\input /home/pasky/school/fastex/lib.tex


\definition{
	Je-li $\forall n \in \nat$ přiřazeno $a_n \in \real$, pak množinu $\{a_n\}_{n=1}^\infty$
	nazýváme {\bf posloupností reálných čísel}. $a_n$ pak nazýváme $n$-tým členem posloupnosti.
}

\examples{
\list{
	\listItem{$\{n\}_{n=1}^\infty$: 1, 2, 3, 4, 5, \dots}
	\listItem{$\{2n+1\}_{n=1}^\infty$: 3, 5, 7, 9, 11, \dots}
	\listItem{$\{2^n\}_{n=1}^\infty$: 2, 4, 8, 16, 32, \dots}
	\listItem{$\{p_n: p_n=\hbox{$n$-té prvočíslo}\}_{n=1}^\infty$: 2, 3, 5, 7, 11, \dots}
	\listItem{$\{1\}_{n=1}^\infty$: 1, 1, 1, 1, 1, \dots}
	\listItem{$\{(-1)^n\}_{n=1}^\infty$: $-1$, $1$, $-1$, $1$, $-1$, \dots}
	\listItem{$a_1 = 1$, $a_{n+1} = 1 + a_n^2$: 1, 2, 5, 26, 677, \dots}
}
}

\definition{
	Posloupnost $\{a_n\}_{n=1}^\infty$ je omezená, je-li omezená množina čísel
	$\{a_n: n\in\nat\}$.

	Posloupnost $\{a_n\}_{n=1}^\infty$ je:
	\list{
		\olistItem{{\bf neklesající}, pokud $a_{n+1} \ge a_n$ \hfill $\forall n \in \nat$}
		\olistItem{{\bf nerostoucí}, pokud $a_{n+1} \le a_n$ \hfill $\forall n \in \nat$}
		\olistItem{(ostře) {\bf rostoucí}, pokud $a_{n+1} > a_n$ \hfill $\forall n \in \nat$}
		\olistItem{(ostře) {\bf klesající}, pokud $a_{n+1} < a_n$ \hfill $\forall n \in \nat$}
		\olistItem{{\bf monotónní}, je-li neklesající, nerostoucí, rostoucí či klesající.}
		\olistItem{{\bf ryze monotónní}, je-li rostoucí či klesající.}
	}
}

\examples{
\list{
	\listItem{$\{1/n\}$ je klesající.}
	\listItem{$\{\log n\}$ je rostoucí.}
	\listItem{$\{(-1)^n\}$ není monotónní.}
	\listItem{$\{5326\}_{n=1}^\infty$ je neklesající a nerostoucí.}
	\listItem{$\{(1 + 1/n)^n\}$ je rosstoucí (je třeba dokázat).}
}
}


\bend