— — VĚTA (Bolzano—Weieistrassova věta):

Z každé omezené posloupnosti lze vybrat konvergentní podposloupnost. DŮKAZ:

Nechť {a_{n}} je omezená posloupnost. Pak definujme

A = lim sup_{n→∞} a_{n}

Platí, že A ∈ ℝ, neboť {a_{n}} je omezená, tedy

b_{1} = sup_{n∈ℕ}(a_{n}) ∈ ℝ

c_{1} = inf_{n∈ℕ}(a_{n}) ∈ ℝ

c_{1} ≤ c_{n} ≤ b_{n} ≤ b_{1} ∀n ∈ ℕ

Definujeme množinu:

M_{1} =^{def} {j ∈ ℕ : a_{j} ∈ [A − 1, A + 1]} ≠ ∅

m_{1} =^{def} minM_{1}

(index prvního bodu v pásku A − 1, A + 1). Nechť jsou definována n_{1}, …, n_{k−1}. Pak definujeme:

M_{k} =^{def} {j ∈ ℕ, j > n_{k−1} : a_{j} ∈ [A − 1/2^{k}, A + 1/2^{k}]}

n_{k} =^{def} minM_{k}

Takto definuji nekonečnou posloupnost indexů {n_{k}}_{k∈ℕ}. Tím získávám vybranou posloupnost

d_{k} = a_{n_{k}} k ∈ ℕ

Tvrdím, že lim_{k→∞} d_{k} = A. Zvolme ε > 0, pak ∃ k_{0} takové, že

1/2^{k} < ε ∀k ≥ k_{0}

Tedy |d_{k} − A| < ε pro k ≥ k_{0}, tedy

lim_{k→∞} d_{k} = A

Q.E.D.

VĚTA (Bolzano—Cauchyova věta):

Posloupnost {a_{n}} má vlastní limitu, právě když platí tzv. Bolzano—Cauchyova podmínka: Pro každé ε > 0 existuje n_{0} ∈ ℕ takové, že: |a_{m} − a_{n}| < ε ∀m, n ∈ ℕ (m, n ≥ n_{0})

— —

DŮKAZ:

“⇒”

Zvolíme ε > 0, pak ∃ n_{0} takové, že pro ∀n ≥ n_{0} platí:

|A − a_{n}| < ε/2

Tedy pro ∀m, n ≥ n_{0}: |a_{m} − a_{n}| = |a_{m} − A + A − a_{n}| ≤ |a_{m} − A| + |a_{n} − A| < ε/2 + ε/2 = ε

“⇐”

Zvolíme ε > 0, pak ∃ n_{0} takové, že pro ∀n ≥ n_{0} platí:

|a_{m} − a_{n}| < ε

Speciálně pro m = n_{0}:

a_{n_{0}} − ε < a_{n} < a_{n_{0}} + ε (∀n ≥ n_{0})

a_{n_{0}} − ε < lim inf a_{n} ≤ lim supa_{n} < a_{n_{0}} + ε (∀ε > 0)
lim inf_{n→∞} a_{n} = lim sup_{n→∞} a_{n} ⇒^{V.10-} ∃ lima_{n} = lim supa_{n} ∈ ℝ

Q.E.D.