\input /home/pasky/school/fastex/lib.tex

\subchapter{Mno�ina re�ln�ch ��sel}{


\definition{
	Mno�ina $A$ je {\bf induktivn�}, jestli�e:
	\list{
	\listItem{$1 \in A$}
	\listItem{$k \in A \Rightarrow k + 1 \in A$}
	}

	$\nat \defined$ pr�nik v�ech induktivn�ch mno�in (nebo tak� $\{1,2,3,4,\ldots\}$).

	$\intgr \defined \nat \cup \{0\} \cup (-\nat)$

	$\rat \defined \{ p/q: p \in \intgr,\ q \in \nat \}$

	$\real$ za okam�ik.

	$\cmplx$ se zab�vat nebudeme.
}


\theorem{1}{o re�ln�m t�lese}{
	Existuje pr�v� jedno uspo��dan� t�leso $\real$, na n�m� jsou d�ny operace
	``+'' a ``$\cdot$'', prvky ``0'' a ``1'' a bin�rn� relace ``$\ge$''
	s n�sleduj�c�mi vlastnostmi:

	\list{
	\RlistItem{{\bf Algebraick� vlastnosti t�lesa:}

		\list{
		\rlistItem{$(x+y) + z = x + (y+z)\quad$ (asociativita) \hfill $\forall x,y,z \in \real$}
		\rlistItem{$x+y = y+x\quad$ (komutativita) \hfill $\forall x,y \in \real$}
		\rlistItem{$x+0 = 0+x = x$ \hfill $\forall x \in \real$}
		\rlistItem{$x+(-x) = 0$ \hfill $\forall x \in \real: \existss -x \in \real$}
		\rlistItem{$(xy)z = x(yz)$ \hfill $\forall x,y,z \in \real$}
		\rlistItem{$xy = yx$ \hfill $\forall x,y \in \real$}
		\rlistItem{$1x = x1 = x$ \hfill $\forall x \in \real$}
		\rlistItem{$xx^{-1} = x^{-1}x = 1$ \hfill $\forall x \in \real\setminus\{0\}: \existss x^{-1} \in \real$}
		\rlistItem{$x(y+z) = xy + xz$ \hfill $\forall x,y,z \in \real$}
		}
	}
	\RlistItem{{\bf Axiomy uspo��d�n�:}

		\list{
		\rlistItem{$x \le y \et y \le x \Longrightarrow x = y\quad$ (slab� antisymetrie) \hfill $\forall x,y \in \real$}
		\rlistItem{$x \le y \et y \le z \Longrightarrow x \le z\quad$ (tranzitivita) \hfill $\forall x,y,z \in \real$}
		\rlistItem{$x \le y \lor y \le z\quad$ (dichotomie) \hfill $\forall x,y \in \real$}
		\rlistItem{$x \le y \Longrightarrow x + z \le y + z$ \hfill $\forall x,y,z \in \real$}
		\rlistItem{$xy \ge 0$ \hfill $\forall x,y \in \real,\ x \ge 0,\ y \ge 0$}
		}
	}
	}
}


\scpart{Axiom o supremu}{
	Nech� $M \in \real$. �ekneme, �e $M$ je:
	\list{
	\listItem{{\bf shora omezen�}, jestli�e $\existss K \in \real$ pro $\forall x \in M$ takov�, �e $x \le K$.}
	\listItem{{\bf zdola omezen�}, jestli�e $\existss K \in \real$ pro $\forall x \in M$ takov�, �e $x \ge K$.}
	\listItem{{\bf omezen�}, jestli�e je omezen� shora i zdola.}
	}
	$K$ pak naz�v�me {\bf horn� (doln�) z�vorou mno�iny $M$}.

