Luboš Pick

Matematická analýza II

Přepsal Petr Baudiš

v ak. roce 2004/2005

“Kdo chce kam, pomozme mu tam.”

◯^{c} 2004/2005 Luboš Pick, Petr Baudiš Verze 0.20050623/L:1.616. Tato verze není garantována, nemusí být kompletní a může obsahovat chyby. Aktuální verzi vždy najdete na http://math.or.cz/. Sazba v programu TEX.

Luboš Pick — Matematická analýza II Primitivní funkce —

Primitivní funkce

Primitivní funkci nazýváme také neurčitý integrálem či antiderivací. Jaké má uplatnění? Například fyzik chce zjistit, kde bude částice za půl hodiny, aby se na ni třeba šel

podívat. Biolog je vyzbrojen Petriho miskou, má bakterie, o nich ví, v jakém poměru se množí, ale zná jen ten poměr. Když položí na misku 40 bakterií a jde na večeři, chce vědět, kolik jich tam bude, až se ráno vrátí.

Tedy známe derivaci a chceme zjistit původní funkci.

Základní vlasnosti primitivní funkce

Definice:

Nechť f je definovaná na otevřeném intervalu I. Řekneme, že funkce F je primitivní funkcí k f na I, jestliže pro ∀x ∈ I platí F′(x) = f(x).

Příklad:

f(x) = x^{2}: \{ \begin{matrix}F (x) & = \frac{x^{3}}{3} \\ G(x) & = \frac{x^{3}}{3} + 1 \end{matrix} \} je primitivní k f.

VĚTA 1 (tvar primitivní funkce):

Nechť F, G jsou dvě primitivní funkce k funkci f na otevřeném intervalu I. Potom ∃ C ∈ ℝ tak, že

F (x) = G(x) + C ∀x ∈ I

DŮKAZ:

H(x) = F (x) − G(x) x ∈ I
H′(x) = F′(x) − G′(x) = f(x) − f(x) = 0 x ∈ I

Tedy je H na I konstantní. Q.E.D.

Poznámky:

(i) Ne každá funkce má primitivní funkci. (Např. f(x) = signx na ℝ nemá primitivní funkci.) Mějme P = {f, které mají primitivní funkci}.

(ii) f spojitá ⇒ f má primitivní funkci. (Důkaz viz později — Riemannův integrál.) f má primitivní funkci ⇒ f je Darbouxovská. (Důkaz brzy.)

(iii) F (x) = \{ \begin{matrix}x^{2} sin(1/x^{2}) & x ≠ 0 \\ 0 & x = 0 \end{matrix}

Potom F′ existuje na ℝ, ale není spojitá. Tedy pro f = F′ platí f ∈ P − C (f má prim. funkci, ale není spojitá).

(iv) Jestliže f má primitivní funkci F na I, potom F je spojitá na I, neboť F má všude na I vlastní derivaci.

Luboš Pick — Matematická analýza II Primitivní funkce — Základní vlasnosti primitivní funkce

Značení:

∫ f(x) dx = množina všech funkcí primitivních k f na I

x ∈ I : ∫ f(x) dx = F (x) ⟺ F′ = f na I

Píšeme:

∫ f(x) dx = F (x) + C x ∈ I
\underbrace{∫}_{znak integrálu} \underbrace{f(x)}_{integrant} \underbrace{dx}_{diferenciál (označuje integrační proměnnou)} = \underbrace{F (x)}_{reprezentant všech integračních funkcí} + \underbrace{C}_{aditivní konstanta_{∈ℝ}}

VĚTA 2 (linearita primitivní funkce):

Nechť f má primitivní funkci F na otevřeném intervalu I, g má primitivní funkci G na I, nechť α, β ∈ ℝ. Potom (αF + βG) je primitivní funkcí k funkci (αf + βg).

DŮKAZ:

(αF + βG)′ = αF′ + βG′ = αf + βg

Q.E.D.

Důsledek:

∫ f(ax + b) dx = \frac{1}{a}F (ax + b) + C a ≠ 0

Příklady:

(i) ∫ x^{α} dx = \frac{x^{α+1}}{α + 1} + C  \begin{aligned}α ∈ ℕ ∪ \{0\} : x & ∈ ℝ \\ α ∈ ℤ, α < −1 : x & ∈ (−∞, 0) ∪ (0, ∞) \\ α ∈ ℝ \ ℤ : x & ∈ (0, ∞) \end{aligned}
(ii) ∫ \frac{1}{x} dx = log|x| + C  x ∈ (−∞, 0) ∪ (0, ∞)
(iii) ∫ e^{x} dx = e^{x} + C  x ∈ ℝ
(iv) ∫ sinx dx = − cosx + C  x ∈ ℝ
(v) ∫ cosx dx = sinx + C  x ∈ ℝ
(vi) ∫ \frac{1}{cos^{2} x} dx = tgx + C  x ∈ (−π/2 + kπ, π/2 + kπ), k ∈ ℤ
(vii) ∫ \frac{1}{sin^{2} x} dx = cotgx + C  x ∈ (0 + kπ, π + kπ), k ∈ ℤ
(viii) ∫ \frac{1}{1 + x^{2}} dx = arctgx + C  x ∈ ℝ

Luboš Pick — Matematická analýza II Primitivní funkce — Základní vlasnosti primitivní funkce

(ix) ∫ \frac{1}{\sqrt{1 − x^{2}}} dx = arcsinx + C  x ∈ (−1, 1)
(x) ∫ \frac{−1}{\sqrt{1 − x^{2}}} dx = arccosx + C  x ∈ (−1, 1)

VĚTA 3 (vztah spojitosti a existence primitivní funkce):

f spojitá na I ⇒ f má primitivní funkci na I. Důkaz: časem.

VĚTA 4 (vztah darbouxovskosti a existence primitivní funkce):

Nechť f má primitivní funkci na I. Potom f je darbouxovská na I.

Pozn.: Funkce je darbouxovská, pokud nabývá na intervalu všech mezihodnot.

DŮKAZ:

Nechť y_{1} < y_{2}, y_{1}, y_{2} ∈ f(I). Navíc nechť f(x_{1}) = y_{1}, f(x_{2}) = y_{2}, x_{1}, x_{2} ∈ I. Bez újmy na obecnosti předpokládejme, že x_{1} < x_{2}. Nechť z ∈ (y_{1}, y_{2}). Chci dokázat existenci x^{∗} ∈ (x_{1}, x_{2}) takového, že f(x^{∗}) = z.

Nechť F je primitivní k f. Trik: definuji funkci

H(x) := F (x) − zx x ∈ I
H′(x) = f(x) − z x ∈ I

Tedy chci dokázat, že H′(x) = 0 pro nějaké x. To je náhodou druhá podmínka existence extrému.

H je spojitá, neboť má na I vlastní derivaci. Tedy je H spojitá na [x_{1}, x_{2}], tedy H nabývá svého minima na [x_{1}, x_{2}].

H′(x) = f(x_{1}) − z = y_{1} − z < 0

Tedy H nemá minimum v x_{1}.

H′(x) = f(x_{2}) − z = y_{2} − z > 0

Tedy H nemá minimum v x_{2}.

To znamená, že H má minimum v nějakém bodě x^{∗} ∈ (x_{1}, x_{2}).

Víme, že H má vlastní derivaci všude v (x_{1}, x_{2}) ⇒ H′(x^{∗}) = 0 ⇒ f(x^{∗})−z = 0 ⇒ f(x^{∗}) = z. Q.E.D.

Získávání primitivních funkcí

Jak získat primitivní funkce k dalším funkcím?

(i) Z linearity:

• ∫ cos(2x) dx = \frac{1}{2} sin(2x) + C

• Obecně: ∫ f(x) dx = F (x) + C x ∈ ℝ \ {0} ,

pak ∫ f(ax) dx = \frac{F (ax)}{a} + C .

• ∫ a^{x} dx = ∫ e^{x log a} dx = \frac{1}{loga} ∫ loga · e^{x log a} dx = \frac{a^{x}}{loga} + C a ≠ 0, a ≠ 1, a > 0

(ii) Z trigonometrických vzorců:

• ∫ cos^{2} x dx = ∫ \frac{1 + cos(2x)}{2} dx = ∫ \frac{1}{2} dx + ∫ \frac{cos(2x)}{2} dx = \frac{x}{2} + \frac{sin(2x)}{4} + C

• ∫ sin^{2} dx = ∫ \frac{1 − cos2x}{2} dx atd.

(iii) Z obecných metod integrace.

Stručný průvodce tabulkovými hodnotami

∫ \frac{1}{cos^{2} x}dx  tgx

∫ \frac{1}{1 + x^{2}} dx  arctgx

∫ z^{α}dx  \frac{z^{α+1}}{α + 1}

T-O-D-O: Více, Ježíšku, více!

VĚTA 5 (o substituci):

(i) Nechť F je primitivní k f na (a, b). Nechť φ je definovaná na (α, β), φ: (a, b) → (α, β) (s hodnotami v (α, β)). Navíc nechť existuje φ′(t) vlastní pro každé t ∈ (α, β). Potom

∫ f(φ(t)) · φ′(t) dt = F (φ(t)) + C t ∈ (α, β)

(ii) Nechť φ má nenulovou vlastní derivaci na intervalu (α, β), φ((α, β)) = (a, b) (tedy se zobrazuje na celý interval). Nechť

∫ f(φ(t)) · φ′(t) dt = G(t) + C t ∈ (α, β)

Potom

∫ f(x) dx = G(φ^{−1}(x)) + C x ∈ (a, b)

DŮKAZ:

(i) F (φ(t))′ =^{VODSF} f(φ(t)) · φ′(t)

(ii) φ′ je nenulová a má primitivní funkci ⇒ φ′ je darbouxovská ⇒ φ nemění znaménko na I ⇒ φ je ryze monotónní. Tedy:

G(φ^{−1}(x))′ = f(φ^{−1}(x)) · (φ^{−1}(x))′ =^{VODIF} G′(φ^{−1}(x)) · \frac{1}{φ′(φ^{−1}(x))} =

Luboš Pick — Matematická analýza II Primitivní funkce — Základní vlasnosti primitivní funkce

= f(φ(φ^{−1}(x)) · φ′(φ^{−1}(x)) · \frac{1}{φ′(φ^{−1}(x))} = f(x)

Q.E.D.

Příklady na substituci:

(i) F′ = f na (a, b). φ na (α, β), existuje φ′ vlastní na (α, β), φ(α, β) → (a, b). Pak

∫ f(φ(t))φ′(t) dt = F (φ(t)) + C t ∈ (α, β)

Příklady:

(1) ∫ \frac{arctgx}{1 + x^{2}} dx  x ∈ (−∞, ∞)

\begin{matrix}t ∈ (−∞, ∞) & x ∈ (−∞, ∞) \\ \begin{aligned}φ(t) & = arctg(t) \\ φ′(t) & = \frac{1}{1 + t^{2}} \end{aligned} & \begin{aligned}f(x) & = x \\ F (x) & = \frac{x^{2}}{2} + C \end{aligned} \end{matrix}

⇒ ∫ \frac{arctgx}{1 + x^{2}} dx = \frac{(arctgx)^{2}}{2} + C

Zrychlený zápis:

\begin{aligned}y & = arctgx \\ dy & = \frac{dx}{1 + x^{2}} \end{aligned}

∫ \frac{arctgx}{1 + x^{2}} dx = ∫ y dy = y^{2}/2 + C = \frac{(arctgx)^{2}}{2} + C

Pozor, u zrychleného zápisu je třeba ověřit předpoklady!

(2) ∫ \frac{1}{x logx} dx  x ∈ (1, ∞)

\begin{aligned}y & = logx \\ dy & = \frac{dx}{x} \end{aligned}

∫ \frac{1}{x logx} dx = ∫ \frac{dy}{y} = logy + C = log(logx) + C

(∃ y′(x) vlastní pro x ∈ (1, ∞))
(3) ∫ \frac{e^{arccos x}}{\sqrt{1 − x^{2}}} dx  x ∈ (−1, 1)

(arccos′ x = \frac{−1}{\sqrt{1 − x^{2}}} ) = − ∫ \frac{e^{arccos x}}{−\sqrt{1 − x^{2}}} dx

\begin{aligned}y & = arccosx \\ dy & = −\frac{dx}{\sqrt{1 − x^{2}}} \end{aligned}

− ∫ \frac{e^{arccos x}}{−\sqrt{1 − x^{2}}} dx = − ∫ e^{y} dy = −e^{y} + C = −e^{arccos x} + C

(∃ y′(x) vlastní pro x ∈ (−1, 1))

(4) ∫ sin^{4} x cos^{5} x dx

\begin{aligned}y & = sinx \\ dy & = cosx dx \end{aligned}

∫ sin^{4} x cos^{5} x dx = ∫ sin^{4} x cos^{4} x cosx dx

= ∫ sin^{4} x(1 − sin^{2} x)^{2} cosx dx

= ∫ y^{4}(1 − y^{2})^{2} dy

= ∫ y^{4}(1 − 2y^{2} + y^{4}) dy

= ∫ (y^{4} − 2y^{6} + y^{8}) dy

= \frac{y^{5}}{5} − \frac{2}{7}y^{7} + \frac{y^{9}}{9} + C

= \frac{sin^{5} x}{5} − \frac{2}{7} sin^{7} x + \frac{sin^{9} x}{9} + C

(ii) φ : (α, β) → (a, b), tedy φ((α, β)) = (a, b). Existuje φ′ vlastní na (α, β), φ′(t) ≠ 0 na (α, β).

∫ f(φ(t))φ′(t) dt = G(t) + C t ∈ (α, β)

Pak

∫ f(x) dx = G(φ^{−1}(x)) + C x ∈ (a, b)

Příklady:

(1) ∫ \sqrt{9 − x^{2}} dx  x ∈ (−3, 3)

Nechť x = 3 sint, (a, b) = (−3, 3).

