— —

Definice:

Je-li ∀n ∈ ℕ přiřazeno a_{n} ∈ ℝ, pak množinu {a_{n}}_{n=1}^{∞} nazýváme posloupností reálných čísel. a_{n} pak nazýváme n-tým členem posloupnosti.

Příklady:

(i) {n}_{n=1}^{∞} : 1, 2, 3, 4, 5, … (ii) {2n + 1}_{n=1}^{∞} : 3, 5, 7, 9, 11, … (iii) {2^{n}}_{n=1}^{∞} : 2, 4, 8, 16, 32, … (iv) {p_{n} : p_{n} = n-té prvočíslo}_{n=1}^{∞} : 2, 3, 5, 7, 11, …

(v) {1}_{n=1}^{∞} : 1, 1, 1, 1, 1, … (vi) {(−1)^{n}}_{n=1}^{∞} : −1, 1, −1, 1, −1, … (vii) a_{1} = 1, a_{n+1} = 1 + a_{n}^{2}: 1, 2, 5, 26, 677, …

Definice:

Posloupnost {a_{n}}_{n=1}^{∞} je omezená, je-li omezená množina čísel {a_{n} : n ∈ ℕ}. Posloupnost {a_{n}}_{n=1}^{∞} je:

• neklesající, pokud a_{n+1} ≥ a_{n} ∀n ∈ ℕ • nerostoucí, pokud a_{n+1} ≤ a_{n} ∀n ∈ ℕ • (ostře) rostoucí, pokud a_{n+1} > a_{n} ∀n ∈ ℕ • (ostře) klesající, pokud a_{n+1} < a_{n} ∀n ∈ ℕ • monotónní, je-li neklesající, nerostoucí, rostoucí či klesající.

• ryze monotónní, je-li rostoucí či klesající.

Příklady:

(i) {1/n} je klesající. (ii) {logn} je rostoucí. (iii) {(−1)^{n}} není monotónní. (iv) {5326}_{n=1}^{∞} je neklesající a nerostoucí.

(v) {(1 + 1/n)^{n}} je rosstoucí (je třeba dokázat).

/L:1.616 1