n} \sqrt{n} ≥ 1 + ε Pak musí existovat rostoucí posloupnost {n_{k}}_{k=1}^{∞} , kde n_{k} ∈ ℕ a a_{n_{k}} > 1 + ε. Tedy:

n_{k} \sqrt{n_{k}} > 1 + ε
1 + δ_{n_{k}} > 1 + ε

n_{k} = (1 + δ_{n_{k}})^{n_{k}} > (1 + ε)^{n_{k}} = 1 + n_{k}ε + \binom{n_{k}}{2}ε^{2} + ⋯

> n_{k}ε + \frac{n_{k}(n_{k} − 1)}{2}ε^{2}

⟹ 1 > ε + \frac{n_{k} − 1}{2}ε^{2} ∀n_{k}

⟹ \frac{1 − ε}{ε^{2}} · 2 + 1 > n_{k} ∀n_{k}

♯̸ Spor Posloupnosti — Vlastní limita posloupnosti Luboš Pick — Matematická analýza I

(iii) ∃ ε takové, že pro ∀n_{0} ∃ n : |a_{n} − A| ≥ ε pro každé předem dané A ∈ ℝ.

Sporem: předpokládejme lim_{n→∞}(−1)^{n} = A, pak k ε = 1/3 existuje n_{0} takové, že |(−1)^{n} − A| < 1/3 pro ∀n > n_{0}.

2 = |(−1)^{n} − (−1)^{n+1} | = |(−1)^{n} − A + A − (−1)^{n+1} | ≤

≤ |(−1)^{n} − A| + |A − (−1)^{n+1} | < 1/3 + 1/3 = 2/3

♯̸ Spor (iv) e si později nadefinujeme právě jako tuto limitu.

(v) Triviální.

VĚTA 1 (o jednoznačnosti limity posloupnosti): Každá posloupnost má nejvýše jednou limitu. DŮKAZ:

Nechť lim_{n→∞} a_{n} = A_{1} ∧ lim_{n→∞} a_{n} = A_{2} , bez újmy na obecnosti (dichotomie) nechť A_{1} > A_{2}. Zvolme ε < (A_{1} − A_{2})/2. Pak ∃ n_{1}, n_{2} taková, že:

\begin{matrix}∀n ≥ n_{1} : |a_{n} − A_{1}| < ε \\ ∀n ≥ n_{2} : |a_{n} − A_{2}| < ε \end{matrix} \} pro n ≥ max(n_{1}, n_{2}) platí zároveň obojí.

♯̸ Spor

VĚTA 2 (o omezenosti konvergentní posloupnosti): Každá konvergentní posloupnost je omezená. DŮKAZ:

Zvol ε = 1. Nechť lim_{n→∞} a_{n} = A ∈ ℝ . Pak dle definice ∃ n_{0} ∈ ℕ takové, že

∀n ≥ n_{0}, n ∈ ℕ : |a_{n} − A| < ε ⇒ |a_{n}| < |A| + 1

Zvol K := max{|A| + 1; |a_{1}|, |a_{2}|, …, |a_{n_{0}}|}. Pak pro ∀n ∈ ℕ : |a_{n}| ≤ K.

Definice:

Řekneme, že posloupnost {b_{k}}_{k=1}^{∞} je vybraná z {a_{n}}, existuje-li rostoucí posloupnost

{n_{k}}_{k=1}^{∞} ⊆ ℕ

taková, že b_{k} = a_{n_{k}} pro ∀k ∈ ℕ.

VĚTA 3 (o limitě vybrané posloupnosti):

Nechť lim_{n→∞} a_{n} = A a {b_{k}} je vybraná posloupnost z {a_{n}}. Pak lim_{k→∞} b_{k} = A . DŮKAZ:

∀ε > 0 ∃ n_{0} : |a_{n} − A| < ε ∀n > n_{0} ⟹ ∃ k_{0} ≥ n_{0} : a_{n_{k_{0}}} = b_{k_{0}}
∀l ≥ l_{0} : |b_{l} − A| < ε (neboť b_{l} je také nějaké a_{n})

Q.E.D.

Luboš Pick — Matematická analýza I Posloupnosti — Vlastní limita posloupnosti

VĚTA 4 (o aritmetice limit):

Nechť a_{n} ⟶^{n→∞}A ∈ ℝ, b_{n} ⟶^{n→∞}B ∈ ℝ, pak platí:

(i) lim_{n→∞}(−a_{n}) = −A
(ii) lim_{n→∞}(a_{n} + b_{n}) = A + B

(iii) lim_{n→∞}(1/a_{n}) = 1/A (pokud a_{n} ≠ 0 pro ∀n a A ≠ 0)

(iv) lim_{n→∞}(a_{n}b_{n}) = AB

Tedy také lim_{n→∞}(αa_{n}) = αA a za dobrého počasí i lim_{n→∞}(a_{n}/b_{n}) = A/B .

Pozor! Obecně neplatí lim_{n→∞}(c_{n} + d_{n}) = lim_{n→∞} c_{n} + lim_{n→∞} d_{n} , nemusí jedna z nich existovat.

DŮKAZ:

(i) Triviální, stačí volit n′_{0} = n_{0} (jako pro původní posloupnost). (ii) Pro dané ε > 0 platí limita {a_{n}} od n_{1}, {b_{n}} od n_{2}, tedy obě platí od n_{3} = max{n_{1}, n_{2}}

dále. Tedy:

|(a_{n} + b_{n}) − (A + B)| ≤ |a_{n} − A| + |b_{n} − B| < 2ε ∀n ≥ n_{3}

(iii) Nejdříve dokážeme lemmu.

LEMMA:

∃ K > 0, ∀n : |a_{n}| ≥ K

DŮKAZ:

Mějme ε < |A|/2:

∃ n_{0}, ∀n ≥ n_{0} : |a_{n}| ≥ 2ε ⇒ K ≥ 2ε

Pro n ∈ {1, …, n_{0} − 1} : K < min{|a_{n}|} ⇒ ∃ K. Q.E.D.

Zvolíme ε-pás kolem nuly o velikosti K = ε_{0} takový, že |a_{n} ≥ ε_{0}|, tedy |1/a_{n}| ≤ 1/ε_{0}.

|\frac{1}{a_{n}} − \frac{1}{A}| = |\frac{A − a_{n}}{a_{n}A} | ≤ \frac{ε}{|a_{n}A|} ≤ ε · \frac{1}{KA}

(iv) Mějme n ≥ n_{3} = max{n_{1}, n_{2}}:

|(a_{n}b_{n}) − (AB)| = |a_{n}b_{n} − a_{n}B + a_{n}B − AB| ≤ |a_{n}b_{n} − a_{n}B| + |a_{n}B − AB| =

= |a_{n}| \underbrace{|b_{n} − B|}_{<ε} +|B| \underbrace{|a_{n} − A|}_{<ε} < |a_{n}|ε + |B|ε

Přitom |a_{n}| je omezeno nějakou konstantou K a |B| je konstantní rovnou, tedy:

|a_{n}|ε + |B|ε ≤ \underbrace{(K + |B|)}_{konst.}ε

Q.E.D.

Posloupnosti — Vlastní limita posloupnosti Luboš Pick — Matematická analýza I

VĚTA 5 (o uspořádání limit): Mějme lim_{n→∞} a_{n} = A , lim_{n→∞} b_{n} = B . Pak:

(i) Pokud A > B, pak ∃ n_{0}, od kterého a_{n} > b_{n} pro ∀ ≥ n_{0}. (ii) Pokud ∃ n_{0} takové, že a_{n} ≥ b_{n} pro ∀ ≥ n_{0}, pak A ≥ B. (Pozor, neplatí a_{n} > b_{n} ⇒ A > B!

Např. a_{n} = 1/n, b_{n} = −1/n.)

DŮKAZ:

Zvol ε > 0, ε < \frac{1}{4}(A−B), pak pro n_{1}: |a_{n}−A| < ε, pro n_{2}: |b_{n}−B| < ε, pro n_{3} = max\{n_{1}, n_{2}\} jsou tyto pásy již disjunktní:

a_{n} > A − ε > B + ε > b_{n} ∀n ≥ n_{3}

Q.E.D.

VĚTA 6 (o dvou policajtech):

Nechť:

lim_{n→∞} a_{n} = lim_{n→∞} b_{n} = A ∈ ℝ

∃ n_{0} ∈ ℕ, ∀n ≥ n_{0} : a_{n} ≤ c_{n} ≤ b_{n}

Pak lim_{n→∞} c_{n} = A .

DŮKAZ:

Zvolme ε > 0, pak:

\begin{matrix}∃ n_{1} ∈ ℕ, ∀n ≥ n_{1} : |a_{n} − A| < ε \\ ∃ n_{2} ∈ ℕ, ∀n ≥ n_{2} : |b_{n} − A| < ε \end{matrix}

Definujme n_{3} := max{n_{0}, n_{1}, n_{2}}. Pak jistě

A − ε ≤ a_{n} ∀n > n_{3}

A − ε < a_{n} ≤ c_{n} ≤ b_{n} < A + ε

lim_{n→∞} c_{n} = A

Q.E.D.

Příklad:

Nechť a > 0. Pak lim_{n→∞} ^{n} \sqrt{a} = 1 . DŮKAZ: (a > 1) ∃ n_{0} ∈ ℕ, n_{0} ≥ a, ∀n ≥ n_{0} : a ≤ n.

Tedy 1 ≤ ^{n} \sqrt{a} ≤ ^{n} \sqrt{n} pro ∀n ≥ n_{0}.

lim_{n→∞} 1 = 1 ∧ lim_{n→∞} ^{n} \sqrt{n} = 1 ⟹ lim_{n→∞} ^{n} \sqrt{a} = 1

(a = 1) Triviální.

(a < 1) lim_{n→∞} ^{n} \sqrt{a} = lim_{n→∞} \frac{1}{\sqrt[n]{1/a}}

1/a > 1 ⟹ lim_{n→∞} ^{n} \sqrt{1/a} = 1

(Jak bylo dokázáno.)

Luboš Pick — Matematická analýza I Posloupnosti — Vlastní limita posloupnosti

1 ≠ 0 ∧ ^{n} \sqrt{1/n} ≠ 0 ∀n ⟹^{V.4-} lim_{n→∞} ^{n} \sqrt{a} − 1/n = 1

Q.E.D.

VĚTA 7 (o součinu omezené a “nulové” posloupnosti): Nechť lim_{n→∞} a_{n} = 0 a {b_{n}} je omezená. Pak lim_{n→∞} a_{n}b_{n} = 0 . Pozn.: Platí, že lim_{n→∞} a_{n} = 0 ⟺ lim_{n→∞} |a_{n}| = 0 . (Důkaz: ⟨cvičení⟩.) DŮKAZ:

Víme, že pro ∀n ∈ ℕ platí |b_{n}| ≤ K. Pak dle předpokladu a dvou policajtů:

\underbrace{0}_{→0} ≤ \underbrace{|a_{n}b_{n}| = |a_{n}||b_{n}|}_{→0} ≤ \underbrace{K|a_{n}|}_{→0}

⟹ lim_{n→∞} |a_{n}b_{n}| = 0 ⟹ lim_{n→∞} a_{n}b_{n} = 0

Q.E.D. Příklad: lim_{n→∞} \frac{1}{n} sinn = 0 Posloupnosti — Nevlastní limita posloupnosti Luboš Pick — Matematická analýza I

Nevlastní limita posloupnosti

Pokud posloupnost diverguje nade všechny meze (tedy neosciluje), říkáme, že nabývá nevlastní limity ±∞. Nejdříve si však musíme rozšířit dosud zavedené pojmy o nekonečna.

Rozšířená reálná osa

T-O-D-O: obrázek s úhly Na nekonečna jsou možné dva pohledy. My se přidržíme toho, který zavádí nekonečna dvě. Definujeme ℝ^{∗} =^{def} ℝ ∪ {+∞} ∪ {−∞}. Nekonečna jsou pak zavedena takto:

• Uspořádání: −∞ < a < +∞ ∀a ∈ ℝ

• Sčítání: \begin{aligned}a + ∞ & = ∞ \\ −∞ − a & = −∞ \end{aligned} \begin{matrix}∀a ∈ ℝ^{∗} \ \{−∞\} \\ ∀a ∈ ℝ^{∗} \ \{+∞\} \end{matrix}

• Násobení: \begin{matrix}a > 0 : a & · (±∞) = ±∞ \\ a < 0 : a & · (±∞) = ∓∞ \end{matrix} ∀a ∈ ℝ^{∗}

• Dělení: \frac{a}{±∞} = 0 ∀a ∈ ℝ

• Absolutní hodnota: | ± ∞| = +∞

• Nedefinované výrazy: −∞ + ∞, 0 · (±∞), \frac{x}{0}, \frac{±∞}{±∞}

Rozšířené supremum a infimum

Pokud množina M není shora omezená, supM = +∞. Pokud množina M není zdola omezená, inf M = −∞.

\begin{aligned}sup ∅ & = −∞ \\ inf ∅ & = +∞ \end{aligned}

(Jediný případ, kdy inf > sup.)

Definice:

{a_{n}} má nevlastní limitu +∞, pokud:

∀K > 0 ∃ n_{0}, ∀n ≥ n_{0} : a_{n} ≥ K

T-O-D-O: Zde může něco chybět… VĚTA ():

Monotónní posloupnost má limitu. Pokud je omezená, má dokonce vlastní limitu. DŮKAZ:

Pro neklesající posloupnost platí lim_{n→∞} a_{n} = sup{a_{n}}, podobně pro nerostoucí. Dále viz rozšířená definice suprema a infima.

Q.E.D.

Luboš Pick — Matematická analýza I Posloupnosti — Nevlastní limita posloupnosti

Věty o limitách pro nevlastní limity

• V.1- (o jednoznačnosti limity) platí i pro nevlastní limity.

• V.2- (omezená a konvergentní posloupnost) nemá pro nevlastní limity smysl.

• V.3- (limita vybrané posloupnosti) platí i pro nevlastní limity.

• V.4- (aritmetika limit) platí i pro nevlastní limity, ovšem pouze, je-li výraz vpravo definován. (Tuto podmínku tedy přidáme navíc.)

• V.5- (limita a uspořádání) platí i pro nevlastní limity.

Posloupnosti — Limesy Luboš Pick — Matematická analýza I

Limesy

Mějme {a_{n}}_{n∈ℕ}. Definujme posloupnosti {b_{k}}_{k∈ℕ}, {c_{k}}_{k∈ℕ}: b_{k} = sup{a_{n} : n ≥ k, n ∈ ℕ}

c_{k} = inf{a_{n} : n ≥ k, n ∈ ℕ}

Pozorování:

c_{k} ≤ a_{k} ≤ b_{k} ∀k ∈ ℕ
{b_{k}}_{k∈ℕ} je nerostoucí ⇒ ∃ lim_{k→∞} b_{k}
{c_{k}}_{k∈ℕ} je neklesající ⇒ ∃ lim_{k→∞} c_{k}

Limes superior

lim sup_{n→∞} a_{n} =^{def} \{ \begin{matrix}lim_{k→∞} b_{k} & limb_{k} ∈ ℝ \\ +∞ & \{a_{n}\} je shora neomezená \end{matrix}

Limes inferior

lim inf_{n→∞} a_{n} =^{def} \{ \begin{matrix}lim_{k→∞} c_{k} & limc_{k} ∈ ℝ \\ −∞ & \{a_{n}\} je zdola neomezená \end{matrix}

Příklad:

(i) a_{n} = (−1)^{n}, lim inf a_{n} = −1, lim supa_{n} = 1

(ii) a_{n} = 1/n^{2}, lim inf a_{n} = lim supa_{n} = lima_{n} = 0

Poznámky:

(i) Narozdíl od limity, která nemusí existovat, lim inf a_{n} a lim supa_{n} existují vždy. (ii) lim inf a_{n} ≤ lim supa_{n}

VĚTA 10 (o vztahu limity, suprema a limes inferior):

lim_{n→∞} a_{n} = A ∈ ℝ^{∗} ⟺ lim sup_{n→∞} a_{n} = lim inf_{n→∞} a_{n} = A ∈ ℝ^{∗}

DŮKAZ: “⇐”

Víme: ∀k ∈ ℕ : c_{k} ≤ a_{k} ≤ b_{k}

lim_{k→∞} c_{k} = lim_{k→∞} b_{k} = A ∈ ℝ^{∗} ⟹^{2 policajti} lim_{k→∞} a_{k} = A

Luboš Pick — Matematická analýza I Posloupnosti — Limesy

“⇒”

(i) Nechť A ∈ ℝ:

Zvol ε > 0. Potom ∃ n_{0} takové, že ∀n ≥ n_{0}:

|a_{n} − A| < ε

A − ε ≤ a_{n} ≤ A + ε
A − ε ≤ c_{n} ≤ a_{n} ≤ b_{n} ≤ A + ε
0 ≤ b_{n} − c_{n} ≤ 2ε (∀n ≥ n_{0})

⇒ lim_{n→∞}(b_{n} − c_{n}) = 0 ⇒ lim_{n→∞} b_{n} = lim_{n→∞} c_{n}

(ii) Nechť A = +∞:

Pak {a_{n}} je shora neomezená.

lim sup_{n→∞} a_{n} = +∞

Zvolíme K ∈ ℝ. Pak ∃ n_{0} ∈ ℕ, ∀n ≥ n_{0} : a_{n} > K.

inf_{n≥n_{0}}{a_{n}} ≥ K ⇒ c_{n_{0}} ≥ K

Protože {c_{k}} je neklesající, máme ∀n ≥ n_{0} : c_{n} ≥ K.

lim_{n→∞} c_{n} = +∞

(iii) Nechť A = −∞: analogicky.

Cvičení:

Dokažte: lim inf a_{n} + lim inf b_{n} ≤ lim inf(a_{n} + b_{n}) ≤ lim sup(a_{n} + b_{n}) ≤ lim supa_{n} + lim supb_{n} Posloupnosti — Limesy Luboš Pick — Matematická analýza I

VĚTA (Bolzano—Weieistrassova věta): Z každé omezené posloupnosti lze vybrat konvergentní podposloupnost. DŮKAZ:

Nechť {a_{n}} je omezená posloupnost. Pak definujme

A = lim sup_{n→∞} a_{n}

Platí, že A ∈ ℝ, neboť {a_{n}} je omezená, tedy

b_{1} = sup_{n∈ℕ}(a_{n}) ∈ ℝ

c_{1} = inf_{n∈ℕ}(a_{n}) ∈ ℝ

c_{1} ≤ c_{n} ≤ b_{n} ≤ b_{1} ∀n ∈ ℕ

Definujeme množinu:

M_{1} =^{def} {j ∈ ℕ : a_{j} ∈ [A − 1, A + 1]} ≠ ∅

m_{1} =^{def} minM_{1}

(index prvního bodu v pásku A − 1, A + 1). Nechť jsou definována n_{1}, …, n_{k−1}. Pak definujeme:

M_{k} =^{def} {j ∈ ℕ, j > n_{k−1} : a_{j} ∈ [A − 1/2^{k}, A + 1/2^{k}]}

n_{k} =^{def} minM_{k}

Takto definuji nekonečnou posloupnost indexů {n_{k}}_{k∈ℕ}. Tím získávám vybranou posloupnost

d_{k} = a_{n_{k}} k ∈ ℕ

Tvrdím, že lim_{k→∞} d_{k} = A. Zvolme ε > 0, pak ∃ k_{0} takové, že

1/2^{k} < ε ∀k ≥ k_{0}

Tedy |d_{k} − A| < ε pro k ≥ k_{0}, tedy

lim_{k→∞} d_{k} = A

Q.E.D.