φ(t) = 3 sint, φ′(t) = 3 cost (α, β) = (−π/2, π/2)

φ((α, β)) = 3 sin((−π/2, π/s)) = (−3, 3)

φ(t) = 3 sint
φ^{−1}(t) = arcsin(x/3)

∫ f(φ(t))φ′(t) dt = ∫ \sqrt{9 − 9 sin^{2} t} · 3 cost dt

= 9 ∫ \sqrt{1 − sin^{2} t} · cost dt

{cost > 0 \atop =} 9 ∫ cos^{2}t dt

= 9 ∫ \frac{1 + cos(2t)}{2} dt

= 9 (\frac{t}{2} + \frac{sin(2t)}{4}) + C

= 9 (\frac{arcsin(x/3)}{2} + \frac{sin(2 arcsin(x/3))}{4}) + C

x ∈ (−3, 3)

Zkrácený zápis:

∫ \sqrt{9 − x^{2}} dx
x = 3 sint
dx = 3 cost dt
t = arcsinx/3
∫ \sqrt{9 − x^{2}} dx = ∫ \sqrt{9 − 9 sin^{2} t} · 3 cost dt

= 9 (\frac{t}{2} + \frac{sin(2t)}{4}) + C

= 9 (\frac{arcsin(x/3)}{2} + \frac{sin(2 arcsin(x/3))}{4}) + C

(iii) Substituce vs. lepení — kdy je substituce špatný nápad: ∫ \frac{dt}{1 + sin^{2} t} . Tato funkce je definovaná a spojitá na ℝ, tedy má primitivní funkci na ℝ. Substituce: x = tgt pro t ∈ (−π/2, π/2) nebo t ∈ (−π/2 + kπ, π/2 + kπ), k ∈ ℤ.

t = arctgx ⟹ dt = \frac{dx}{1 + x^{2}}

1 + tg^{2} t = \frac{1}{cos^{2} t} ⟹ cos^{2} t = \frac{1}{1 + x^{2}}

⟹ sin^{2} t = 1 − cos^{2} t = 1 − \frac{1}{1 + x^{2}} = \frac{x^{2}}{1 + x^{2}}

Tedy:

∫ \frac{dt}{1 + sin^{2} t} = ∫ \frac{1}{1 + \frac{x^{2}}{1+x^{2}}} \frac{dx}{1 + x^{2}} = ∫ \frac{dx}{1 + 2x^{2}} =

= ∫ \frac{dx}{1 + (\sqrt{2}x)^{2}} = \begin{matrix}arctg & (\sqrt{2}x) \\ √ & \overline{2} \end{matrix} + C

Platí tedy:

∫ \frac{dt}{1 + sin^{2} t} = \frac{1}{\sqrt{2}} arctg(\sqrt{2}x) + C =

= \frac{1}{\sqrt{2}} arctg(\sqrt{2}tgt) + C t ∈ (−π/2, π/2)

Nebo můžeme říci:

∫ \frac{dt}{1 + sin^{2} t} = \frac{1}{\sqrt{2}} arctg(\sqrt{2}tgt) + C t ∈ (−π/2 + kπ, π/2 + kπ)

Máme problém — funkce je hrubě nespojitá, tedy to nebude hezká primitivní funkce. Použijeme proto tzv. mechanismus lepení — pospojuji jednotlivé kousky funkce tím, že je posuneme, aby na sebe hezky navazovaly, a limitami dodefinujeme v nedefinovaných bodech.

Na (−π/2, π/2) zvolím c_{0} = 0, tedy F_{0}(t) = \begin{matrix}arctg & (\sqrt{2}tgt) \\ √ & \overline{2} \end{matrix} .

Na (π/2, 3π/2) zvolím c_{1} tak, aby lim_{t→π/2_{−}} F_{0}(t) = lim_{t→π/2+} F_{0}(t) .

lim_{t→π/2_{−}} F_{0}(t) = lim_{t→π/2_{−}} \begin{matrix}arctg & (\sqrt{2}tgt) \\ √ & \overline{2} \end{matrix} = \frac{π}{2\sqrt{2}}

lim_{t→π/2_{+}} F_{0}(t) = lim_{t→π/2_{+}} \begin{matrix}arctg & (\sqrt{2}tgt) \\ √ & \overline{2} \end{matrix} + c_{1} = c_{1} + \frac{π}{2\sqrt{2}}

Tedy c_{1} = π/\sqrt{2}. Obecně pak:

F_{0}(t) = \begin{matrix}arctg & (\sqrt{2}tgt) \\ √ & \overline{2} \end{matrix} + kπ/\sqrt{2} t ∈ (−π/2 + kπ, π/2 + kπ), k ∈ ℤ

Tedy c_{k} = kπ/\sqrt{2} pro k ∈ ℤ. Dodefinujeme F_{0} v π/2 + kπ hodnotou

lim_{t→π/2+kπ} F_{0}(t) = \frac{π}{2\sqrt{2}} + \frac{kπ}{\sqrt{2}}

Definujme tedy:

F_{0}(t) := \{ \begin{matrix}\begin{matrix}arctg & (\sqrt{2}tgt) \\ √ & \overline{2} \end{matrix} + kπ/\sqrt{2} & t ∈ (−π/2 + kπ, π/2 + kπ) pro k ∈ ℤ \\ \frac{π}{2\sqrt{2}} + \frac{kπ}{\sqrt{2}} & pro t = π/2 + kπ pro k ∈ ℤ \end{matrix}

Potom:

∫ \frac{dt}{1 + sin^{2} t} = F_{0}(t) + C t ∈ ℝ, C ∈ ℝ

Derivace součinu: (F G)′ = F′G + G′F

VĚTA 6 (integrace per partes):

Nechť I je otevřený interval a nechť f, g jsou spojité na I. Nechť f má primitivní funkci F a g má primitivní funkci G na I. Potom platí:

∫ g(x)F (x) dx = F (x)G(x) − ∫ G(x)f(x) dx x ∈ I

DŮKAZ:

(G(x)F (x))′ = g(x)F (x) + G(x)f(x)
⇒ g(x)F (x) = (G(x)F (x))′ − G(x)f(x)
⇒ ∫ g(x)F (x) dx = G(x)F (x) − ∫ G(x)f(x) dx

(Ze spojitosti integrály existují.) Příklad:

∫ sinx · x dx x ∈ ℝ

\begin{matrix}F (x) = x & g(x) = sinx \\ f(x) = 1 & G(x) = − cosx \end{matrix}

∫ sinx · x dx = −x cosx − ∫ 1 · (− cosx) dx =

= −x cosx + ∫ cosx dx = sinx − x cosx + C

Příklad (skrytý součin):

∫ logx dx = ∫ 1 logx dx x ∈ (0, ∞)

\begin{matrix}F (x) = logx & g(x) = 1 \\ f(x) = 1/x & G(x) = x \end{matrix}

∫ 1 logx dx = x logx − ∫ x\frac{1}{x} dx = x logx − x + C = x(logx − x) + C

Příklad (vícenásobné per partes):

∫ e^{x} sinx dx = I

\begin{matrix}F (x) = sinx & g(x) = e^{x} \\ f(x) = cosx & G(x) = e^{x} \end{matrix}

⇒ I = e^{x} sinx − ∫ e^{x} cosx dx

\begin{matrix}F (x) = cosx & g(x) = e^{x} \\ f(x) = − sinx & G(x) = e^{x} \end{matrix}

⇒ I = e^{x} sinx − (e^{x} cosx − ∫ e^{x}(− sinx) dx) =
= e^{x} sinx − e^{x} cosx − ∫ e^{x} sinx dx = e^{x}(sinx − cosx) − I
⟹  2I = e^{x}(sinx − cosx) + C I = e^{x}(sinx − cosx)/2 + C  x ∈ ℝ

Příklad (formule ponížení)

I_{n} := ∫ \frac{dx}{(1 + x^{2})^{n}} n ∈ ℕ ∪ \{0\}

I_{0} = x + c

I_{1} = arctgx + c x ∈ ℝ

I_{n+1} = ∫ \frac{dx}{(1 + x^{2})^{n+1}} = ∫ \frac{1 + x^{2} − x^{2}}{(1 + x^{2})^{n+1}} =

= ∫ \frac{dx}{(1 + x^{2})^{n}} − \frac{1}{2} ∫ \frac{2x}{(1 + x^{2})^{n+1}} x dx =

\begin{matrix}F (x) = x & g(x) = \frac{2x}{(1 + x^{2})^{n+1}} \\ f(x) = 1 & G(x) = \frac{−1}{n(1 + x^{2})^{n}} \end{matrix}

= I_{n} + \frac{x}{2n(1 + x^{2})^{n}} − \frac{1}{2n} ∫ \frac{dx}{(1 + x^{2})^{n}} =

= \frac{x}{2n(1 + x^{2})^{n}} + \frac{2n − 1}{2n}I_{n}

Např. pro n = 1:

I_{2} = ∫ \frac{dx}{(1 + x^{2})^{2}} = \frac{x}{2(1 + x^{2})} + \frac{arctgx}{2} + c

Integrace racionálních funkcí

Mějme racionální funkci R(x) = P (x)/Q(x), kde P, Q jsou polynomy.

Příklad: ∫ \frac{x^{4} + 1}{x^{3} + 5x^{2} + 6x − 7} dx = ?

Postup při integraci racionálních funkcí:

(i) Je třeba, aby degP < degQ.

P (x)/Q(x) = P_{1}(x) + P_{2}(x)/Q(x) degP_{2} < degQ

Toho dosáhneme dělením polynomů.

Také jste už zapomněli, jak se dělí mnohočleny? Mějme

(x^{5} + x^{4}) : (2x^{3} + x^{2})

Z Q vezmeme nejvyšší mocninu q = 2x^{3}, z P taktéž: p = x^{5}. Pak provedeme

r = p/q = \frac{x^{5}}{2x^{3}}

P := P − rQ

a to opakujeme, dokud degP ≥ degQ. K výslednému R (součtu přes všechna r) pak přičteme zbytek po dělení P/Q.

Ukažme si celý postup na rozvleklém příkladu:

P := x^{5} + x^{4}
Q := 2x^{3} + x^{2}  R = 0
r = \frac{x^{5}}{2x^{3}} = x^{2}/2  R = x^{2}/2
P := x^{5} + x^{4} − x^{2}/2 · (2x^{3} + x^{2}) = x^{5} + x^{4} − x^{5} − x^{4}/2 = x^{4}/2
r = \frac{x^{4}/2}{2x^{3}} = x/4  R = x^{2}/2 + x/4
P := x^{4}/2 − x/4 · (2x^{3} + x^{2}) = x^{4}/2 − x^{4}/2 − x^{3}/4 = −x^{3}/4
r = \frac{−x^{3}/4}{2x^{3}} = 1/8  R = x^{2}/2 + x/4 − 1/8
P := −x^{3}/4 + 1/8 · (2x^{3} + x^{2}) = −x^{3}/4 + x^{3}/4 + x^{2}/8 = x^{2}/8

R = x^{2}/2 + x/4 − 1/8 + \frac{x^{2}/8}{2x^{3} + x^{2}}

(ii) Rozklad Q na kořenové činitele a irreducibilní kvadratické členy.

Základní věta algebry: Každý komplexní polynom stupně n má právě n kořenů (k-násobné kořeny počítáme k-krát — ale v ℂ). Pro reálný polynom věta neplatí (např. x^{2}+1 nemá kořeny).

Pozn.: Polynomy stupně dva jsou nejvyšší irreducibilní, neboť z ∈ ℂ je kořenem P s reálnými koeficienty ⟹ \overline{z} je kořen (⟨cvičení⟩). Tedy pro z = α+βi platí (x−z)(x−\overline{z}) = x^{2}−(z+\overline{z})x+z\overline{z} (z + \overline{z} i z\overline{z} ∈ ℝ).

Q(x) = α(x − x_{1})^{k_{1}} ⋯ (x − x_{2})^{k_{l}}(x + α_{1}x + β_{1})^{s_{1}} ⋯ (x^{2} + α_{n}x + β_{n})^{s_{n}}

(iii) Rozklad racionální funkce na parciální zlomky.

\frac{P (x)}{Q(x)} = \frac{A}{x − x_{1}} + \frac{B}{(x − x_{1})^{2}} + ⋯ + (\frac{Cx + D}{x^{2} + αx + β} )^{2} (apod.)

A, B, C, D, … jsou neurčité koeficienty, které je třeba spočítat (např. pomocí tzv. cover-up rule nebo fyzikální metody — probírá se na cvičení).

Porovnáváme koeficienty dvou polynomů.

(iv) Integrace parciálních zlomků.

Na (−∞, x_{1}) nebo na (x_{1}, +∞).

∫ \frac{1}{(x − x_{1})^{k}} dx = \{ \begin{matrix}\frac{−1}{k^{−1}} \frac{1}{(x − x_{1})^{k−1}} + C & k ≥ 2 \\ log|x − x_{1}| + C & k = 1 \end{matrix}

k ∈ ℕ : ∫ \frac{Cx + D}{(x^{2} + αx + β) ^{k}} dx irreducibilní ⟹ β > α^{2}/4

= \frac{C}{2} ∫ \frac{2x + α − α + 2D/C}{(x^{2} + αx + β) ^{k}} dx = \frac{C}{2} \underbrace{∫ \frac{2x + α}{(x^{2} + αx + β) ^{k}} dx}_{I_{1}}+ (D − \frac{αC}{2}) \underbrace{∫ \frac{dx}{(x^{2} + αx + β) ^{k}}}_{I_{2}}

(Konstanty jsou na vás.)

