— Úvod do matematické analýzy —

Úvod do matematické analýzy

Výroková logika

Definice:

Logika: věda o správnosti výroků. Výrok: tvrzení, o kterém má smysl říci, zda je pravdivé nebo ne. Obvykle ve formě “premisa ⇒

důsledek”. Tarskiho definice: “Výrok A je pravdivý, jestliže A.”

Příklad:

\begin{aligned}(A ⇒ B) & ⟺ (¬B ⇒ ¬A) \\ & ⟺ ¬(A ∧ ¬B) \end{aligned}

Výroková funkce: výraz, z nějž obdržíme výrok po dosazení prvků za proměnné. Zapisujeme V (x_{1}, …, x_{n}), x_{n} ∈ M_{n}.

Kvantifikátory: všeobecný (∀) a existenční (∃). Platí princip stejnoměrnosti:

∀x ∃ y : V (x, y) ⟸ ∃ y ∀x : V (x, y)

Základní metody důkazů

Používáme zejména důkazy sporem, indukcí, přímo a nepřímo. Je záhodno se vyhnout důkazu kruhem.

Při dokazování je vhodné si uvědomit formální definici dokazovaného výroku a aplikovat ji na náš konkrétní případ (např. dokazujeme-li existenci limity, může pomoci vyjít z dosazení do její definice).

Tvrzení: Pro ∀n ∈ ℕ : n^{2} liché ⇒ n liché. Důkazy:

(i) Přímo:

n^{2} = p_{1}^{2} ⋯ p_{k}^{2} (prvočíselný rozklad)
n = p_{1} ⋯ p_{k}
j = 1, …, k : p_{j} ≠ 2 ⇒ n liché

(ii) Nepřímo:

n sudé ⇒ n = 2m ⇒ n^{2} = 4m^{2} ⇒ n^{2} sudé

(iii) Sporem:

n^{2} liché ∧ n sudé
⟹ n^{2} + n liché ⟹ n(n + 1) liché

♯̸ Spor (iv) Indukcí:

n = 1: 1^{2} liché, 1 liché.

n ⇒ n + 2: n^{2} liché ⇒ (n + 2)^{2} liché (neboť (n + 2)^{2} = n^{2} + 2n + 4 = 2n + 5 je liché).

Q.E.D.

— Úvod do matematické analýzy — Výroková logika

Další příklady:

• Přímo: A ⇒ C_{1} ⇒ C_{2} ⇒ ⋯ ⇒ C_{n} ⇒ B Cauchyho nerovnost:

(∑_{i=1}^{n}a_{i}b_{i})^{2} ≤ (∑_{i=1}^{n}a_{i}^{2}) (∑_{i=1}^{n}b_{i}^{2})

∀m ∈ ℕ, a_{1}, …, a_{n}, b_{1}, …, b_{n} ∈ ℝ

(1) a_{1} = a_{2} = ⋯ = a_{n} = 0, tedy platí.

(2) ∃ i ∈ {1, …, n} : a_{i} ≠ 0.

Trik: Definujme si:

f(x) := ∑_{i=1}^{n}(a_{i}x + b_{i}) ^{2}

Pak platí:

f(x) = (∑_{i=1}^{n}a_{i}^{2}) x^{2} + (∑_{i=1}^{n}2a_{i}b_{i})x + (∑_{i=1}^{n}b_{i}^{2}) = αx^{2} + βx + γ

α > 0, f(x) > 0 ⟹^{z grafu} D ≤ 0 ⇔ β^{2} − 4αγ ≤ 0

β^{2} − 4αγ ≤ 0 ⟹ β^{2} ≤ 4αγ = 4 (∑_{i=1}^{n}a_{i}b_{i})^{2} ≤ 4 (∑_{i=1}^{n}a_{i}^{2}) (∑_{i=1}^{n}b_{i}^{2})

Q.E.D.

• Sporem: Předpokládáme opak a dokážeme jeho neplatnost.

Iracionalita \sqrt{2}:

x > 0 : x^{2} = 2 ⇒ x ∉ ℚ

Nechť x = p/q, kde p, q jsou nesoudělná:

x^{2} = 2 ⟹ p^{2}/q^{2} = 2 ⟹ p^{2} = 2q^{2}
p^{2} = 4m ⟹ q^{2} = 2m

To je ale spor s nesoudělností p, q. Q.E.D.