VĚTA (Bolzano—Cauchyova věta):

Posloupnost {a_{n}} má vlastní limitu, právě když platí tzv. Bolzano—Cauchyova podmínka: Pro každé ε > 0 existuje n_{0} ∈ ℕ takové, že: |a_{m} − a_{n}| < ε ∀m, n ∈ ℕ (m, n ≥ n_{0})

Luboš Pick — Matematická analýza I Posloupnosti — Limesy

DŮKAZ:

“⇒”

Zvolíme ε > 0, pak ∃ n_{0} takové, že pro ∀n ≥ n_{0} platí:

|A − a_{n}| < ε/2

Tedy pro ∀m, n ≥ n_{0}: |a_{m} − a_{n}| = |a_{m} − A + A − a_{n}| ≤ |a_{m} − A| + |a_{n} − A| < ε/2 + ε/2 = ε

“⇐”

Zvolíme ε > 0, pak ∃ n_{0} takové, že pro ∀n ≥ n_{0} platí:

|a_{m} − a_{n}| < ε

Speciálně pro m = n_{0}:

a_{n_{0}} − ε < a_{n} < a_{n_{0}} + ε (∀n ≥ n_{0})

a_{n_{0}} − ε < lim inf a_{n} ≤ lim supa_{n} < a_{n_{0}} + ε (∀ε > 0)
lim inf_{n→∞} a_{n} = lim sup_{n→∞} a_{n} ⇒^{V.10-} ∃ lima_{n} = lim supa_{n} ∈ ℝ

Q.E.D.

Číselné řady — Luboš Pick — Matematická analýza I

Číselné řady

Definice

Nechť {a_{n}} je posloupnost reálných čísel. Mějme m ∈ ℕ, pak s_{m} = a_{1} + a_{2} + ⋯ + a_{m} nazveme m-tým částečným součtem řady ∑ a_{n}. Součtem nekonečné řady ∑_{i=1}^{∞} a_{n} nazýváme limitu posloupnosti {s_{m}}_{m=1}^{∞} , pokud tato limita existuje. Limitu značíme ∑_{n=i}^{∞} a_{n}.

∑_{n=1}^{∞}a_{n} = \{ \begin{matrix}A ∈ ℝ & řada konverguje \\ ±∞ & řada diverguje \\ neexistuje & diverguje či osciluje \end{matrix}

Příklady:

(i) ∑_{n=1}^{∞}(−1)^{n} neexistuje

(ii) ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n(n + 1)} = ∑ (\frac{1}{n} − \frac{1}{n + 1} ) = 1 − \frac{1}{2} + \frac{1}{2} − \frac{1}{3} + \frac{1}{3} − \frac{1}{4} + ⋯

s_{2n+2} = 1 − \frac{1}{m} ⇒ lims_{m} = 1 ⇒ ∑ a_{n} = 1

(iii) ∑ \frac{1}{n^{2}} = \frac{π^{2}}{6}
(iv) ∑ \frac{1}{\sqrt{n^{4} + 3}} konverguje, součet nelze vyjádřit
(v) ∑ q^{n−1} = 1 + q + q^{2} + q^{3} + ⋯

s_{m} = 1 + q + ⋯ + q^{n−1} = \{ \begin{matrix}\frac{q^{n}−1}{q−1} & q ≠ 1 \\ m & q = 1 \end{matrix}

lims_{m} = \{ \begin{matrix}∞ & q ≥ 1 \\ \frac{1}{1−q} & |q| < 1 \\ neexistuje & q ≤ −1 \end{matrix}

⇒ ∑ q^{n−1} konverguje ⇔ |q| < 1

limq^{n−1} = lima_{n} = \{ \begin{matrix}+∞ & q > 1 \\ 1 & q = 1 \\ 0 & |q| < 1 \\ neexistuje & q ≤ −1 \end{matrix}

Luboš Pick — Matematická analýza I Číselné řady —

VĚTA 1 (nutná podmínka konvergence řady): Nechť ∑_{n=1}^{∞}a_{n} konverguje. Pak lim_{n→∞} a_{n} = 0 .

Pozorování

Pro geometrickou řadu ∑_{n=1}^{∞}q^{n−1} platí:

∑_{n=1}^{∞}a_{n} konverguje ⟺ lim_{n→∞} a_{n} = 0

(Implikace však neplatí pro všechny řady.) DŮKAZ:

Nechť s = ∑_{n=1}^{∞}a_{n} , pak s ∈ ℝ.

lim_{n→∞} s_{n} = s

lim_{n→∞} s_{n+1} = s

0 = s − s = lim_{n→∞} s_{n+1} − lim_{n→∞} s_{n} =^{VOAL} lim_{n→∞}(s_{n+1} − s_{n}) = lim_{n→∞} a_{n+1}

lim_{n→∞} a_{n} = 0

Q.E.D.

Varování

Implikaci nelze obrátit (tedy podmínka není postačující). lim_{n→∞} a_{n} = 0 ⇏ ∑_{n=1}^{∞}a_{n} konverguje

Příklad:

Harmonická řada ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n} = +∞ :

s_{m} = 1 + \frac{1}{2} + ⋯ + \frac{1}{m}

s_{2m} = 1 + \frac{1}{2} + ⋯ + \frac{1}{m} + \frac{1}{m + 1} + ⋯ + \frac{1}{2m}

s_{2m} − s_{m} = \frac{1}{m + 1} + \frac{1}{m + 2} + ⋯ + \frac{1}{2m}

≥ \frac{1}{2m} + \frac{1}{2m} + ⋯ + \frac{1}{2m}

= m\frac{1}{2m} = \frac{1}{2}

s_{2m} − s_{m} ≥ \frac{1}{2} ∀m ∈ ℕ

Tedy neplatí Bolzano-Cauchyova podmínka:

≥^{V2.12-} lim_{n→∞} s_{m} = +∞

Číselné řady — Řady s nezápornými členy Luboš Pick — Matematická analýza I

Řady s nezápornými členy

Studujeme ∑ a_{n}, kde a_{n} ≥ 0 pro ∀n ∈ ℕ.

Pozorování

Pro řady s nezápornými členy mohou nastat pouze dvě možnosti. ∑ a_{n} ∈ ℝ nebo ∑ a_{n} = +∞. To plyne z toho, že posloupnost {s_{m}}_{n=1}^{∞} je neklesající, a tedy dle V2.9- ∃ lims_{m} = ∑ a_{n}.

VĚTA 2 (linearita konvergentních řad): Nechť ∑ a_{n} a ∑ b_{n} konvergují. Pak:

(i) ∑(a_{n} + b_{n}) konverguje. (ii) ∑ c_{n} konverguje ⟺ ∑ αc_{n} konverguje pro ∀α ∈ ℝ \ ∅. Důkaz: ⟨cvičení⟩

VĚTA 3 (srovnávací kritérium):

Nechť ∑ a_{n} a ∑ b_{n} jsou řady s nezápornými členy. Nechť dále existuje n_{0} ∈ ℕ takové, že pro ∀n ≥ n_{0} platí a_{n} ≤ b_{n}. Pak:

(i) ∑ b_{n} konverguje ⇒ ∑ a_{n} konverguje. (ii) ∑ a_{n} diverguje ⇒ ∑ b_{n} diverguje. Obě tvrzení říkají vpodstatě totéž. (a_{n} je “hodnější” řada, b_{n} “zlobivější”.) DŮKAZ:

(i) s_{n} = a_{1} + ⋯ + a_{n}, σ_{m} = b_{1} + ⋯ + b_{m}

Dále definujme σ := limσ_{m} ∈ ℝ.

Navíc víme, že {s_{n}} je posloupnost neklesající.

s_{n} = a_{1} + ⋯ + a_{n_{0}} + a_{n_{0} +1} + ⋯ + a_{n}

≤ a_{1} + ⋯ + a_{n_{0}} + σ_{n} (∀n ≥ n_{0})

≤ a_{1} + ⋯ + a_{n_{0}} + σ (∈ ℝ)

Tedy je {s_{n}} neklesající shora omezená posloupnost, tudíž ∑ a_{n} je dle V2.9- konvergentní. (ii) ⟺ (i) Q.E.D.

Luboš Pick — Matematická analýza I Číselné řady — Řady s nezápornými členy

VĚTA 4 (limitní srovnávací kritérium):

Nechť ∑_{n=1}^{∞} a_{n}, ∑_{n=1}^{∞} b_{n} jsou řady s nezápornými členy. Nechť dále existuje lim_{n→∞} a_{n}/b_{n} = A ∈ ℝ^{∗}. Pak:

(i) A ∈ (0, ∞) ⟹ ∑_{n=1}^{∞}a_{n} konverguje ⇔ ∑_{n=1}^{∞}b_{n} konverguje

(ii) A = 0 ⟹ ∑_{n=1}^{∞}a_{n} konverguje ⇐ ∑_{n=1}^{∞}b_{n} konverguje

(iii) A = ∞ ⟹ ∑_{n=1}^{∞}a_{n} konverguje ⇒ ∑_{n=1}^{∞}b_{n} konverguje

DŮKAZ:

(i) Víme, že ∃ n_{0} ∈ ℕ takové, že pro ∀n ≥ n_{0} platí:

\frac{1}{2}A ≤ \frac{a_{n}}{b_{n}} ≤ 2A (jen šikovné epsilon)

\frac{A}{2}b_{n} ≤ a_{n} ≤ 2Ab_{n}

“⇒”:  ∑_{n=1}^{∞}a_{n} konverguje ⇒^{V.3-} ∑_{n=1}^{∞} \frac{A}{2}b_{n} konverguje ⇒^{V.2-} ∑_{n=1}^{∞}b_{n} konverguje

“⇐”:  ∑_{n=1}^{∞}b_{n} konverguje ⇒^{V.2-} ∑_{n=1}^{∞}2Ab_{n} konverguje ⇒^{V.3-} ∑_{n=1}^{∞}a_{n} konverguje

(ii) Zvol ε = 1, pak ∃ n_{0} takové, že a_{n}/b_{n} < 1 pro ∀n ≥ n_{0}, tedy a_{n} < b_{n}, V.3-.

(iii) Zvol ε = 1, pak ∃ n_{0} takové, že a_{n}/b_{n} > 1 pro ∀n ≥ n_{0}, tedy a_{n} > b_{n}, V.3-.

Q.E.D.

Příklady:

(i) ∑_{n=1}^{∞} \frac{n^{3} + 1}{\sqrt{3 + n + 2n^{8}}} ≈^{?} \frac{n^{3}}{n^{4}} = \frac{1}{n}

a_{n} = \frac{n^{3} + 1}{\sqrt{3 + n + 2n^{8}}} , zvol b_{n} = \frac{1}{n}

lim_{n→∞} \frac{a_{n}}{b_{n}} = lim_{n→∞} \frac{n^{4} + n}{\sqrt{3 + n + 2n^{8}}} = \frac{\sqrt{2}}{2} ∈ (0, ∞)

Tedy dle (i) ∑ a_{n} konverguje ⇔ ∑ b_{n} konverguje. My ale víme, že ∑ b_{n} = ∑ \frac{1}{n} = +∞ diverguje.

∑_{n=1}^{∞}a_{n} = +∞  (diverguje)

Číselné řady — Řady s nezápornými členy Luboš Pick — Matematická analýza I

(ii) ∑_{n=1}^{∞} \frac{n^{15}}{3^{n}} a_{n} = \frac{n^{15}}{3^{n}} , zvol b_{n} = 1/2^{n}

Potom

lim_{n→∞} \frac{a_{n}}{b_{n}} = lim_{n→∞} \frac{n^{15}}{(\frac{3}{2})n} = 0

indukcí, Bernoulli, … (⟨cvičení⟩) Navíc víme, že:

∑ b_{n} konverguje (geometrická řada) ⇒^{(ii)} ∑ a_{n} konverguje

VĚTA 5 (Cauchyovo odmocninové kritérium):

Nechť ∑ a_{n} je řada s nezápornými členy:

(i) Nechť ∃ q ∈ (0, 1), ∃ n_{0} ∈ ℕ, ∀n ≥ n_{0} : ^{n} \sqrt{a_{n}} ≤ q. Pak ∑ a_{n} konverguje. (ii) Nechť lim sup_{n→∞} \sqrt[n]{a_{n}} < 1. Pak ∑ a_{n} konverguje. (iii) Nechť lim_{n→∞} \sqrt[n]{a_{n}} < 1. Pak ∑ a_{n} konverguje. (iv) Nechť lim sup_{n→∞} \sqrt[n]{a_{n}} > 1. Pak ∑ a_{n} diverguje.

(v) Nechť lim_{n→∞} \sqrt[n]{a_{n}} > 1. Pak ∑ a_{n} diverguje.

DŮKAZ:

(i) Položme b_{n} = q^{n}, pak a_{n} ≤ b_{n} pro n ≥ n_{0}. Dále ∑ b_{n} konverguje (geometrická řada, q < 1) ⇒^{V.3-} také ∑_{n=1}^{∞} a_{n} konverguje.

(ii) Označ lim sup_{n→∞} ^{n} \sqrt{a_{n}} = A < 1. Zvol ε > 0, A + ε < 1.

∃ n_{0}, ∀n ≥ n_{0} : sup\{ ^{n} \sqrt{a_{k}}, k ≥ n\} ≤ A + ε

Tedy ^{n} \sqrt{a_{n}} ≤ A + ε, n ≥ n_{0}. Označ q =^{def} A + ε < 1, tvrzení plyne z V.-1.

(iii) Plyne z V.-2: ∃ lim ⇒ lim = lim sup. (iv)

lim sup_{n→∞} ^{n} \sqrt{a_{n}} > 1

⇒ ∃ vybraná posloupnost \{a_{n_{k}}\}_{k=1}^{∞} , ^{n_{k}} \sqrt{a_{n_{k}}} > 1

⇒ a_{n_{k}} > 1 ∀k ∈ ℕ

⇒ neplatí nutná podmínka lim_{n→∞} a_{n} = 0 ⇒ ∑{a_{n}}

Jiný pohled na poslední krok

∑_{n=1}^{∞}a_{n} ≥ ∑_{n=1}^{∞}a_{n_{k}} (neboť a_{n} ≥ 0) ≥ ∑_{n=1}^{∞}1 = +∞

(v) Ihned plyne z V.-4. Q.E.D.

Luboš Pick — Matematická analýza I Číselné řady — Řady s nezápornými členy

VĚTA 6 (d’Alembertovo podílové kritérium): Nechť ∑ a_{n} je řada s kladnými členy:

(i) ∃ q ∈ (0, 1), ∃ n_{0} ∈ ℕ, ∀n ≥ n_{0}: \frac{a_{n+1}}{a_{n}} ≤ q ⇒ ∑ a_{n} konverguje . (ii) Nechť lim sup_{n→∞} \frac{a_{n+1}}{a_{n}} < 1. Pak ∑ a_{n} konverguje. (iii) Nechť lim_{n→∞} \frac{a_{n+1}}{a_{n}} < 1. Pak ∑ a_{n} konverguje. (iv) Nechť lim_{n→∞} \frac{a_{n+1}}{a_{n}} > 1. Pak ∑ a_{n} diverguje.

DŮKAZ:

(i)

a_{n_{0} +1} ≤ qa_{n_{0}}
a_{n_{0} +2} ≤ qa_{n_{0} +1} ≤ qa_{n_{0}}
a_{n_{0} +k} ≤ q^{k}a_{n_{0}}

⇒ ∑_{n=1}^{∞}a_{n} ≤ \underbrace{∑_{n=1}^{∞}a_{n} + a_{n_{0}} ∑_{n=1}^{∞}q^{k}}_{konverguje}

⇒^{V.3-} ∑ a_{n} konverguje

(ii) (i) ⇒ (ii) (⟨cvičení⟩)

(iii) (ii) ⇒ (iii) (⟨cvičení⟩)

(iv)

lim_{n→∞} \frac{a_{n+1}}{a_{n}} > 1 ⇒ ∃ n_{0}, ∀n ⇒ n_{0} : \frac{a_{n+1}}{a_{n}} > 1

⇒ {a_{n}} je rostoucí od jistého indexu

⇒ lim_{n→∞} a_{n} ≠ 0 ⇒^{V.1-} ∑ a_{n} diverguje

Q.E.D.

Poznámka o nebezpečích

(i) lim_{n→∞} \sqrt[n]{a_{n}} = 1 ⇒ nevíme nic. (ii) lim_{n→∞} \frac{a_{n+1}}{a_{n}} = 1 ⇒ nevíme nic.

Příklad:

∑ \frac{1}{n} diverguje, ∑ \frac{1}{n^{2}} konverguje, obě mají limitu 1.

(iii) Parametr q < 1 je důležitý!

Příklad:

n \sqrt{a_{n}} < 1 ⇏ ∑ a_{n} konverguje ∀n ≥ n_{0}

\frac{a_{n+1}}{a_{n}} < 1 ⇏ ∑ a_{n} konverguje ∀n ≥ n_{0}

Číselné řady — Řady s nezápornými členy Luboš Pick — Matematická analýza I

(iv) Jestliže lim sup_{n→∞} \frac{a_{n+1}}{a_{n}} > 1, řada divergovat nemusí.

Příklad:

1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + ⋯ + \frac{1}{2^{n}} konverguje. Po zpřeházení také, ale limes superior už nesedí.

Příklad:

Vyšetřete, pro která a ≥ 0 konverguje řada ∑_{n=1}^{∞} \frac{a^{n}n^{n}}{n!}.

Pozorování

(i) a = 0: ∑ a_{n} konverguje. (ii) a moc velké: ∑ a_{n} diverguje. (iii) a = 1: ∑_{n=1}^{∞} \frac{n^{n}}{n!} = +∞ ⇒ ∑ a_{n} konverguje.