I_{1} = \{ \begin{matrix}\frac{−1}{k^{−1}} (x^{2} + αx + β)^{−k+1} + C & pro k ≥ 2 \\ log(x^{2} + αx + β) + C & k = 1 \end{matrix} (pro x ∈ ℝ)

I_{2} : úprava na dvojmoc dvojčlenu: x^{2} + αx + β = (x + α/2) ^{2} + \underbrace{(β − α^{2}/4)}_{>0}

I_{2} = ∫ \frac{dx}{(x + α/2) ^{2} + (β − α^{2}/4)^{k}} = \frac{1}{(β − α^{2}/4)^{k}} · ∫ \frac{dx}{((\frac{x+α/2}{\sqrt{β−α^{2} /4}})^{2} + 1) ^{k}}

Zvolím substituci:

t = \frac{x + α/2}{\sqrt{β − α^{2}/4}}

∫ \frac{dt}{(t^{2} + 1) ^{k}} umíme

Integrace trigonometrických funkcí

Polynom: P (x) = ∑_{j=0}^{n}a_{j}x^{j}, x ∈ ℝ, n ∈ ℕ, a_{j} ∈ ℝ, a_{n} ≠ 0

Polynom dvou proměnných: P (x, y) = ∑_{i,j=0}^{n} a_{ij}x^{i}y^{j}, a_{ij} ∈ ℝ

Příklad: x^{3} + 2y^{3} − 3xy^{2} + 14x − 15y^{2} − 7 Racionální funkce dvou proměnných: R(x, y) = P (x, y)/Q(x, y) Zajímá nás integrace funkcí tvaru R(sinx, cosx). Např.:

\frac{sin^{2} x cosx − 4 sin^{2} x}{sin^{4} x − 4 sin^{2} x cosx − cosx + 1}

Použijeme substituci:

(i) t = sinx , je-li R “lichá v cosinech”, tj. R(x, −y) = −R(x, y). (ii) t = cosx , je-li R “lichá v sinech”, tj. R(−x, y) = −R(x, y). (iii) t = tgx , je-li R “sudá v obou”, tj. R(−x, −y) = R(x, y). (iv) t = tg(x/2) (dá se použít kdykoliv, ale vždy vede na racionální funkci).

Luboš Pick — Matematická analýza II Určitý integrál —

Určitý integrál

Určitý integrál řeší tzv. “problém plochy” (“area problem”), kdy nás zajímá plocha pod grafem dané funkce v určitých mezích. Tento problém řešili již staří řekové, Eudoxos publikoval tzv. metodu vyčerpávání (exhaust method), kdy se plocha počítá pomocí obdélníků a lichoběžníků. To je i podstata Riemannova integrálu.

Riemannův integrál

Definice:

Konečnou posloupnost bodů x_{0} < x_{1} < ⋯ < x_{n} nazveme dělením intervalu [a, b], kde −∞ < a < b < ∞, jestliže a = x_{0} < x_{1} < ⋯ < x_{n} = b. Značíme D = {x_{j}}_{j=0}^{n} . Řekneme, že dělení D′ zjemňuje D, jestliže každý bod dělení D je také bodem dělení D′.

To je zajímavé, neboť náhle máme mezi děleními určité uspořádání. Ale pozor, navzájem můžeme porovnávat pouze některá dělení! Neplatí tedy dichotomie.

Nechť f je omezená funkce na [a, b] a D = {x_{j}}_{j=0}^{n} je dělení [a, b]. Položme

s(f, D) = ∑_{j=1}^{n}inf{f(x) : x ∈ [x_{j−1}, x_{j}]} · (x_{j} − x_{j−1})

S(f, D) = ∑_{j=1}^{n}sup{f(x) : x ∈ [x_{j−1}, x_{j}]} · (x_{j} − x_{j−1})

Čísla s(f, D), S(f, D) nazýváme dolním a horním součtem funkce f přes [a, b] vzhledem k D. Mějme:

(R) ∫ b ; \underline{a} f(x) dx =^{def} sup_{D} s(f, D)

(R) ∫ \underline{b} ; a f(x) dx =^{def} inf_{D} S(f, D)

Tyto čísla nazveme dolním a horním Riemannovým integrálem funkce f přes interval [a, b]. Pro ilustraci viz ⟨diagram AII-1⟩.

Příklad:

Dirichletova funkce D(x) = \{ \begin{matrix}1 & x ∈ ℚ \\ 0 & x ∉ ℚ \end{matrix}

Potom:

(R) ∫ 1 \underline{0} D(x) dx = 0 ∀ [x_{j−1}, x_{j}], kde inf D(x) = 0

(R) ∫ \underline{1} 0 D(x) dx = 1

Definice:

Řekneme, že omezená funkce f má Riemannův integrál přes interval [a, b], jestliže

(R) ∫ b ; \underline{a} f(x) dx = (R) ∫ \underline{b} ; a f(x) dx

(Tedy D nemá Riemannův integrál.)

Luboš Pick — Matematická analýza II Určitý integrál — Riemannův integrál

Příklad:

Riemannova funkce R(x) = \{ \begin{matrix}0 & x ∈ ℝ \ ℚ \\ 1/q & x = p/q, p ∈ ℤ, q ∈ ℕ \end{matrix}

Pak (R) ∫ \underline{1} 0 R(x) dx = 0 (⟨cvičení⟩).

LEMMA: f buď omezená na [a, b], D, D′ dělení [a, b], D′ zjemňuje D. Potom:

(i) s(f, D) ≤ s(f, D′) ≤ S(f, D′) ≤ S(f, D) (ii) D_{1}, D_{2} nechť jsou libovolná dělení [a, b], pak s(f, D_{1}) ≤ S(f, D_{2}). DŮKAZ:

(i) Stačí pro případy D = {x_{0}, x_{1}, …, x_{j−1}, x_{j}, …, x_{n}} (n + 1 bodů) D = {x_{0}, x_{1}, …, x_{j−1}, z, x_{j}, …, x_{n}} (n + 2 bodů)

Pak (podle obrázku ⟨diagram AII-2⟩):

(1) inf{f(x) : x ∈ [x_{j−1}, x_{j}]} ≤ inf{f(x) : x ∈ [x_{j−1}, z]}
(2) inf{f(x) : x ∈ [x_{j−1}, x_{j}]} ≤ inf{f(x) : x ∈ [z, x_{j}]}

Vezměme (1) · (z − x_{j−1}) + (2) · (x_{j} − z) , a máme:

inf{f(x) : x ∈ [x_{j−1}, x_{j}]} · (x_{j} − x_{j−1}) ≤ součet

⟹ s(f, D) ≤ s(f, D′)

(analogicky S(f, D) ≥ S(f, D′)).

Zbývající nerovnost je zřejmá (inf ≤ sup). (ii) D_{1}, D_{2} dáno, vezmeme D jako společné zjemnění D_{1} i D_{2}. Potom:

s(f, D_{1}) ≤^{(i)} s(f, D) ≤^{triv.} S(f, D) ≤^{(i)} S(f, D_{2})

⟹ s(f, D_{1}) ≤ S(f, D_{2})

Q.E.D.

Důsledek:

f buď omezená na [a, b], m = inf_{[a,b]}f, M = sup_{[a,b]}f, potom:

m(b − a) ≤ (R) ∫ b ; \underline{a} f(x) dx ≤ (R) ∫ \underline{b} ; a f(x) dx ≤ M(b − a)

Definice:

Nechť D je dělení intervalu [a, b]. Normou dělení D nazýváme číslo

∥D∥ =^{def} max_{j=1,...,n} (x_{j} − x_{j−1})

Luboš Pick — Matematická analýza II Určitý integrál — Riemannův integrál

VĚTA 1 (o tvaru horního a dolního Riemannova integrálu):

Nechť f je omezená funkce na [a, b] a nechť {D_{n}}_{n=1}^{∞} je nekonečná posloupnost dělení [a, b]. Navíc nechť lim_{n→∞} ∥D_{n}∥ = 0. Potom:

(R) ∫ b ; \underline{a} f(x) dx = sup_{n} s(f, D_{n})

(R) ∫ \underline{b} ; a f(x) dx = inf_{n} S(f, D_{n})

DŮKAZ:

Zvolíme dělení D a ε > 0. Stačí dokázat, že ∃ n_{0} ∈ ℕ takové, že s(f, D_{n_{0}}) > s(f, D) − ε. Pak totiž pro ∀ε > 0 ∃ n_{0} ∈ ℕ takové, že

sup_{D′} s(f, D′) ≥ sup_{n} s(f, D_{n}) ≥ s(f, D) − ε

Máme pevně zvolené D a ε. Nechť

K = sup_{x∈[a,b]}|f(x)|

Zvolíme n_{0} tak, aby

∥D_{n_{0}}∥ < \frac{ε}{K · #D}

kde #D je počet intervalů v D. Položím

P = D_{n_{0}} ∪ D

P tedy zjemňuje D, proto

s(f, D) ≤ s(f, P)

Nazvěme I_{1} intervaly takové, které neobsahují body D, a I_{2} intervaly takové, které obsahují alespoň jeden bod z D.

s(f, P) = ∑_{I_{1} ∈P}(inf_{I_{1}} f) · |I| + ∑_{I_{2} ∈P}(inf_{I_{2}} f) · |I|

≤ s(f, D_{n_{0}}) + K · ∥D_{n_{0}}∥ · #D
< s(f, D_{n_{0}}) + ε

Q.E.D.

Příklad:

(R) ∫_{0}^{2} x^{2} dx

Volíme D_{n} = {j/n}_{j=0}^{2n} (tedy nejdříve dělím na poloviny, pak na čtvrtiny atd.). Pak

∥D_{n}∥ = 1/n → 0

tedy dle V.1-:

(R) ∫ b ; \underline{a} f(x) dx = sup_{n} ∑_{j=1}^{2n}(\frac{j − 1}{n})^{2} \frac{1}{n} = sup_{n} \frac{1}{n^{3}} ∑_{j=1}^{2n}(j − 1)^{2}

=^{⟨cvičení⟩} sup_{n} \frac{(2n − 1)2n(4n − 1)}{6n^{3}} = 8/3

(R) ∫ \underline{b} ; a f(x) dx = inf_{n} ∑_{j=1}^{2n}(\frac{j}{n})^{2} \frac{1}{n} = inf_{n} \frac{(2n − 1)2n(4n + 1)}{n^{3}} = 8/3

VĚTA 2 (kritérium existence Riemannova integrálu):

Nechť f je omezená na [a, b], kde −∞ < a < b < ∞. Potom f ∈ R([a, b]) právě, když k ∀ε > 0 ∃ D dělení [a, b] takové, že S(f, D) − s(f, D) < ε. (Tedy pro jakoukoliv celkovou chybu ε můžeme najít natolik jemné dělení, že jeho celková chyba je menší.)

DŮKAZ:

“⇒”

f ∈ R([a, b]) ⟹ ∃ (R) ∫_{a}^{b} f(x) dx ⟹ (R) ∫ b ; \underline{a} f = (R) ∫ \underline{b} ; a f

Zvolme posloupnost dělení {D_{n}} takovou, aby ∥D_{n}∥ → 0. Potom

lim_{n→∞} s(f, D_{n}) = lim_{n→∞} S(f, D_{n}) = A = (R) ∫_{a}^{b} f(x) dx

Stačí zvolit ε > 0, potom ∃ n_{0} tak, aby zároveň platilo:

\begin{aligned}S(f, D_{n_{0}}) − A & < ε/2 \\ A − s(f, D_{n_{0}}) & < ε/2 \end{aligned}

Tedy

S(f, D_{n_{0}}) − s(f, D_{n_{0}}) < ε/2 + ε/2 = ε

“⇐”

Zvolme ε > 0. Pak ∃ D dělení takové, že

S(f, D) − s(f, D) < ε

Potom také platí

0 ≤ (R) ∫ \underline{b} ; a f(x) dx − (R) ∫ b ; \underline{a} f(x) dx ≤ S(f, D) − s(f, D) < ε

⟹ (R) ∫ \underline{b} ; a f = (R) ∫ b ; \underline{a} f ⟹^{def} f ∈ R([a, b])

Q.E.D.

Definice:

Nechť I je nezdegenerovaný interval, f: I → ℝ. Řekneme, že f je na I stejnoměrně spojitá, jestliže

∀ε > 0 ∃ δ > 0, ∀x, y ∈ I : |x − y| < δ ⟹ |f(x) − f(y)| < ε  (1)

Pozn.: f je spojitá na I, právě když f je spojitá v každém bodě x ∈ I:

∀x ∈ I, ε > 0 ∃ δ > 0, ∀y ∈ I : |x − y| < δ ⟹ |f(x) − f(y)| < ε  (2)

Mějme dvě tvrzení: “∃ hůl na ∀ psa” (1) a “na ∀ psa ∃ hůl” (2). Pak triviálně platí (1) ⇒ (2).

V druhém případě (spojitosti) tedy volím (ε, δ)-krabičku podle pevného x. Ovšem v případě stejnoměrné spojitosti mám pevně zvolené ε, udělám si (ε, δ)-krabičku, se kterou projedu všechna x a všude musí sedět.

Pozn.: Každá stejnoměrně spojitá funkce na I je automaticky spojitá.

Příklad:

f(x) = 1/x na (0, 1). Pak f je spojitá, ale není stejnoměrně spojitá (spojitá ano). Chci tedy dokázat, že

∃ ε > 0, ∀δ > 0 ∃ x, y ∈ (0, 1) : |x − y| < δ, ale |1/x − 1/y| ≥ ε

Zvolím ε = 1, x_{n} = 1/n, y_{n} = 1/(n + 1). Pak |f(x_{n}) − f(y_{n})| = 1 ≥ ε. Ale to je spor, neboť

∀δ > 0 ∃ n : |x_{n} − y_{n}| < δ

Q.E.D.

VĚTA 3 (vztah spojitosti a stejnoměrné spojitosti):

Nechť f je spojitá na uzavřeném intervalu [a, b], kde −∞ < a < b < ∞. Pak f je na [a, b] stejnoměrně spojitá.

DŮKAZ:

Pro spor nechť f není na [a, b] stejnoměrně spojitá, tedy

∃ ε > 0, ∀δ > 0 ∃ x, y : |x − y| < δ, ale |f(x) − f(y)| ≥ ε

Zvolme δ = 1/n, pak ∃ posloupnosti {x_{n}}, {y_{n}} v [a, b] takové, že

|x_{n} − y_{n}| < 1/n ∧ |f(x_{n}) − f(y_{n})| ≥ ε

Podle Bolzano–Weistrass lze z posloupnosti {x_{n}} vybrat konvergentní podposloupnost {x_{n_{k}}}. Je na čase využít toho, že pracujeme nad uzavřeným intervalem:

∃ x ∈ [a, b] : lim_{k→∞} x_{n_{k}} = x

Dle VOLU když a < x_{n_{k}} < b, tak a ≤ limx_{n_{k}} ≤ b, tedy na otevřeném intervalu bychom limitu mohli mít mimo něj.