	\penalty-1000

	\scpart{Supremum}{
		Nech� $M$ je nepr�zdn� a shora omezen� podmno�ina $\real$. Pak $\onexists G \in \real$, pro kter�
		plat�:
		\list{
		\listItem{$\forall x \in M: x \le G$ (horn� z�vora)}
		\listItem{$\forall G' < G\ \existss x \in M: G' \le x$ (nejmen�� horn� z�vora)}
		}
		(pro uzav�en� interval $G \in M$, pro otev�en� interval v�ak {\bf nikoliv}.

		$$G = \sup M$$
	}

	\scpart{Infimum}{
		Nech� $M$ je nepr�zdn� a zdola omezen� podmno�ina $\real$. Pak $\onexists g \in \real$, pro kter�
		plat�:
		\list{
		\listItem{$\forall x \in M: x \ge g$ (doln� z�vora)}
		\listItem{$\forall g' > g\ \existss x \in M: g' \ge x$ (nejmen�� doln� z�vora)}
		}

		$$g = \inf M$$

		\proof{
			Definujme mno�inu $-M := \{ -x, x \in M \}$. Pak $-M$ je shora omezen� (nebo� $M$ je zdola omezen�).
			Tedy $\existss G = \sup (-M)$ (supremum m�me zavedeno axiomaticky).
			$$ G \ge -x \Rightarrow -G \le x \Rightarrow g \le x\qquad \forall x \in M $$
			Pak ov�em $g := -G = \inf (M)$.
		}
	}

	\examples{
	$$ \eqmalign{(0,2) \quad & \inf M = 0 \notin M \quad & \sup M = 2 \notin M\cr
	             [0,2] \quad & \inf M = 0 \in M    \quad & \sup M = 2 \in M\cr
		     \{n \in \nat: x = 2 - 1/n\}
		           \quad & \inf M = 1 \in M    \quad & \sup M = 2 \notin M\cr
		     (0,2) \cup \{3\}
		           \quad & \inf M = 0 \notin M \quad & \sup M = 3 \in M} $$
	}
}


\theorem{2}{Archim�dova vlastnost}{

	$$\forall x \in \real\ \existss n \in \nat: x < n$$

	\proof{
		Sporem: p�edpokl�dejme, �e $\existss x \in \real$ takov�, �e pro $\forall n \in \nat: n \le x$.
		Pak je $\nat$ shora omezen�, tedy $\existss G = \sup \nat$.

		P�itom pro $\nat$ plat�: $\forall n \in \nat \Rightarrow n + 1 \in \nat$
		(jde o pr�nik v�ech
		induktivn�ch mno�in).
		Tedy $n + 1 \le G$ pro $\forall n \in \nat$, tud�� $n \le G - 1$ pro $\forall n \in \nat$.
		Ov�em v tom p��pad� $\sup \nat = G - 1$!

		\XXX
	}

}

\shortdef{Spo�etnost}{Mno�ina $A$ je spo�etn�, existuje-li zobrazen� $f\colon \nat \bijection A$.

\theorem{3}{hustota racion�ln�ch a iracion�ln�ch ��sel v re�ln�ch ��slech}{

	$\nat \leftrightarrow \sQ$: Kardin�ln� $|\sQ| = |\sN|$, m��eme zobrazit
	v�echna racion�ln� ��sla na $\nat$ (matice, ��dky budou $p$ a sloupce
	$q$, ��slujeme diagon�ln�).

	Pro ka�d� $a, b \in \real, a < b$ $\existss q \in \rat, r \in \real \setminus \rat$
	takov�, �e $a < q < b$, $a < r < b$ (a� ud�l�me sebeu��� mez�rku na re�ln� ose, vejde se n�m tam
	n�jak� racion�ln� a iracion�ln� ��slo).

	\proof{
		P��mo:

		\list{
		\namedListItem{$\rat$}{\M{q = {m / n}}, $m \in \intgr, n \in \nat$.

