— — Vlastní limita posloupnosti

Vlastní limita posloupnosti

Definice:

Posloupnost {a_{n}}_{n=1}^{∞} má vlastní limitu (je konvergentní) A ∈ ℝ, jestliže:

∀ε > 0 ∃ n_{0} ∈ ℕ, ∀n ∈ ℕ, n ≥ n_{0} : |a_{n} − A| < ε

Značíme: lim_{n→∞} a_{n} = A Posloupnost {a_{n}}_{n=1}^{∞} nemá vlastní limitu (je divergentní), jestliže:

∀A ∈ ℝ ∃ ε > 0, ∀n_{0} ∈ ℕ ∃ n ∈ ℕ, n ≥ n_{0} : |a_{n} − A| > ε

Pozn.: Divergentní posloupností myslíme i posloupnost oscilující.

Příklady:

(i) lim_{n→∞} 1/n = 0
(ii) lim_{n→∞} ^{n} \sqrt{n} = 1

(iii) lim_{n→∞}(−1)^{n} není definovaná.

(iv) lim_{n→∞}(1 + 1/n)^{n} = e
(v) lim_{n→∞} a = a

DŮKAZ:

(i) A = 0, dáno ε > 0. Zvolme n_{0} > 1/ε:

∀n ∈ ℕ, n ≥ n_{0} : 1/n ≤ 1/n_{0} < ε

⟹ lim_{n→∞} 1/n = 0

(ii) A = 1, mějme a_{n} = ^{n} \sqrt{n} = 1 + δ_{n}, kde δ_{n} > 0 pro ∀n ≥ 2.

Sporem: nechť lim ≠ 1:

∃ ε > 0, ∀n_{0} ∈ ℕ ∃ n ∈ ℕ, n ≥ n_{0} : ^{n} \sqrt{n} ≥ 1 + ε Pak musí existovat rostoucí posloupnost {n_{k}}_{k=1}^{∞} , kde n_{k} ∈ ℕ a a_{n_{k}} > 1 + ε. Tedy:

n_{k} \sqrt{n_{k}} > 1 + ε
1 + δ_{n_{k}} > 1 + ε

n_{k} = (1 + δ_{n_{k}})^{n_{k}} > (1 + ε)^{n_{k}} = 1 + n_{k}ε + \binom{n_{k}}{2}ε^{2} + ⋯

> n_{k}ε + \frac{n_{k}(n_{k} − 1)}{2}ε^{2}

⟹ 1 > ε + \frac{n_{k} − 1}{2}ε^{2} ∀n_{k}

⟹ \frac{1 − ε}{ε^{2}} · 2 + 1 > n_{k} ∀n_{k}

♯̸ Spor

/L:1.616 1 — — Vlastní limita posloupnosti

(iii) ∃ ε takové, že pro ∀n_{0} ∃ n : |a_{n} − A| ≥ ε pro každé předem dané A ∈ ℝ.

Sporem: předpokládejme lim_{n→∞}(−1)^{n} = A, pak k ε = 1/3 existuje n_{0} takové, že |(−1)^{n} − A| < 1/3 pro ∀n > n_{0}.

2 = |(−1)^{n} − (−1)^{n+1} | = |(−1)^{n} − A + A − (−1)^{n+1} | ≤

≤ |(−1)^{n} − A| + |A − (−1)^{n+1} | < 1/3 + 1/3 = 2/3

♯̸ Spor (iv) e si později nadefinujeme právě jako tuto limitu.

(v) Triviální.

VĚTA 1 (o jednoznačnosti limity posloupnosti): Každá posloupnost má nejvýše jednou limitu. DŮKAZ:

Nechť lim_{n→∞} a_{n} = A_{1} ∧ lim_{n→∞} a_{n} = A_{2} , bez újmy na obecnosti (dichotomie) nechť A_{1} > A_{2}. Zvolme ε < (A_{1} − A_{2})/2. Pak ∃ n_{1}, n_{2} taková, že:

\begin{matrix}∀n ≥ n_{1} : |a_{n} − A_{1}| < ε \\ ∀n ≥ n_{2} : |a_{n} − A_{2}| < ε \end{matrix} \} pro n ≥ max(n_{1}, n_{2}) platí zároveň obojí.