Tady je cítit ta pravá matematika, ne jen nudný kalkulus…;-)

Dále platí:

|y_{n_{k}} − x| ≤ |y_{n_{k}} − x_{n_{k}}| + |x_{n_{k}} − x| < 1/n_{k} + o(1) → 0

⟹ lim_{k→∞} y_{n_{k}} = x

Víme: f je spojitá na [a, b], tedy je f spojitá v x. Tedy k našemu ε/2 existuje δ tak, že

∀x ∈ (x − δ, x + δ) ∩ [a, b] : |f(x) − f(z)| < ε/2

Protože lim_{k→∞} x_{n_{k}} = lim_{k→∞} y_{n_{k}} = x , nutně

∃ k_{0}, ∀k ≥ k_{0} : x_{n_{k}}, y_{n_{k}} ∈ (x − δ, x + δ) ∩ [a, b]

ε ≤ |f(x_{n_{k}}) − f(y_{n_{k}})| ≤ |f(x_{n_{k}} − f(x)| + |f(x) − f(y_{n_{k}})| < ε/2 + ε/2

♯̸ Spor

VĚTA 4 (o vztahu spojitosti a riemannovské integrovatelnosti):

Nechť f je spojitá na [a, b], pak f ∈ R([a, b]).

DŮKAZ:

Víme dle VSAO že f je omezená na [a, b]. Dále víme dle V.3-, že f je stejnoměrně spojitá na [a, b], tedy

∀ε > 0 ∃ δ > 0, ∀x, y ∈ I : |x − y| < δ ⟹ |f(x) − f(y)| < ε

Zvolme ε > 0. Najdeme dělení D intervalu [a, b] takové, aby ∥D∥ < δ. Nechť D = {x_{j}}_{j=0}^{n} . Označ

M_{j} := sup_{x∈[x_{j−1} ,x_{j}]}|f(x)|

m_{j} := inf_{x∈[x_{j−1} ,x_{j}]}|f(x)|

Ze stejnoměrné spojitosti (x_{j} − x_{j−1} < δ) plyne, že

M_{j} < m_{j} + ε

S(f, D) − s(f, D) = ∑_{j=1}^{n}M_{j}(x_{j} − x_{j−1}) − ∑_{j=1}^{n}m_{j}(x_{j} − x_{j−1}) =

= ∑_{j=1}^{n}(M_{j} − m_{j})(x_{j} − x_{j−1}) < ε ∑_{j=1}^{n}(x_{j} − x_{j−1}) = ε(b − a)

Tedy jsme dokázali, že

∀ε ∃ D : S(f, D) − s(f, D) < ε(b − a)

a dle V.2- (kritérium r. int.) platí f ∈ R([a, b]). Q.E.D.

VĚTA 5 (vztah monotonie a riemannovské integrovatelnosti):

Nechť f je omezená a mnotónní na [a, b]. Potom f ∈ R([a, b]).

DŮKAZ:

Bez újmy na obecnosti nechť f je neklesající. Zvolme ε > 0 a “ekvidistantní” dělení

D = \{ \underbrace{a + \frac{b − a}{n}j}_{x_{j}} \}_{j=0}^{n}

S(f, D) = ∑_{j=1}^{n} sup_{x∈[x_{j−1} ,x_{j}]}|f(x)(x_{j} − x_{j−1}) = ∑_{j=1}^{n}f(x_{j})\frac{b − a}{n}

s(f, D) = ∑_{j=1}^{n}f(x_{j−1})\frac{b − a}{n}

Tedy musí nutně platit

S(f, D) − s(f, D) = \frac{b − a}{n} ∑_{j=1}^{n}(f(x_{j}) − f(x_{j−1})) = \frac{((f(b) − f(a))(b − a)}{n}

Tedy k zadanému ε > 0 stačí volit n dost velké, aby

n > \frac{(f(b) − f(a))(b − a)}{ε}

Potom však S(f, D) − s(f, D) < ε a f ∈ R([a, b]) dle V.2-. Q.E.D.

VĚTA 6 (vlastnosti Riemannova integrálu):

(i) linearita: Mějme f, g ∈ R([a, b]), −∞ < a < b < ∞ a nějaký skalár α ∈ ℝ. Potom (f + g) ∈ R([a, b]), αf ∈ R([a, b]),

(R) ∫_{a}^{b}(f(x) + g(x)) dx = (R) ∫_{a}^{b} f(x) dx + (R) ∫_{a}^{b} g(x) dx

(R) ∫_{a}^{b} αf(x)) dx = α(R) ∫_{a}^{b} f(x) dx

(ii) monotonie: Mějme f, g ∈ R([a, b]), f(x) ≤ g(x) pro ∀x ∈ [a, b]. Potom

(R) ∫_{a}^{b} f(x) dx < (R) ∫_{a}^{b} g(x) dx

(iii) aditivita vzhledem k intervalům: Nechť a < b < c ∈ ℝ. Potom

f ∈ R([a, c]) ⟺ f ∈ R([a, b]) ∧ f ∈ R([b, c])

a navíc dokonce platí

(R) ∫_{a}^{c} f(x) dx = (R) ∫_{a}^{b} f(x) dx + (R) ∫_{b}^{c} f(x) dx

DŮKAZ:

… je protivný. Q.E.D.

Úmluva

∫_{a}^{a} f(x) dx = 0

∫_{b}^{a} f(x) dx = − ∫_{a}^{b} f(x) dx

VĚTA 7 (Riemannův integrál jakožto funkce horní meze):

(Nejdůležitější věta sezóny. Také eufemisticky nazývána F.T.C., neboli základní věta kalkulu.) Nechť I ∈ ℝ je neprázdný interval libovolného typu. Nechť dále f ∈ R([α, β]) pro všechna α, β ∈ I.

Nechť c ∈ I je libovolný pevně stanovený bod. Položme

F (x) := (R) ∫_{c}^{x} f(t) dt x ∈ I

Potom platí:

(i) F je spojitá na I. (ii) Je-li x_{0} ∈ I bodem spojitosti f, pak F′(x_{0}) = f(x_{0}).

DŮKAZ:

(i) Nechť y_{0} ∈ I není pravý krajní bod I. Chci dokázat, že

lim_{y→y_{0} _{+}} (F (y) − F (y_{0})) = 0

(analogicky pak pro spojitost zleva).

Víme:

F (y) − F (y_{0}) = (R) ∫_{c}^{y} f(t) dt − (R) ∫_{c}^{y_{0}} f(t) dt =^{V.6-(iii)} (R) ∫_{y_{0}}^{y} f(t) dt

∃ δ > 0 : f ∈ R([y, y_{0} + δ])

Tedy f je na [y_{0}, y_{0} + δ] omezená, a tedy existují m, M ∈ ℝ taková, že

m = inf{f(t) : t ∈ [y_{0}, y_{0} + δ]}
M = sup{f(t) : t ∈ [y_{0}, y_{0} + δ]}

Tudíž dle V.6-(ii):

∀y ∈ [y_{0}, y_{0} + δ] : \underbrace{m(y − y_{0})}_{→0} ≤ (R) ∫_{y_{0}}^{y} f(t) dt ≤ \underbrace{M(y − y_{0})}_{→0}

lim_{y→y_{0} _{+}} (F (y) − F (y_{0})) = lim_{y→y_{0} _{+}} (R) ∫_{y_{0}}^{y} f(t) dt = 0

(ii) Nechť x_{0} ∈ I je bod spojitosti funkce f. Chceme:

F′(x_{0}) = f(x_{0})
F′(x_{0}) − f(x_{0}) = 0

Zároveň víme, že

F′(x_{0}) = lim_{h→0} \frac{F (x_{0} − h) − F (x_{0})}{h} = lim_{h→0} \frac{1}{h} ∫_{x_{0}}^{x_{0} +h} f(t) dt

Tedy nutně platí

F′(x_{0}) − f(x_{0}) = lim_{h→0} \frac{1}{h} ∫_{x_{0}}^{x_{0} +h} f(t) dt − f(x_{0}) =^{!} lim_{h→0} \frac{1}{h} ∫_{x_{0}}^{x_{0} +h} (f(t) − f(x_{0})) dt

Víme, že f je spojitá v x_{0}. Zvolme ε > 0, pak tedy ∃ δ > 0 taková, že |f(t) − f(x_{0})| < ε pro ∀ |t − x_{0}| < δ.

Takže pro h < δ máme f(t) − f(x_{0}) < ε pro ∀t ∈ [x_{0}, x_{0} + h]. Tudíž pro ∀ε > 0:

F′(x_{0}) − f(x_{0}) = lim_{h→0} \frac{1}{h} ∫_{x_{0}}^{x_{0} +h} (f(t) − f(x_{0})) dt < lim_{h→0} ε\frac{1}{h} ∫_{x_{0}}^{x_{0} +h} dt = ε

a tedy

F′(x_{0}) − f(x_{0}) = 0

Q.E.D.

Poznámky:

(i) Funkce f ve větě 7 nemusí být na I spojitá, ani riemannovsky integrovatelná, dokonce ani omezená. Musí platit pouze f ∈ R([α, β]) pro ∀α, β ∈ I (včetně β ≤ α).

Rozdíl mezi riemannovskou integrovatelností na I a na libovolném jeho podintervalu můžeme dobře vidět např.

na I = (0, 1) a f = 1/x.

(ii) Bez předpokladu spojitosti f v x_{0} tvrzení V.7-(ii) neplatí.

Příklad:

Vezměme f = signx, I = [−1, 1], c = 0. Potom

F (x) = ∫_{0}^{x} signt dt = |x| na [−1, 1]

F′(c) neexistuje, tzn. f není spojitá v nule.

Důsledky:

(i) Nechť f je spojitá na (a, b) ∈ ℝ. Potom f má na (a, b) primitivní funkci. (V5.2-)

DŮKAZ:

f je spojitá na (a, b), tedy je f spojitá v x_{0} pro ∀x_{0} ∈ (a, b), tedy dle V.7-(ii) F′(x_{0}) = f(x_{0}), kde F je funkce z V.7-, tedy

F (x) = ∫_{c}^{x} f(t) dt c ∈ (a, b) (libovolné)

Tudíž F je primitivní k f na (a, b).

Q.E.D.

Luboš Pick — Matematická analýza II Určitý integrál — Riemannův integrál (ii) Je-li f spojitá na [a, b], potom

(R) ∫_{a}^{b} f(x) dx = lim_{x→b_{−}} F (x) − lim_{x→a_{+}} F (x)

kde F je libovolná primitivní funkce k f na (a, b). DŮKAZ:

f je spojitá na [a, b], tedy dle (i) má primitivní funkci G na (a, b). Nechť c ∈ (a, b) a

F (x) = ∫_{c}^{x} f(t) dt ∀x ∈ [a, b]

Potom dle (i) je F primitivní funkce k f na (a, b), a tedy dle V5.1-existuje d ∈ ℝ takové, že

G(x) = F (x) + d ∀x ∈ (a, b)
G(x) = G(c) + ∫_{c}^{x} f(t) dt

Neboť G je spojitá na [a, b], platí rovnost

lim_{x→b_{−}} G(x) − lim_{x→a_{+}} G(x) = G(c) + ∫_{c}^{b} f(t) dt − (G(c) + ∫_{c}^{a} f(t) dt) =

= ∫_{c}^{b} f(t) dt + ∫_{a}^{c} f(t) dt =^{V.6-(iii)} ∫_{a}^{b} f(t) dt

Q.E.D.

Luboš Pick — Matematická analýza II Určitý integrál — Newtonův integrál

Newtonův integrál

Řekneme, že funkce f má na intervalu (a, b) ∈ ℝ Newtonův integrál, jestliže existuje primitivní funkce F k funkci f na (a, b) a existují lim_{x→a_{+}} F (x) a lim_{x→b_{−}} F (x). Potom hodnotou Newtonova integrálu z f přes (a, b) nazýváme číslo

(N) ∫_{a}^{b} f(x) dx := lim_{x→b_{−}} F (x) − lim_{x→a_{+}} F (x)

Množinu funkcí, které mají Newtonův integrál přes (a, b) značíme N(a, b).

Poznámky:

(i) Je-li f spojitá na [a, b], potom

(N) ∫_{a}^{b} f(x) dx = (R) ∫_{a}^{b} f(x) dx

(důsledek (ii) V6.7-). (ii) f(x) = 1/\sqrt{x} na (0, 1):

(N) ∫_{0}^{1} f(x) dx = lim_{x→1_{−}} 2\sqrt{x} − lim_{x→0_{+}} 2\sqrt{x} = 2 − 0 = 2

Přitom 1/\sqrt{x} není na (0, 1) omezená, tedy nepatří do R([0, 1]). Tedy

1/\sqrt{x} ∈ N(0, 1) \ R([0, 1])

(iii) f(x) = signx na [−1, 1] ∈ R([−1, 1]), ale nemá na (−1, 1) primitivní funkci (není tam darbouxovská), tedy pro změnu

signx ∈ R([−1, 1]) \ N(−1, 1)

(iv) Existují omezené funkce f ∈ N(a, b) \ R([a, b]), ale je obtížné je zkonstruovat.

VĚTA 8 (per partes pro určitý integrál):

Nechť f, g, f′, g′ jsou spojité na [a, b]. Potom

∫_{a}^{b} f(x)g′(x) dx = [f(x)g(x)]_{x=a}^{x=b} − ∫_{a}^{b} f′(x)g(x) dx

kde

[h(x)]_{x=a}^{x=b} =^{def} lim_{x→b_{−}} h(x) − lim_{x→a_{+}} h(x)

DŮKAZ:

… nás nezajímá. Q.E.D.

VĚTA 9 (substituce pro určitý integrál):

(i) Nechť f je spojitá na [a, b] a nechť mám

φ : [α, β] → [a, b]

Nechť φ má na (α, β) spojitou derivaci. Pak

∫_{a}^{b} f(φ(t))φ′(t) dt = ∫_{φ(a)}^{φ(b)} f(x) dx

Luboš Pick — Matematická analýza II Určitý integrál — Newtonův integrál

(ii) Nechť f je spojitá na [a, b] a nechť mám

φ : [α, β] → [a, b]

nechť φ([α, β]) = [a, b] a nechť φ má na (a, b) spojitou nenulovou derivaci. Pak

∫_{a}^{b} f(x) dx = ∫_{φ^{−1} (a)}^{φ^{−1} (b)} f(φ(t))φ′(t) dx

DŮKAZ:

… nechceme. Q.E.D.