Dle d’Alemberta:

\frac{a_{n+1}}{a_{n}} = \frac{a^{n+1} (n + 1)^{n+1}}{(n + 1)!} \frac{n!}{a^{n}n^{n}} = a (\frac{n + 1}{n} )^{n} = a (1 + \frac{1}{n}) ^{n}

⇒ lim_{n→∞} \frac{a_{n+1}}{a_{n}} = ae

⇒ a ∈ (0, 1/e) ⇒ ∑ a_{n} konverguje

⇒ a ∈ (1/e, ∞) ⇒ ∑ a_{n} diverguje

⇒ a = \frac{1}{e} ⇒ nevíme nic

Zbývající vyšetření

a = \frac{1}{e} ⇒ ∑_{n=1}^{∞}((\frac{n}{e})^{n} \frac{1}{n!})

Diverguje, neboť

lim_{n→∞} ((\frac{n}{e})^{n} \frac{1}{n!}) ≠ 0

⟨cvičení⟩

VĚTA 7 (Cauchyovo kondenzační kritérium):

Nechť ∑ a_{n} je řada s nezápornými členy a nechť ∃ n_{0} ∈ ℕ takové, že pro ∀n ≥ n_{0} platí a_{n+1} ≤ a_{n}. Pak:

∑_{n=1}^{∞}a_{n} konverguje ⟺ ∑_{n=1}^{∞}2^{n}a_{2^{n}} konverguje

DŮKAZ:

“⇐”: Přímo: Nechť ∑ 2^{n}a_{2^{n}} konverguje. Označ:

s_{n} = a_{1} + ⋯ + a_{n}
t_{k} = a_{1} + 2a_{2} + 4a_{4} + ⋯ + 2^{k}a_{2^{k}}

Víme: lim_{k→∞} t_{k} < ∞

Potom k danému n ∃ k: n < 2^{k}.

s_{n} = a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} + ⋯ + a_{n}
≤ a_{1} + (a_{2} + a_{3}) + (a_{4} + ⋯ + a_{7}) + ⋯ + (a_{2^{k}} + ⋯ + a_{2^{k+1} −1})
≤ a_{1} + 2a_{2} + 4a_{4} + ⋯ + 2^{k}a_{2^{k}} = t_{k}
⇒ ∀n : s_{n} ≤ lim_{t→∞} t_{k} ⇒ s_{n} je omezená ⇒ ∑ a_{n} konverguje

“⇒”: Nepřímo: Nechť ∑ 2^{n}a_{2^{n}} diverguje.

Víme: lim_{k→∞} t_{k} = +∞

Potom k danému n ∃ k: n > 2^{k}.

s_{n} = a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} + ⋯ + a_{n}
= a_{1} + a_{2} + (a_{3} + a_{4}) + (a_{5} + ⋯ + a_{7}) + ⋯ + (a_{2^{k−1} +1} + ⋯ + a_{2^{k}})

≥ \frac{a_{1}}{2} + a_{2} + 2a_{4} + 4a_{8} + ⋯ + 2^{k−1}a_{2^{k}} = \frac{1}{2}t_{k}

⇒ lim_{n→∞} s_{n} ≥ lim_{k→∞} t_{k} = +∞

⇒ ∑ a_{n} diverguje

Q.E.D.

Příklad:

Pro která α ∈ ℝ konverguje řada ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{α}}?

Z původních kritérií nevyplývá nic, neboť lim_{n→∞} \sqrt[n]{\frac{1}{n^{α}}} = 1, lim_{n→∞} \frac{(n+1)^{α}}{n^{α}} = 1. Navíc víme, že řada konverguje pro α = 2 a diverguje pro α = 1. Pro α ≤ 0 diverguje také. Pro α > 0 je \frac{1}{n^{α}} klesající, tedy lze užít V.7-.

∑ \frac{1}{n^{α}} konverguje ⟺^{V.7-} ∑_{n=1}^{∞}(2^{n} \frac{1}{(2^{n})^{α}}) konverguje

⇔ ∑_{n=1}^{∞}(\frac{1}{2^{α−1}} )^{n} konverguje

⇔ α > 1 (geometrická řada)

Závěr

∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{α}} konverguje ⇔ α > 1

Číselné řady — Řady s nezápornými členy Luboš Pick — Matematická analýza I

Příklad:

∑_{n=2}^{∞} \frac{1}{n log^{α} n} konverguje ⇔ α > 1

DŮKAZ:

∑ konverguje ⇔ ∑_{n=2}^{∞}(2^{n} \frac{1}{2^{n} log^{α} 2^{n}}) konverguje ⇔

⇔ \frac{1}{log^{α} 2} ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{α}} konverguje ⇔ α > 1

VĚTA 8 (Raabeovo kriterium):

Nechť ∑ a_{n} je řada s kladnými členy.

lim_{n→∞} n (\frac{a_{n}}{a_{n+1}} − 1) > 1 ⇒ ∑ a_{n} konverguje

lim_{n→∞} n (\frac{a_{n}}{a_{n+1}} − 1) < 1 ⇒ ∑ a_{n} diverguje

Příklad:

∑ a_{n}, a_{n} = (\frac{1 · 4 · 7 ⋯ (3n − 2)}{3 · 6 · 9 ⋯ 3n})^{2}

⟨cvičení⟩ Luboš Pick — Matematická analýza I Číselné řady — Absolutní konvergence

Absolutní konvergence

Definice

Řekneme, že řada ∑ a_{n} konverguje absolutně, jestliže ∑_{n=1}^{∞}|a_{n}| konverguje.

Poznámky:

(i) {a_{n}} je posloupnost reálných čísel ⇒ {|a_{n}|} je posloupnost nezáporných čísel. (ii) ∑ a_{n} konverguje absolutně ⇒ ∑ a_{n} konverguje. (Neplatí obráceně!)

Příklad:

∑_{n=1}^{∞} \frac{(−1)^{n+1}}{n} = 1 − \frac{1}{2} + \frac{1}{3} − \frac{1}{4} + ⋯ = log2

konverguje, ale

∑_{n=1}^{∞} |\frac{(−1)^{n+1}}{n} | = ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n}

T-O-D-O: Tady toho dost chybí.

Funkce — Luboš Pick — Matematická analýza I

T-O-D-O: Neabsolutní konvergence. Zde toho dost chybí.

Funkce

Základní definice

(i) Funkcí jedné reálné proměnné rozumíme zobrazení f: M → R, M ⊆ ℝ. (ii) Říkáme, že f je na M

(1) rostoucí: ∀x, y ∈ M : x < y ⇒ f(x) < f(y)

(2) klesající: ∀x, y ∈ M : x < y ⇒ f(x) > f(y)

(3) nerostoucí, neklesající (analogicky)

(iii) Říkáme, že f je na M

(1) sudá:

I. x ∈ M ⇒ − x ∈ M II. f(x) = f(−x) ∀x ∈ M

(2) lichá:

I. x ∈ M ⇒ − x ∈ M II. f(x) = −f(−x) ∀x ∈ M

(3) periodická (s periodou p > 0):

I. x ∈ M ⇒ x ± p ∈ M II. f(x + p) = f(x − p) = f(x) ∀x ∈ M

Okolí

a ∈ ℝ, δ > 0:

(i) P(a, δ) — prstencové (redukované) okolí bodu: (a − δ, a) ∪ (a, a + δ) (ii) U(a, δ): (a − δ, a + δ) = P(a, δ) ∪ a (iii) P^{+} (a, δ): (a, a + δ) (iv) P^{−}(a, δ): (a − δ, a)

(v) U^{+} (a, δ): [a, a + δ) (vi) U^{−}(a, δ): (a − δ, a]

P(+∞, δ) = (1/δ, +∞) = U(+∞, δ)
P(−∞, δ) = (−∞, −1/δ) = U(−∞, δ)

Luboš Pick — Matematická analýza I Funkce — Limita funkce

Limita funkce

Nechť f: M → ℝ, M ⊂ ℝ. Řekneme, že f má v bodě a ∈ ℝ^{∗} limitu A ∈ ℝ^{∗}, jestliže:

∀ε > 0 ∃ δ > 0, ∀x ∈ P(a, δ) ⇒ f(x) ∈ U(A, ε)

Značíme: lim_{x→a} f(x) = A

Poznámky:

(i) lim_{x→a} f(x) = A, pak je funkce definována na nějakém prstencovém okolí bodu a. V bodě a funkce f může a nemusí být definována. Je-li f definována v a, pak f(a) nemá vliv na limitu lim_{x→a} f(x).

(ii) lim_{x→a} f(x) neexistuje, existuje nevlastní (A = ±∞) nebo existuje vlastní (A ∈ ℝ). (iii) Limitu počítáme buď ve vlastním bodě (a ∈ ℝ) nebo v nevlastním bodě (a = ±∞).

Jiné (ekvivalentní) formulace:

a ∈ ℝ, A ∈ ℝ:

lim_{x→a} f(x) = A ⟺ ∀ε > 0 ∃ δ > 0, ∀x ∈ (a − δ, a + δ) − {a} ⇒ f(x) ∈ (A − ε, A + ε)

a ∈ ℝ, A = +∞:

lim_{x→∞} f(x) = A ⟺ ∀K ∈ ℝ ∃ δ > 0, ∀x ∈ (a − δ, a + δ) − {a} ⇒ f(x) > K

Obecně: ∀ε > 0 ∃ δ > 0: f(P(a, δ)) ⊂ U(A, ε)

Definice:

Nechť f: M → ℝ, M ⊂ ℝ, a ∈ ℝ. Řekneme, že f má v a limitu zprava (zleva) rovnou A ∈ ℝ^{∗}, jestliže:

∀ε > 0 ∃ δ > 0, ∀x ∈ P^{+} (a, δ) ⇒ f(x) ∈ U(A, ε)

(Zleva P^{−}.) Značíme lim_{x→a±} f(x) = A .

Pozorování:

a ∈ ℝ, A ∈ ℝ^{∗}:

lim_{x→a} f(x) = A ⟺ lim_{x→a+} f(x) = lim_{x→a−} f(x) = A

Důkaz: ⟨cvičení⟩

Příklady:

(i)

f(x) = \sqrt{x}, x ∈ [0, ∞)

lim_{x→25} f(x) = 5

f(x) = \{ \begin{matrix}\sqrt{x} & x ∈ [0, ∞) − \{25\} \\ π^{2}/8 & x = 25 \end{matrix}

lim_{x→25} f(x) = 5

Funkce — Limita funkce Luboš Pick — Matematická analýza I

Důkaz z definice: Dáno ε > 0, chci δ > 0 tak, aby

x ∈ (25 − δ, 25 + δ) − \{25\} ⇒ \sqrt{x} ∈ (5 − ε, 5 + ε)

δ volím tak, aby \sqrt{25 + δ} < 5 + ε ∧ \sqrt{25 − δ} > 5 − ε

⇒ δ =^{volím} min{(5 + ε)^{2} − 25, 25 − (5 − ε)^{2}}

(ii) f(x) = c, x ∈ ℝ:

Pak lim_{x→a} f(x) = c pro ∀a ∈ ℝ. Dáno ε ⇒ δ libovolné.

(iii) f(x) = signx:

signx = \{ \begin{matrix}−1 & x ∈ (−∞, 0) \\ 0 & x = 0 \\ 1 & x ∈ (0, ∞) \end{matrix}

lim_{x→0} f(x) neexistuje (neboť lim_{x→0−} f(x) = −1 , lim_{x→0+} f(x) = 1 ).

(iv) Dirichletova funkce D(x) = bool(x ∈ Q):

Nemá ani jednostrannou limitu v žádném bodě x ∈ ℝ.

(v) Riemannova funkce:

R(x) = \{ \begin{matrix}0 & x ∉ ℚ \\ 1/q & x ∈ ℚ, x = p/q \end{matrix}

(viz D1).

lim_{x→a} R(x) = 0 ∀a ∈ ℝ

(Pro každé ε si najdu oblast, kde z něj nic nevyskočí, a to bude δ.)

Spojitost

Nechť f: M → ℝ, M ⊂ ℝ. Funkce f je spojitá v a ∈ ℝ, jestliže

lim_{x→a} f(x) = f(a)

Příklad:

R(x) je spojitá v ∀x ∉ ℚ.

VĚTA 1 (Heineova věta):

Nechť f: M → ℝ, M ⊂ ℝ. Nechť f je definována na nějakém prstencovém okolí bodu a ∈ ℝ^{∗} (P(a, δ_{0})). Potom jsou následující dvě tvrzení ekvivalentní:

(i) lim_{x→a} f(x) = A ∈ ℝ^{∗} (ii) Pro každou posloupnost {x_{n}}_{n=1}^{∞} splňující pro ∀n ∈ ℕ x_{n} ∈ D(f), lim_{n→∞} x_{n} = a a x_{n} ≠ a

platí lim_{n→∞} f(x_{n}) = A. (Viz D2)

DŮKAZ:

(i) ⇒ (ii)

Víme: ∀ε > 0 ∃ δ > 0: f(P(a, δ)) ⊂ U(A, ε) Nechť {x_{n}} splňuje požadavky (ii), tj.

lim_{n→∞} x_{n} = a,

x_{n} ≠ a (∀n ∈ ℕ)

Tedy k ε > 0:

∃ n_{0} ∈ ℕ, ∀n ≥ n_{0} : x_{n} ∈ U(a, δ)

(neboť limx_{n} = a). Ale

x_{n} ≠ a ∀n ⇒ ∃ n_{0}, ∀n ≥ n_{0} : x_{n} ∈ P(a, δ)

Tedy

f(x_{n}) ∈ U(A, ε) ⇒ lim_{n→∞} f(x_{n}) = A

(ii) ⇒ (i)

Sporem: Předpokládáme, že neplatí (i), ale platí (ii).

Neplatí (i), tedy:

lim_{x→a} f(x) ≠ A ⟺ ∃ ε > 0, ∀δ > 0 ∃ x ∈ P(a, δ) : f(x) ∉ U(A, ε)

Nechť je dáno n ∈ ℕ. Zkonstruujeme x_{n} tak, že x_{n} ∈ P(a, 1/n) ∩ P(a, δ_{0}) a f(x_{n}) ∉ U(A, ε). Toto lze udělat, stačí položit δ = 1/n. To provedu pro ∀n ∈ ℕ.

Nyní máme tedy posloupnost {x_{n}}_{n=1}^{∞} . Zřejmě platí:

x_{n} ∈ D(f) (x_{n} ∈ P(a, δ_{0}), ∀n ∈ ℕ)
x_{n} ≠ a ∀n ∈ ℕ

lim_{n→∞} x_{n} = a (x_{n} ∈ P(a, 1/n), lim_{n→∞} 1/n = 0)

Ale lim_{n→∞} f(x_{n}) ≠ A , protože jsme si řekli f(x_{n}) ∉ U(A, ε).

♯̸ Spor

VĚTA 2 (o jednoznačnosti limity funkce):

Funkce f má v každém bodě nanejvýše jednu limitu.

DŮKAZ:

Nechť lim_{x→a} f(x) = A ∧ lim_{x→a} f(x) = B. Nechť {x_{n}} splňuje lim_{n→∞} x_{n} = a.

⟹^{Heine} limf(x_{n}) = A, limf(x_{n}) = B ⇒ A = B ⇒^{V.2-} tvrzení věty.

Q.E.D.

Funkce — Limita funkce Luboš Pick — Matematická analýza I

VĚTA 3 (o lokální omezenosti funkce s vlastní limitou): Nechť f má v a ∈ ℝ vlastní limitu. Potom existuje δ > 0 taková, že f je na P(a, δ) omezená. DŮKAZ:

Víme: Pro ∀ε > 0 ∃ δ > 0 takové, že f(P(a, δ)) ≤ U(a, ε). Limita je vlastní, A ∈ ℝ ⇒ U(A, ε) : (A − ε, A + ε). Zvol ε = 1. Pak existuje δ > 0 taková, že:

f(P(a, δ)) ≤ U(A, 1)
f(x) ∈ (A − 1, A + 1) ∀x ∈ P(A, δ)
⇒ f je omezená na P(a, δ)

Q.E.D.

Poznámka:

VĚTA 4 (o aritmetice limit funkcí):

Nechť lim_{x→a} f(x) = A , lim_{x→a} g(x) = B , a ∈ ℝ^{∗}. Pak:

(i) lim_{x→a}(f(x) + g(x)) = A + B , je-li výraz vpravo definován. (ii) lim_{x→a}(f(x) · g(x)) = AB , je-li výraz vpravo definován. (iii) lim_{x→a} f(x)/g(x) = A/B , je-li výraz vpravo definován.

DŮKAZ:

(i)

Zvol posloupnost {x_{n}}, lim_{n→∞} x_{n} = a, x_{n} ≠ a. Potom dle Heine 1:

lim_{n→∞} f(x_{n}) = A

lim_{n→∞} g(x_{n}) = B

⟹^{VOAL} lim_{x→∞}(f(x_{n}) + g(x_{n})) = A + B

a protože je posloupnost libovolná,

⟹^{Heine 2} lim_{x→∞}(f(x) + g(x)) = A + B

(ii), (iii) analogicky. Q.E.D.

Luboš Pick — Matematická analýza I Funkce — Limita funkce

VĚTA 5 (o uspořádání a funkčních policajtech):

(i) Nechť lim_{x→a} f(x) > lim_{x→a} g(x), a ∈ ℝ^{∗}. Pak existuje prstencové okolí P(a, δ) takové, že pro ∀x ∈ P(a, δ) platí f(x) > g(x).

(ii) Nechť pro ∀x ∈ P(a, δ) platí f(x) ≤ g(x) a nechť existuje lim_{x→a} f(x) a lim_{x→a} f(x). Potom

lim_{x→a} f(x) ≤ lim_{x→a} g(x). (iii) Nechť pro ∀x ∈ P(a, δ) platí f(x) ≤ h(x) ≤ g(x) a nechť limf(x) = limg(x). Potom existuje

limh(x) a limf(x) = limh(x) = limg(x). (“Policajti.”) DŮKAZ:

(i) Nechť lim_{x→a} f(x) = A, lim_{x→a} g(x) = B, A > B. Zvolím ε > 0 tak, aby U(A, ε) ∩

U(B, ε) = ∅ (futrály se nepotkají). K tomuto ε existuje δ taková, že:

f(P(a, δ)) ⊆ U(A, ε), g(P(a, δ)) ⊆ U(B, ε)

⇒ f(x) > g(x) ∀x ∈ P(a, δ)

(ii) Skoro totéž. (iii) Zvolím ε > 0, pak existuje δ_{0} > 0 taková, že:

f(P(a, δ_{0})) ⊆ U(A, ε), g(P(a, δ_{0})) ⊆ U(A, ε)

⇒ γ = min(δ, δ_{0}) : h(P(A, γ)) ⊆ U(A, ε)

⇒ lim_{x→a} h(x) = A

Q.E.D.

Poznámka:

Všechny věty v této části platí i pro jednostranné limity. Např. Heine:

lim_{x→a_{+}} f(x) ⟺ \{ \begin{matrix}x_{n} ∈ P(f) \\ x_{n} ∈ P^{+} (a, δ) & pro nějaké δ > 0 \\ lim_{n→∞} x_{n} = a \end{matrix}

⟹ lim_{n→∞} f(x_{n}) = A

Příklady:

(i) lim_{x→0} xD(x) = 0

(ii) lim_{x→∞} sin(x) neexistuje (Heine).

Stačí zvolit posloupnost {x_{n}}, x_{n} → inf, limf(x_{n}) = limsin(x_{n}). Volíme x_{n} = nπ/2. x_{n} = {1, 0, −1, 0, 1, 0, −1, …}. Limita neexistuje.

(iii) lim_{x→0_{+}} sin(1/x)

Zvolím x_{n} = 2/(πn), použijeme Heineho větu.

