\input /home/pasky/school/fastex/lib.tex \scpart{Fyzikální motivace}{ Rovnice vedení tepla nám říká, že vezmeme-li si třeba měděnou tyč, která má na jednom konci teplotu $0\dg C$ a na druhém konci ji zahříváme kahanem na $100\dg C$, a nás zajímá, jak vypadá funkce $T(x,t)$. To vede na hledání $f$ takové, aby $f'' = -f$ (např. $\sin x$, $\cos x$). Je výhodné řešení hledat ve tvaru řady, ale ta řada není mocninná. Místo mocnin $x^n$ pracuje s funkcemi $\sin (nx)$ a $(\cos (nx)$. \optnote{ Koupím si pizzu, hodím ji do trouby. V $t = 8^{00}$ bude mít $T = 110\dg C$. Kdy bude $T = 60\dg C$? V $t = 18^{00}$ nastane smrt hlady. Je třeba se spálit? Mějme čas $t$, teplotu $T$. Teplota místnosti je $T_0 = 20$. $k$ je materiálová konstanta. $$\eqalign{ t = 0:\ & T(t) = T(0) = 110\dg\cr t = 5:\ & T(t) = T(5) = 90\dg }$$ Newton: $$ -{dT\over dt} = k(T(t)-T_0) $$ $$ \int {dT\over T-T_0} = \int -k\,dt) $$ $$ \log (T-T_0) = -kt + c $$ $$ T - T_0 = e^ce^{-kt} =: Ae^{-kt} $$ Nevím, co je $k$ a $A$: $$ T(t) = T_0 + Ae^{-kt} $$ Dosadíme: $$\eqmalign{ t = 0:\ & 110 = 20 + Ae^0 &\Rightarrow A = 90 & T = 20 + 90e^{-kt}\cr t = 5:\ & 80 = 20 + 90e^{-k5} &\Rightarrow 2/3 = e^{-5k} & e^{-k} = \root{5}\of{2/3} }$$ $$ \Longrightarrow T(t) = 20 + 90(2/3)^{t/5} $$ $$\eqalign{t = 10:\ & T(10) \le 60 ??\cr & 20 + 90(2/3)^2 = 20 + 40 = 60} $$ To bylo o fous. } Potíž s tyčí je ta, že musíme derivovat parciálně, neboť máme dvě proměnné. Vše se povážlivě komplikuje a na pomoc spěchá právě pan Fourier. } Jean--Baptiste Joseph Fourier (1768---1830) v roce 1822 vymyslel Fourierovy řady. Euler totiž pracoval se systémem funkcí $\{1,x,x^2,x^3,\ldots\}$, ale Fourier si řekl, že by se mu hodil spíše trigonometrický systém $\{1,\cos x,\sin x,\cos(2x),\sin(2x),\ldots\}$. \scpart{Otázka:}{ Je-li dáno $f$, chceme najít čísla $a_n$, $b_n$ tak, aby řada $$ a_0/2 + \sum_{n=1}^\infty (a_n\cos(nx) + b_n\sin(nx)) $$ konvergovala (nejlépe stejnoměrně) k funkci $f$. } \penalty-1000 \definition{ Funkce $f$ se nazývá {\bf $2\pi$-periodická}, jestliže $$ \forall x \in \real: f(x+2\pi) = f(x) $$ Množinu $2\pi$-periodických funkcí značíme $P_{2\pi}$. Řadu funkcí tvaru $$ a_0/2 + a_1\cos x + b_1\sin x + a_2\cos(2x) + b_2\sin(2x) + \cdots = a_0/2 + \sum_{k=1}^\infty (a_n\cos(nx) + b_n\sin(nx)) $$ nazýváme {\bf trigonometrickou řadou}. Čísla $\{a_n\}_{n=0}^\infty$, $\{b_n\}_{n=1}^\infty$ pak nazýváme {\bf koeficienty trigonometrické řady}. } \note{ Jestliže trigonometrická řada bodově konverguje k funkci $f$, tj. $$f(x) = a_0/2 + \sum_{k=1}^\infty (a_k\cos(kx)+b_k\sin(kx))$$ potom nezbytně $f \in P_{2\pi}$. } \scpart{Výpočet koeficientů}{ Budeme porovnávat systémy pro mocninnou řadu $\{1,x,x_2,\ldots\}$ a pro trigonometrickou řadu $\{1,\cos x,\sin x, \ldots\}$. Jak hledat koeficienty? Předpokládejme, že $$f(x) = a_0/2 + \sum_{n=1}^\infty (a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx))\qquad x \in \real$$ a nechť řada konverguje stejnoměrně v $\real$. \penalty-1000 \observation{ Takový trigonometrický systém je {\it ortogonální} (funkce jsou na sebe kolmé). $$ \forall m,n\in\nat \lor n = 0: \int_{-\pi}^\pi \sin(mx)\cos(nx)\,dx = 0 $$ $$ \int_{-\pi}^\pi \sin(kx)\sin(nx)\,dx = \cases{\pi & $k = n$ \cr 0 & $k \ne n$} $$ $$ \int_{-\pi}^\pi \cos(kx)\cos(nx)\,dx = \cases{\pi & $k = n$ \cr 0 & $k \ne n$} $$ } \list{ \namedListItem{$a_0$}{Integrujeme $f(x)$ od $-\pi$ do $\pi$: $$ \int_{-\pi}^\pi f(x)\,dx = {a_0 \over 2}\cdot2\pi + \sum_{n=1}^\infty\bigg( a_n\undernote{\int_{-\pi}^\pi \cos(nx)\,dx}{0} + b_n\undernote{\int_{-\pi}^\pi \sin(nx)\,dx}{0} \bigg) = a_0\pi $$ $$ \Longrightarrow a_0 = 1/\pi \int_{-\pi}^\pi f(x)\,dx $$ } \namedListItem{$a_m$, $m \ge 1$}{Vynásobíme $f(x)$ $\cos(mx)$ a integrujeme od $-\pi$ do $\pi$: $$ \int_{-\pi}^\pi f(x)\cos(mx)\,dx = a_0/2 \undernote{\int_{-\pi}^\pi\cos(mx)\,dx}{0} + $$ $$ + \sum_{n=1}^\infty\bigg( a_n\undernote{\int_{-\pi}^\pi\cos(nx)\cos(mx)\,dx}{a_m\pi} + b_n\undernote{\int_{-\pi}^\pi\sin(nx)\cos(mx)\,dx}{0} \bigg) $$ $$ \Longrightarrow a_m = 1/\pi \int_{-\pi}^\pi f(x)\cos(mx)\,dx $$ } \namedListItem{$b_m$, $m \ge 1$}{Obdobně jako $a_n$: $$ b_m = 1/\pi \int_{-\pi}^\pi f(x)\sin(mx)\,dx $$ } } } \definition{ Nechť $f$ je $2\pi$-periodická a Riemannovsky integrovatelná: $$ f \in P_{2\pi} \cap R([-\pi,\pi]) $$ Pak čísla $\{a_n\}_{n=0}^\infty$, $\{b_n\}_{n=0}^\infty$, kde $$ a_0 = 1/\pi \int_{-\pi}^\pi f(x)\,dx $$ $$ a_n = 1/\pi \int_{-\pi}^\pi f(x)\cos(nx)\,dx $$ $$ b_n = 1/\pi \int_{-\pi}^\pi f(x)\sin(nx)\,dx $$ nazýváme {\bf Fourierovými koeficienty funkce $f$}. Řadu $$ a_0/2 + \sum_{n=1}^\infty \left(a_n\cos(nx) + b_n\sin(nx)\right) $$ pak nazýváme {\bf Fourierovou řadou $f$}. \medskip Řekneme, že $f \in P_{2\pi}$ je {\bf po částech hladká} ($f \in c_{2\pi}$), jestliže existuje konečně mnoho bodů $$ -\pi \le x_1 < x_2 < \cdots < x_m < \pi $$ takových, že na intervalech $(x_i,x_{i+1})$ jsou $f$ i $f'$ spojité a v bodech $x_1,\ldots,x_m$ existují jednostranné limity funkcí $f$ i $f'$. $f$ je {\bf po částech spojitá}, jestliže existují body $x_0,\ldots,x_n \in [-\pi,\pi)$, tak, že $f$ je spojitá na $(x_j,x_{j+1})$ a má jednostranné limity $\lim_{y\to {x_j}_\pm} f(y)$. \shortnote{Pokud $f \in c_{2\pi}$, pak $f'$ je po částech spojitá.} } \penalty-1000 \theorem{1}{Besselova nerovnost}{ Nechť $f \in c_{2\pi}$, $a_n,b_n$ její Fourierovy koeficienty. Potom platí $$ a_0^2/2 + \sum_{n=1}^\infty \left(a_n^2 + b_n^2\right) \le 1/\pi \int_{-\pi}^\pi f(x)^2\,dx $$ \proof{ Označíme $$ s_n(x) := a_0/2 + \sum_{k=1}^n\left(a_k\cos(kx) + b_k\sin(kx)\right) $$ Zřejmě platí: $$ \int_{-\pi}^\pi (f(x)-s_n(x))^2\,dx \ge 0 $$ $$ 2\int_{-\pi}^\pi f(x)s_n(x)\,dx - \int_{-\pi}^\pi s_n(x)^2\,dx \le \int_{-\pi}^\pi f(x)^2\,dx $$ Přitom platí: $$ \int_{-\pi}^\pi f(x)s_n(x)\,dx = a_0/2\int_{-\pi}^\pi \undernote{f(x)}{\pi a_0}\,dx + $$ $$ + \sum_{k=1}^n \bigg( a_k\int_{-\pi}^\pi\undernote{f(x)\cos(kx)}{\pi a_k}\,dx + b_k\int_{-\pi}^\pi\undernote{f(x)\sin(kx)}{\pi b_k}\,dx + \bigg) = $$ $$ = \pi\bigg(a_0^2/2 + \sum_{k=1}^n (a_k+b_k)^2\bigg) $$ Analogicky platí (\DCV) také: $$ \int_{-\pi}^\pi s_n(x)^2\,dx = \pi\bigg(a_0^2/2 + \sum_{k=1}^n(a_k^2 + b_k^2)\bigg) $$ Tedy nutně: $$ \pi\bigg(a_0^2/2 + \sum_{k=1}^n \left(a_k^2 + b_k^2\right) \le \int_{-\pi}^\pi f(x)^2\,dx\bigg) $$ \qed } } \theorem{2}{Riemannovo--Lebesgueovo lemma}{ Nechť $f \in c_{2\pi}$, $a_n,b_n$ její Fourierovy koeficienty. Pak $$ \lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} b_n = 0 $$ a speciálně $$ \lim_{n\to\infty} 1/\pi\int_{-\pi}^\pi f(x)\cos(nx)\,dx = \lim_{n\to\infty} 1/\pi \int_{-\pi}^\pi fx)\sin(nx)\,dx = 0 \qquad \forall f \in c_{2\pi} $$ \shortproof{Přímý důsledek \ias{}{1}{}. \sqed} } \penalty-1000 \note{ Pro věty 1 a 2 je předpoklad $f \in c_{2\pi}$ zbytečně silný, stačí předpokládat, že $f^2 \in R[-\pi,\pi]$. Tedy máme: \theorem{1}{}{ $$ f \in P_{2\pi} \et f^2 \in R[-\pi,\pi] \Rightarrow $$ $$ a_0^2/2 + \sum_{n=1}^\infty \left(a_n^2 + b_n^2\right) \le 1/\pi\int_{-\pi}^{\pi} f(x)^2\,dx $$ } \theorem{2}{}{ $$ f \in P_{2\pi} \et f^2 \in R[-\pi,\pi] \Rightarrow $$ $$ \lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} b_n = 0 $$ } } \note{ Riemannovo--Lebesgueovo lemma ve skutečnosti tvrdí, že $$ f \in R[-\pi,\pi] \Rightarrow \lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} b_n = 0 $$ } \lemma{}{ $$ 1/2 + \cos x + \cos(2x) + \cdots + \cos(nx) = {\sin((n+1/2)x)\over 2 \sin x/2} \qquad x \ne 2k\pi $$ \shortproof{Jednoduše indukcí.} \impl{ $$ 1/\pi \int_0^\pi {\sin((n+1/2)t)\over 2\sin t/2}\,dt = 1/\pi \int_{-\pi}^0 {\sin((n+1/2)t)\over2\sin t/2}\,dt = 1/2 $$ } } \scpart{Značení:}{ Máme $f$, pak Fourierovu řadu značíme $$S(f,x) := a_0/2 + \sum_{n=1}^\infty (a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx))$$ $$S_n(f,x) := a_0/2 + \sum_{k=1}^n (a_k\cos(kx)+b_k\sin(kx))$$ Připomeňme si, že $$ a_n = 1/\pi \int_{-\pi}^\pi f(t)\cos(nt)\,dx $$ $$ b_n = 1/\pi \int_{-\pi}^\pi f(t)\sin(nt)\,dx $$ \penalty-100 $$ f(x+0) := \lim_{y\to0_+} f(x+y) $$ $$ f(x-0) := \lim_{y\to0_+} f(x-y) $$ Pro $f \in P_{2\pi}$ definuji \M{f^*(x) := {f(x+0) + f(x-0) \over 2}}. } \notes{ \list{ \listItem{$f$ spojitá v $x$ $\Rightarrow$ $f(x) = f^*(x)$} \listItem{$f$ má ``skok'' v $x$ $\Rightarrow$ $f^*(x)$ je aritmetickým průměrem limit zleva a zprava (bez ohledu na hodnotu).} } } \scpart{Nesmyslný vzorec:}{ $$ {f(x+0)\over2} = 1/\pi \int_0^\pi {f(x+0) \over 2\sin t/2} \sin ((n+1/2)t)\,dt $$ $$ {f(x-0)\over2} = 1/\pi \int_{-\pi}^0 {f(x-0) \over 2\sin t/2} \sin ((n+1/2)t)\,dt $$ } \theorem{3}{o bodové konvergenci Fourierovy řady}{ $$ f \in c_{2\pi} \Rightarrow S(f,x) = f^*(x)\qquad x \in \real $$ Tedy Fourierova řada po částech hladké funkce konverguje {\it bodově} na celém $\real$ k výrazu $$f^*(x) = {f(x+0) + f(x-0) \over 2}$$ \proof{ $$ \eqalign{ S_n(f,x) &= 1/\pi \int_{-\pi}^\pi f(t) \left\{1/2 + \sum_{k=1}^n(\cos(kt)\cos(kx) + \sin(kt)\sin(kx))\right\}\,dt\cr &= 1/\pi \int_{-\pi}^\pi f(t) \left\{1/2 + \sum_{k=1}^n\cos(k(t-x))\right\}\,dt \textnote{trigonometrie}\cr &= 1/\pi \int_{-\pi}^\pi f(x+t) \left\{1/2 + \sum_{k=1}^n\cos(kt)\right\}\,dt \textnote{substituce a $2\pi$-peridodicita}\cr &= 1/\pi \int_{-\pi}^\pi f(x+t) {\sin((n+1/2)t)\over2\sin t/2}\,dt \textnote{lemma}} $$ $$ S_n(f,x) - f^*(x) \becauseof{NV}{=} 1/\pi \int_{-\pi}^0 {f(x+t)-f(x-0)\over2\sin t/2}\sin((n+1/2)t)\,dt + $$ $$ + 1/\pi \int_0^\pi {f(x+t)-f(x+0)\over2\sin t/2}\sin((n+1/2)t)\,dt $$ Označíme $$ G(t) := \cases{\displaystyle{f(x+t) - f(x-0) \over 2\sin t/2} & $t \in [-\pi,0)$\cr 0 & $t = 0$\cr \displaystyle{f(x+t) - f(x+0) \over 2\sin t/2} & $t \in (0,\pi]$}$$ $$ \Rightarrow S_n(f,x) - f^*(x) = 1/\pi \int_{-\pi}^\pi G(t) \sin((n+1/2)t)\,dt $$ $$ = 1/\pi \int_{-\pi}^\pi \undernote{G(t) \sin(t/2)}{\textbox{po částech}\atop\textbox{spojitá?}} \cos(nt)\,dt + 1/\pi \int_{-\pi}^\pi \undernote{G(t)\cos(t/2)}{\textbox{po částech}\atop\textbox{spojitá?}} \sin(nt)\,dt $$ Chci dokázat, že $G$ je po částech spojitá. K tomu stačí dokázat existenci $G(0+0)$, $G(0-0)$. $$ G(0+0) = \lim_{t\to0_+} G(t) \becauseof{L'H ``$0\over0$''}{=} {\lim_{t\to0_+} f'(x+t) \over \lim_{t\to0_+} 2\cos(t/2)\cdot1/2} = f'(x+0) \textnote{víme, že existuje} $$ $$ G(0-0) = f'(x-0) $$ Tedy $G$ je po částech spojitá, tudíž také $G(t)\sin(t/2)$, $G(t)\cos(t/2)$ jsou po částech spojité. Tedy jejich druhá mocnina je $\in R[-\pi,\pi]$ a podle \ias{}{2}{} jejich Fourierovy koeficienty jdou k nule. $$ \lim_{n\to\infty} (S_n(f,x) - f^*(x)) = 0 $$ \qed } } \theorem{4}{o stejnoměrné konvergenci Fourierovy řady}{ $$ f \in c_{2\pi} \et \textbox{spojitá na $\real$} \Longrightarrow S(f,x) \conS f(x)\qquad x \in \real $$ \proof{ Protože $$ \sup_{x \in \real} |a_n\cos(nx) + b_n\sin(nx)| \le |a_n| + |b_n| $$ stačilo by dokázat, že $$ \sum_{n=1}^\infty (|a_n|+|b_n|) \textbox{konverguje} $$ neboť pak by tvrzení plynulo z \ref{Weistrass}ova kritéria. Víme, že $f'$ je definovaná (a spojitá) všude kromě konečně mnoha bodů v $[-\pi,\pi)$. Je tak po částech spojitá na $\real$, a tedy $$ (f')^2 \in R[-\pi,\pi] $$ Nechť $\alpha_n, \beta_n$ jsou Fourierovy koeficienty funkce $f'$, tedy $$ \alpha_n = 1/\pi \int_{-\pi}^\pi f'(x)\cos(nx)\,dx \becauseof{per partes}{=} \undernote{1/\pi [f(x)\cos(nx)]_{-\pi}^\pi}{0} - 1/\pi \int_{-\pi}^\pi f(x)(-n\sin(nx))\,dx $$ $$ = n/\pi \int_{-\pi}^\pi f(x)\sin(nx)\,dx = nb_n $$ a obdobně $$ \beta_n = -na_n $$ Z \ref{Bessel}ovy nerovnosti pro $f'$ máme $$ \sum_{n=1}^\infty (\alpha_n^2 + \beta_n^2) \le 1/\pi \int_{-\pi}^\pi f'(x)^2\,dx < \infty $$ Víme, že $$ \sum (\alpha n^2 + \beta n^2) < \infty\qquad \alpha_n = nb_n, \beta_n = -na_n $$ a chceme $$ \sum(|a_n| + |b_n|) < \infty $$ Tedy jest: $$ \sum_{n=1}^\infty (|a_n| + |b_n|) = \sum_{n=1}^\infty (|\alpha_n|/n + |\beta_n|/n) \becauseof{(na dluh)}{=} \sum_{n=1}^\infty |\alpha_n|/n + \sum_{n=1}^\infty |\beta_n|/n $$ Do hry konečně po mnoha měsících přichází dávná \ref{Cauchyova nerovnost}: $$ \le \left(\sum_{n=1}^\infty \alpha_n^2\right)^{1/2} \left(\sum_{n=1}^\infty 1/n^2\right)^{1/2} + \left(\sum_{n=1}^\infty \beta_n^2\right)^{1/2} \left(\sum_{n=1}^\infty 1/n^2\right)^{1/2} < \infty $$ \qed } } \theorem{5}{o lokálně stejnoměrné konvergenci Fourierovy řady}{ Nechť $f \in c_{2\pi}$, pak její Fourierova řada konverguje bodově k $f^*$. Tato konvergence je lokálně stejnoměrná na každém intervalu $(\alpha,\beta)$, na kterém je $f$ spojitá. \shortproof{Bez. \sqed} } \example{ $$ f(x) = \pi - x\qquad x \in [-\pi,\pi) $$ $2\pi$-periodické rozšíření: \M{f(x) = \pi - (x+2k\pi)\qquad x \in [(2k-1)\pi,(2k+1)\pi)} $$f \in c_{2\pi} \Rightarrow \undernote{s(f,x)}{0} \to f^*(x) = \cases{f(x) & $x \ne 2k\pi$ \cr \pi & $x = 2k\pi$}$$ \exercise{ $$ a_0 = 2\pi,\ a_n = 0,\ n \ge 1,\ b_n = {2(-1)^n\over n} $$ $$ S(f,x) = \pi + 2\sum_{n=1}^\infty {(-1)^n\over n} \sin (nx) $$ $$ = \pi - 2\sin x + \sin(2x) - 2/3\sin(3x) + \cdots $$ } } \penalty-1000 \theorem{6}{o derivování Fourierovy řady}{ Nechť $f \in P_{2\pi}$ a má Fourierovy koeficienty $\{a_n\}_{n=0}^\infty$, $\{b_n\}_{n=1}^\infty$. Dále nechť $$ \sum_{n=1}^\infty n(|a_n|+|b_n|) $$ konverguje. Potom $f \in c^1$ (tj. má spojitou derivaci) a řada $$ \sum_{n=1}^\infty n(\cos(nx)b_n - \sin(nx)a_n) \conSi{f'}{\real} $$ \proof{ $$ f_n(x) := a_n\cos(nx) + b_n\sin(nx) $$ $$ f_n'(x) = n(b_n\cos(nx)-a_n\sin(nx)) $$ $$ \sup_{x \in \real} |f_n'(x)| \le n(|a_n| + |b_n|) =: s_n $$ přičemž $\sum s_n < \infty$ (z předpokladu). Tedy dle \ref{Weistrass}ova kritéria $\sum_{n=1}^\infty f_n' \conSi{}{\real}$. $$ g:=\sum_{n=1}^\infty f_n'(x) $$ Navíc pro pevný bod $x=0$ platí $$ \left|\sum_{n=1}^\infty f_n(0)\right| = \left|\sum a_n\right| \le \sum|a_n| < \infty $$ Tedy dle věty o záměně sumy a derivace $\sum_{n=1}^\infty f_n \conSL f$, protože ale $f \in P_{2\pi}$, tak $\sum f_n \conSi{f}{\real}$ a navíc $f'=g$. \qed } } \note{ Je-li $f$ sudá, $b_n=0$ a $a_n = 2/\pi\int_0^\pi f(x)\cos(nx)\,dx$. Je-li $f$ lichá, $a_n=0$ a $b_n = 2/\pi\int_0^\pi f(x)\sin(nx)\,dx$. Fourierovy koeficienty se tedy krásně počítají, je-li funkce symetrická. } \bend