Příklad:

∫_{−r}^{r} \sqrt{r^{2} − x^{2}} dx

\begin{aligned}x & = r sint \\ dx & = r cost \end{aligned}

= r ∫_{−π/2}^{π/2} \sqrt{r^{2} cos^{2} t} cost dt = r^{2} ∫_{−π/2}^{π/2} cos^{2} t dt = r^{2} ∫_{−π/2}^{π/2} \frac{1 + cos2t}{2} dt = π/2 · r^{2}

Luboš Pick — Matematická analýza II Určitý integrál — Aplikace určitého integrálu

Aplikace určitého integrálu

Délka křivky

Definice:

Nechť f je definovaná a riemannovsky integrovatelná na [a, b] a D je dělení [a, b]. Potom lze spočítat délku křivky vzhledem k dělení D

L(f, D) =^{def} ∑_{i=1}^{n} \sqrt{(x_{j} − x_{j−1}) + |f(x_{j}) − f(x_{j−1})|}

Délku křivky samotnou pak definujeme jako

L(f) =^{def} sup_{D}{L(f, D)}

VĚTA 10 (o délce křivky):

Nechť f má na (a, b) spojitou derivaci. Pak délka křivky funkce f je

L(f) = ∫_{a}^{b} \sqrt{1 + f′(x)^{2}} dx

Objem a obsah pláště rotačního tělesa

Definice:

Nechť f je na [a, b] nezáporná funkce. Potom definujeme rotační těleso jako

T =^{def} \{|x, y, z| ∈ ℝ^{3} : \sqrt{y^{2} + z^{2}} ≤ f(x)\}

VĚTA 11 (o objemu a obsahu pláště rotačního tělesa):

V = π ∫_{a}^{b} f(x)^{2} dx
S = 2π ∫_{a}^{b} f(x)\sqrt{1 + f′(x)^{2}} dx

Konvergence řad

VĚTA 12 (integrální kritérium konvergence řad):

Nechť f je spojitá, nezáporná a nerostoucí na intervalu [n_{0}, ∞] pro nějaké n_{0} ∈ ℕ. Mějme dále posloupnost {a_{n} = f(n)}_{n=1}^{∞} . Potom

∑ a_{n} konverguje ⟺ (N) ∫_{n_{0}}^{∞} f(x) dx < ∞

Důkaz: Nechceme. Q.E.D.

Luboš Pick — Matematická analýza II Určitý integrál — Aplikace určitého integrálu

Příklad:

Vyšetřete konvergenci řady ∑_{n=2}^{∞} \frac{1}{n log^{α} n}, kde α ∈ ℝ.

∫_{2}^{∞} \frac{dx}{x log^{α} x}

\begin{aligned}y & = logx \\ dy & = dx/x \end{aligned}

\begin{matrix}x : & 2 & … ∞ \\ y : & log2 & … ∞ \end{matrix}

Pro α ≠ 1 platí:

∫_{log 2}^{∞} \frac{dy}{y^{α}} = [\frac{y^{1−α}}{1 − α}]_{log 2}^{∞} = \frac{lim_{y→∞} y^{1−α} − log2^{1−α}}{1 − α}

To je menší než nekonečno (konverguje), právě když α > 1.

Pro α = 1 platí:

∫_{log 2}^{∞} \frac{dy}{y^{α}} = [logy]_{log 2}^{∞} = lim_{y→∞} logy − log2 = ∞

Tedy platí:

∑_{n=2}^{∞} \frac{1}{n log^{α} n} konverguje ⟺ α > 1

Luboš Pick — Matematická analýza II Posloupnosti a řady funkcí —

Posloupnosti a řady funkcí

Konvergence posloupností funkcí

Definice:

Nechť M ⊂ ℝ, n ∈ ℕ a f_{n} je posloupnost funkcí definovaných na M. Řekneme, že posloupnost f_{n} konverguje bodově k f na M a značíme

f_{n} → f na M

jestliže

∀x ∈ M : lim_{n→∞} f_{n}(x) = f(x)

neboli

∀x ∈ M, ∀ε > 0 ∃ n_{0} ∈ ℕ, ∀n ≥ n_{0} : |f_{n}(x) − f(x)| < ε

Řekneme, že posloupnost f_{n} konverguje stejnoměrně k f na M a značíme

f_{n} ⇉ f na M

jestliže

∀ε > 0 ∃ n_{0} ∈ ℕ, ∀n ≥ n_{0}, ∀x ∈ M : |f_{n}(x) − f(x)| < ε

Řekneme, že posloupnost f_{n} konverguje lokálně stejnoměrně k f na M a značíme

f_{n} ⇉^{loc} na M

jestliže

∀x ∈ M ∃ δ > 0 : f_{n} ⇉ f na M ∩ U(x, δ)

Příklady:

(i) f_{n}(x) := x^{n}, x ∈ [0, 1], n ∈ ℕ Potom f_{n} konverguje na [0, 1] bodově, ale ne stejnoměrně, k funkci

f(x) = \{ \begin{matrix}0 & x ∈ [0, 1) \\ 1 & x = 1 \end{matrix}

Platí však, že f_{n} ⇉^{loc} f na [0, 1).

(ii) g_{n}(x) := sin(nx)/2^{n} , x ∈ [0, 1], n ∈ ℕ

Potom g_{n} konverguje na [0, 1] stejnoměrně k identicky nulové funkci, neboli f_{n} ⇉ 0 na ℝ, neboť

|f_{n}(x) − 0| ≤ 1/2^{n} → 0

(nezávisle na x).

(iii) f_{n}(x) := \frac{nx}{1 + n^{2}x^{2}} , x ∈ (0, ∞), n ∈ ℕ

Potom f_{n} → 0 a f_{n} ⇉^{loc} 0 na (0, ∞). Přitom však f_{n} ⇉̸ 0, neboť f_{n}(1/n) = 1/2 pro n ∈ ℕ.

Luboš Pick — Matematická analýza II Posloupnosti a řady funkcí — Konvergence posloupností funkcí

Poznámky:

(i) Srovnání typů konvergence:

f_{n} ⇉ f ⟹ f_{n} → f

(ii) Posloupnost funkcí {f_{n}}_{n=1}^{∞} konverguje lokálně stejnoměrně na otevřeném intervalu (a, b), právě když konverguje stejnoměrně na každém jeho uzavřeném podintervalu:

f_{n} ⇉^{loc} f na (a, b) ⟹ f_{n} ⇉ f na [α, β] ∀[α, β] ⊂ (a, b)

(netriviální, je třeba si rozmyslet).

(iii) Bodová konvergence nemusí zachovat omezenost ani integrovatelnost. Vezměme například tzv. funkční řezy:

f_{n}(x) := \{ \begin{matrix}1/x & x ∈ [1/n, 1) \\ n & x ∈ (0, 1/n] \end{matrix}

To je posloupnost omezených a integrovatelných funkcí na (0, 1), jenž konverguje bodově k funkci 1/x, která není na (0, 1) omezená ani integrovatelná:

(N) ∫_{0}^{1} \frac{dx}{x} = lim_{x→1_{−}} logx − lim_{x→0_{+}} logx = 0 + ∞ = ∞

VĚTA 1 (kritérium stejnoměrné konvergence):

Nechť M ⊂ ℝ je neprázdná množina, n ∈ ℕ a nechť f_{n} je posloupnost funkcí definovaných na M. Pak platí

f_{n} ⇉ f na M ⟺ lim_{n→∞} sup_{x∈M} |f_{n}(x) − f(x)| = 0

DŮKAZ:

f_{n} ⇉ f na M, právě když

∀ε > 0 ∃ n_{0} ∈ ℕ, ∀n ≥ n_{0}, ∀x ∈ M : |f_{n}(x) − f(x)| < ε

Pokud toto platí pro každé x, musí to platit i pro supremum přes x, jen se musí změnit nerovnost na neostrou (supremum nemusí být prvkem množiny):

∀ε > 0 ∃ n_{0} ∈ ℕ, ∀n ≥ n_{0} : sup_{x∈M}{|f_{n}(x) − f(x)|} ≤ ε

Tím však zároveň říkáme, že limita tohoto suprema je nulová. Q.E.D.

Luboš Pick — Matematická analýza II Posloupnosti a řady funkcí — Konvergence posloupností funkcí

Příklady:

Předchozí příklady z pohledu V.1-:

(i) sup_{x∈[0,1]}|x^{n} − f(x)| = 1
(ii) sup_{x∈ℝ} |\frac{nx}{1 + n^{2}x^{2}} − 0| ≥ 1/2
(iii) sup_{x∈ℝ} |\frac{sinnx}{2^{n}} − 0| < sup_{x∈ℝ} 1/2^{n} → 0

Otázka

Mějme f_{n} ⇉ f na (a, b), x_{0} ∈ (a, b). Platí, že

lim_{x→x_{0}} lim_{n→∞} f_{n}(x) = lim_{n→∞} lim_{x→x_{0}} f_{n}(x)

Pro bodovou konvergenci však neplatí

lim_{n→∞} lim_{x→1_{−}} x^{n} = 1 ≠ lim_{x→1_{−}} lim_{n→∞} x^{n} = 0

Ale co pro stejnoměrnou?

VĚTA 2 (Moore–Osgood):

Mějme neprázdnou množinu M ⊂ ℝ, x_{0} ∈ ℝ^{∗} a n ∈ ℕ. Nechť f_{n} je řada funkcí definovaných na M a nechť platí následující dva předpoklady:

(i) f_{n} ⇉ f na M (ii) Pro ∀n ∈ ℕ existuje lim_{x→x_{0} _{+}} f_{n}(x) := a_{n} ∈ ℝ . Potom existují vlastní limity

lim_{n→∞} a_{n} = lim_{x→x_{0} _{+}} f(x)

DŮKAZ:

Zvol ε > 0, pak

∃ n_{0} ∈ ℕ, ∀n ≥ n_{0}, ∀x ∈ M : |f_{n}(x) − f(x)| < ε
∀m, n > n_{0}, ∀x ∈ M : |f_{n}(x) − f_{m}(x)| < 2ε

(trojůhelníková nerovnost pozpátku).

\begin{matrix}lim_{x→x_{0} _{+}} f_{m}(x) & := a_{m} \\ lim_{x→x_{0} _{+}} f_{n}(x) & := a_{n} \end{matrix} \} ⟹ |a_{n} − a_{m}| ≤ 2ε

Tudíž posloupnost {a_{n}}_{n=1}^{∞} splňuje Bolzano-Cauchyovu podmínku, tedy

∃ a ∈ ℝ : lim_{n→∞} a_{n} = a

|f(x) − a| △ ≤ \underbrace{|f(x) − f_{n}(x)|}_{A} + \underbrace{|f_{n}(x) − a_{n}|}_{B} + \underbrace{|a_{n} − a|}_{C} ∀n, x

Zvol n ≥ n_{0}, pak A < ε. n lze zvolit tak velké, aby i C < ε. Dále k tomuto n zvolíme δ > 0 takovou, aby

∀x ∈ P^{+} (x_{0}, δ) : B < ε

Pak však také

∀ε > 0 ∃ δ > 0, ∀x ∈ P^{+} (x_{0}, δ) : |f(x) − a| < 3ε|

lim_{x→x_{0}} f(x) = a

Q.E.D.

Důsledek:

Nechť f_{n} ⇉ f na I, kde f_{n} je na I spojitá. Potom f je na I také spojitá.

DŮKAZ:

Mějme x_{0} ∈ I, které není jeho pravý krajní bod.

lim_{x→x_{0} _{+}} f(x) =^{?} f(x_{0})

lim_{x→x_{0} _{+}} f(x) = lim_{x→x_{0} _{+}} lim_{n→∞} f_{n}(x) =^{V.2-} lim_{n→∞} lim_{x→x_{0} _{+}} f_{n}(x)

Neboť je však f v x_{0} spojitá, tato limita se rovná

lim_{n→∞} f_{n}(x_{0}) =^{f_{n}→f} f(x_{0})

Q.E.D.

Poznámka:

Z (ii) implicitně vyplývá, že M obsahuje nějaké okolí bodu x_{0}. Platí také analogická verze této věty pro jednostranné limity v bodě x_{0}.

LEMMA:

Posloupnost funkcí {f_{n}}_{n=1}^{∞} je na neprázdné množině M ⊂ ℝ stejnoměrně konvergentní, právě když je tam stejnoměrně cauchyovská:

∀ε > 0 ∃ n_{0} ∈ ℕ, ∀m, n ∈ ℕ ≥ n_{0}, ∀x ∈ M : |f_{n}(x) − f_{m}(x)| < ε

VĚTA 3 (o záměně limity a derivace):

Nechť funkce z f_{n} mají vlastní derivace na (a, b) ⊂ ℝ, a nechť platí následující dva předpoklady:

(i) ∃ x_{0} ∈ (a, b) : {f_{n}(x_{0})}_{n=1}^{∞} konverguje

(ii) f′_{n} ⇉^{loc} g na (a, b) (kde g je nějaká libovolná funkce)

Potom existuje na (a, b) funkce f, která má vlastní derivaci f′, f_{n} ⇉^{loc} f a f′_{n} ⇉^{loc} f′.

DŮKAZ:

Zvolíme předsedu vlády a ε > 0. Dále zvolíme [c, d] ⊂ (a, b) takové, aby x_{0} ∈ [c, d], a označíme

f′_{n} ⇉^{loc} g[c, d].