Spojitá funkce

a ∈ ℝ, f je spojitá v a, právě když:

lim_{x→a} f(x) = f(a)

⟺ ∀ε > 0 ∃ δ > 0 : f(U(a, δ)) ⊆ U(f(a), ε)

f je spojitá zprava v a, právě když výše uvedené platí pro x → a_{+} a f(U^{+} (a, δ)). f je spojitá zleva v a, právě když výše uvedené platí pro x → a_{−} a f(U^{−}(a, δ)).

Důsledek VOALF:

Nechť f a g jsou spojité v bodě a ∈ ℝ. Pak f ± g a f · g jsou také spojité v a ∈ ℝ. A jestliže navíc g(a) ≠ 0, pak také podíl f/g je spojitý v bodě a ∈ ℝ.

Příklad:

Neboť lim_{x→a} x = a ∀a ∈ ℝ, je každá funkce tvaru

P(x) = a_{n}x^{n} + a_{n−1}x^{n−1} + ⋯ + ax + a_{0} (a_{0}, a_{1}, …, a_{n} ∈ ℝ)

spojitá v každém bodě a ∈ ℝ. Takovou funkci nazýváme polynom.

Složená funkce

sin(x^{2}) je funkce složená. Podobné jako skládání zobrazení:

x↦^{g}g(x)↦^{f}f(g(x)) ⟺ (f ∘ g)

(f ∘ g)(x) =^{def} f(g(x)) — složená funkce. f nazýváme vnější funkce, g vnitřní funkce. Např.:

g(x) = x^{2}, f(y) = sin(y) ⇒ (f ∘ g)(x) = sin(x^{2})

Varování: Skládání zobrazení není komutativní! (g ∘ f)(y) = (siny)^{2} Nechť:

lim_{x→a} g(x) = A

lim_{x→A} f(y) = B (Pozor na x → A!)

Platí pak, že lim_{x→a}(f ∘ g)(x) = B? Neplatí!

Příklad:

g(x) ≡ 0

f(x) \{ \begin{matrix}0 & x ≠ 0 \\ 1 & x = 0 \end{matrix}

(f ∘ g)(x) ≡ 1

lim_{x→0}(f ∘ g)(x) = 1

Ale:

lim_{x→0} g(x) = 0

lim_{y→0} f(y) = 0

(blíží se k 0, ale nikdy tam nedorazí).

♯̸ Spor

Co děláme špatně?

(i) Vnitřní funkce je konstantní.

Luboš Pick — Matematická analýza I Funkce — Limita funkce (ii) Vnější funkce je nespojitá v tomto bodě.

VĚTA 6 (o limitě složené funkce):

Nechť lim_{x→a} g(x) = A (vnitřní funkce), lim_{y→A} f(y) = B (vnější funkce); a, A, B ∈ ℝ^{∗}. Nechť navíc platí jeden z předpokladů: (P1) f je spojitá v bodě A. (P2) ∃ δ > 0 taková, že g(x) ≠ A pro ∀x ∈ P(a, δ) (tedy se vnitřní funkce “vyhýbá” své

limitě). Potom platí: lim_{x→a}(f ∘ g)(x) = B . DŮKAZ:

Poznámka:

Proč věta nelze dokázat bez předpokladů? Lžidůkaz: Ke zvolenému ε > 0 najdu ψ > 0 takové, že:

f(P(A, ψ)) ⊆ U(B, ε)

K ψ > 0 ∃ μ > 0 takové, že:

g(P(a, μ)) ⊆ U(A, ψ)

⇒^{?} (f ∘ g)(P(A, μ)) ⊆ f(U(A, ψ))

Chci tak ⊂ U(B, ε), to ale nejde! Místo f(U(A, ψ)) bychom v tom případě museli použít f(P(A, ψ)).

Možné cesty z nouze:

(i) Už od začátku si vezmu U(A, ψ) — požaduji spojitost. (ii) Nebo vnitřní funkci zakáži, aby nabývala své limity — dostanu P(A, ψ). Tedy:

(P1) Zvol ε > 0:

∃ ψ > 0 : f(U(A, ψ)) ⊆ U(B, ε)

(U(A, ψ) místo P si mohu dovolit, neboť je f v bodě A spojitá, tj. f(A) = B.)

∃ μ : g(P(a, μ)) ⊆ U(A, ψ)
(f ∘ g)(P(a, μ)) = f(g(P(a, μ))) ⊆ f(U(A, ψ)) ⊆ U(B, ε)

(P2) Zvol ε > 0:

∃ ψ > 0 : f(P(A, ψ)) ⊆ U(B, ε)

Neboť g(x) ≠ A pro x ∈ P(a, δ) a k ψ:

∃ μ : g(P(a, μ)) ⊆ U(A, ψ)
γ = min(δ, μ) : g(P(a, γ)) ⊆ P(A, ψ)
f(g(P(a, μ))) ⊆ f(P(A, ψ)) ⊆ U(B, ε)

Q.E.D.

Intervaly

Nechť a, b ∈ ℝ^{∗}, a < b. Pak otevřeným intervalem (a, b) nazýváme množinu všech {x ∈ ℝ, a < x < b}. Uzavřený interval [a, b] je definován pro a ≤ b jako množina {x ∈ ℝ, a ≤ x ≤ b}.

VĚTA 7 (o limitě monotónní funkce):

Nechť funkce je monotónní na otevřeném intervalu (a, b), kde a, b ∈ ℝ^{∗}, a < b. Potom existují lim_{x→a_{+}} f(x) i lim_{x→b_{−}} f(x).

DŮKAZ:

T-O-D-O: diagram Nechť f je např. neklesající. Zvolíme ε > 0 a definujeme množinu M = f((a, b)) = {f(x), x ∈

(a, b)}. Potom definujeme A := inf M. Z (ii) vlastnosti infima:

∃ x_{0}, x_{0} ∈ (a, b) : A ≤ f(x) ≤ f(x_{0}) ∀x ∈ (a, x_{0})

Tedy:

f(x) ∈ U(A, ε)

Tudíž f((a, x_{0})) ⊆ U(A, ε) a stačí zvolit δ > 0, aby P^{+} (a, δ) ⊆ (a, x_{0}). Tedy

lim_{x→a_{+}} f(x) = A

Analogicky další případy. Q.E.D.

Luboš Pick — Matematická analýza I Funkce — Spojité funkce na intervalu

Spojité funkce na intervalu

Definice:

Je-li (a, b) interval, pak a nazýváme počátečním bodem intervalu, b pak koncovým bodem a x ∈ (a, b) vnitřními body intervalu. Obdobně pro uzavřené a polouzavřené intervaly.

Definice:

Řekneme, že funkce f je spojitá na intervalu I, jestliže je spojitá zprava ve všech bodech intervalu kromě koncového a zároveň spojitá zleva ve všech bodech intervalu kromě počátečího.

VĚTA 8 (Darbouxova):

Nechť f je spojitá na uzavřeném intervalu [a, b], a < b, a, b ∈ ℝ a f(a) < f(b). Pak

∀y ∈ (f(a), f(b)) ∃ x ∈ (a, b) : f(x) = y

(Neboli spojitá funkce nabývá na intervalu všech mezihodnot.)

DŮKAZ:

T-O-D-O: diagram Definujeme množinu M := {x ∈ [a, b] : f(x) < y}. Je neprázdná (a ∈ M) a omezená

(M ⊆ [a, b]).

Označ x_{0} = supM. Tvrdíme, že f(x_{0}) = y. To nyní dokážeme sporem s vlastnostmi suprema. Předpokládejme:

f(x_{0}) < y ⇒ ∃ ε > 0 : f(x_{0}) ∉ U(y, ε) ⇒ y ∉ U(f(x_{0}), ε)

Funkce je spojitá, tedy k ε ∃ δ > 0 taková, že

f(x) ∉ U(y, ε) ∀x ∈ U(x_{0}, δ) ∩ [a, b]

(f(x_{0}) je “strašně” daleko od y a nevejde se do ε-okolí y) T-O-D-O: Diagram

Čili x_{0} není supremem množiny M, neboť existují body x > x_{0}, což je spor s první vlastností suprema!

Nechť f(x_{0}) > y. To je ve sporu s druhou vlastností suprema. ∃ ε > 0 takové, že y ∉ U(f(x_{0}), ε). K ε potom ∃ δ > 0 taková, že

∀x ∈ U(x_{0}, ε) : f(x) > y ⇒ ∀x ∈ (x_{0} − δ, x_{0}) : f(x) > y

Pak ale x_{0} nemůže být supremum, protože je před ním “díra” x_{0} − δ. ♯̸ Spor

VĚTA 9 (zobrazení intervalu spojitou funkcí):

(Nebo také “o spojitém obrazu intervalu”.) Nechť I je interval a nechť f: I → ℝ je spojitá. Pak f(I) je interval. (Pozor, obrazem otevřeného

intervalu je uzavřený interval.)

DŮKAZ:

LEMMA:

Nechť ∅ ≠ M ⊂ ℝ a nechť platí

∀x, y ∈ M, ∀z ∈ ℝ : x < z < y ⇒ z ∈ M

Pak M je interval.

Funkce — Spojité funkce na intervalu Luboš Pick — Matematická analýza I

DŮKAZ:

Definujme a := inf M, b := supM, a ≤ b (množina M je neprázdná) a tedy (a, b) ⊆ M ⊆ [a, b]. Tedy M je interval.

Q.E.D.

Nechť y_{1}, y_{2} ∈ f(I):

∃ x_{1}, x_{2} ∈ I : f(x_{1}) = y_{1} ∧ f(x_{2}) = y_{2}

Bez újmy na obecnosti předpokládejme y_{1} < y_{2}. Nechť y_{3} ∈ (y_{1}, y_{2}). Dle V.8- pak

∃ x_{3} ∈ [x_{1}, x_{2}] : f(x_{3}) = y_{3}

Tedy má f(I) vlastnosti množiny M z lemmatu, takže je dle lemmatu f(I) interval. Q.E.D.

Definice:

Máme-li f: M → ℝ, M ⊆ ℝ, řekneme, že f nabývá v bodě a ∈ M:

(i) maxima na M, jestliže ∀x ∈ M, f(x) ≤ f(a) (ii) minima na M, jestliže ∀x ∈ M, f(x) ≥ f(a) (iii) ostrého maxima na M, jestliže ∀x ∈ M \ {a}, f(x) < f(a) (iv) ostrého minima na M, jestliže ∀x ∈ M \ {a}, f(x) > f(a)

(v–viii) lokálních, jestliže existuje δ > 0 tak, že f nabývá na množině M ∩ U(a, δ) maxima (minima)

T-O-D-O: 1S je nějaké divné…

VĚTA 1S (Heineova věta pro spojitost):

Nechť f je definovaná na okolí bodu a ∈ ℝ. Pak f je spojitá v bodě a, právě když pro každou posloupnost {x_{n}} ∈ D(f), lim_{n→a} x_{n} = a platí lim_{n→a} f(x_{n}) = f(a).

Cvičení:

Rozmyslete si, proč v této větě musí být navíc předpoklad x_{n} ≠ a.

Známe: f spojitá v a ⇔ [x_{n} → a ⇒ f(x_{n}) → f(a)]. Otázka: Kdy nabývá funkce svého maxima či minima?

A = {f(x), x ∈ D(f)}, ∃ supA

Příklady:

(i) f(x) = x na (0, 1). T-O-D-O: graf (ii) f na [0, 1] nemá maximum. Je spojitá na [a, b]? T-O-D-O: graf

VĚTA 10 (vztah spojitosti a extrémů):

Nechť f je spojitá na [a, b]. Pak f nabývá na [a, b] svého minima i maxima.

DŮKAZ:

A = {f(x), x ∈ [a, b]}, M = supA

Z vlastností suprema: ∃ posloupnost {f(x_{n})}_{n=1}^{∞} taková, že lim_{n→∞} f(x_{n}) = M. Pak {x_{n}} ⊂ [a, b], tedy {x_{n}} je omezená.

Tudíž dle Bolzano-Weistrasse ∃ posloupnost {x_{n_{k}}},

lim_{n_{k}→∞} x_{n_{k}} = c ∈ [a, b]

f je spojitá v c, tudíž

lim_{n_{k}→∞} f(x_{n_{k}}) = f(c)

Ale přitom lim_{n→∞} f(x_{n}) = M, neboli

lim_{n_{k}→∞} f(x_{n_{k}}) = M

Podle věty o jednoznačnosti limity: M = f(c), tedy f nabývá svého maxima M v bodě c. Minimum obdobně. Q.E.D.

VĚTA 11 (vztah spojitosti a omezenosti):

Spojitá funkce na [a, b] je omezená.

DŮKAZ:

Dle V.10- f nabývá min, max. Označme m = minf, M = maxf. Pak m ≤ f(x) ≤ M pro ∀x ∈ [a, b] ⇒ f je omezená.

Q.E.D.

Pozn.: Předpoklady jsou podstatné!

Prostá funkce

Definice:

Řekneme, že f je prostá (injektivní) funkce, jestliže x ≠ y ⇒ f(x) ≠ f(y) pro ∀x, y ∈ D(f).

Příklady:

(i) sin není prostý na ℝ, ale je na [−π/2, π/2]. (ii) Konstantní funkce nebývá prostá.

Inverzní funkce

Definice:

Nechť f je prostá funkce na M ⊂ ℝ, kdy f: M ↦ f(M). Pak inverzní funkce k f (označíme f^{−1}) je definována na f(M) pro ∀y ∈ f(M) jako:

f^{−1}(y) = x ⇔ y = f(x)

Příklady:

(i) f(x) = x^{2} na [0, ∞) (ii) f(y) = \sqrt{y} na [0, ∞)

Funkce — Spojité funkce na intervalu Luboš Pick — Matematická analýza I

VĚTA 12 (o inverzní funkci):

Nechť I je interval v ℝ, f je definovaná, spojitá a rostoucí (či klesající) na I. Pak f^{−1} je definovaná, spojitá a rostoucí či klesající na f(I).

DŮKAZ:

Definovanost a monotonie Nechť f je například rostoucí, pak f^{−1} je definovaná a rostoucí na f(I).

\begin{aligned}y_{i} & = f(x_{i}) \\ x_{i} & = f^{−1}(y_{i}) \end{aligned}

y_{1} < y_{2} ⟺ f(x_{1}) < f(x_{2}) \underleftrightarrow{f ↑} x_{1} < x_{2} ⟺ f^{−1}(y_{1}) < f^{−1}(y_{2}) Spojitost

Zvolíme y_{0} ∈ f(I), y_{0} = f(x_{0}), x_{0} = f^{−1}(y_{0}), ε > 0. Nechť y_{0} je vnitřním bodem f(I), pak x_{0} je vnitřním bodem I.

∃ x_{1}, x_{2}, x_{1} < x_{0} < x_{2} ⇒ (x_{1}, x_{2}) ⊂ U(x_{0}, ε) Zvol δ > 0 tak, aby U(y, δ) ⊆ (f(x_{1}), f(x_{2})). Tedy pro ε > 0 ∃ δ > 0 tak, že:

f^{−1} (U(y_{0}, δ)) ⊆ f^{−1} (f(x_{1}), f(x_{2})) = (x_{1}, x_{2}) ⊆ U(x_{0}, ε) = U (f^{−1}(y_{0}), ε)

Tedy f^{−1} je spojitá v y_{0}. Obdobně pro krajní body (⟨cvičení⟩). Q.E.D.

Luboš Pick — Matematická analýza I Zavedení elementární funkce —

Zavedení elementární funkce

Chceme definovat transcendentní funkce, zejména:

• exp, log, a^{x}

• goniometrické funkce (sin, cos, tg, cotg)

• cyklometrické funkce (arcsin, arccos, arctg, arccotg)

• hyperbolické funkce (sinh, cosh, tgh, cotgh)

VĚTA 13 (zavedení exponenciální funkce):

∃! reálná funkce “exp” splňující axiomy:

(i) exp(x + y) = expx · expy ∀x, y ∈ ℝ (ii) expx ≥ 1 + x ∀x ∈ ℝ

DŮKAZ:

(A) Jednoznačnost (předpokládáme, že existuje): (1) exp(mx) = (expx)^{m} ∀n ∈ ℕ, x ∈ ℝ: Triviálně indukcí z (i).

(2) exp(0) = 1:

exp(0) = exp(0 + 0) =^{(i)} exp(0)^{2} ⇒ exp(0) = \{ \begin{matrix}1 \\ 0 & nikdy — (ii) \end{matrix}

(3) exp(−x) = \frac{1}{expx} :

1 = exp(0) = exp(x − x) = exp(x) · exp(−x)

(4) expx ≠ 0 ∀x ∈ ℝ: Ihned plyne z (3).

(5) lim_{x→∞} expx = +∞ : Ihned plyne z (ii) — dolní policajt (1 + x).

(6) lim_{x→−∞} expx = 0 : Kombinace (3) a (5).

(7) expx > 1 ∀x > 0: Ihned z (ii).

(8) exp ↗ na ℝ:

x < y ⇒ 1 <^{(7)} exp(y − x) = \frac{expy}{expx} ⇒ expy > expx

(9) lim_{x→0} \frac{expx − 1}{x} = 1 (!)

\frac{1}{expx} =^{(3)} exp(−x) ≥^{(ii)} 1 − x

To znamená:

1 + x ≤^{(ii)} expx ≤ \frac{1}{1 − x}

⇒ x ≤ expx − 1 ≤ \frac{1}{1 − x} − 1 = \frac{x}{1 − x}

⇒ \underbrace{1}_{→1} ≤ \underbrace{\frac{expx − 1}{x}}_{→1} ≤ \underbrace{\frac{1}{1 − x}}_{→1}

Zavedení elementární funkce — Luboš Pick — Matematická analýza I

(10) exp je spojitá na ℝ:

Pro ∀a ∈ ℝ musí platit:

lim_{x→a}(expx − expa) = lim_{x→a} expa · (\frac{expx}{expa} − 1) =

= lim_{x→a} \underbrace{expa}_{→exp a} \underbrace{(\frac{exp(x − a) − 1}{x − a})}_{(9)_{→} 1} \underbrace{(x − a)}_{→0} =^{VOAL} 0

(11) expx = lim_{x→∞} (1 + \frac{x}{n}) ^{n} ∀x ∈ ℝ (!!)

Takto při definici limitou také dokážeme jednoznačnost — limity jsou jednoznačné.

exp(−\frac{x}{n}) ≥^{(ii)} 1 − \frac{x}{n}

To znamená:

∀x ∈ ℝ, n ∈ ℕ : (1 + \frac{x}{n}) ^{n} ≤ expx ≤ (1 − \frac{x}{n})^{−n}

∀x > 0 : \underbrace{1}_{→1} ≤ \frac{expx}{(1 + \frac{x}{n}) ^{n}} ≤ \underbrace{(1 − \frac{x^{2}}{n^{2}} )^{−n}}_{→1} ≤^{Bernoulli} \underbrace{(1 − \frac{x^{2}}{n} )^{−1}}_{→1}

(pro dost velká n)

(B) Existence:

Dokazujeme existenci lim_{n→∞} (1 + \frac{x}{n}) ^{n} pro ∀x ∈ ℝ.