♯̸ Spor

VĚTA 2 (o omezenosti konvergentní posloupnosti): Každá konvergentní posloupnost je omezená. DŮKAZ:

Zvol ε = 1. Nechť lim_{n→∞} a_{n} = A ∈ ℝ . Pak dle definice ∃ n_{0} ∈ ℕ takové, že

∀n ≥ n_{0}, n ∈ ℕ : |a_{n} − A| < ε ⇒ |a_{n}| < |A| + 1

Zvol K := max{|A| + 1; |a_{1}|, |a_{2}|, …, |a_{n_{0}}|}. Pak pro ∀n ∈ ℕ : |a_{n}| ≤ K.

Definice:

Řekneme, že posloupnost {b_{k}}_{k=1}^{∞} je vybraná z {a_{n}}, existuje-li rostoucí posloupnost

{n_{k}}_{k=1}^{∞} ⊆ ℕ

taková, že b_{k} = a_{n_{k}} pro ∀k ∈ ℕ.

VĚTA 3 (o limitě vybrané posloupnosti):

Nechť lim_{n→∞} a_{n} = A a {b_{k}} je vybraná posloupnost z {a_{n}}. Pak lim_{k→∞} b_{k} = A . DŮKAZ:

∀ε > 0 ∃ n_{0} : |a_{n} − A| < ε ∀n > n_{0} ⟹ ∃ k_{0} ≥ n_{0} : a_{n_{k_{0}}} = b_{k_{0}}
∀l ≥ l_{0} : |b_{l} − A| < ε (neboť b_{l} je také nějaké a_{n})

Q.E.D.

/L:1.616 2 — — Vlastní limita posloupnosti

VĚTA 4 (o aritmetice limit):

Nechť a_{n} ⟶^{n→∞}A ∈ ℝ, b_{n} ⟶^{n→∞}B ∈ ℝ, pak platí:

(i) lim_{n→∞}(−a_{n}) = −A
(ii) lim_{n→∞}(a_{n} + b_{n}) = A + B

(iii) lim_{n→∞}(1/a_{n}) = 1/A (pokud a_{n} ≠ 0 pro ∀n a A ≠ 0)

(iv) lim_{n→∞}(a_{n}b_{n}) = AB

Tedy také lim_{n→∞}(αa_{n}) = αA a za dobrého počasí i lim_{n→∞}(a_{n}/b_{n}) = A/B .

Pozor! Obecně neplatí lim_{n→∞}(c_{n} + d_{n}) = lim_{n→∞} c_{n} + lim_{n→∞} d_{n} , nemusí jedna z nich existovat.

DŮKAZ:

(i) Triviální, stačí volit n′_{0} = n_{0} (jako pro původní posloupnost). (ii) Pro dané ε > 0 platí limita {a_{n}} od n_{1}, {b_{n}} od n_{2}, tedy obě platí od n_{3} = max{n_{1}, n_{2}}

dále. Tedy:

|(a_{n} + b_{n}) − (A + B)| ≤ |a_{n} − A| + |b_{n} − B| < 2ε ∀n ≥ n_{3}

(iii) Nejdříve dokážeme lemmu.

LEMMA:

∃ K > 0, ∀n : |a_{n}| ≥ K

DŮKAZ:

Mějme ε < |A|/2:

∃ n_{0}, ∀n ≥ n_{0} : |a_{n}| ≥ 2ε ⇒ K ≥ 2ε

Pro n ∈ {1, …, n_{0} − 1} : K < min{|a_{n}|} ⇒ ∃ K. Q.E.D.

Zvolíme ε-pás kolem nuly o velikosti K = ε_{0} takový, že |a_{n} ≥ ε_{0}|, tedy |1/a_{n}| ≤ 1/ε_{0}.

|\frac{1}{a_{n}} − \frac{1}{A}| = |\frac{A − a_{n}}{a_{n}A} | ≤ \frac{ε}{|a_{n}A|} ≤ ε · \frac{1}{KA}

(iv) Mějme n ≥ n_{3} = max{n_{1}, n_{2}}:

|(a_{n}b_{n}) − (AB)| = |a_{n}b_{n} − a_{n}B + a_{n}B − AB| ≤ |a_{n}b_{n} − a_{n}B| + |a_{n}B − AB| =

= |a_{n}| \underbrace{|b_{n} − B|}_{<ε} +|B| \underbrace{|a_{n} − A|}_{<ε} < |a_{n}|ε + |B|ε

Přitom |a_{n}| je omezeno nějakou konstantou K a |B| je konstantní rovnou, tedy:

|a_{n}|ε + |B|ε ≤ \underbrace{(K + |B|)}_{konst.}ε

Q.E.D.