Luboš Pick — Matematická analýza II Posloupnosti a řady funkcí — Konvergence posloupností funkcí

Pak k předsedovi vlády a ε jistě:

∃ n_{0}, ∀m, n ≥ n_{0} ∀x ∈ [c, d] : |f_{n}(x_{0}) − f_{m}(x_{0})| < ε ∧ |f′_{n}(x) − f′_{m}(x)| < p.v. Potom pro x ∈ [c, d] máme:

|f_{n}(x) − f_{m}(x)| △ ≤ |(f_{n}(x) − f_{m}(x)) − (f_{n}(x_{0}) − f_{m}(x_{0}))| + |f_{n}(x_{0}) − f_{m}(x_{0})| Použijeme Lagrangeovu větu o střední hodnotě pro (f_{0}−f_{m}) a zjistíme, že předchozí se rovná

|f′_{n}(ξ) − f_{m}(ξ)| · |x − x_{0}| + |f_{n}(x_{0}) − f_{m}(x_{0})| ξ ∈ (x, x_{0}) ∨ (x_{0}, x)

ε|x − x_{0}| + ε ≤ ε|d − c + 1| = Kε K > 0

Tudíž je posloupnost {f_{n}} stejnoměrně cauchyovská:

∀ε > 0 ∃ n_{0}, ∀x : |f_{n}(x) − f_{m}(x)| < ε

tedy f_{n} ⇉ f na [c, d] a f_{n} ⇉^{loc} f na (a, b).

Víme, že f′_{n} ⇉^{loc} g a f_{n} ⇉^{loc} f. Zbývá dokázat, že f′ = g. Pro x ∈ [c, d] máme

f′(x) = lim_{h→0} \frac{f(x + h) − f(x)}{h} = lim_{h→0} lim_{n→∞} \frac{f_{n}(x + h) − f_{n}(x)}{h} =

=^{V.2-} lim_{n→∞} lim_{h→0} \frac{f_{n}(x + h) − f_{n}(x)}{h} = lim_{n→∞} f′_{n}(x) = g(x)

Q.E.D.

Poznámka:

Bez předpokladu (i) věta neplatí, jak je vidět na příkladu posloupnosti konstantních funkcí, která není bodově konvergentní, kupříkladu

f_{n}(x) ≡ (−1)^{n} n ∈ ℕ, x ∈ ℝ

Derivace všech funkcí f_{n} jsou pak nulové, a tedy triviálně stejnoměrně konvergují. Tento problém zachrání předpoklad (i), tedy jakási konvergence v “záchytném bodě”.

VĚTA 4 (stejnoměrná limita a newtonovsky derivovatelné funkce): Mějme f_{n} ∈ N(a, b), f_{n} ⇉ f na (a, b). Potom také f ∈ N(a, b) a platí, že

lim_{n→∞} (N) ∫_{a}^{b} f_{n}(x) dx = (N) ∫_{a}^{b} f(x) dx

DŮKAZ:

f_{n} ∈ N(a, b), tedy existuje primitivní funkce F_{n}, F′_{n} = f_{n} na (a, b). Zvolíme c ∈ (a, b) a dále volíme primitivní funkce tak, aby F_{n}(c) = 0 pro ∀n ∈ ℕ. Potom platí:

(i) {F_{n}(c)}_{n=1}^{∞} je nulová posloupnost, tedy je jistě konvergentní.

(ii) F′_{n} ⇉ f

Tudíž existuje F na (a, b) taková, že F_{n} ⇉^{loc} F, F′ = f. Dále

(N) ∫_{a}^{b} f(x) dx = lim_{x→b_{−}} lim_{n→∞} F_{n}(x) − lim_{x→a_{+}} lim_{n→∞} F_{n}(x) =

=^{V.2-} lim_{n→∞} ( lim_{x→b_{−}} F_{n}(x) − lim_{x→a_{+}} F_{n}(x)) = lim_{n→∞} (N) ∫_{a}^{b} f_{n}(x) dx

Q.E.D.

VĚTA 5 (Dini):

Nechť {f_{n}}_{n=1}^{∞} je monotónní posloupnost spojitých funkcí na uzavřeném intervalu [a, b], která bodově konverguje ke spojité funkci. Potom f_{n} ⇉ f[a, b].

Důkaz: Neděláme. Q.E.D.

VĚTA 6 (Weistrass):

Nechť f je spojitá funkce na uzavřeném intervalu [a, b]. Potom existuje posloupnost polynomů {P_{n}} taková, že P_{n} ⇉ f.

Důkaz: Nechceme. Q.E.D. Pozn.: Předpoklad uzavřenosti intervalu potřebujeme, např. e^{x} nelze na ℝ aproximovat poly-

nomy.

Luboš Pick — Matematická analýza II Posloupnosti a řady funkcí — Konvergence řad funkcí

Konvergence řad funkcí

Definice:

Řekneme, že řada funkcí ∑_{n=1}^{∞} f_{n}(x) definovaných na ∅ ≠ M ⊂ ℝ, konverguje bodově (stejnoměrně, lokálně stejnoměrně), jestliže posloupnost funkcí

{∑_{k=1}^{n}f_{k}(x)}_{n=1}^{∞}

konverguje příslušným způsobem.

Značíme ∑ f_{n} →, ∑ f_{n} ⇉, ∑ f_{n} ⇉^{loc} . Máme-li limitní funkci f, značíme ∑ f_{n} → f, ∑ f_{n} ⇉ f, ∑ f_{n} ⇉^{loc} f.

VĚTA 7 (Weistrassovo kritérium):

Nechť f_{n} jsou definovány na ∅ ≠ M ⊂ ℝ, nechť

s_{n} := sup_{x∈m} |f_{n}(x)| n ∈ ℕ

∑_{n=1}^{∞}s_{n} < ∞ ⟹ ∑_{n=1}^{∞}f_{n}(x) ⇉ na M

DŮKAZ:

Zvolíme ε > 0, pak

∃ n_{0} ∈ ℕ : ∑_{n=n_{0}}^{∞} s_{n} < ε

Nechť m, n ≥ n_{0}, kde m, n ∈ ℕ; bez újmy na obecnosti nechť m < n. Tedy

|∑_{k=1}^{n}f_{k}(x) − ∑_{k=1}^{m}f_{k}(x)| = | ∑_{k=m+1}^{n} f_{k}(x)| △ ≤ ∑_{k=m+1}^{n} |f_{k}(x)| ≤ ∑_{k=n_{0}}^{∞} |f_{k}(x)| ≤ ∑_{k=n_{0}}^{∞} s_{k} < ε

Tudíž posloupnost {∑_{k=1}^{n} f_{k}} je stejnoměrně cauchyovská na M, a tedy ∑ f_{n} ⇉ na M. Q.E.D.

VĚTA 8 (o záměně sumy a derivace): Nechť f_{n}, n ∈ ℕ jsou definovány a mají vlastní derivace f′_{n} na intervalu (a, b) ⊂ ℝ. Nechť platí:

(i) ∑_{n=1}^{∞}f′_{n} ⇉^{loc} na (a, b)

(ii) ∃ x_{0} ∈ (a, b) takový, že ∑_{n=1}^{∞}f_{n}(x_{0}) < ∞ (konverguje)

Potom ∑ f_{n} ⇉^{loc} na (a, b) a navíc (∑ f_{n})′ = ∑ f′_{n} na (a, b). Důkaz: Přímý důsledek V.3- a definice konvergence řady. Q.E.D.

Luboš Pick — Matematická analýza II Posloupnosti a řady funkcí — Konvergence řad funkcí

VĚTA 9 (o záměně sumy a integrálu):

Nechť f_{n} ∈ N(a, b), n ∈ ℕ, (a, b) ⊂ ℝ a nechť ∑ f_{n} ⇉ na (a, b). Pak limitní funkce f := ∑ f_{n} splňuje f ∈ N(a, b) a

∫_{a}^{b} f(x) dx = ∑_{n=1}^{∞}∫_{a}^{b} f_{n}(x) dx

Důkaz: Přímý důsledek V.4-. Q.E.D.

VĚTA 10 (Abelovo kritérium):

Nechť ∑ f_{n}(x) ⇉ na M, nechť {g_{n}} je stejnoměrně omezená na M:

∃ K > 0, ∀n ∈ ℕ ∀x ∈ M : |g_{n}(x)| ≤ K

Nechť {g_{n}(x)}_{n=1}^{∞} je navíc pro každé pevné x ∈ M monotónní (buď nerostoucí nebo neklesající, dokonce v každém x jinak).

Potom ∑ f_{n}g_{n} ⇉ na M.

NÁZNAK DŮKAZU:

Definujme si pro N ∈ ℕ:

s_{N}(x) := ∑_{n=1}^{N}f_{n}(x)

t_{N}(x) := ∑_{n=N+1}^{∞} f_{n}(x)

f_{n}g_{n} = −t_{n}(g_{n} − g_{n+1} ) + t_{n−1}g_{n} − t_{n}g_{n+1}

(⟨cvičení⟩; Abelova parciální sumace)

∑_{n=M}^{N} f_{n}g_{n} = ∑_{n=M}^{N} −t_{n}(g_{n} − g_{n+1} + t_{M−1}g_{M} − t_{N}g_{N+1}

| ∑_{n=M}^{N} f_{n}g_{n}| △ ≤ ∑_{n=M}^{N} |t_{n}||g_{n} − g_{n+1} | + |t_{M−1}||g_{M}| + |t_{N}||g_{N+1} |

Zvolme ε > 0. K němu ∃ N_{0} tak, aby pro ∀N ≥ N_{0} bylo |t_{N}| < ε. Navíc víme, že |g_{N}| ≤ K pro ∀N ∈ ℕ.

\underrightarrow{M, N ≥ N_{0}} | ∑_{n=M}^{N} f_{n}g_{n}| ≤ ∑_{n=M}^{N} ε|g_{n} − g_{n+1} | + εK + εK

g_{n}(x) je monotónní, tedy (!)

∑_{n=M}^{N} |g_{n}(x) − g_{n+1} (x)| = |g_{N+1} (x) − g_{M}(x)|

(Tvrdím, že sčítám-li jednotlivé rozdíly, je to stejné, jako kdybych odečetl nejvyšší od nejnižšího. To samozřejmě platí, pouze mám-li monotonii.)

⟹ | ∑_{n=M}^{N} f_{n}g_{n}| ≤ ε (|g_{N+1} | + |g_{M}|) + 2εK ≤ ε(K + K) + 2εK = 4εK \underrightarrow{(s → 0_{+} )} 0

Tedy ∑ je stejnoměrně Bolzano-Cauchyovská, tudíž ∑ ⇉.

Q.E.D.

VĚTA 11 (Dirichletovo kritérium):

Nechť {f_{n}} má stejnoměrně omezené částečné součty (tj. posloupnost

{∑_{k=1}^{n}f_{k}(x)}_{n=1}^{∞}

je stejnoměrně omezená) na ∅ ≠ M ⊂ ℝ. Nechť g_{n} ⇉ 0 na M. Nechť {g_{n}(x)}_{n=1}^{∞} je navíc pro každé pevné x ∈ M monotónní (na typu monotonie opět nezáleží).

Potom ∑ f_{n}g_{n} ⇉ na M.

NÁZNAK DŮKAZU:

Definujme si pro N ∈ ℕ

s_{N}(x) := ∑_{n=1}^{N}f_{n}(x)

(ale t_{N} nemáme).

f_{n}g_{n} = s_{n}(g_{n} − g_{n+1} ) − s_{n−1}g_{n} + s_{n}g_{n+1}

(⟨cvičení⟩; Abelova parciální sumace)

| ∑_{n=M}^{N} f_{n}g_{n}| ≤ ∑_{n=M}^{N} |s_{n}||g_{n} − g_{n+1} | + |s_{M−1}||g_{M}| + |s_{N}||g_{N+1} |

\begin{matrix}|s_{N}| & ≤ K \\ |g_{N}| & < ε \end{matrix} \} ⟹ \begin{matrix}≤ K ∑_{n=M}^{N} |g_{n} − g_{n+1} | + Kε + Kε \\ ≤ K(|g_{M}| + |g_{N+1} |) + Kε + Kε ≤ 4Kε \end{matrix}

atd.

Q.E.D.

Příklad:

Vyšetřete konvergenci řady ∑_{n=0}^{∞}(−1)^{n} \frac{x^{2n+1}}{2n + 1} na ℝ a tam, kde konverguje, řady sečtěte.

∑_{n=0}^{∞}f_{n}(x) = ∑_{n=0}^{∞}(−1)^{n} \frac{x^{2n+1}}{2n + 1}

Pro která x ∈ ℝ konverguje tato řada bodově? x vezmeme pevné, pak pan Cauchy říká:

lim_{n→∞} ^{n} \sqrt{|a_{n}|} = lim_{n→∞} ^{n} \sqrt{\frac{|x|^{2n+1}}{2n + 1}} = x^{2}

Tedy řada konverguje pro |x| < 1 a diverguje pro |x| > 1. A když x = ±1?

x = ±1 ⟹ ∑ f_{n}(x) = ± ∑ \frac{(−1)^{n}}{2n + 1}

konverguje dle Leibnize.

Tudíž ∑_{n=0}^{∞}f_{n}(x) konverguje bodově pro x ∈ [−1, 1].

Spočítáme derivace:

f′_{n}(x) = (−1)^{n}x^{2n} = (−x^{2})^{n} x ∈ (−1, 1)

∑_{n=0}^{∞}f′_{n}(x) = ∑_{n=0}^{∞}(−x^{2})^{n} = \frac{1}{1 + x^{2}} x ∈ (−1, 1)

Je tato konvergence lokálně stejnoměrná? Pak by platilo ∑ f′_{n}(x) ⇉^{loc} na (−1, 1), tedy ∑ f′_{n}(x) ⇉ na [−δ, δ] pro ∀δ ∈ (0, 1). Nechť δ ∈ (0, 1), pak

sup_{x∈[−δ,δ]}|f′_{n}(x)| = sup_{x∈[−δ,δ]}|(−x^{2})^{n}| = δ^{2n} =: s_{n}

a jasně ∑ s_{n} < ∞.

Takže dle Weistrassova kriteria ∑ f′_{n} ⇉^{loc} na (−1, 1). Vezmeme si nějaký záchytný bod, např. x = 0: ∑ f_{n}(0) = 0. A dle V.8- pak ∑ f_{n} ⇉ na (−1, 1) a (∑ f_{n})′ = ∑ f′_{n}.

