— — Nevlastní limita posloupnosti

Nevlastní limita posloupnosti

Pokud posloupnost diverguje nade všechny meze (tedy neosciluje), říkáme, že nabývá nevlastní limity ±∞. Nejdříve si však musíme rozšířit dosud zavedené pojmy o nekonečna.

Rozšířená reálná osa

T-O-D-O: obrázek s úhly Na nekonečna jsou možné dva pohledy. My se přidržíme toho, který zavádí nekonečna dvě. Definujeme ℝ^{∗} =^{def} ℝ ∪ {+∞} ∪ {−∞}. Nekonečna jsou pak zavedena takto:

• Uspořádání: −∞ < a < +∞ ∀a ∈ ℝ

• Sčítání: \begin{aligned}a + ∞ & = ∞ \\ −∞ − a & = −∞ \end{aligned} \begin{matrix}∀a ∈ ℝ^{∗} \ \{−∞\} \\ ∀a ∈ ℝ^{∗} \ \{+∞\} \end{matrix}

• Násobení: \begin{matrix}a > 0 : a & · (±∞) = ±∞ \\ a < 0 : a & · (±∞) = ∓∞ \end{matrix} ∀a ∈ ℝ^{∗}

• Dělení: \frac{a}{±∞} = 0 ∀a ∈ ℝ

• Absolutní hodnota: | ± ∞| = +∞

• Nedefinované výrazy: −∞ + ∞, 0 · (±∞), \frac{x}{0}, \frac{±∞}{±∞}

Rozšířené supremum a infimum

Pokud množina M není shora omezená, supM = +∞. Pokud množina M není zdola omezená, inf M = −∞.

\begin{aligned}sup ∅ & = −∞ \\ inf ∅ & = +∞ \end{aligned}

(Jediný případ, kdy inf > sup.)

Definice:

{a_{n}} má nevlastní limitu +∞, pokud:

∀K > 0 ∃ n_{0}, ∀n ≥ n_{0} : a_{n} ≥ K

T-O-D-O: Zde může něco chybět… VĚTA ():

Monotónní posloupnost má limitu. Pokud je omezená, má dokonce vlastní limitu. DŮKAZ:

Pro neklesající posloupnost platí lim_{n→∞} a_{n} = sup{a_{n}}, podobně pro nerostoucí. Dále viz rozšířená definice suprema a infima.

Q.E.D.

— — Nevlastní limita posloupnosti

Věty o limitách pro nevlastní limity

• V.1- (o jednoznačnosti limity) platí i pro nevlastní limity.

• V.2- (omezená a konvergentní posloupnost) nemá pro nevlastní limity smysl.

• V.3- (limita vybrané posloupnosti) platí i pro nevlastní limity.

• V.4- (aritmetika limit) platí i pro nevlastní limity, ovšem pouze, je-li výraz vpravo definován. (Tuto podmínku tedy přidáme navíc.)

• V.5- (limita a uspořádání) platí i pro nevlastní limity.