• Indukcí: Dokazujeme, že pro ∀n ∈ ℕ : V (n). Stačí dokázat:

(i) V (1) (ii) V (n) ⇒ V (n + 1)

Bernoulliho nerovnost:

(1 + x)^{n} ≥ 1 + nx ∀n ∈ ℕ, x ≥ −1

(1) n = 1:

1 + x ≥ 1 + x (2) V (n) ⇒ V (n + 1):

(1 + x)^{n}(1 + x) ≥ (1 + nx)(1 + x) = 1 + (n + 1)x + nx^{2} ≥ 1 + (n + 1)x

Q.E.D. A-G nerovnost:

\frac{a_{1} + a_{2} + ⋯ + a_{n}}{n} ≥ ^{n} \sqrt{a_{1}a_{2} ⋯ a_{n}}

∀n ∈ ℕ, a_{1}, a_{2}, …, a_{n} > 0

V (1) je triviální. V (2): (a_{1} + a_{2})/2 ≥ ^{2} \sqrt{a_{1}a_{2}}. Nechť a = A^{2} a b = B^{2}:

(A − B)^{2} = A^{2} + B^{2} − 2AB ≥ 0

V (n) ⇒ V (2n):

\frac{a_{1} + ⋯ + a_{n} + a_{n+1} + ⋯ + a_{2n}}{2n} =

= \frac{a_{1} + ⋯ + a_{n}}{n} + \frac{a_{n+1} + ⋯ + a_{2n}}{n} ≥

{V (2) \atop ≥} ^{2} \sqrt{\frac{a_{1} + ⋯ + a_{n}}{n} · \frac{a_{n+1} + ⋯ + a_{2n}}{n}} ≥

{V (n) \atop ≥} ^{2} \sqrt{^{n} \sqrt{a_{1} ⋯ a_{n}} · ^{n} \sqrt{a_{n+1} ⋯ a_{2n}}} =

= ^{2n} \sqrt{a_{1} ⋯ a_{2n}} ⟹ V (2n)

V (n + 1) ⇒ V (n): Mějme a_{1}, …, a_{n}. Trik: Definujme:

\begin{aligned}b_{1} & := \frac{a_{1}}{\sqrt[n]{a_{1} ⋯ a_{n}}} \\ b_{2} & := \frac{a_{2}}{\sqrt[n]{a_{1} ⋯ a_{n}}} \\ b_{n} & := \frac{a_{n}}{\sqrt[n]{a_{1} ⋯ a_{n}}} \\ b_{n+1} & := 1 \end{aligned}

\begin{aligned}V (n + 1) ⟹ \frac{b_{1} + b_{2} + ⋯ + b_{n+1}}{n + 1} & ≥ ^{n+1}\sqrt{b_{1}b_{2} ⋯ b_{n+1}} = 1 \\ b_{1} + b_{2} + ⋯ + b_{n+1} & ≥ n + 1 \\ \frac{a_{1} + a_{2} + ⋯ + a_{n}}{\sqrt[n]{a_{1} ⋯ a_{n}}} & ≥ n \\ \frac{a_{1} + a_{2} + ⋯ + a_{n}}{n} & ≥ ^{n} \sqrt{a_{1} ⋯ a_{n}} ⟹ V (n) \end{aligned}

Q.E.D.

— Úvod do matematické analýzy — Množina reálných čísel

Množina reálných čísel

Definice:

Množina A je induktivní, jestliže:

(i) 1 ∈ A (ii) k ∈ A ⇒ k + 1 ∈ A

ℕ =^{def} průnik všech induktivních množin (nebo také {1, 2, 3, 4, …}).

ℤ =^{def} ℕ ∪ {0} ∪ (−ℕ)

ℚ =^{def} {p/q : p ∈ ℤ, q ∈ ℕ}

ℝ za okamžik. ℂ se zabývat nebudeme.