1. krok \{(1 + \frac{x}{n}) ^{n}\} je rostoucí pro x > 0. Použijeme AG-nerovnost ve tvaru

n+1\sqrt{a_{1} … a_{n+1}} ≤ \frac{a_{1} + a_{2} + ⋯ + a_{n+1}}{n + 1}

pro a_{1} = a_{2} = ⋯ = a_{n} = 1 + \frac{x}{n}, a_{n+1} = 1:

n+1\sqrt{(1 + \frac{x}{n}) ^{n}} ≤^{AG} \frac{(1 + \frac{x}{n}) n + 1}{n + 1} = 1 + \frac{x}{n + 1}

(1 + \frac{x}{n}) ^{n} ≤ (1 + \frac{x}{n + 1} ) ^{n+1}

Tedy je posloupnost \{(1 + \frac{x}{n}) ^{n}\} rostoucí.

2. krok Posloupnost \{(1 + \frac{x}{n}) ^{n}\} je omezená. Víme, že je monotónní, tedy stačí dokázat, že nějaká podposloupnost je omezená. Tvrzení: {a_{n}} monotónní a {a_{n_{k}}} omezená ⇒ {a_{n}} omezená. Důkaz: ⟨cvičení⟩. Dokážeme, že

∀x ∈ ℝ^{+} ∃k ∈ ℕ, ∀n ∈ ℕ : (1 + \frac{x}{nk} ) ^{nk} ≤ (1 − \frac{x}{k})^{k}

Potřebuji k tak velké, aby \frac{x}{k + x} < 2, tj. aby platil Bernoulli.

(1 + \frac{x}{nk} ) ^{−n} = (\frac{nk + x}{nk} )^{−n} = (\frac{nk}{nk + x} )^{n} = (x − \frac{x}{nk + x} )^{n}

≥^{Bernoulli} 1 − \frac{nx}{nk + x} ≥ 1 − \frac{x}{k}, umocnit na k

Poslední nerovnost platí, neboť nkx ≤ nkx + x^{2}.

Q.E.D.

Poznámky:

(i) exp(0) = 1 (ii) exp(1) = lim_{n→∞} (1 + \frac{1}{n}) ^{n} = e (iii) exp je rostoucí, exp: ℝ → (0, ∞) ⇒ exp má inverzní funkci na (0, ∞). Tuto funkci

nazveme přirozeným logaritmem, značíme “log”. (iv) a > 0, def. log_{a} x = \frac{log x}{log a}

VĚTA 14 (základní vlastnosti logaritmu):

Funkce log, definovaná předpisem

log = exp^{−1}

má následující vlastnosti:

(i) D(log) = (0, ∞), log: (0, ∞) → ℝ (ii) log(xy) = logx + logy ∀x, y ∈ (0, ∞), log(x^{n}) = n logx (iii) log je spojitý, rostoucí na (0, ∞), log1 = 0, loge = 1, log1/x = − logx (iv) Základní limity:

lim_{x→0_{+}} logx = −∞

lim_{x→∞} logx = ∞

lim_{x→1} \frac{logx}{x − 1} = lim_{x→1} \frac{log(x + 1)}{x} = 1

DŮKAZ:

Plyne z odpovídajících vlastností funkce exp. ⟨cvičení⟩ Q.E.D.

Obecná mocnina

a > 0 (!), b ∈ ℝ, pak definuji

a^{b} =^{def} exp(b loga)

Speciálně, definuji funkci a^{x} =^{def} exp(x loga). Pro a = e : e^{x} = expx.

Poznámka:

x^{2} = e^{2 log x} = e^{log x+log x} = e^{log x} · e^{log x} = x · x = x^{2}

Sinus

Co od něj chceme?

• definovaná na ℝ

• spojitá

• 2π-periodická

• omezená

• lim_{x→0} \frac{sin x}{x} = 1

• součtové vzorce

• pevné body:

sin(0) = 0, sin(π/2) = 1, sin(π) = 0
sin(0) = 1, sin(π/2) = 0, sin(π) = −1

Středoškolská definice

sinα = \frac{a}{c}

Ale v čem měřím α? Ve stupních vznikne něco “rozhňácaného”, ale s radiány se dostáváme do kruhu, neboť nemáme definovánu obloukovou vzdálenost. Tu bych musel matematicky definovat zase přes sin.

VĚTA 15 (goniometrické funkce): ∃! reálná funkce s a ∃! reálná funkce c takové, že: (i)

\begin{aligned}s(x + y) & = s(x)c(y) + c(x)s(y) \\ c(x + y) & = c(x)c(y) − s(x)s(y) \end{aligned}

(ii) s lichá, c sudá (na ℝ) (iii) s > 0 na (0, 1), s(1) = 0

DŮKAZ:

Nechť takové funkce existují. Pak:

(1) s(0) = 0 (z lichosti)

c(0) = 1:

c(x + (−x)) = c(x)c(−x) − s(x)s(−x) =^{sudost} c^{2}(x) + s^{2}(x)

c(0) = c(0 + 0) = c^{2}(0) + s^{2}(0) = c^{2}(0) ⇒ c(0) = 1

T-O-D-O: Ale to platí i pro c(0) = 0 …?!

(2) c^{2}(x) + s^{2}(x) = 1 ∀x ∈ ℝ Plyne z předchozího — ekvivalentní k c(x + (−x)) = c(0) = 1.

(3) \begin{aligned}∀x ∈ ℝ : s(2x) & = 2s(x)c(x) \\ c(2x) & = c^{2}(x) − s^{2}(x) \end{aligned}

Ihned plyne z (i).

(4) s (1/2) = 1, c (1/2) = 0

\begin{aligned}0 =^{(iii)} s(1) =^{(3)} 2 \underbrace{s (1/2)}_{>0 (iii)} c (1/2) & ⇒ c (1/2) = 0 \\ & ⇒^{(2)} s (1/2) = 1 \end{aligned}

(5) c(1) = −1

c(1) = c (2 · 1/2) =^{(3)} c^{2} (1/2) − s^{2} (1/2) = 0 − 1

(6) s(x + 1) = −s(x) (antiperiodicita):

s(x + 1) = s(x) \underbrace{c(1)}_{−1}+c(x) \underbrace{s(1)}_{0} = −s(x)

s(x + 2) = s(x) (periodicita):

s(x + 2) = s(x)c(2 · 1) + c(x)s(2 · 1)

= s(x) \underbrace{(c^{2}(1) − s^{2}(1))}_{1}+c(x) \underbrace{(2s(1)c(1))}_{0}

= s(x)

(7) s (1/2 − x) = c(x)

s (1/2 − x) = \underbrace{s (1/2)}_{1}c(x) − \underbrace{c (1/2)}_{0}s(x) = c(x)

(8) c > 0 na (0, 1/2) — z (7) a (iii)

(9) s je rostoucí na (0, 1/2), c je klesající na (0, 1/2). Volíme x, y tak, aby 0 < x − y < x < 1/2 (tedy také 0 < y < x),

\begin{aligned}s(x − y) & = s(x) \underbrace{c(y)}_{≤1}− \underbrace{c(x)s(y)}_{>0 (8), (iii)} \\ & ≤ s(x) \end{aligned}

(10-)

\begin{aligned}c (1/2^{n}) & = \sqrt{\frac{1 + c1/2^{n−1}}{2}} \\ s (1/2^{n}) & = \sqrt{\frac{1 − c1/2^{n−1}}{2}} \end{aligned}

⟨cvičení⟩

(10) s, c spojité v bodě 0.

V bodech k2^{−n} definujeme funkce s, c dle (10–). V ostatních bodech (x ≠ k2^{−n}) pak limitně supremem:

x ≠ k2^{−n} : s(x) = sup{s(y), y = k2^{−n}, y < x}, x ∈ (0, 1/2) Stačí definovat na (0, 1/2), na zbytku nadefinujeme z periodicity a antiperiodicity. a_{n} := c (1/2^{n}), pak a_{n+1} = \sqrt{\frac{1+a_{n}}{2}} . Podle (9) je a_{n} rostoucí a omezená ⇒ lima_{n} =

A, A = \sqrt{\frac{1+A}{2}} ⇒ A = 1 ⇒ lim_{x→0} s(0) = 0 ⇒ c je spojité.

(11) s(a) − s(b) = 2s (\frac{a−b}{2}) c (\frac{a+b}{2} )

⟨cvičení⟩: Z (i).

(12) s, c spojité na ℝ:

lim_{x→a}(s(x) − s(a)) =^{(ii)} 2 lim_{x→a} \underbrace{s (\frac{x − a}{2})}_{→0} \underbrace{c (\frac{x + a}{2} )}_{≤1}

(13) Existuje vlastní lim_{x→0} \frac{s(x)}{x} = π . (Důležité!)

t(x) =^{def} \frac{s(x)}{c(x)}, x ∈ ℝ \ \{1/2 + k\}

Potom t je lichá, rostoucí na (−1/2, 1/2) a

t(x + y) = \frac{t(x) + t(y)}{1 − t(x)t(y)}

t (1/4) = 1

\begin{aligned}x, y ∈ (0, 1/4) : t(x + y) & ≥ t(x) + t(y) \\ s(x + y) & ≤ s(x) + s(y) \end{aligned}

⇒ t(x) ≥ s(x)

⇒ ∀k, m, n ∈ ℕ, k2^{−n} ∈ (0, 1/4) :

t(k2^{−n}) ≥ kt(2^{−n}) ≥ ks(2^{−n}) ≥ \frac{k}{m}s(2^{−n}m)

⇒ \frac{t(k2^{−n})}{k2^{−n}} ≥ \frac{s(2^{−n}m)}{m2^{−n}}

⇒ \frac{t(y)}{y} ≥ \frac{s(y)}{y} ∀x, y ∈ (0, 1/2)

Definujeme π := inf_{y∈(0,1/2)} \frac{t(y)}{y} .

\underbrace{π}_{→π} ≥ \underbrace{\frac{s(x)}{x} = \frac{t(x)}{x}c(x)}_{→π(policie)} ≥ \underbrace{πc(x)}_{→π1}

Q.E.D.

Definujeme:

sin(x) = s (\frac{x}{π} )
cos(x) = c (\frac{x}{π} )
tg(x) = \frac{sinx}{cosx}
cotg(x) = \frac{cosx}{sinx}

Pak bude platit:

(i) sin, cos jsou 2π–periodické, π–antiperiodické a spojité na ℝ (ii) sin je rostoucí na (−π/2, π/2) (iii) cos je klesající na (0, π)

Luboš Pick — Matematická analýza I Zavedení elementární funkce —

(iv) Základní limity:

lim_{x→0} \frac{sinx}{x} = 1

lim_{x→0} \frac{tgx}{x} = 1

lim_{x→0} \frac{1 − cosx}{x^{2}} = lim_{x→0} \frac{1 − cos^{2} x}{x^{2}(1 + sinx)} = 1/2

Poznámky:

(i) Alternativní způsob:

exp(x) = ∑_{n=0}^{∞} \frac{x^{n}}{n!} = 1 + x + \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{6} + ⋯

E(x) := ∑_{n=0}^{∞} \frac{x^{n}}{n!} =^{?} lim_{n→∞} (1 + \frac{x}{n}) ^{n}

Buď můžeme dokázat pomocí odhadů, že

lim_{n→∞} (1 + \frac{x}{n}) ^{n} = lim_{n→∞} ∑_{k=0}^{n} \frac{x^{k}}{k!},

nebo dokázat, že:

E(x + y) = E(x) · E(y) (součin řad) E(x) ≥ 1 + x (pro y > 0 triviální)

sin(x) = ∑_{n=0}^{∞}(−1)^{n} \frac{x^{2n+1}}{(2n + 1)!} = x − \frac{x^{3}}{6} + \frac{x^{5}}{5!} − ⋯

cos(x) = ∑_{n=0}^{∞}(−1)^{n} \frac{x^{2}n}{(2n)!} = 1 − \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{4}}{4!} − ⋯

(ii) Základní limity:

lim_{x→0} \frac{e^{x} − 1}{x} = 1

lim_{x→0} \frac{sinx}{x} = 1

a > 0 : lim_{x→0} \frac{a^{x} − 1}{x} = lim_{x→0} \frac{e^{x log a} − 1}{\underbrace{x loga}_{→1}} loga = loga

lim_{x→0} \frac{1 − cosx}{x^{2}} = lim_{x→0} \frac{1 − cos^{2} x}{x^{2}(1 + cosx)} = lim_{x→0} \underbrace{\frac{sin^{2} x}{x^{2}}}_{→1}· \underbrace{\frac{1}{1 + cosx}}_{→1/2} = 1/2

Tedy v nule se e^{x}−1 a sinx chovají v okolí nuly stejně jako lineární, 1−cosx jako kvadratické.

lim_{x→0} \frac{1 − cosx}{x} = lim_{x→0} \frac{1 − cosx}{x^{2}}x = 0

Zavedení elementární funkce — Cyklometrické funkce Luboš Pick — Matematická analýza I

Cyklometrické funkce

arcsin

sin je prostý pro x ∈ [−π/2, π/2]. Definuji arcsinx pro x ∈ [−1, 1] předpisem

arcsinx = y ⟺ y ∈ [−π/2, π/2] ∧ siny = x

(Graf je sin otočený o 90^{∘} doprava. Funkce je rostoucí a spojitá.)

Cvičení:

lim_{x→0} \frac{arcsinx}{x} = 1 (pomocí věty o limitě inverzní funkce)

arccos

Obdobně arccosx pro x ∈ [−1, 1] předpisem

arccosx = y ⟺ y ∈ [0, π] ∧ cosy = x

(Graf je arcsin posunutý o π/2 nahoru a vzhůru nohama ;-). Funkce je klesající a spojitá.)

Cvičení:

lim_{x→1} \frac{arccosx}{\sqrt{1 − x}} =? (pro fajnšmekry)

arctg, arccotg

tgx: zúžíme definiční obor na (−π/2, π/2). Pak můžeme definovat arctg jako inverzní k tgx na (−π/2, π/2). (Graf je tg naležato. Funkce je spojitá, rostoucí, omezená a na ℝ.)

arctgx = y ⟺ y ∈ (−π/2, π/2) ∧ tgy = x

lim_{x→0} \frac{arctgx}{x} = 1
arccotgx = y ⟺ y ∈ (0, π) ∧ cotgy = x

(Graf je arctg posunutý o π/2 nahoru a vzhůru nohama ;-).)

Luboš Pick — Matematická analýza I Derivace reálné funkce —

Derivace reálné funkce

Definice:

Nechť f je reálná funkce, a ∈ ℝ. Pak derivací funkce f v bodě a rozumíme

f′(a) := lim_{h→0} \frac{f(a + h) − f(a)}{h}

(pokud existuje). Derivací zprava a zleva rozumíme

\begin{aligned}f′_{+} (a) & = lim_{h→0_{+}} \frac{f(a + h) − f(a)}{h} \\ f′_{−}(a) & = lim_{h→0_{−}} \frac{f(a + h) − f(a)}{h} \end{aligned}

Poznámky:

(i)

f′(a) \{ \begin{matrix}existuje & \{ \begin{matrix}vlastní \\ nevlastní & \{ \begin{matrix}+∞ \\ −∞ \end{matrix} \end{matrix} \\ neexistuje \end{matrix}

(ii) f′(a) existuje ⟺ existuje f′_{+} (a), f′_{−}(a) ∧ f′_{+} (a) = f′_{−}(a)

(iii) f′(a) = lim_{x→a} \frac{f(x) − f(a)}{x − a} ⟨cvičení⟩

Příklady:

(i) f(x) ≡ a

f′(b) = lim_{h→0} \frac{f(b + h) − f(b)}{h} = lim_{h→0} \frac{a − a}{h} = lim_{h→0} \frac{0}{h} = 0

(ii) f(x) = x^{n}

f′(a) = lim_{h→0} \frac{(a + h)^{n} − a^{n}}{h}

= lim_{h→0} \frac{a^{n} + nha^{n−1} + \binom{n}{2}h^{2}a^{n−2} + ⋯ + h^{n} − a^{n}}{h}

= na^{n−1} + lim_{h→0} (\binom{n}{2}ha^{n−2} + ⋯ h^{n−1}) = na^{n−1}

(iii) f(x) = e^{x}

f′(a) = lim_{h→0} \frac{e^{a+h} − e^{a}}{h} = e^{a} \underbrace{lim_{h→0} \frac{e^{h} − 1}{h}}_{1} = e^{a}

(iv) f(x) = sinx

f′(a) = lim_{h→0} \frac{sin(a + h) − sina}{h} = lim_{h→0} \frac{sina · cosh + cosa · sinh − sina}{h} 1

= lim_{h→0} sina · \underbrace{\frac{cosh − 1}{h}}_{→0}+ cosa · \underbrace{\frac{sinh}{h}}_{→1} = cosa

Derivace reálné funkce — Luboš Pick — Matematická analýza I (v) f(x) = cosx ⇒ f′(a) = − sina ⟨cvičení⟩ (vi) f(x) = |x|

f′(a) = \{ \begin{matrix}1 & a > 0 \\ −1 & a < 0 \end{matrix}

f′_{+} (0) = 1, f′_{−}(0) = −1 ⇒ f′(0) neexistuje. (vii) f(x) = signx

f′(a) = 0, a ≠ 0

f′_{+} (0) = lim_{h→0} \frac{sign(0 + h) − sign0}{h} = lim_{h→0_{+}} \frac{1}{h} = +∞

f′_{−}(0) = lim_{h→0} \frac{sign(0 + h) − sign0}{h} = lim_{h→0_{−}} \frac{−1}{h} = +∞

sign′(0) = +∞

VĚTA 16 (vztah derivace a spojitosti): Má-li funkce f v bodě a vlastní derivaci, pak je f spojitá v bodě a. DŮKAZ:

lim_{x→a} (f(x) − f(a)) = lim_{x→a} \underbrace{\frac{f(x) − f(a)}{x − a}}_{f′(a)∈ℝ}· \underbrace{(x − a)}_{→0} = 0

Q.E.D.

VĚTA 17 (aritmetika derivací):

Nechť existují f′(a), g′(a).

(i) (f + g)′(a) = f′(a) + g′(a), je-li pravá strana definovaná. (ii) Je-li g spojitá v a, pak (fg)′(a) = f′(a)g(a) + f(a)g′(a), je-li pravá strana definovaná. (iii) Je-li g spojitá v a, g(a) ≠ 0, pak

(\frac{f}{g} )′ (a) = \frac{f′(a)g(a) − g′(a)f(a)}{g(a)^{2}}.