			Z \href{Archimeda}{Archimedes} $\Rightarrow$ $\existss n \in \nat$ takov�,
			�e $1/(b-a) < n$, tedy $b - a > 1/n$. Pak ale jist� existuje $m \in \intgr$ tak,
			�e $m/n \in (a,b)$.
		}

		\namedListItem{$\real\setminus\rat$}{Nech� $q_1, q_2 \in \rat$, $a < q_1 < q_2 < b$.

			Zvolme $r = q_1 + 1/\sqrt{2}(q_2 - q_1)$. Pak:
			\list{
			\rlistItem{$r \in (q_1, q_2) \subset (a,b)$, nebo� $1/\sqrt{2} < 1$.}
			\rlistItem{$r \in \real\setminus\rat$ (\DCV).}
			}
		}
		}
	}

}


\theorem{4}{o existenci $n$-t� odmocniny}{
	(Tato v�ta je t�k�!)

	$$ \forall x > 0, x \in \real \et \forall n \in \nat: \existss y > 0, y \in \real,\quad y^n = x $$

	\proof{
		Nejd��ve si ozna�me:
		$$ R_0^+ = \{ x \in \real: x \ge 0 \} $$
		$$ R^+ = \{ x \in \real: x > 0 \} $$

		Definujme si n�jak� pomocn� mno�iny:
		$$ M_1 := \{ k > 0, k \in \real: k^n \le x \} $$
		$$ M_2 := \{ k > 0, k \in \real: k^n \ge x \} $$
		
		\lemma{ 1}{
			$$ R^+ = M_1 \cup M_2 $$

			\proof{
				Z�ejm�
				$M_1 \subseteq \real^+, M_2 \subseteq \real^+ \Rightarrow M_1 \cup M_2 \subseteq \real^+$.

				Kdyby $\real^+ \ne (M_1 \cup M_2)$, pakk $\existss k, k \ne (M_1 \cup M_2)$,
				tedy $k^n \not\le x$ ani $k^n \not\ge x$, co� je ve sporu s dichotomi�.

				\XXX
			}
		}

		Nyn� si definujme $y_1 = \sup M_1$, $y_2 = \inf M_2$.

		\lemma{ 2}{
			$$y_1^n \le x \et x \le y_2^n$$

			\proof{
				Doka�me $y_1^n \le x$ sporem: $y_1^n > x$.

				Pak by dle \href{Archimeda}{Archimedes} $\existss h > 0$, \M{h > {ny_1^n \over y_1^n - x}}
				(trik).
				Tedy:
				$$k \in M_1 \Rightarrow k^n \le x \Rightarrow -x \le -k^n$$
				$$y_1^n - x \le y_1^n - k^n$$

				Z \href{binomick� v�ty}{binomick� v�ta}:
				$$y_1^n - k^n = (y_1 - k)\undernote{(y_1^{n-1} + y_1^{n-2}k + \cdots + y_1k^{n-2} + k^{n-1})}{
									\hbox{$n$ �len�, v�echny $\le y_1^{n-1}$}}
						\le (y_1-k)ny_1^{n-1}$$

				Z (ii) vl. suprema $\existss k \in M_1: k > y_1 - 1/h$, tedy:
				$$(y_1-k)ny_1^{n-1} < {ny_1^{n-1}\over h} < ny_1^{n-1}{y_1^n - x \over ny_1^{n-1}} = y_1^n - x$$

				$$ y_1^n - x< y_1^n - x $$

				\XXX

				Analogicky $x \le y_2^n$.
			}
		}

		Nyn� kone�n� m��eme dok�zat $y_1 = y_2$.
		V�me, �e nejde, aby $y_2 < y_1$ (jinak $y_1^n > y_2^n$), tedy
		sta�� vylou�it $y_1 < y_2$.
		Kdyby to ov�em platilo, dle \ias{}{3}{} by $\existss q \in \rat, q \in (y_1,y_2)$,
		co� je v�ak spor s $\real^+ = M_1 \cup M_2$.

		\qed
	}
}


}

\bend
