— — Limesy

Limesy

Mějme {a_{n}}_{n∈ℕ}. Definujme posloupnosti {b_{k}}_{k∈ℕ}, {c_{k}}_{k∈ℕ}: b_{k} = sup{a_{n} : n ≥ k, n ∈ ℕ}

c_{k} = inf{a_{n} : n ≥ k, n ∈ ℕ}

Pozorování:

c_{k} ≤ a_{k} ≤ b_{k} ∀k ∈ ℕ
{b_{k}}_{k∈ℕ} je nerostoucí ⇒ ∃ lim_{k→∞} b_{k}
{c_{k}}_{k∈ℕ} je neklesající ⇒ ∃ lim_{k→∞} c_{k}

Limes superior

lim sup_{n→∞} a_{n} =^{def} \{ \begin{matrix}lim_{k→∞} b_{k} & limb_{k} ∈ ℝ \\ +∞ & \{a_{n}\} je shora neomezená \end{matrix}

Limes inferior

lim inf_{n→∞} a_{n} =^{def} \{ \begin{matrix}lim_{k→∞} c_{k} & limc_{k} ∈ ℝ \\ −∞ & \{a_{n}\} je zdola neomezená \end{matrix}

Příklad:

(i) a_{n} = (−1)^{n}, lim inf a_{n} = −1, lim supa_{n} = 1

(ii) a_{n} = 1/n^{2}, lim inf a_{n} = lim supa_{n} = lima_{n} = 0

Poznámky:

(i) Narozdíl od limity, která nemusí existovat, lim inf a_{n} a lim supa_{n} existují vždy. (ii) lim inf a_{n} ≤ lim supa_{n}

VĚTA 10 (o vztahu limity, suprema a limes inferior):

lim_{n→∞} a_{n} = A ∈ ℝ^{∗} ⟺ lim sup_{n→∞} a_{n} = lim inf_{n→∞} a_{n} = A ∈ ℝ^{∗}

DŮKAZ: “⇐”

Víme: ∀k ∈ ℕ : c_{k} ≤ a_{k} ≤ b_{k}

lim_{k→∞} c_{k} = lim_{k→∞} b_{k} = A ∈ ℝ^{∗} ⟹^{2 policajti} lim_{k→∞} a_{k} = A

— — Limesy

“⇒”

(i) Nechť A ∈ ℝ:

Zvol ε > 0. Potom ∃ n_{0} takové, že ∀n ≥ n_{0}:

|a_{n} − A| < ε

A − ε ≤ a_{n} ≤ A + ε
A − ε ≤ c_{n} ≤ a_{n} ≤ b_{n} ≤ A + ε
0 ≤ b_{n} − c_{n} ≤ 2ε (∀n ≥ n_{0})

⇒ lim_{n→∞}(b_{n} − c_{n}) = 0 ⇒ lim_{n→∞} b_{n} = lim_{n→∞} c_{n}

(ii) Nechť A = +∞:

Pak {a_{n}} je shora neomezená.

lim sup_{n→∞} a_{n} = +∞

Zvolíme K ∈ ℝ. Pak ∃ n_{0} ∈ ℕ, ∀n ≥ n_{0} : a_{n} > K.

inf_{n≥n_{0}}{a_{n}} ≥ K ⇒ c_{n_{0}} ≥ K

Protože {c_{k}} je neklesající, máme ∀n ≥ n_{0} : c_{n} ≥ K.

lim_{n→∞} c_{n} = +∞

(iii) Nechť A = −∞: analogicky.

Cvičení:

Dokažte: lim inf a_{n} + lim inf b_{n} ≤ lim inf(a_{n} + b_{n}) ≤ lim sup(a_{n} + b_{n}) ≤ lim supa_{n} + lim supb_{n}