DŮKAZ:

(i)

lim_{h→0} \frac{f(a + g) + g(a + h) − (f(a) + g(a))}{h}

= lim_{h→0} \frac{f(a + h) − f(a)}{h} + lim_{h→0} \frac{g(a + h) − g(a)}{h} = f′(a) + g′(a)

(ii)

lim_{h→0} \frac{f(a + h)g(a + h) − f(a)g(a)}{h}

= lim_{h→0} \frac{f(a + h)g(a + h) − f(a)g(a + h) + f(a)g(a + h) − f(a)g(a)}{h}

Luboš Pick — Matematická analýza I Derivace reálné funkce —

= lim_{h→0} \underbrace{g(a + h)}_{(spojitost!)^{→g(a)}} \underbrace{\frac{f(a + h) − f(a)}{h}}_{→f′(a)}+f(a) lim_{h→0} \frac{g(a + h) − g(a)}{h}

= g(a)f′(a) + f(a)g′(a)

(iii)

lim_{h→0} \frac{\frac{f(a+h)}{g(a+h)} − \frac{f(a)}{g(a)}}{h}

= lim_{h→0} \frac{f(a + h)g(a) − f(a)g(a + h)}{g(a + h)g(a)h}

= lim_{h→0} \frac{f(a + h)g(a) − f(a)g(a) + f(a)g(a) − f(a)g(a + h)}{g(a + h)g(a)h}

= \frac{g(a)f′(a) − g′(a)f(a)}{g(a)^{2}}

(Opět jsme použili spojitost, tedy lim_{h→0} g(a + h) = g(a).)

VĚTA 18 (o derivaci složené funkce):

Nechť f má derivaci v bodě y_{0}, g v bodě x_{0}, g je spojitá v x_{0} a y_{0} = g(x_{0}). Potom (f ∘ g)′(x_{0}) = f′(y_{0})g′(x_{0}) = f′(g(x_{0}))g′(x_{0}), je-li výraz na pravé straně definován (tedy se nejedná o 0 · ∞).

DŮKAZ:

Idea:

(f ∘ g)′(x_{0}) = lim_{x→x_{0}} \frac{f(g(x)) − f(g(x_{0}))}{x − x_{0}} =

= lim_{x→x_{0}} \frac{f(g(x)) − f(g(x_{0}))}{g(x) − g(x_{0})} · \frac{g(x) − g(x_{0})}{x − x_{0}} = f′(g(x_{0})) · g′(x_{0})

Ale co když g(x) − g(x_{0}) = 0?

(i) Nechť f′(y_{0}) ∈ ℝ: Definujme funkci

F (y) := \{ \begin{matrix}\frac{f(y)−f(y_{0} )}{y−y_{0}} & pokud y ≠ y_{0} \\ f′(y_{0}) & pokud y = y_{0} \end{matrix}

F definujeme na nějakém okolí bodu y_{0}. Potom je F spojitá v bodě y_{0}. Víme, že f je definována na nějakém okolí y_{0} a g na nějakém okolí x_{0}. Tvrdím tedy, že

lim_{x→x_{0}} F (g(x)) = f′(y_{0}),

neboť

lim_{x→x_{0}} g(x) = g(x_{0}) ∧ lim_{y→g(x_{0} )} F (y) = F (g(x_{0}))

(to vyhovuje předpokladu 2 věty o spojitosti složené funkce).

(f ∘ g)′(x_{0}) = lim_{x→x_{0}} \frac{f(g(x)) − f(g(x_{0}))}{x − x_{0}} = lim_{x→x_{0}} F (g(x)) · \frac{g(x) − g(x_{0})}{x − x_{0}} = F′(y_{0})g′(x_{0})

(dle VOAL, neboť výraz vpravo je definován).

Derivace reálné funkce — Luboš Pick — Matematická analýza I

(ii) Nechť f′(y_{0}) = ±∞:

Protože f′(y_{0})g′(x_{0}) je definován (dle předpokladu) a f′(y_{0}) = ±∞, pak jistě g′(x_{0}) ≠ 0. Tedy ∃ P(x_{0}, δ) takové, že \frac{g(x)−g(x_{0} )}{x−x_{0}} ≠ 0, tedy g(x) ≠ g(x_{0}). Tudíž

(f ∘ g)′(x_{0}) = lim_{x→x_{0}} \frac{f(g(x)) − f(g(x_{0}))}{g(x) − g(x_{0})} · \frac{g(x) − g(x_{0})}{x − x_{0}} = f′(g(x_{0})) · g′(x_{0})

Q.E.D.

Příklad:

(i) (a^{x})′ = (e^{x log a})′ = e^{x log a} · loga = a^{x} loga (a > 0)

(ii) (x^{x})′ = (e^{x log x})′ = e^{x log x} · (x logx)′ = x^{x} · (1 logx + x\frac{1}{x}) = x^{x}(logx + 1) (x > 0)

VĚTA 19 (o derivaci inverzní funkce):

Nechť f je spojitá a ryze monotónní na intervalu I, a buď vnitřní bod I. Označíme b = f(a).

(i) Je-li f′(a) ∈ ℝ^{∗} \ {0}:

(f^{−1})′(b) = \frac{1}{f′(a)} = \frac{1}{f′(f^{−1}(b))}

(ii) Je-li f′(a) = 0 (např. v nule pro x^{3}) a f je rostoucí (klesající):

(f^{−1})′(b) = +∞ (−∞)

DŮKAZ:

Idea:

f^{−1}(y) = x, y = f(x)

(f^{−1})′(b) = lim_{y→b} \frac{f^{−1}(y) − f^{−1}(b)}{y − b} = lim_{x→a} \frac{x − a}{f(x) − f(a)} = \frac{1}{f′(a)}

Víme: f^{−1} je definovaná, spojitá a ryze monotónní na f(I), b je vnitřním bodem itnervalu f(I), a = f^{−1}(b).

(i) (f^{−1})′(b) = lim_{y→b} \frac{f^{−1} (y)−f^{−1} (b)}{y−b} Definujme funkci

F (y) := \{ \begin{matrix}\frac{f(x)−f(a)}{x−a} & pokud x ≠ a \\ f′(a) & pokud x = a \end{matrix}

Tak lim_{x→a} F (x) = f′(a) a zároveň je F spojitá v a (bude zastupovat vnější funkci).

Dále lim_{y→b} f^{−1}(y) = f^{−1}(b) (vnitřní funkce), neboť f^{−1} je spojitá na f(I). Tedy dle věty o spojitosti složené funkce:

lim_{y→b} \frac{f(f^{−1}(y)) − f(a)}{f^{−1}(y) − a} = f′(a)

f′(a) = lim_{y→b} \frac{f(f^{−1}(y)) − f(f^{−1}(b))}{f^{−1}(y) − f^{−1}(b)}

= lim_{y→b} \frac{y − b}{f^{−1}(y) − f^{−1}(b)}

= \frac{1}{lim_{y→b} \frac{f^{−1} (y)−f^{−1} (b)}{y−b}}

Luboš Pick — Matematická analýza I Derivace reálné funkce — (ii) Bez újmy na obecnosti nechť je f rostoucí, f′(a) = 0.

\begin{matrix}x > a & ⇒ f(x) > f(a) & ⇒ y > b & ⇒ f^{−1}(y) > f^{−1}(b) \\ x < a & ⇒ f(x) < f(a) & ⇒ y < b & ⇒ f^{−1}(y) < f^{−1}(b) \end{matrix}\} ⇒ lim_{y→b} \frac{f^{−1}(y) − f^{−1}(b)}{y − b} = +∞

Q.E.D.

Poznámka:

Využili jsme větu: lim_{x→a} g(x) = 0, g(x) > 0 na P(a, δ), pak lim_{x→a} \frac{1}{g(x)} = +∞ (viz V2.8-a Heine).

Příklady:

(i) (e^{x})′ = e^{x}, (logx)′ = \frac{1}{x}, neboť exp^{−1} = log.

e^{x} = y, x = logy

(e^{x})′ = \frac{1}{(logy)′} = \frac{1}{\frac{1}{y}} = y = e^{x}

(logy)′ = \frac{1}{(e^{x})′} = \frac{1}{e^{x}} = \frac{1}{y}

(ii) (arcsinx)′

y = arcsinx, x = siny

cosy = \sqrt{1 − sin^{2} y}, y ∈ (−\frac{π}{2}, \frac{π}{2})

(arcsinx)′ =^{V.19-} \frac{1}{(siny)′} = \frac{1}{cosy} = \frac{1}{\sqrt{1 − sin^{2} y}} = \frac{1}{\sqrt{1 − x^{2}}} , x ∈ (−1, 1)

(iii) (arctgx)′

y = arctgx, x = tgy
1 + tg^{2}y = \frac{cos^{2} y + sin^{2} y}{cos^{2} y} = \frac{1}{cos^{2} y}

(arctgx)′ =^{V.19-} \frac{1}{(tgy)′} = \frac{1}{\frac{1}{cos^{2} y}} = cos^{2} y = \frac{1}{1 + tg^{2} y} = \frac{1}{1 + x^{2}} , x ∈ ℝ

(iv) (arccosx)′ = \frac{−1}{\sqrt{1−x^{2}}} , x ∈ (−1, 1)

(v) (arccotgx)′ = \frac{−1}{1+x^{2}} , x ∈ ℝ VĚTA 20 (nutná podmínka existence lokálního extrému):

Nechť M ⊆ ℝ, f: M → ℝ. Nechť f má v bodě a ∈ M lokální extrém. Potom buď f′(a) neexistuje, nebo f′(a) = 0 (tedy má funkce v tomto bodě tečnu rovnoběžnou s osou x).

DŮKAZ:

Sporem: Nechť f′(a) existuje, leč f′(a) ≠ 0. Z existence derivace plyne existence okolí U(a, δ) ⊆ M. Bez újmy na obecnosti nechť f′(a) >

0. Potom ∃ ξ > 0 takové, že \frac{f(x)−f(a)}{x−a} > 0 ∀x ∈ U(a, ξ). Tedy, je-li x < a, pak x − a < 0 ⇒ f(x) − f(a) < 0 ∀x ∈ P^{−}(a, ξ). Naopak, je-li x > a, pak x − a > 0 ⇒ f(x) − f(a) > 0 ∀x ∈ P^{+} (a, ξ).

\begin{matrix}f(x) < f(a), & x ∈ P^{−}(a, ξ) \\ f(x) > f(a), & x ∈ P^{+} (a, ξ) \end{matrix} \} ⇒ f nemá lokální extrém v a

♯̸ Spor

Typická úloha

f spojitá na [a, b], najděte maximum (minimum) funkce na [a, b]. Postup:

1. f spojitá na [a, b] ⇒ f nabývá maxima, minima

2. V.20- ⇒ tyto extrémy mohou být pouze v bodech, kde:

(i) f′(x_{0}) = 0 (ii) f′(x_{0}) neexistuje (iii) x_{0} = a, x_{0} = b

Příklad:

Tzv. “bačův problém” — bača má k dispozici 100m plotu a chce si s ním oplotit co největší pastvinu. Definuje si tedy hodnotící funkci pastviny

f(x) = 50x − x^{2}, x ∈ [0, 50]

a derivací hledá maximum:

f′(x) existuje pro ∀x ∈ (0, 50)
f′(x) = 50 − 2x
f′(x) = 0 ⇔ x = 25

Tedy máme 3 kandidáty na extrémy:

\begin{aligned}x = 25 & ⇒ f(x) = 625 m^{2} \\ x = 0 & ⇒ f(x) = 0 \\ x = 50 & ⇒ f(x) = 0 \end{aligned}

Luboš Pick — Matematická analýza I Derivace reálné funkce — L’Hospital a přátelé

L’Hospital a přátelé

Idea

Počítat limity přes derivace, když jsou tak derivace definované.

lim_{x→0_{+}} \frac{f(x) − f(a)}{g(x) − g(a)} = lim \frac{\frac{f(x)−f(a)}{x−a}}{\frac{g(x)−g(a)}{x−a}} =^{?} \begin{matrix}lim & … \\ lim & … \end{matrix} =^{?} \frac{f′(a)}{g′(a)}

VĚTA 21 (Rolleova):

Nechť f je spojitá na [a, b], a < b a nechť existuje f′(x) pro každé x ∈ (a, b). Nechť f(a) = f(b). Pak existuje ξ ∈ (a, b) takové, že f′(ξ) = 0.

DŮKAZ:

(i) Nechť f(x) = f(a) pro ∀x ∈ [a, b], pak f′(x) = 0 pro ∀x ∈ (a, b).

(ii) Nechť ∃ x ∈ (a, b), f(x) ≠ f(a), tedy bez újmy na obecnosti f(x) > f(a). Protože f je spojitá na [a, b], existuje lokální extrém ξ ∈ [a, b] (největší f(x)). Dle předpokladu f′(ξ) musí existovat, tedy podle V.20- je f′(ξ) = 0.

Q.E.D.

VĚTA 22 (Lagrangeova věta o střední hodnotě):

Nechť f je spojitá na [a, b], a < b a nechť existuje f′(x) pro ∀x ∈ (a, b). Potom ∃ ξ ∈ (a, b) takové, že

f′(ξ) = \frac{f(b) − f(a)}{b − a}.

(Tedy existuje v nějakém bodě derivace (tečna) rovnoběžná s nakloněnou podstavou (spojnicí krajních bodů). T-O-D-O: Obrázek.)

DŮKAZ:

Definujme

F (x) := f(x) − f(a) − \frac{f(b) − f(a)}{b − a} · (x − a)

(na základě divoké analyticko-geometrické úvahy). Potom F (a) = 0 ∧ F (b) = 0. Pak podle Rolleovy věty ∃ ξ ∈ (a, b) : F′(ξ) = 0. Tedy

0 = F′(ξ) = f′(ξ) − \frac{f(b) − f(a)}{b − a}

a tudíž

f′(ξ) = \frac{f(b) − f(a)}{b − a}.

Q.E.D.

VĚTA 23 (Cauchyova věta o střední hodnotě):

Nechť f, g jsou spojité na [a, b], a < b a nechť ∃ f′(x) pro ∀x ∈ (a, b) a ∃ g′(x) vlastní a nenulová pro ∀x ∈ (a, b). Potom ∃ ξ ∈ (a, b) takové, že

\frac{f(b) − f(a)}{g(b) − g(a)} = \frac{f′(ξ)}{g′(ξ)}

Derivace reálné funkce — L’Hospital a přátelé Luboš Pick — Matematická analýza I

DŮKAZ:

g(a) ≠ g(b), neboť jinak by dle Rolleovy věty existovalo ξ ∈ (a, b) : g′(ξ) = 0, což by byl spor. Definujeme

H(x) := (f (x) − f (a))(g (x) − g (a)) − (g (x) − g (a))(f (x) − f (a)).

Potom H(a) = H(b) = 0, H je spojitá na [a, b], existuje H′ na [a, b]. Tedy dle Rolleovy věty ∃ ξ ∈ (a, b) takové, že

0 = H′(ξ) = f′(ξ) (g (b) − g (a)) − g′(ξ) (f (b) − f (a)) ⇒ \frac{f(b) − f(a)}{g(b) − g(a)} = \frac{f′(ξ)}{g′(ξ)}

(neboť g′(ξ) ≠ 0, g(b) − g(a) ≠ 0).

Q.E.D.

VĚTA 24 (L’Hospitalovo pravidlo):

Nechť a ∈ ℝ^{∗} a funkce f, g jsou definovány na nějakém P^{+} (a, δ).

(i) Nechť lim_{x→a_{+}} f(x) = lim_{a→a_{+}} g(x) = 0 a existuje

lim_{x→a_{+}} \frac{f′(x)}{g′(x)}.

Potom

lim_{x→a_{+}} \frac{f(x)}{g(x)} = lim_{x→a_{+}} \frac{f′(x)}{g′(x)}.

(ii) Nechť lim_{x→a_{+}} |g(x)| = +∞ a existuje

lim_{x→a_{+}} \frac{f′(x)}{g′(x)}.

Potom

lim_{x→a_{+}} \frac{f(x)}{g(x)} = lim_{x→a_{+}} \frac{f′(x)}{g′(x)}.

Příklad:

lim_{x→0} \frac{x − sinx}{x^{3}} = lim_{x→0} \frac{1 − cosx}{3x^{2}} = lim_{x→0} \frac{sinx}{6x} = lim_{x→0} \frac{cosx}{6} = \frac{1}{6}

DŮKAZ:

(i) Nechť a ∈ ℝ a nechť

lim_{x→a_{+}} \frac{f′(x)}{g′(x)} = A ∈ ℝ.

Potom

∃ δ > 0, ∀x ∈ P^{+} (a, δ) : ∃ f′(x) ∈ ℝ, g′(x) ∈ ℝ \ {0}.

“Dodefinuji” funkce f a g v bodě A: f(a) = g(a) = 0. Nyní nechť x ∈ P^{+} (a, δ). (Obrázek.) Potom f, g jsou spojité na [a, x], neboť obě mají vlastní derivaci na celém P^{+} (a, δ).

Tedy jsou splněny předpoklady V.23- (na intervalu [a, x]!) a proto platí, že ∃ ξ ∈ (a, x) takové, že

\frac{f′(ξ)}{g′(ξ)} = \frac{f(x) − f(a)}{g(x) − g(a)}

(ξ závisí na x! Značíme ξ = ξ(x).) Zvolme ε > 0. Víme, že existuje ω > 0 takové, že

∀y ∈ P^{+} (a, ω) : \frac{f′(y)}{g′(y)} ∈ U(A, ε).

Pro x ∈ P^{+} (a, δ) ∩ P^{+} (a, ω) najdeme ξ = ξ(x) podle receptu na začátku důkazu. Potom

\frac{f′(ξ)}{g′(ξ)} ∈ U(A, ε).

Víme ale, že

\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f(x) − f(a)}{g(x) − g(a)} = \frac{f′(ξ)}{g′(ξ)},

tedy také

\frac{f(x)}{g(x)} ∈ U(A, ε).

Takže

lim_{x→a_{+}} \frac{f(x)}{g(x)} = A = lim_{x→a_{+}} \frac{f′(x)}{g′(x)}.

(i) a = −∞ Převedeme na předchozí případ pomocí substituce

\begin{matrix}F (y) = f (−\frac{1}{y} ) , & F′(y) = f′ (−\frac{1}{y} ) · \frac{1}{y} \\ G(y) = g (−\frac{1}{y} ) , & G′(y) = g′ (−\frac{1}{y} ) · \frac{1}{y} \end{matrix}

⟹ \underbrace{lim_{y→0_{+}} \frac{F (y)}{G(y)}}_{=lim_{x→−∞} \frac{f(x)}{g(x)}} = lim_{y→0_{+}} \frac{F′(y)}{G′(y)} = lim_{x→−∞} \frac{f′(x)}{y′(x)}

(ii) Technická záležitost, považujeme za dokázané (nezkouší se).

Poznámky, příklady, varování:

(i) lim_{x→0} \frac{3x + 1}{2x + 2} ≠ lim_{x→0} \frac{3}{2} = \frac{2}{2}
(ii) lim_{x→0} \frac{e^{−1/x}}{x} = lim_{x→0} \frac{e^{−1/x} · \frac{1}{x^{2}}}{1} = lim_{x→0} \frac{e^{−1/x}}{x^{2}}

(iii) lim_{x→∞} \frac{x^{2}}{x + sinx} = +∞ , ale lim_{x→∞} \frac{2x}{1 + cosx} neexistuje.