Označíme

f(x) := ∑_{n=0}^{∞}(−1)^{n} \frac{x^{2n+1}}{2n + 1} x ∈ [−1, 1]

Pak pro x ∈ (−1, 1):

f′(x) = (∑ f_{n}(x))′ =^{V.8-} ∑ f′_{n}(x) = ∑_{n=0}^{∞}(−x^{2})^{n} = \frac{1}{1 + x^{2}}

f(x) = ∫ f′(x) dx = arctgx + c (Taylor)
f(0) = 0 ⟹ 0 = arctg0 + c ⟹ c = 0

Závěr

∑_{n=0}^{∞}(−1)^{n} \frac{x^{2n+1}}{2n + 1} ⇉^{loc} arctgx na (−1, 1)

Je tato konvergence stejnoměrná na [−1, 1] nebo není? Zvolme

f_{n}(x) ≡ (−1)^{n}, | ∑ f_{n}(x)| ≤ 1

a dejme šanci panu Dirichletovi:

g_{n}(x) = \frac{x^{2n+1}}{2n + 1} ⟹ |g_{n}(x)| ≤ \frac{1}{2n + 1} → 0 ⟹ g_{n} ⇉ 0 na [−1, 1]

Tedy podle Dirichletova kritéria

∑_{k=0}^{∞}(−1)^{n} \frac{x^{2n+1}}{2n + 1} ⇉ arctgx x ∈ [−1, 1]

Nyní se pokusme řadu sečíst. Pan Euler (1735) vymyslel hezkou formulku

x = 1 : π/4 = arctg1 = 1 − 1/3 + 1/5 − 1/7 + 1/9 − 1/11 ⋯,

ta je ale velmi pomalá, teprve 300 členů dá alespoň aproximaci 22/7, ke které došel 2000 let před tím Archimédes.

Luboš Pick — Matematická analýza II Posloupnosti a řady funkcí — Konvergence řad funkcí

Existuje ale hezký vzorec:

tg(x + y) = \frac{tgx + tgy}{1 − tgx tgy}

\frac{1/2 + 1/3}{1 − 1/2 · 1/3} = 1

arctg1 = arctg1/2 + arctg1/3

Vyjde nám tedy mnohem rychlejší formule:

π/4 = (1/2 + 1/3) − 1/3(1/2^{3} + 1/3^{3}) − 1/5(1/2^{5} − 1/3^{5}) + ⋯

Příklad:

Typické využítí Dirichletova kritéria:

(i) f_{n} ≡ (−1)^{n} (ii) f_{n}(x) = sin(nx) Vyšetřete konvergenci řady ∑_{n=1}^{∞} \frac{sin(nx)}{n^{α}}, α ∈ (0, ∞), x ∈ (0, 2π). Zvolme f_{n}(x) = sin(nx), pak elementární trigonometrií a indukcí:

∑_{k=1}^{n}f_{k}(x) = \frac{sin \frac{nx}{2} · sin \frac{(n+1)x}{2}}{sin \frac{x}{2}}

x ∈ [δ, 2π − δ], δ ∈ (0, π) : |∑_{k=1}^{n}f_{k}(x)| ≤ \frac{1}{sin(δ/2)}

(stejnoměrná omezenost)

g_{n}(x) ≡ 1/n^{α} ⇉ 0, tedy dle Dirichleta:

∑ \frac{sin(nx)}{n^{α}} ⇉^{loc} na (0, 2π)

Pozn.: Z Weistrasse lze toto dostat pouze pro α > 1, tedy je Dirichlet v tomto případě lepší.

Luboš Pick — Matematická analýza II Mocninné řady —

Mocninné řady

Definice:

Řadu funkcí

∑_{n=0}^{∞}a_{n}(x − x_{0})^{n} x_{0} ∈ ℝ, a_{n} ∈ ℝ

nazýváme mocninnou řadou se středem v bodě x_{0} a koeficienty a_{n}.*

Zajímá nás, zda, kde, jak a kam mocninná řada konverguje. Pozorování: Každá mocninná řada konverguje pro x = x_{0} (tj. ve svém středu). Odpověď na otázku, zda řada konverguje, případně kde, nám dá oblast konvergence M, ve které

x_{0} ∈ M.

Jak mocninná řada konverguje? Bodově, stejnoměrně, lokálně stejnoměrně či absolutně. A kam konverguje?

∃ f(x) : f(x) = ∑_{n=0}^{∞}a_{n}(x − x_{0})^{n} ?

V některých případech je řada vytvořena nějakou funkcí. Např. Taylorův polynom:

T_{x_{0}}^{f,n}(x) = ∑ \frac{f^{k}(x_{0})}{k!}(x − x_{0})^{k}

dále třeba Fourierova řada (bude), Martaminova řada (nebude), Bersteinovy polynomy (také nebudou).

VĚTA 1 (o existenci a jednoznačnosti poloměru konvergence mocninné řady):

Nechť ∑_{n=0}^{∞} a_{n}(x − x_{0})^{n} je mocninná řada. Pak

∃! R ∈ [0, ∞]

(pozor, R může být i nekonečno) takové, že řada konverguje pro ∀x takové, že |x − x_{0}| < R, a diverguje pro ∀x takové, že |x − x_{0}| > R. Co se děje v krajních hodnotách, nevíme — tam se může stát cokoliv.

DŮKAZ:

R := sup{|y − x_{0}| : ∑_{n=0}^{∞}a_{n}(y − x_{0})^{n} konverguje}

Nechť |x − x_{0}| < R. Potom

∑_{n=0}^{∞}|a_{n}||x − x_{0}|^{n}

a protože |x − x_{0}| < R, existuje y takové, že

|y − x_{0}| > |x − x_{0}| ∧ |y − x_{0}| < R ∧ ∑_{n=0}^{∞}a_{n}(y − x_{0})^{n} konverguje

∑_{n=0}^{∞}|a_{n}||x − x_{0}|^{n} = ∑_{n=0}^{∞}|a_{n}||y − x_{0}|^{n} (\frac{|x − x_{0}|}{|y − x_{0}|})^{n}

* Zde používáme konvenci 0^{0} := 1 Protože řada ∑ a_{n}(y − x_{0})^{n} konverguje,

∃ K : |a_{n}||y − x_{0}|^{n} ≤ K

∑_{n=0}^{∞}|a_{n}||x − x_{0}|^{n} ≤ K ∑_{n=0}^{∞}(\frac{|x − x_{0}|}{|y − x_{0}|})^{n}

Protože však \frac{|x − x_{0}|}{|y − x_{0}|} < 1, jde o konvergentní geometrickou řadu.

Nechť |x − x_{0}| > R. Z definice R plyne, že x diverguje. Jednoznačnost R plyne z jednoznačnosti suprema. Q.E.D.

VĚTA 2 (o výpočtu poloměru konvergence):

Nechť ∑_{n=0}^{∞} a_{n}(x − x_{0})^{n} je mocninná řada s poloměrem konvergence R ∈ [0, ∞]. Potom

R = \frac{1}{lim sup_{n→∞} ^{n} \sqrt{|a_{n}|}}

DŮKAZ:

Označme si

R^{∗} := \frac{1}{lim sup_{n→∞} ^{n} \sqrt{|a_{n}|}}

Budeme dokazovat, že řada konverguje pro |x − x_{0}| < R^{∗} a diverguje pro |x − x_{0}| > R^{∗}, tedy že R^{∗} = R. Jakmile toto dokážeme, tvrzení vyplyne z jednoznačnosti R, dokázané v V.1-.

Nechť R^{∗} ∈ (0, ∞). Dále nechť |x − x_{0}| < R^{∗}. Potom

lim sup_{n→∞} ^{n} \sqrt{|a_{n}||x − x_{0}|^{n}} = |x − x_{0}| lim sup_{n→∞} ^{n} \sqrt{|a_{n}|} = \frac{|x − x_{0}|}{R^{∗}} < 1

Dle Cauchyova kritéria řada (čísel) ∑_{n=0}^{∞} a_{n}(x − x_{0})^{n} konverguje.

Nechť |x − x_{0}| > R^{∗}. Pak

lim sup_{n→∞} ^{n} \sqrt{|a_{n}||x − x_{0}|^{n}} > 1

a tedy opět dle Cauchyho ∑_{n=0}^{∞} a_{n}(x − x_{0})^{n} diverguje.

Případy R^{∗} = 0 a R^{∗} = ∞ odbobně (⟨cvičení⟩). Q.E.D.

Příklady:

(i) ∑_{n=0}^{∞} \frac{x^{n}}{n!}

Střed je v x_{0} = 0, poloměr

R = \frac{1}{lim sup_{n→∞} ^{n} \sqrt{1/n!}} = 1/0 = ∞

(z konvence (pouze v této pasáži) 1/0 = +∞ a 1/∞ = 0).

Tedy tato řada konverguje (bodově) pro ∀x ∈ ℝ k funkci expx.

(ii) ∑_{n=0}^{∞}n^{n}(x − 1)^{n}
x_{0} = 1

R = \frac{1}{lim sup_{n→∞} ^{n} \sqrt{n^{n}}} = 1/∞ = 0

Řada konverguje jen pro x = 1.

(iii) ∑_{n=0}^{∞}arctg(2n)(x − 3)^{n}
x_{0} = 3
R = 1

Řada konverguje pro x ∈ (2, 4), diverguje pro x ∈ ℝ \ [2, 4]. V bodech x = 2, x = 4 řada diverguje (arctg rychle odkonverguje někam vysoko nad nulu). Tedy řada konverguje pro x ∈ (2, 4).

(iv) ∑_{n=2}^{∞} \frac{(x + e)^{n}}{logn}
x_{0} = −e
n \sqrt{1/ logn} ∈ ( ^{n} \sqrt{1/n}, ^{n} \sqrt{1}) ⇒ R = 1

Konverguje pro x ∈ (−e − 1, −e + 1). V bodě x = −e − 1: ∑_{n=2}^{∞} \frac{(−1)^{n}}{log n} konverguje, Leibniz. V bodě x = −e + 1: ∑_{n=2}^{∞} \frac{1}{log n} diverguje, srovnání s harmonickou. Tedy řada konverguje pro x ∈ [−e − 1, −e + 1).

(v) ∑_{n=1}^{∞} \frac{(−1)^{n}(2x)^{2n}}{2n}
x = 0

a_{m} = \{ \begin{matrix}\frac{(−1)^{n}2^{2n}}{2n} & m = 2n, n ∈ ℕ \\ 0 & m = 2n + 1, n ∈ ℕ \end{matrix}

lim sup_{n→∞} ^{n} \sqrt{|a_{n}|} = lim sup_{n→∞} ^{2n} \sqrt{\frac{2^{2n}}{2n}} = lim sup_{n→∞} \frac{2}{\sqrt[2n]{2n}} = 2

Tedy R = 1/2, řada konverguje pro x ∈ (−1/2, 1/2).

V bodech x = ±1/2: ∑ \frac{(−1)^{n}}{2n} konverguje dle Leibnize, tudíž řada konverguje pro x ∈ [−1/2, 1/2].

Otázka: Jak vyšetořovat stejnoměrnou (lokálně stejnoměrnou) konvergenci mocninných řad?

VĚTA 3 (o lokálně stejnoměrné konvergenci mocninné řady):

Nechť ∑_{n=0}^{∞} a_{n}(x − x_{0})^{n} je mocninná řada s poloměrem konvergence R ∈ (0, ∞]. Potom řada konverguje absolutně a lokálně stejnoměrně na intervalu (x_{0} − R, x_{0} + R) je-li R < ∞ a na intervalu ℝ, je-li R = +∞.

DŮKAZ:

Stačí dokázat, že ∑ ⇉ na každém intervalu [x_{0} − K, x_{0} + K], kde K ∈ (0, R). Mějme tedy K ∈ (0, R), pak

sup_{x∈[x_{0} −K,x_{0} +K]} |a_{n}||(x − x_{0})^{n}| = |a_{n}|K^{n}

ale ∑_{n=0}^{∞} |a_{n}|K^{n} konverguje (viz důkaz V.1-). Tedy dle Weistrassova kriteria ∑ ⇉ na [x_{0} − K, x_{0} + K]. Q.E.D.

VĚTA 4 (o derivaci mocninné řady):

Nechť ∑_{n=0}^{∞} a_{n}(x − x_{0})^{n} je mocninná řada s poloměrem konvergence R ∈ (0, ∞]. Potom řada

∑_{n=1}^{∞}na_{n}(x − x_{0})^{n−1}

je také mocninná, se stejným středem i poloměrem konvergence, a navíc

(∑_{n=0}^{∞}a_{n}(x − x_{0})^{n})′ = ∑_{n=1}^{∞}na_{n}(x − x_{0})^{n−1} x ∈ (x_{0} − R, x_{0} + R)

DŮKAZ:

Nechť R′ je poloměr konvergence řady ∑_{n=1}^{∞} na_{n}(x − x_{0})^{n−1}, pak

lim sup_{n→∞} ^{n} \sqrt{n|a_{n}|} =^{VOAL} 1 · lim sup_{n→∞} ^{n} \sqrt{|a_{n}|}

a tedy R′ = R. Zároveň díky tomu

∑_{n=1}^{∞}na_{n}(x − x_{0})^{n−1} ⇉^{loc} na (x_{0} − R, x_{0} + R) (viz předchozí věta)

a v záchytném bodě x = x_{0} konverguje řada ∑_{n=0}^{∞} a_{n}(x − x_{0})^{n}. Tedy dle věty o záměně sumy a derivace

(∑ a_{n}(x − x_{0})^{n})′ = ∑ a_{n}n(x − x_{0})^{n−1}

Q.E.D.

VĚTA 5 (o integraci mocninné řady):

Nechť ∑_{n=0}^{∞} a_{n}(x − x_{0})^{n} je mocninná řada s poloměrem konvergence R ∈ (0, ∞]. Potom

∫ (∑_{n=0}^{∞}a_{n}(x − x_{0})^{n}) dx = c + ∑_{n=0}^{∞} \frac{a_{n}}{n + 1} (x − x_{0})^{n+1} x ∈ (x_{0} − R, x_{0} + R)

Důkaz: Nechceme. Q.E.D.

