\input /home/pasky/school/fastex/lib.tex

\subchapter{Nevlastní limita posloupnosti}{

Pokud posloupnost diverguje nade všechny meze (tedy neosciluje),
říkáme, že nabývá nevlastní limity $\pm \infty$. Nejdříve si
však musíme rozšířit dosud zavedené pojmy o nekonečna.

\scpart{Rozšířená reálná osa}{
	\TODO{obrázek s úhly}

	Na nekonečna jsou možné dva pohledy. My se přidržíme
	toho, který zavádí nekonečna dvě.

	Definujeme $\real^* \defined \real \cup \{+\infty\} \cup \{-\infty\}$.
	Nekonečna jsou pak zavedena takto:

	\list{
		\olistItem{{\bf Uspořádání:} $-\infty < a < +\infty$ \hfill $\forall a \in \real\phantom{^*}$}
		\olistItem{{\bf Sčítání:} \M{\eqalign{a + \infty &= \infty\cr -\infty-a &= -\infty}}\hfill
				\M{\eqalign{\forall a \in \real^*\setminus\{-\infty\}\cr
					    \forall a \in \real^*\setminus\{+\infty\}}}
		}
		\olistItem{{\bf Násobení:} \M{\eqalign{a > 0: a &\cdot (\pm\infty) = \pm\infty\cr
					a < 0: a &\cdot (\pm\infty) = \mp\infty}}
					\hfill $\forall a \in \real^*$}
		\olistItem{{\bf Dělení:} \M{{a \over \pm \infty} = 0} \hfill $\forall a \in \real\phantom{^*}$}
		\olistItem{{\bf Absolutní hodnota:} $|\pm \infty| = +\infty$}
		\olistItem{{\bf Nedefinované výrazy:}
					$-\infty+\infty$, $0\cdot(\pm\infty)$,
					\M{x\over0}, \M{\pm\infty\over\pm\infty}}
	}
}

\scpart{Rozšířené supremum a infimum}{
	Pokud množina $M$ není shora omezená, $\sup M = +\infty$.

	Pokud množina $M$ není zdola omezená, $\inf M = -\infty$.

	$$ \eqalign{\sup\, \emptyset &= -\infty\cr \inf\, \emptyset &= +\infty} $$
	(Jediný případ, kdy $\inf > \sup$.)
}


\definition{
	$\{a_n\}$ má nevlastní limitu $+\infty$, pokud:
	$$ \forall K > 0\ \existss n_0,\ \forall n \ge n_0: a_n \ge K $$
}

\TODO{Zde může něco chybět\dots}

\theorem{}{}{
	Monotónní posloupnost má limitu. Pokud je omezená, má dokonce vlastní limitu.

	\proof{
		Pro neklesající posloupnost platí $\lim_{n\to\infty} a_n = \sup \{a_n\}$,
		podobně pro nerostoucí. Dále viz rozšířená definice suprema a infima.

		\qed
	}
}

\penalty-10000

\scpart{Věty o limitách pro nevlastní limity}{
\list{
	\olistItem{{\it \ias{}{1}{} (o jednoznačnosti limity)} platí i pro nevlastní limity.}
	\olistItem{{\it \ias{}{2}{} (omezená a konvergentní posloupnost)} nemá pro nevlastní limity smysl.}
	\olistItem{{\it \ias{}{3}{} (limita vybrané posloupnosti)} platí i pro nevlastní limity.}
	\olistItem{{\it \ias{}{4}{} (aritmetika limit)} platí i pro nevlastní limity, ovšem pouze, je-li
		výraz vpravo definován. (Tuto podmínku tedy přidáme navíc.)}
	\olistItem{{\it \ias{}{5}{} (limita a uspořádání)} platí i pro nevlastní limity.}
}
}

}

\bend