(iv) L’Hospital vhodný např. pro

lim_{x→0} \frac{x − sinx}{x^{3}}, lim_{x→0} \frac{e^{x} − x − 1}{x^{2}}, lim_{x→0} \frac{cosx − 1 + \frac{x}{2}^{2}}{x^{4}} , …

(v) lim_{x→1_{−}}(2 − x)^{tg}^{(^{\frac{πx}{2}})}

e^{tg(\frac{π}{2}x)\frac{log (2−x)}{1−x} (1−x)} = tg(\frac{π}{2}x)(1 − x) = \frac{sin(\frac{π}{2}x)}{cos(\frac{π}{2}x)}(1 − x)

lim_{x→1_{−}} \frac{1 − x}{cos(\frac{π}{2}x)} =^{L’H} lim_{x→1_{−}} \frac{−1}{− sin(\frac{π}{2}x)} \frac{2}{π} → \frac{2}{π}

(vi) lim_{n→∞} \frac{n^{2}}{3^{n}} =^{Heine + L’H “ \frac{∞}{∞} ”} lim_{x→∞} \frac{2x}{3^{x} log3} =^{L’H “ \frac{∞}{∞} ”} lim_{x→∞} \frac{2}{3^{x}(log3)^{2}} = 0
(vii) lim_{x→∞} \frac{logx}{x} =^{L’H “ \frac{∞}{∞} ”} lim_{x→∞} \frac{\frac{1}{x}}{1} = 0

Luboš Pick — Matematická analýza I Derivace reálné funkce — Další vlastnosti derivací

Další vlastnosti derivací

f′_{+} (a), je f′(a) spojitá zprava v a?

f′(a) = lim_{h→0} \frac{f(a + h) − f(a)}{h}

Derivace v bodě je číslo (směrnice tečny), vyjadřující míru změny. Zároveň je ale f′ funkce, x ↦ f′(x). f buď spojitá na I, ∃ f′ (vlastní) na I. Je f′ spojitá? Není.

Příklad:

sin \frac{1}{x} není definována v nule.

f(x) = \{ \begin{matrix}x^{2} sin \frac{1}{x} & x ≠ 0 \\ 0 & x = 0 \end{matrix}

(obrázek)

Tvrdím, že tato funkce má v nule derivaci nula.

f′(0) = lim_{x→0} \frac{f(x) − f(0)}{x − 0} = lim_{x→0} (x sin \frac{1}{x}) = 0

x ≠ 0 : f′(x) = 2x sin \frac{1}{x} − x^{2} cos(\frac{1}{x} \frac{−1}{x^{2}}) = 2x sin \frac{1}{x} − cos \frac{1}{x}

Je f′ v 0 spojitá? Není, protože lim_{x→0} f′(x) neexistuje. Co kdyby limita existovala?

VĚTA 25 (o limitě derivací):

Nechť f je spojitá zprava v bodě a ∈ ℝ a nechť ∃ lim_{x→a_{+}} f′(x) = A ∈ ℝ^{∗} . Potom f′_{+} (a) = A.

DŮKAZ:

f′_{+} (a) = lim_{x→a_{+}} \frac{f(x) − f(a)}{x − a} =^{?} lim_{x→a_{+}} \frac{f′(x)}{1} = A

Můžeme L’Hospitalovat?

\begin{matrix}lim_{x→a_{+}} (x − a) & = 0 \\ lim_{x→a_{+}} (f(x) − f(a)) & = 0 \end{matrix} \} ⇒ můžeme

Q.E.D.

VĚTA 26 (vztah derivace a monotonie):

Nechť I je nezdegenrovaný interval, označme Int(I) = {vnitřní body I}. Nechť f je spojitá na I a f′ existuje vlastní na Int(I).

(i) Je-li f′ > 0 na IntI, pak f je rostoucí na I. (ii) Je-li f′ ≥ 0 na IntI, pak f je neklesající na I. (iii) Je-li f′ < 0 na IntI, pak f je klesající na I. (iv) Je-li f′ ≤ 0 na IntI, pak f je nerostoucí na I.

Derivace reálné funkce — Další vlastnosti derivací Luboš Pick — Matematická analýza I

DŮKAZ:

Idea: Mějme f(a), f(b), pak existuje mezi a a b bod ξ, 0 < f′(ξ) = \frac{f(b)−f(a)}{b−a} . Lagrange:

∀a, b ∈ I (a < b) ∃ ξ ∈ (a, b) : f′(ξ) = \frac{f(b) − f(a)}{b − a}

ale f′(ξ) > 0 ∧ b − a > 0 ⇒ f(b) − f(a) > 0 ⇒ f(b) > f(a) ⇒ f rostoucí na I. Pro ostatní případy analogicky. Q.E.D.

Poznámka:

f(x) = tgx

f′(x) = \frac{1}{cos^{2} x} > 0 ∀x ∈ D(f)

Ale funkce f není rostoucí na D(f). Tedy je důležitá úloha intervalu.

Varování

f′ > 0 na I_{1} ∪ I_{2} ⇏ f rostoucí na I_{1}, I_{2}.

Luboš Pick — Matematická analýza I Derivace reálné funkce — Konvexní a konkávní funkce

Konvexní a konkávní funkce

Definice:

Nechť f má v bodě a ∈ ℝ vlastní derivaci. Označíme

T_{a} = {[x, y] ∈ ℝ^{2}, y = f(a) + f′(a)(x − a)}.

Řekneme, že bod [x, f(x)] ∈ ℝ^{2} leží nad (pod) tečnou T_{a}, jestliže f(x) > f(a) + f′(a)(x − a) (resp. f(x) < …).

Definice:

Nechť f má v bodě a ∈ ℝ vlastní derivaci. Řekneme, že f má v bodě a inflexi, jestliže ∃ δ tak, že:

Buď: ∀x ∈ (a − δ, a) : [x, f(x)] leží nad T_{a} a ∀x ∈ (a, a + δ) : [x, f(x)] leží pod T_{a} nebo: ∀x ∈ (a − δ, a) : [x, f(x)] leží pod T_{a} a ∀x ∈ (a, a + δ) : [x, f(x)] leží nad T_{a}.

VĚTA 27 (nutná podmínka existence inflexe):

Jestliže f′′(a) ≠ 0, pak f nemá v bodě a inflexi.

DŮKAZ:

Bez újmy na obecnosti nechť f′′(a) > 0. Potom

lim_{x→a} \frac{f′(x) − f′(a)}{x − a} > 0

Tedy ∃ δ > 0 takové, že

∀x ∈ (a, a + δ) : f′(x) > f′(a) ∧ ∀x ∈ (a − δ, a) : f′(x) < f′(a)

Zvolme y ∈ (a, a + δ). Pak f je spojitá na [a, y] a ∃ f′ na (a, y). Tedy dle pana Lagrange ∃ ξ ∈ (a, y):

\frac{f(x) − f(a)}{y − a} = f′(ξ) > f′(a)

f(y) > f(a) + f′(a)(y − a) ∀y ∈ (a, a + δ)

Tedy jsme nad T_{a}. Analogicky: Zvolme z ∈ (a − δ, a). Pak f je spojitá na [z, a] a ∃ f′ na (z, a). Tedy dle pana Lagrange

∃ ψ ∈ (z, a):

\frac{f(a) − f(z)}{a − z} = f′(ψ) < f′(a)

f(z) < f(a) + f′(a)(z − a) ∀z ∈ (a − δ, a)

Tedy není inflexe v a!

Derivace reálné funkce — Konvexní a konkávní funkce Luboš Pick — Matematická analýza I

Poznámky:

(i) f′′(a) = 0 ⇏ f má v bodě a inflexi! Viz f(x) = x^{4}, a = 0. f′(x) = 4x^{3}, f′′(x) = 12x^{2}, f′′(0) = 0.

(ii) Jestliže f′′(a) neexistuje, pak f může a nemusí mít inflexi v bodě a. Viz f(x) = x|x|. f′′(0) neexistuje, ale f má v bodě nula inflexní bod.

VĚTA 28 (postačující podmínka pro existenci inflexe):

Nechť f má spojitou první derivaci na intervalu (a, b). Nechť z ∈ (a, b). Nechť pro ∀x ∈ (a, z) platí f′′(x) > 0 a pro ∀x ∈ (z, b) platí f′′(x) < 0 (nebo naopak). Pak z je bod inflexe funkce f.

DŮKAZ:

Nechť f′′ > 0 na (a, z), f′′ < 0 na (z, b). Potom dle V.26- je f′ rostoucí na (a, z) a klesající na (z, b).

∃ ξ ∈ (z, b) : \frac{f(b) − f(z)}{b − z} = f′(ξ) < f′(z)

⇒ f(b) < f(z) + f′(z)(b − z)

(pod tečnou)

∃ η ∈ (a, z) : \frac{f(z) − f(a)}{z − a} = f′(η) < f′(z)

⇒ f(a) > f(z) + f′(z)(a − z)

(nad tečnou) Totéž platí pro každý bod x ∈ (z, b) a y ∈ (a, z), tedy

\begin{matrix}f(x) & < f(z) + f′(z)(x − z) \\ f(y) & > f(z) + f′(z)(y − z) \end{matrix} \} ⇒ f má v bodě z inflexi.

Q.E.D.

Příklad:

f(x) = arctgx

f′(x) = \frac{1}{1 + x^{2}}

f′′(x) = \frac{−1}{(1 + x^{2})^{2}} 2x

f′′(x) = \frac{−2x}{(1 + x^{2})^{2}} \{ \begin{matrix}> 0 & pro x < 0 \\ < 0 & pro x > 0 \end{matrix} ⇒ f má v 0 inflexi

f′′(0) existuje ⇒ f′′(0) = 0

T-O-D-O: TADY TOHO HODNĚ CHYBÍ! (DEFINICE KONK/KONV, TŘI VĚTY, ASYMP-TOTY, …)

Asymptoty

(Zhruba.)

lim_{x→∞} f(x)/x = a

lim_{x→∞} f(x) − ax = b

Pokud jsou obě limity konečné, asymptota je

y = ax + b

(jinak asymptota není). (Ekviv. druhá asymptota pro −∞.)

Průběh funkce — Luboš Pick — Matematická analýza I

Průběh funkce

Cvičení:

Vyšetřete průběh funkce

f(x) = arcsin(\frac{2x}{1 + x^{2}} )

(1) D(f)

\begin{aligned}D (\frac{2x}{1 + x^{2}} ) & = ℝ \\ D(arcsin) & = [−1, 1] \end{aligned}

⇒ D(f) = \{x ∈ ℝ, −1 ≤ \frac{2x}{1 + x^{2}} ≤ 1\}

\begin{matrix}−1 & ≤ \frac{2x}{1 + x^{2}} \\ −1 − x^{2} & ≤ 2x \\ 0 & ≤ 1 + 2x + x^{2} = (x + 1)^{2} \end{matrix}  \} ⇒ x ∈ ℝ

\begin{matrix}\frac{2x}{1 + x^{2}} & ≤ 1 \\ 2x & ≤ 1 + x^{2} \\ 0 & ≤ 1 − 2x + x^{2} = (x − 1)^{2} \end{matrix} \} ⇒ x ∈ ℝ

⇒ D(f) = ℝ

Obor spojitosti: 2x, 1 + x^{2} — polynomy ⇒ spojité na ℝ. sin spojitý a ryze monotonní na [−\frac{π}{2}, \frac{π}{2}] ⇒ dle věta o inverzní funkci je arcsin spojitý na [−1, 1] ⇒ dle VOLSF (P1) je f spojitá na ℝ.

(2) Průsečík s osou y: f(0) = 0, [0, 0] Průsečík(y) s osou x: f(x) = 0 ⇔ \frac{2x}{1+x^{2}} = 0 ⇒ x = 0, [0, 0]

(3) Symetrie:

Funkce je lichá, neboť

f(−x) = arcsin(\frac{−2x}{1 + (−x)^{2}} ) = − arcsin(\frac{2x}{1 + x^{2}} ) = −f(x)

(arcsin je lichý). Funkce není sudá (neboť f ≢ 0) nebo f(1) = \frac{π}{2}, ale f(−1) = −\frac{π}{2}. Funkce není periodická, neboť f(0) = 0, ale f(x) ≠ 0 ∀x ∈ ℝ \ {0}.

(4) Limity v ±∞:

lim_{x→−∞} f(x)

lim_{x→−∞} \frac{2x}{1 + x^{2}} = 0

lim_{x→0} arcsin(y) = 0

arcsin je spojitý v 0 ⇒ (P1)

⇒ lim_{x→−∞} f(x) = 0

Luboš Pick — Matematická analýza I Průběh funkce —

Z lichosti (nebo analogickým výpočtem)

lim_{x→+∞} f(x) = 0

(5) První derivace:

f′(x) = \frac{1}{\sqrt{1 − (\frac{2x}{1+x^{2}} )^{2}}} · \frac{2(1 + x^{2}) − 2x · 2x}{(1 + x^{2})^{2}}

= \frac{2(1 − x^{2})}{(1 + x^{2})\sqrt{(1 + x^{2})^{2} − 4x^{2}}} = \frac{2(1 − x^{2})}{(1 + x^{2})\sqrt{(1 + x^{2})^{2}}}

⇒ f′(x) = \frac{2}{1 + x^{2}} · \frac{1 − x^{2}}{\sqrt{(1 − x^{2})^{2}}}

pro x ≠ ±1.

Pozn.: \sqrt{y^{2}} = |y|

⇒ f′(x) = \frac{2}{1 + x^{2}} · \frac{1 − x^{2}}{|1 − x^{2}|}, x ∈ ℝ \ \{±1\}

Pozn.: \frac{y}{|y|} = sign(y) jen pro y ≠ 0!

(−∞, −1)  (−1, 1)  (1, ∞)
f′(x)  −\frac{2}{1+x^{2}}  \frac{2}{1+x^{2}}  −\frac{2}{1+x^{2}}

Existuje f′(±1)? Nevíme, ale spočítáme f′_{±}(±1). Dvě možnosti:

• Z definice: f′_{+} (1) = lim_{x→1+} \frac{f(x)−f(1)}{x−1}

• Z věty o limitě derivací: f′_{+} (1) = lim_{x→1+} f′(x), f je spojitá na P^{+} (1). Z věty o limitě derivací:

f′_{+} (1) = lim_{x→1_{+}} f′(x) = lim_{x→1_{+}} \frac{−2}{1 + x^{2}} =^{dosazení + spojitost} \frac{−2}{1 + x} = −1

f′_{−}(−1) = lim_{x→1_{−}} \frac{f(x) − f(1)}{x − 1} = lim_{x→1_{−}} \frac{arcsin(\frac{2x}{1+x^{2}} ) − \frac{π}{2}}{x − 1}

=^{L’H “ \frac{0}{0} ”} lim_{x→1_{−}} \frac{2}{1 + x^{2}} =^{dosazení} \frac{2}{1 + 1} = 1

⇒ f′(1) neexistuje

(Analogicky f′(−1) neexistuje. Buď z lichosti nebo analogickým výpočtem.)

(6) Intervaly monotonie:

\begin{matrix}(−∞, −1) & (−1, 1) & (1, ∞) \\ f′ < 0 ⇒↗ & f′ > 0 ⇒↘ & f′ < 0 ⇒↗ \end{matrix}

(7) Extrémy:

Mohou být jen v bodech x, kde f′(x) neexistuje nebo f′(x) = 0.

f′(x) = 0 … neexistují
f′(x) ∄ … x = ±1, kandidáti na extrém

(i) x = −1:

\begin{matrix}f ↘ & … P^{−}(−1, δ) \\ f ↗ & … P^{+} (−1, δ) \end{matrix} \} ⇒ −1 je bod lokálního minima

(ii) x = 1: Z lichosti: x = 1 je bod lokálního maxima. Další extrémy f nemá.

Jsou extrémy globální?

(i) x = −1:

\begin{aligned}f ↘ & … & (−∞, −1) & ⇒ f(y) ≥ f(−1) & ∀y ∈ (−∞, −1) \\ f ↗ & … & (−1, 1) & ⇒ f(y) ≥ f(−1) & ∀y ∈ (−1, 1) \end{aligned}

f(−1) = −\frac{π}{2}, f(y) ≤ 0 ∀x ∈ (1, ∞) ⇒ f(y) ≥ f(−1)

Tedy -1 je globální minimum. (ii) x = 1:

Z lichosti: x = 1 je bod globálního maxima.

(8) Druhá derivace, konvexita:

(\frac{2}{1 + x^{2}} )′ = \frac{−2}{(1 + x^{2})^{2}} · 2x = \frac{−4x}{(1 + x^{2})^{2}}

(−∞, −1)  (−1, 1)  (1, ∞)
f′(x)  −\frac{2}{1+x^{2}}  \frac{2}{1+x^{2}}  −\frac{2}{1+x^{2}}
f′′(x)  \frac{4x}{(1+x^{2} )^{2}}  −\frac{4x}{(1+x^{2} )^{2}}  \frac{4x}{(1+x^{2} )^{2}}
f′′ < 0 ⇒ ∪ (konk.)  \begin{aligned}f′′ > 0 na (−1, 0) & ⇒ ∩ \\ f′′ < 0 na (0, 1) & ⇒ ∪ \end{aligned}  f′′ > 0 ⇒ ∩ (konv.)

\begin{matrix}(−∞, −1) & (−1, 0) & (0, 1) & (1, ∞) \\ ∩ & ∪ & ∩ & ∪ \end{matrix}

f′′(±1) neexistuje, neboť f′(±1) neexistuje.

(9) Inflexní body:

Buď f′′ ∄ nebo f′′(x) = 0. f′′ ∄: x = ±1 — bod inflexe není, neboť ∄f′. f′′(x) = 0: x = 0 — kandidát na inflexi.

\begin{matrix}f′′ > 0 & … P^{−}(0, δ) \\ f′′ < 0 & … P^{+} (0, δ) \end{matrix} \} ⇒ x = 0 je inflexním bodem.

Jiné inflexní body f nemá (nutná podmínka jinde nesplněna).

Luboš Pick — Matematická analýza I Průběh funkce —

(10) Asymptoty:

lim_{x→∞} \frac{f(x)}{x} = lim_{x→∞} \frac{arcsin(\frac{2x}{1+x^{2}} )}{x} = 0

lim_{x→∞} (f(x) − 0x) = 0

a = b = 0

Nulová přímka, tedy osa x.

(11) Obor hodnot:

H(f) = [−\frac{π}{2}, \frac{π}{2}]

−\frac{π}{2} … globální minimum, − \frac{π}{2} = f(−1)
\frac{π}{2} … globální maximum, \frac{π}{2} = f(1)

⇒^{Darboux} f nabývá každé mezihodnoty Taylorův polynom — Luboš Pick — Matematická analýza I

Taylorův polynom

Opakování

Polynom je každá funkce tvaru

a_{n}x^{n} + a_{n−1}x^{n−1} + ⋯ + a_{1}x + a_{0}

a_{0}, …, a_{n} ∈ ℝ pevné — koeficienty. x ∈ ℝ je proměnná.