VĚTA 1 (o reálném tělese):

Existuje právě jedno uspořádané těleso ℝ, na němž jsou dány operace “+” a “·”, prvky “0” a “1” a binární relace “≥” s následujícími vlastnostmi:

I. Algebraické vlastnosti tělesa: (i) (x + y) + z = x + (y + z) (asociativita) ∀x, y, z ∈ ℝ (ii) x + y = y + x (komutativita) ∀x, y ∈ ℝ (iii) x + 0 = 0 + x = x ∀x ∈ ℝ (iv) x + (−x) = 0 ∀x ∈ ℝ : ∃ − x ∈ ℝ (v) (xy)z = x(yz) ∀x, y, z ∈ ℝ (vi) xy = yx ∀x, y ∈ ℝ (vii) 1x = x1 = x ∀x ∈ ℝ (viii) xx^{−1} = x^{−1}x = 1 ∀x ∈ ℝ \ {0} : ∃ x^{−1} ∈ ℝ (ix) x(y + z) = xy + xz ∀x, y, z ∈ ℝ

II. Axiomy uspořádání:

(i) x ≤ y ∧ y ≤ x ⟹ x = y (slabá antisymetrie) ∀x, y ∈ ℝ (ii) x ≤ y ∧ y ≤ z ⟹ x ≤ z (tranzitivita) ∀x, y, z ∈ ℝ (iii) x ≤ y ∨ y ≤ z (dichotomie) ∀x, y ∈ ℝ (iv) x ≤ y ⟹ x + z ≤ y + z ∀x, y, z ∈ ℝ (v) xy ≥ 0 ∀x, y ∈ ℝ, x ≥ 0, y ≥ 0

Axiom o supremu

Nechť M ∈ ℝ. Řekneme, že M je:

(i) shora omezená, jestliže ∃ K ∈ ℝ pro ∀x ∈ M takové, že x ≤ K. (ii) zdola omezená, jestliže ∃ K ∈ ℝ pro ∀x ∈ M takové, že x ≥ K. (iii) omezená, jestliže je omezená shora i zdola. K pak nazýváme horní (dolní) závorou množiny M.

/L:1.616 4

— Úvod do matematické analýzy — Množina reálných čísel

Supremum

Nechť M je neprázdná a shora omezená podmnožina ℝ. Pak ∃! G ∈ ℝ, pro které platí:

(i) ∀x ∈ M : x ≤ G (horní závora) (ii) ∀G′ < G ∃ x ∈ M : G′ ≤ x (nejmenší horní závora)

(pro uzavřený interval G ∈ M, pro otevřený interval však nikoliv.

G = supM

Infimum

Nechť M je neprázdná a zdola omezená podmnožina ℝ. Pak ∃! g ∈ ℝ, pro které platí:

(i) ∀x ∈ M : x ≥ g (dolní závora) (ii) ∀g′ > g ∃ x ∈ M : g′ ≥ x (nejmenší dolní závora)

g = inf M

DŮKAZ:

Definujme množinu −M := {−x, x ∈ M}. Pak −M je shora omezená (neboť M je zdola omezená). Tedy ∃ G = sup(−M) (supremum máme zavedeno axiomaticky).

G ≥ −x ⇒ −G ≤ x ⇒ g ≤ x ∀x ∈ M

Pak ovšem g := −G = inf(M).

Příklady:

(0, 2) inf M = 0 ∉ M supM = 2 ∉ M
[0, 2] inf M = 0 ∈ M supM = 2 ∈ M
{n ∈ ℕ : x = 2 − 1/n} inf M = 1 ∈ M supM = 2 ∉ M
(0, 2) ∪ {3} inf M = 0 ∉ M supM = 3 ∈ M

VĚTA 2 (Archimédova vlastnost):

∀x ∈ ℝ ∃ n ∈ ℕ : x < n

DŮKAZ:

Sporem: předpokládejme, že ∃ x ∈ ℝ takové, že pro ∀n ∈ ℕ : n ≤ x. Pak je ℕ shora omezená, tedy ∃ G = supℕ.

Přitom pro ℕ platí: ∀n ∈ ℕ ⇒ n + 1 ∈ ℕ (jde o průnik všech induktivních množin). Tedy n + 1 ≤ G pro ∀n ∈ ℕ, tudíž n ≤ G − 1 pro ∀n ∈ ℕ. Ovšem v tom případě supℕ = G − 1!

♯̸ Spor

Spočetnost: Množina A je spočetná, existuje-li zobrazení f: ℕ ⟷^{1–1} A.

VĚTA 3 (hustota racionálních a iracionálních čísel v reálných číslech):

ℕ ↔ ℚ: Kardinálně |ℚ| = |ℕ|, můžeme zobrazit všechna racionální čísla na ℕ (matice, řádky budou p a sloupce q, číslujeme diagonálně).

