\input /home/pasky/school/fastex/lib.tex

\subchapter{Nevlastn� limita posloupnosti}{

Pokud posloupnost diverguje nade v�echny meze (tedy neosciluje),
��k�me, �e nab�v� nevlastn� limity $\pm \infty$. Nejd��ve si
v�ak mus�me roz���it dosud zaveden� pojmy o nekone�na.

\scpart{Roz���en� re�ln� osa}{
	\TODO{obr�zek s �hly}

	Na nekone�na jsou mo�n� dva pohledy. My se p�idr��me
	toho, kter� zav�d� nekone�na dv�.

	Definujeme $\real^* \defined \real \cup \{+\infty\} \cup \{-\infty\}$.
	Nekone�na jsou pak zavedena takto:

	\list{
		\olistItem{{\bf Uspo��d�n�:} $-\infty < a < +\infty$ \hfill $\forall a \in \real\phantom{^*}$}
		\olistItem{{\bf S��t�n�:} \M{\eqalign{a + \infty &= \infty\cr -\infty-a &= -\infty}}\hfill
				\M{\eqalign{\forall a \in \real^*\setminus\{-\infty\}\cr
					    \forall a \in \real^*\setminus\{+\infty\}}}
		}
		\olistItem{{\bf N�soben�:} \M{\eqalign{a > 0: a &\cdot (\pm\infty) = \pm\infty\cr
					a < 0: a &\cdot (\pm\infty) = \mp\infty}}
					\hfill $\forall a \in \real^*$}
		\olistItem{{\bf D�len�:} \M{{a \over \pm \infty} = 0} \hfill $\forall a \in \real\phantom{^*}$}
		\olistItem{{\bf Absolutn� hodnota:} $|\pm \infty| = +\infty$}
		\olistItem{{\bf Nedefinovan� v�razy:}
					$-\infty+\infty$, $0\cdot(\pm\infty)$,
					\M{x\over0}, \M{\pm\infty\over\pm\infty}}
	}
}

\scpart{Roz���en� supremum a infimum}{
	Pokud mno�ina $M$ nen� shora omezen�, $\sup M = +\infty$.

	Pokud mno�ina $M$ nen� zdola omezen�, $\inf M = -\infty$.

	$$ \eqalign{\sup\, \emptyset &= -\infty\cr \inf\, \emptyset &= +\infty} $$
	(Jedin� p��pad, kdy $\inf > \sup$.)
}


\definition{
	$\{a_n\}$ m� nevlastn� limitu $+\infty$, pokud:
	$$ \forall K > 0\ \existss n_0,\ \forall n \ge n_0: a_n \ge K $$
}

\TODO{Zde m��e n�co chyb�t\dots}

\theorem{}{}{
	Monot�nn� posloupnost m� limitu. Pokud je omezen�, m� dokonce vlastn� limitu.

	\proof{
		Pro neklesaj�c� posloupnost plat� $\lim_{n\to\infty} a_n = \sup \{a_n\}$,
		podobn� pro nerostouc�. D�le viz roz���en� definice suprema a infima.

		\qed
	}
}

\penalty-10000

\scpart{V�ty o limit�ch pro nevlastn� limity}{
\list{
	\olistItem{{\it \ias{}{1}{} (o jednozna�nosti limity)} plat� i pro nevlastn� limity.}
	\olistItem{{\it \ias{}{2}{} (omezen� a konvergentn� posloupnost)} nem� pro nevlastn� limity smysl.}
	\olistItem{{\it \ias{}{3}{} (limita vybran� posloupnosti)} plat� i pro nevlastn� limity.}
	\olistItem{{\it \ias{}{4}{} (aritmetika limit)} plat� i pro nevlastn� limity, ov�em pouze, je-li
		v�raz vpravo definov�n. (Tuto podm�nku tedy p�id�me nav�c.)}
	\olistItem{{\it \ias{}{5}{} (limita a uspo��d�n�)} plat� i pro nevlastn� limity.}
}
}

}

\bend