— — Vlastní limita posloupnosti

VĚTA 5 (o uspořádání limit): Mějme lim_{n→∞} a_{n} = A , lim_{n→∞} b_{n} = B . Pak:

(i) Pokud A > B, pak ∃ n_{0}, od kterého a_{n} > b_{n} pro ∀ ≥ n_{0}. (ii) Pokud ∃ n_{0} takové, že a_{n} ≥ b_{n} pro ∀ ≥ n_{0}, pak A ≥ B. (Pozor, neplatí a_{n} > b_{n} ⇒ A > B!

Např. a_{n} = 1/n, b_{n} = −1/n.)

DŮKAZ:

Zvol ε > 0, ε < \frac{1}{4}(A−B), pak pro n_{1}: |a_{n}−A| < ε, pro n_{2}: |b_{n}−B| < ε, pro n_{3} = max\{n_{1}, n_{2}\} jsou tyto pásy již disjunktní:

a_{n} > A − ε > B + ε > b_{n} ∀n ≥ n_{3}

Q.E.D.

VĚTA 6 (o dvou policajtech):

Nechť:

lim_{n→∞} a_{n} = lim_{n→∞} b_{n} = A ∈ ℝ

∃ n_{0} ∈ ℕ, ∀n ≥ n_{0} : a_{n} ≤ c_{n} ≤ b_{n}

Pak lim_{n→∞} c_{n} = A .

DŮKAZ:

Zvolme ε > 0, pak:

\begin{matrix}∃ n_{1} ∈ ℕ, ∀n ≥ n_{1} : |a_{n} − A| < ε \\ ∃ n_{2} ∈ ℕ, ∀n ≥ n_{2} : |b_{n} − A| < ε \end{matrix}

Definujme n_{3} := max{n_{0}, n_{1}, n_{2}}. Pak jistě

A − ε ≤ a_{n} ∀n > n_{3}

A − ε < a_{n} ≤ c_{n} ≤ b_{n} < A + ε

lim_{n→∞} c_{n} = A

Q.E.D.

Příklad:

Nechť a > 0. Pak lim_{n→∞} ^{n} \sqrt{a} = 1 . DŮKAZ: (a > 1) ∃ n_{0} ∈ ℕ, n_{0} ≥ a, ∀n ≥ n_{0} : a ≤ n.

Tedy 1 ≤ ^{n} \sqrt{a} ≤ ^{n} \sqrt{n} pro ∀n ≥ n_{0}.

lim_{n→∞} 1 = 1 ∧ lim_{n→∞} ^{n} \sqrt{n} = 1 ⟹ lim_{n→∞} ^{n} \sqrt{a} = 1

(a = 1) Triviální.

(a < 1) lim_{n→∞} ^{n} \sqrt{a} = lim_{n→∞} \frac{1}{\sqrt[n]{1/a}}

1/a > 1 ⟹ lim_{n→∞} ^{n} \sqrt{1/a} = 1

(Jak bylo dokázáno.)

/L:1.616 4 — — Vlastní limita posloupnosti

1 ≠ 0 ∧ ^{n} \sqrt{1/n} ≠ 0 ∀n ⟹^{V.4-} lim_{n→∞} ^{n} \sqrt{a} − 1/n = 1

Q.E.D.

VĚTA 7 (o součinu omezené a “nulové” posloupnosti): Nechť lim_{n→∞} a_{n} = 0 a {b_{n}} je omezená. Pak lim_{n→∞} a_{n}b_{n} = 0 . Pozn.: Platí, že lim_{n→∞} a_{n} = 0 ⟺ lim_{n→∞} |a_{n}| = 0 . (Důkaz: ⟨cvičení⟩.) DŮKAZ:

Víme, že pro ∀n ∈ ℕ platí |b_{n}| ≤ K. Pak dle předpokladu a dvou policajtů:

\underbrace{0}_{→0} ≤ \underbrace{|a_{n}b_{n}| = |a_{n}||b_{n}|}_{→0} ≤ \underbrace{K|a_{n}|}_{→0}

⟹ lim_{n→∞} |a_{n}b_{n}| = 0 ⟹ lim_{n→∞} a_{n}b_{n} = 0

Q.E.D. Příklad: lim_{n→∞} \frac{1}{n} sinn = 0