Pro každá a, b ∈ ℝ, a < b ∃ q ∈ ℚ, r ∈ ℝ \ ℚ takové, že a < q < b, a < r < b (ať uděláme sebeužší mezírku na reálné ose, vejde se nám tam nějaké racionální a iracionální číslo).

DŮKAZ:

Přímo:

(ℚ) q = m/n , m ∈ ℤ, n ∈ ℕ. Z Archimeda ⇒ ∃ n ∈ ℕ takové, že 1/(b−a) < n, tedy b−a > 1/n. Pak ale jistě existuje m ∈ ℤ tak, že m/n ∈ (a, b).

(ℝ \ ℚ) Nechť q_{1}, q_{2} ∈ ℚ, a < q_{1} < q_{2} < b. Zvolme r = q_{1} + 1/\sqrt{2}(q_{2} − q_{1}). Pak:

(i) r ∈ (q_{1}, q_{2}) ⊂ (a, b), neboť 1/\sqrt{2} < 1.
(ii) r ∈ ℝ \ ℚ (⟨cvičení⟩).

VĚTA 4 (o existenci n-té odmocniny):

(Tato věta je těžká!)

∀x > 0, x ∈ ℝ ∧ ∀n ∈ ℕ : ∃ y > 0, y ∈ ℝ, y^{n} = x

DŮKAZ:

Nejdříve si označme:

R_{0}^{+} = {x ∈ ℝ : x ≥ 0}
R^{+} = {x ∈ ℝ : x > 0}

Definujme si nějaké pomocné množiny:

M_{1} := {k > 0, k ∈ ℝ : k^{n} ≤ x}
M_{2} := {k > 0, k ∈ ℝ : k^{n} ≥ x}

LEMMA 1:

R^{+} = M_{1} ∪ M_{2}

DŮKAZ:

Zřejmě M_{1} ⊆ ℝ^{+} , M_{2} ⊆ ℝ^{+} ⇒ M_{1} ∪ M_{2} ⊆ ℝ^{+} .

Kdyby ℝ^{+} ≠ (M_{1} ∪ M_{2}), pakk ∃ k, k ≠ (M_{1} ∪ M_{2}), tedy k^{n} ≰ x ani k^{n} ≱ x, což je ve sporu s dichotomií.

♯̸ Spor

Nyní si definujme y_{1} = supM_{1}, y_{2} = inf M_{2}.

LEMMA 2:

y_{1}^{n} ≤ x ∧ x ≤ y_{2}^{n}

DŮKAZ:

Dokažme y_{1}^{n} ≤ x sporem: y_{1}^{n} > x.

Pak by dle Archimeda ∃ h > 0, h > \frac{ny_{1}^{n}}{y_{1}^{n} − x} (trik). Tedy:
k ∈ M_{1} ⇒ k^{n} ≤ x ⇒ −x ≤ −k^{n}
y_{1}^{n} − x ≤ y_{1}^{n} − k^{n}

Z binomické věty:

y_{1}^{n} − k^{n} = (y_{1} − k) \underbrace{(y_{1}^{n−1} + y_{1}^{n−2}k + ⋯ + y_{1}k^{n−2} + k^{n−1})}_{n členů, všechny ≤ y_{1}^{n−1}} ≤ (y_{1} − k)ny_{1}^{n−1}

Z (ii) vl. suprema ∃ k ∈ M_{1} : k > y_{1} − 1/h, tedy:

(y_{1} − k)ny_{1}^{n−1} < \frac{ny_{1}^{n−1}}{h} < ny_{1}^{n−1} \frac{y_{1}^{n} − x}{ny_{1}^{n−1}} = y_{1}^{n} − x

y_{1}^{n} − x < y_{1}^{n} − x

♯̸ Spor Analogicky x ≤ y_{2}^{n}.

Nyní konečně můžeme dokázat y_{1} = y_{2}. Víme, že nejde, aby y_{2} < y_{1} (jinak y_{1}^{n} > y_{2}^{n}), tedy stačí vyloučit y_{1} < y_{2}. Kdyby to ovšem platilo, dle V.3- by ∃ q ∈ ℚ, q ∈ (y_{1}, y_{2}), což je však spor s ℝ^{+} = M_{1} ∪ M_{2}.

Q.E.D.