Poznámky:

(i) Všechny polynomy jsou definovány a spojité na ℝ.

(ii) Jestliže a_{n} ≠ 0, pak n = stupeň polynomu.

(iii) Je-li P polynom, stupeň P = n, pokud P′ je polynom, stupeň P′ = n − 1. Příklady:

degP = 0 ⇒ P konstantní , P(x) ≡ a_{0}
degP = 1 ⇒ P(x) = a_{0}x + a_{0} lineární
degP = 2 ⇒ kvadratická funkce, atd.

Motivace

Aproximace funkcí pomocí polynomů. Mějme f, a ∈ ℝ, ∃ f′(a) ∈ ℝ. Tečna t(x) = f(a) + f′(a)(x − a). Potom

\begin{aligned}f(a) & = t(a) \\ f′(a) & = t′(a) \end{aligned}

Navíc

lim_{x→a}(f(x) − t(x)) = 0 (triviální), ale i
lim_{x→a} \frac{f(x) − t(x)}{x − a} =^{L’H} lim_{x→a}(f′(x) − t′(x)) = 0 (aproximace je lepší než lineární)

Chceme aproximace vyšších řádů.

Idea

Mějme f, a ∈ ℝ, ∃ f′(a) ∈ ℝ. Chceme funkci f aproximovat polynomem v bodě a.

Aproximace polynomem stupně 1

P_{1}(x) = αx + β

Polynom by měl procházet bodem a:

P_{1}(a) = f(a) ⇒ P_{1}(x) = c(x − a) + f(a)

(tedy hodnota funkce a aproximujícího polynomu splývají).

Zároveň chci:

P′_{1}(a) = f′(a) ⇒ P_{1}(x) = f(a) + f′(a)(x − a)

Luboš Pick — Matematická analýza I Taylorův polynom —

Nejlepší aproximace polynomem stupně ≤ 1 je totiž tečna t(x) = f(a) + f′(a)(x − a). Potom

lim_{x→a} \frac{f(x) − t(x)}{x − a} = 0

Ukazuje se, že tyto dva požadavky jsou ekvivalentní.

Aproximace polynomem stupně 2

Příklad: cosx — lineární aproximace nic moc, kvadratická aproximace je už lepší. P_{2}(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + c(x − a)^{2}, c =?.

Chci:

\begin{aligned}P_{2}(a) & = f(a) \\ P′_{2}(a) & = f′(a) \end{aligned} ∧ P′′_{2}(a) = f′′(a)

⇒ P′_{2}(x) = f′(a) + 2c(x − a) ⇒ P′_{2}(a) = f′(a)

(první derivace splývá)

⇒ P′′_{2}(x) = 2c ⇒ c = \frac{f′′(a)}{2}

⇒ P_{2}(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + \frac{f′′(a)}{2}(x − a)^{2}

To je nejlepší kvadratická aproximace f v bodě a.

Navíc platí:

lim_{x→a} \frac{f(x) − P_{2}(x)}{(x − a)^{2}} = 0

(Důkaz: ⟨cvičení⟩)

Definice:

Nechť f je reálná funkce, a ∈ ℝ, n ∈ ℕ. Pak funkci

T_{n}^{f,a}(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + ⋯ + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x − a)^{n}

nazýváme Taylorovým polynomem funkce f řádu n v bodě a.

Poznámky:

(i) T_{n}^{f,a} je polynom, degT_{n}^{f,a} ≤ n. (ii) Příklad: f(x) = sinx, a = 0, potom:

T_{1}^{sin,0}(x) = x
T_{2}^{sin,0}(x) = x  (neboť sin′′(0) = 0)
T_{3}^{sin,0}(x) = x − \frac{x^{3}}{6}  (cvičení)
T_{4}^{sin,0}(x) = x − \frac{x^{3}}{6}

Poučení: degT_{n}^{f,a} nemusí být roven n. (iii) Derivace Taylorova polynomu:

(T_{n}^{f,a})′ (x) = 0 + f′(a) + f′′(a)(x − a) + \frac{f′′′(a)}{2}(x − a)^{2}+

+ ⋯ + \frac{f^{(n)}(a)}{(n − 1)!}(x − a)^{n−1} = T_{n−1}^{f′,a}

Tedy (T_{n}^{f,a})′ (x) = T_{n−1}^{f′,a}. (!)

Taylorův polynom — Luboš Pick — Matematická analýza I (iv) Splývání polynomu a funkce:

T_{n}^{f,a}(a) = f(a) ; (T_{n}^{f,a})′ (a) = f′(a) ; ⋮ ; (T_{n}^{f,a})^{(n)} (a) = f^{(n)}(a) } (n + 1) požadavků.

Otázka

lim_{x→a} \frac{f(x) − T_{n}^{f,a}(x)}{(x − a)^{n}} =^{?} 0

VĚTA 33 (o aproximaci funkce Taylorovým polynomem):

Nechť f je reálná funkce, a ∈ ℝ a nechť existuje vlastní f^{(n)}(a). Nechť P je polynom, degP ≤ n. Pak platí:

lim_{x→a} \frac{f(x) − P(x)}{(x − a)^{n}} = 0 ⟺ P = T_{n}^{f,a}

Poznámka:

“⇐”

lim_{x→a} \frac{f(x) − T_{n}^{f,a}(x)}{(x − a)^{n}} = 0

(odpověď na otázku je kladná) “⇒”

Tuto vlastnost má mezi polynomy stupně ≤ n jen Taylorův.

DŮKAZ:

“⇐”

Indukcí: (n = 1)

lim_{x→a} \frac{f(x) − T_{1}^{f,a}}{x − a} = lim_{x→a} \frac{f(x) − f(a) − f′(a)(x − a)}{x − a}

lim_{x→a} (\frac{f(x) − f(a)}{x − a} − f′(a)) = 0

(n − 1 ⇝ n)

lim_{x→a} \frac{f(x) − T_{n}^{f,a}(x)}{(x − a)^{n}} =^{L’H “ \frac{0}{0} ”} lim_{x→a} \frac{f′(x) − (T_{n}^{f,a})′ (x)}{n(x − a)^{n−1}} =

= \frac{1}{n} lim_{x→a} \frac{f′(x) − T_{n−1}^{f′,a}(x)}{(x − a)^{n−1}} = 0 (dle indukčního předp.)

“⇒”

(1. krok)

lim_{x→a} \frac{P(x) − T_{n}^{f,a}(x)}{(x − a)^{n}} = \underbrace{lim_{x→a} \frac{P(x) − f(x)}{(x − a)^{n}}}_{0 (předp.)}+ \underbrace{lim_{x→a} \frac{f(x) − T_{n}^{f,a}(x)}{(x − a)^{n}}}_{0 (právě dok.)}

LEMMA: Q polynom, degQ ≤ n, a ∈ ℝ a platí

lim_{x→a} \frac{Q(x)}{(x − a)^{n}} = 0

pak Q ≡ 0. DŮKAZ: Indukcí:

(1) n = 1:

Q je lineární, Q(a) = 0 (viz níže) ⇒ Q(x) = c(x − a), c ∈ ℝ. Víme:

\begin{aligned}lim_{x→a} \frac{Q(x)}{x − a} & = 0 \\ ⇒ 0 = lim_{x→a} \frac{c(x − a)}{x − a} & = c ⇒ c = 0 ⇒ Q(x) ≡ 0 \end{aligned}

(2) n − 1 ⇝ n:

\begin{matrix}degQ & ≤ n \\ lim_{x→a} \frac{Q(x)}{(x − a)^{n}} & = 0 \end{matrix} \} ⇒ Q(a) = 0

⇒ a je kořen polynomu Q

⇒ Q(x) = (x − a)R(x), R je polynom, degR ≤ n − 1

Potom

0 = lim_{x→a} \frac{Q(x)}{(x − a)^{n}} = lim_{x→a} \frac{(x − a)R(x)}{(x − a)^{n}} = lim_{x→a} \frac{R(x)}{(x − a)^{n−1}}

⟹^{ind. předp.} R ≡ 0 ⇒ Q(x) = (x − a) · 0 ⇒ Q ≡ 0

Q.E.D. (důkaz lemmatu)

Taylorův polynom — Luboš Pick — Matematická analýza I

(2. krok) Víme:

lim_{x→a} \frac{P(x) − T_{n}^{f,a}(x)}{(x − a)^{n}} = 0

(P(x) − T_{n}^{f,a}(x) je polynom, deg ≤ n)

⟹^{lemma} P(x) − T_{n}^{f,a}(x) ≡ 0 ⇒ P = T_{n}^{f,a}

Q.E.D.

Příklad:

\begin{matrix}f & = sin \\ x & = 0 \end{matrix} \} ⇒ lim_{x→0} \frac{x − sinx}{x^{3}} = \frac{1}{6}

(plyne z implikace “⇐”)

VĚTA 34 (obecný tvar zbytku):

Nechť f má vlastní (n + 1)-ní derivaci v intervalu [a, x], a, x ∈ ℝ, x > a. Nechť φ je spojitá funkce na [a, x], která má na (a, x) vlastní a nenulovou derivaci. Pak existuje ξ ∈ (a, x) takové, že

R_{n}^{f,a}(x) =^{def} f(x) − T_{n}^{f,a}(x) = \frac{1}{n!} \frac{φ(x) − φ(a)}{φ′(ξ)}f^{(n+1)} (ξ)(x − ξ)^{n}

(obrázek)

Důsledek 1 (Lagrangeův tvar zbytku):

R_{n}^{f,a}(x) = \frac{1}{(n + 1)!} f^{(n+1)} (ξ)(x − a)^{n+1} (∃ ξ ∈ (a, x))

DŮKAZ:

Volím φ(t) = (x − t)^{n+1} . ⟨cvičení⟩

Důsledek 2 (Cauchyův tvar zbytku):

R_{n}^{f,a}(x) = \frac{1}{n!}f^{(n+1)} (ξ)(x − ξ)^{n}(x − a) (∃ ξ ∈ (a, x))

DŮKAZ:

Volím φ(t) = t. ⟨cvičení⟩

DŮKAZ:

Pro t ∈ [a, x] definujeme

F (t) := f(x) − T_{n}^{f,t}(x) = f(x) − (f(t) + \frac{f′(t)}{1!}(x − t) + ⋯ + \frac{f^{(n)}(t)}{n!}(x − t)^{n})

Potom:

(i) F je spojitá na [a, x] a má vlastní derivaci na (a, x). (ii) F (a) = f(x) − T_{n}^{f,a}(x) = R_{n}^{f,a}(x) (iii) F (x) = 0 (iv) φ je spojitá, ∃ φ′ ≠ 0 vlastní na (a, x) Tedy podle V.23- (Cauchy o střední hodnotě):

∃ ξ ∈ (a, x) : \frac{F (x) − F (a)}{φ(x) − φ(a)} = \frac{F′(ξ)}{φ′(ξ)}

Přitom:

F′(t) = − (f′(t) + f′′(t)(x − t) + f′(t)(−1) + \frac{f′′′(t)}{2}(x − t)^{2} + \frac{f′′(t)}{2}2(x − t)(−1)+

+ ⋯ + \frac{f^{(n)}}{n!} n(x − t)^{n−1}(−1) + \frac{f^{(n+1)} (t)}{n!}(x − t)^{n})

⟹^{požírání} F′(t) = −\frac{f^{(n+1)} (t)}{n!}(x − t)^{n} ∀t ∈ (a, x)

⇒ F′(t) = −\frac{f^{(n+1)} (ξ)}{n!}(x − ξ)^{n}

Platí tedy:

\begin{aligned}\frac{F (x) − F (a)}{φ(x) − φ(a)} & = \frac{0 − R_{n}^{f,a}(x)}{φ(x) − φ(a)} \\ = & = \\ \frac{F′(ξ)}{φ′(ξ)} & = \frac{−\frac{f^{(n+1)} (ξ)}{n!} (x − ξ)^{n}}{φ′(ξ)} \end{aligned}

To znamená:

R_{n}^{f,a}(n) = \frac{1}{n!} \frac{φ(x) − φ(a)}{φ′(ξ)}f^{(n+1)} (ξ)(x − ξ)^{n}

Q.E.D.

Pozn.: V.32- platí i pro x < a.

Příklad:

Rozvoj funkce e^{x}:

f′(x) = e^{x}, f(x) = e^{x}, …, f^{(n)}(x) = e^{x}
a = 0 ⇒ f(a) = f′(a) = ⋯ = f^{(n)}(a) = 1

Zaveďme si:

T_{n}^{exp ,0} = ∑_{j=0}^{n} \frac{x^{j}}{j!}

Pak:

e^{x} = ∑_{j=0}^{n} \frac{x^{j}}{j!} + R_{n}^{exp ,0}(x) = ∑_{j=0}^{n} \frac{x^{j}}{j!} + e\frac{ξn}{(n + 1)!} x^{n+1}

Pro každé pevné x je ξn ∈ (a, x) ∀n ∈ N, tedy e^{ξn} ≤ e^{x}. Tudíž

|R_{n}^{exp ,0}(x)| ≤ \frac{e^{x}|x|^{n+1}}{(n + 1)!}

Taylorův polynom — Luboš Pick — Matematická analýza I

a platí

lim_{n→∞} |R_{n}^{exp ,0}(x)| = 0

⇒ lim_{n→∞} ∑_{j=0}^{n} \frac{x^{j}}{j!} = e^{x} ⇒ e^{x} = ∑_{j=0}^{∞} \frac{x^{j}}{j!} ∀x ∈ ℝ

Důsledek:

∑_{j=0}^{∞} \frac{x^{j}}{j!} = lim_{n→∞} (1 + \frac{x}{n}) ^{n}

a speciálně pro x = 1:

e = ∑_{j=0}^{∞} \frac{1}{j!} = lim_{n→∞} (1 + \frac{1}{n}) ^{n}

e = 1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{24} + \frac{1}{120} + ⋯

Chceme-li spočítat e s přesností 0, 001:

e = ∑_{j=0}^{n} \frac{1}{j!} + ∑_{j=n+1}^{∞} \frac{1}{j!} = ∑_{j=0}^{n} \frac{1}{j!} + ∑_{j=0}^{∞} \frac{1}{(n + 1 + j)!} ≤

≤ ∑_{j=0}^{n} \frac{1}{j!} + \frac{1}{(n + 1)!} ∑_{j=0}^{∞} \frac{1}{(n + 1)^{j}} = ∑_{j=0}^{n} \frac{1}{j!} + \frac{1}{(n + 1)!} \frac{1}{1 − \frac{1}{n+1}} = ∑_{j=0}^{n} \frac{1}{j!} + \frac{1}{n · n!}

Tedy:

∑_{j=0}^{n} \frac{1}{j!} < e < ∑_{j=0}^{n} \frac{1}{j!} + \frac{1}{n · n!} ∀n ∈ ℕ

(na přenost 0, 001 stačí n = 6)

Důkaz iracionality e

Nechť e = p/q, kde p, q ∈ ℕ. Potom pro

m = ∑_{j=0}^{n} \frac{1}{j!}

máme

m < \frac{p}{q} < m + \frac{1}{n · n!}

qmn! < pn! < qmn! + \frac{q}{n}

Nyní stačí zvolit n > q. ♯̸ Spor

Rozvoj funkce sin

Mějme sin, a = 0:

sin′(x) = cos(x)
sin′′(x) = − sin(x)
sin′′′(x) = − cos(x)
sin′′′′(x) = sin(x)

sin′(0) = 1
sin′′(0) = 0
sin′′′(0) = −1
sin′′′′(0) = 0

⇒ T_{2n+1}^{sin,0} (x) = ∑_{j=1}^{n}(−1)^{j+1} \frac{x^{2j+1}}{(2j + 1)!}

R_{2n+1}^{sin,0} (x) = \frac{1}{(2n + 2)!} sin^{(2n+2)} (ξn) · x^{2n+2}

|R_{2n+1}^{sin,0} (x)| ≤ \frac{|x|^{2n+2}}{(2n + 2)!} → 0 ∀x, n → ∞

⇒ sinx = ∑_{j=1}^{∞}(−1)^{j+1} \frac{x^{2j+1}}{(2j + 1)!} , x ∈ ℝ

Obdobně

cosx = ∑_{j=0}^{∞}(−1)^{j} \frac{x^{2j}}{(2j)!}, x ∈ ℝ

Rozvoj funkce log(x+1)

Mějme f(x): y = log(x + 1). Pro x = 0 pak f(0) = 0.

f′(x) = \frac{1}{1 + x}
f′′(x) = −\frac{1}{(1 + x)^{2}}
f′′′(x) = \frac{2}{(1 + x)^{3}}
⋮
f^{(n)}(x) = \frac{(n − 1)!}{(1 + x)^{n}} (−1)^{n+1}
f^{(n)}(0) = (−1)^{n−1}(n − 1)!

⇒ T_{n}^{log(x+1),0} (x) = ∑_{j=1}^{n} \frac{1}{j!}(−1)^{j−1}(j − 1)! · x^{j} = ∑_{j=0}^{n}(−1)^{j−1} \frac{x^{j}}{j}

R_{n}^{log(x+1),0} (x) = \frac{1}{(n + 1)!} \frac{(−1)^{n} · n!}{(1 + ξ)^{n+1}} x^{n+1} = \frac{(−1)^{n} · x^{n+1}}{n(1 + ξ)^{n+1}}

To nelze odhadnout pro |x| ≥ 1, pro |x| < 1 ano:

⇒ log(x + 1) = ∑_{j=1}^{∞}(−1)^{j−1} \frac{x^{j}}{j} , x ∈ (−1, 1]

Definice:

Řekneme, že funkce f je v bodě a zprava malá řádu n, jestliže

lim_{x→a_{+}} \frac{f(x)}{(x − a)^{n}} = 0.

Píšeme

f(x) = σ ((x − a)^{n}), x → a_{+}

(Laudaův symbol).

Pozor: Jde pouze o symboliku, neplatí žadná rovnost!

Taylorův polynom — Luboš Pick — Matematická analýza I

Příklady:

(i) e^{x} = ∑_{j=0}^{n} \frac{x^{j}}{j!} + σ(x^{n}), x → 0_{+}

(ii) x − sinx = σ(x^{2}), x → 0

(iii) cosx = 1 − \frac{x^{2}}{2} + σ(x^{3}), x → 0

Příklad:

Mějme sumu

∑_{n=1}^{∞} \frac{n!e^{n}}{n^{n+p}}

Pro která p konverguje?

Raabe:

lim_{n→∞} n (\frac{a_{n}}{a_{n+1}} − 1) = lim_{n→∞} n (\frac{1}{e} (1 + \frac{1}{n}) ^{n+p} − 1) =

= lim_{n→∞} n (\frac{1}{e} · e^{(n+p) log(1+ \frac{1}{n})} − 1) = lim_{n→∞} n (\frac{1}{e} · e^{(n+p)(\frac{1}{n} − \frac{1}{2n^{2}} +σ(\frac{1}{n^{2}} ))} − 1) =

= p − \frac{1}{2} − 1 + σ \underbrace{(\frac{1}{n})}_{→0},

tedy konverguje pro p > \frac{3}{2}.