VĚTA 6 (Abelova):

Nejdůležitější věta pasáže. Nechť má mocninná řada ∑_{n=0}^{∞} a_{n}x^{n} se středem x_{0} = 0 poloměr konvergence R ∈ (0, ∞). Nechť

∑_{n=0}^{∞} a_{n}R^{n} konverguje. Potom

∑_{n=0}^{∞}a_{n}x^{n} ⇉ na [0, R]

!  ∑_{n=0}^{∞}a_{n}R^{n} = lim_{x→R_{−}} ∑_{n=0}^{∞}a_{n}x^{n}  !

DŮKAZ:

∑_{n=0}^{∞}a_{n}x^{n} = ∑_{n=0}^{∞}a_{n}R^{n}(x/R)^{n}

Řada ∑ a_{n}R^{n} konverguje, tedy také ∑ a_{n}R^{n} ⇉. Dále |(x/R)^{n}| ≤ 1, a navíc je (x/R)^{n} monotónní (v n) pro každé x. Podle Abelova kritéria tedy ∑ a_{n}x^{n} ⇉.

Vzorec s limitou plyne ihned z Moore-Osgoodovy věty.

Q.E.D.

Luboš Pick — Matematická analýza II Mocninné řady —

Příklady:

(i) Sečtěte řadu ∑_{n=1}^{∞} \frac{(−1)^{n−1}}{n} = 1 − 1/2 + 1/3 − 1/4 + ⋯

Zaveďme si umělou proměnnou x. Definujeme řadu (funkcí)

∑_{n=1}^{∞} \frac{(−1)^{n−1}}{n} x^{n}

To je mocninná řada s poloměrem konvergence R = 1. Pro x = R řada konverguje (Leibniz). Tedy dle Abelovy věty

f(x) := ∑_{n=1}^{∞} \frac{(−1)^{n}}{n} x^{n}

a tato funkce splňuje

f′(x) = ∑_{n=1}^{∞} \frac{(−1)^{n−1}}{n} nx^{n−1} = ∑_{n=1}^{∞}(−x)^{n−1} = ∑_{n=0}^{∞}(−x)^{n} = \frac{1}{1 + x} x ∈ (−1, 1)

a navíc platí

∑_{n=1}^{∞} \frac{(−1)^{n−1}}{n} = lim_{x→1_{−}} f(x)

f(x) = ∫ f′(x) dx = ∫ \frac{dx}{1 + x} = log(1 + x) + c

a zbývá dopočítat c:

f(0) = ∑_{n=1}^{∞} \frac{(−1)^{n−1}}{n} · 0^{n} = 0 ⟹ log(1 + 0) + c = 0 ⟹ c = 0

⟹ f(x) = log(1 + x)

Tedy

∑_{n=1}^{∞} \frac{(−1)^{n−1}}{n} = lim_{x→1_{−}} f(x) = log2

(ii) Sečtěte řadu ∑_{n=1}^{∞}(−1)^{n} \frac{n^{2}}{n!} =: s

s = ∑_{n=1}^{∞}(−1)^{n} \frac{n}{(n − 1)!} = ∑_{n=0}^{∞}(−1)^{n+1} \frac{n + 1}{n!}

Definujme si:

f(x) := ∑_{n=0}^{∞}(−1)^{n+1} \frac{n + 1}{n!} x^{n}

Pak dle V.5- pro F (x) = ∫ f(x) dx platí

F (x) = c + ∑_{n=0}^{∞}(−1)^{n+1} \frac{x^{n+1}}{n!} = c + ∑_{n=0}^{∞} \frac{(−x)^{n+1}}{n!} = c − x ∑_{n=0}^{∞} \frac{(−x)^{n}}{n!} = c − xe^{−x}

F′(x) = −e^{−x} + xe^{−x} = (x − 1)e^{−x} = f(x)

a tedy dle Abelovy věty

s = lim_{x→1_{−}} f(x) = 0

Cvičení: ∑_{n=1}^{∞} \frac{n^{2}}{n!} = 2e

Luboš Pick — Matematická analýza II Fourierovy řady —

Fourierovy řady

Fyzikální motivace

Rovnice vedení tepla nám říká, že vezmeme-li si třeba měděnou tyč, která má na jednom konci teplotu 0^{∘}C a na druhém konci ji zahříváme kahanem na 100^{∘}C, a nás zajímá, jak vypadá funkce T (x, t).

To vede na hledání f takové, aby f′′ = −f (např. sinx, cosx). Je výhodné řešení hledat ve tvaru řady, ale ta řada není mocninná. Místo mocnin x^{n} pracuje s

funkcemi sin(nx) a (cos(nx).

Koupím si pizzu, hodím ji do trouby. V t = 8^{00} bude mít T = 110^{∘}C. Kdy bude T = 60^{∘}C? V t = 18^{00} nastane smrt hlady. Je třeba se spálit? Mějme čas t, teplotu T. Teplota místnosti je T_{0} = 20. k je materiálová konstanta.

\begin{matrix}t = 0 : & T (t) = T (0) = 110^{∘} \\ t = 5 : & T (t) = T (5) = 90^{∘} \end{matrix}

Newton:

−\frac{dT}{dt} = k(T (t) − T_{0})

∫ \frac{dT}{T − T_{0}} = ∫ −k dt)

log(T − T_{0}) = −kt + c

T − T_{0} = e^{c}e^{−kt} =: Ae^{−kt}

Nevím, co je k a A:

T (t) = T_{0} + Ae^{−kt}

Dosadíme:

\begin{aligned}t = 0 : & 110 = 20 + Ae^{0} & ⇒ A = 90 & T = 20 + 90e^{−kt} \\ t = 5 : & 80 = 20 + 90e^{−k5} & ⇒ 2/3 = e^{−5k} & e^{−k} = ^{5} \sqrt{2/3} \end{aligned}

⟹ T (t) = 20 + 90(2/3)^{t/5}

\begin{aligned}t = 10 : & T (10) ≤ 60?? \\ & 20 + 90(2/3)^{2} = 20 + 40 = 60 \end{aligned}

To bylo o fous.

Potíž s tyčí je ta, že musíme derivovat parciálně, neboť máme dvě proměnné. Vše se povážlivě komplikuje a na pomoc spěchá právě pan Fourier.

Jean–Baptiste Joseph Fourier (1768—1830) v roce 1822 vymyslel Fourierovy řady. Euler totiž pracoval se systémem funkcí {1, x, x^{2}, x^{3}, …}, ale Fourier si řekl, že by se mu hodil spíše trigonometrický systém {1, cosx, sinx, cos(2x), sin(2x), …}.

Otázka:

Je-li dáno f, chceme najít čísla a_{n}, b_{n} tak, aby řada

a_{0}/2 + ∑_{n=1}^{∞}(a_{n} cos(nx) + b_{n} sin(nx))

konvergovala (nejlépe stejnoměrně) k funkci f.

Definice:

Funkce f se nazývá 2π-periodická, jestliže

∀x ∈ ℝ : f(x + 2π) = f(x)

Množinu 2π-periodických funkcí značíme P_{2π}. Řadu funkcí tvaru

a_{0}/2 + a_{1} cosx + b_{1} sinx + a_{2} cos(2x) + b_{2} sin(2x) + ⋯ = a_{0}/2 + ∑_{k=1}^{∞}(a_{n} cos(nx) + b_{n} sin(nx))

nazýváme trigonometrickou řadou. Čísla {a_{n}}_{n=0}^{∞} , {b_{n}}_{n=1}^{∞} pak nazýváme koeficienty trigonometrické řady.

Poznámka:

Jestliže trigonometrická řada bodově konverguje k funkci f, tj.

f(x) = a_{0}/2 + ∑_{k=1}^{∞}(a_{k} cos(kx) + b_{k} sin(kx))

potom nezbytně f ∈ P_{2π}.

Výpočet koeficientů

Budeme porovnávat systémy pro mocninnou řadu {1, x, x_{2}, …} a pro trigonometrickou řadu {1, cosx, sinx, …}.

Jak hledat koeficienty? Předpokládejme, že

f(x) = a_{0}/2 + ∑_{n=1}^{∞}(a_{n} cos(nx) + b_{n} sin(nx)) x ∈ ℝ

a nechť řada konverguje stejnoměrně v ℝ.

Pozorování:

Takový trigonometrický systém je ortogonální (funkce jsou na sebe kolmé).

∀m, n ∈ ℕ ∨ n = 0 : ∫_{−π}^{π} sin(mx) cos(nx) dx = 0

∫_{−π}^{π} sin(kx) sin(nx) dx = \{ \begin{matrix}π & k = n \\ 0 & k ≠ n \end{matrix}

∫_{−π}^{π} cos(kx) cos(nx) dx = \{ \begin{matrix}π & k = n \\ 0 & k ≠ n \end{matrix}

(a_{0}) Integrujeme f(x) od −π do π:

∫_{−π}^{π} f(x) dx = \frac{a_{0}}{2} · 2π + ∑_{n=1}^{∞}(a_{n} \underbrace{∫_{−π}^{π} cos(nx) dx}_{0}+b_{n} \underbrace{∫_{−π}^{π} sin(nx) dx}_{0}) = a_{0}π

⟹ a_{0} = 1/π ∫_{−π}^{π} f(x) dx

(a_{m}, m ≥ 1) Vynásobíme f(x) cos(mx) a integrujeme od −π do π:

∫_{−π}^{π} f(x) cos(mx) dx = a_{0}/2 \underbrace{∫_{−π}^{π} cos(mx) dx}_{0}+

+ ∑_{n=1}^{∞}(a_{n} \underbrace{∫_{−π}^{π} cos(nx) cos(mx) dx}_{a_{m}π} +b_{n} \underbrace{∫_{−π}^{π} sin(nx) cos(mx) dx}_{0})

⟹ a_{m} = 1/π ∫_{−π}^{π} f(x) cos(mx) dx

(b_{m}, m ≥ 1) Obdobně jako a_{n}:

b_{m} = 1/π ∫_{−π}^{π} f(x) sin(mx) dx

Definice:

Nechť f je 2π-periodická a Riemannovsky integrovatelná:

f ∈ P_{2π} ∩ R([−π, π])

Pak čísla {a_{n}}_{n=0}^{∞} , {b_{n}}_{n=0}^{∞} , kde

a_{0} = 1/π ∫_{−π}^{π} f(x) dx

a_{n} = 1/π ∫_{−π}^{π} f(x) cos(nx) dx

b_{n} = 1/π ∫_{−π}^{π} f(x) sin(nx) dx

nazýváme Fourierovými koeficienty funkce f. Řadu

a_{0}/2 + ∑_{n=1}^{∞}(a_{n} cos(nx) + b_{n} sin(nx))

pak nazýváme Fourierovou řadou f.

Řekneme, že f ∈ P_{2π} je po částech hladká (f ∈ c_{2π}), jestliže existuje konečně mnoho bodů

−π ≤ x_{1} < x_{2} < ⋯ < x_{m} < π

takových, že na intervalech (x_{i}, x_{i+1} ) jsou f i f′ spojité a v bodech x_{1}, …, x_{m} existují jednostranné limity funkcí f i f′.

f je po částech spojitá, jestliže existují body x_{0}, …, x_{n} ∈ [−π, π), tak, že f je spojitá na (x_{j}, x_{j+1} ) a má jednostranné limity lim_{y→x_{j}_{±}} f(y).

Pozn.: Pokud f ∈ c_{2π}, pak f′ je po částech spojitá.

Luboš Pick — Matematická analýza II Fourierovy řady —

VĚTA 1 (Besselova nerovnost):

Nechť f ∈ c_{2π}, a_{n}, b_{n} její Fourierovy koeficienty. Potom platí

a_{0}^{2}/2 + ∑_{n=1}^{∞}(a_{n}^{2} + b_{n}^{2}) ≤ 1/π ∫_{−π}^{π} f(x)^{2} dx

DŮKAZ:

Označíme

s_{n}(x) := a_{0}/2 + ∑_{k=1}^{n}(a_{k} cos(kx) + b_{k} sin(kx))

Zřejmě platí:

∫_{−π}^{π}(f(x) − s_{n}(x))^{2} dx ≥ 0

2 ∫_{−π}^{π} f(x)s_{n}(x) dx − ∫_{−π}^{π} s_{n}(x)^{2} dx ≤ ∫_{−π}^{π} f(x)^{2} dx

Přitom platí:

∫_{−π}^{π} f(x)s_{n}(x) dx = a_{0}/2 ∫_{−π}^{π} \underbrace{f(x)}_{πa_{0}} dx+

+ ∑_{k=1}^{n}(a_{k} ∫_{−π}^{π} \underbrace{f(x) cos(kx)}_{πa_{k}} dx + b_{k} ∫_{−π}^{π} \underbrace{f(x) sin(kx)}_{πb_{k}} dx + ) =

= π(a_{0}^{2}/2 + ∑_{k=1}^{n}(a_{k} + b_{k})^{2})

Analogicky platí (⟨cvičení⟩) také:

∫_{−π}^{π} s_{n}(x)^{2} dx = π(a_{0}^{2}/2 + ∑_{k=1}^{n}(a_{k}^{2} + b_{k}^{2}))

Tedy nutně:

π(a_{0}^{2}/2 + ∑_{k=1}^{n}(a_{k}^{2} + b_{k}^{2}) ≤ ∫_{−π}^{π} f(x)^{2} dx)

Q.E.D.

VĚTA 2 (Riemannovo–Lebesgueovo lemma):

Nechť f ∈ c_{2π}, a_{n}, b_{n} její Fourierovy koeficienty. Pak

lim_{n→∞} a_{n} = lim_{n→∞} b_{n} = 0

a speciálně

lim_{n→∞} 1/π ∫_{−π}^{π} f(x) cos(nx) dx = lim_{n→∞} 1/π ∫_{−π}^{π} fx) sin(nx) dx = 0 ∀f ∈ c_{2π}

Důkaz: Přímý důsledek V.1-. Q.E.D.

Luboš Pick — Matematická analýza II Fourierovy řady —

Poznámka:

Pro věty 1 a 2 je předpoklad f ∈ c_{2π} zbytečně silný, stačí předpokládat, že f^{2} ∈ R[−π, π]. Tedy máme:

VĚTA 1 ():

f ∈ P_{2π} ∧ f^{2} ∈ R[−π, π] ⇒

a_{0}^{2}/2 + ∑_{n=1}^{∞}(a_{n}^{2} + b_{n}^{2}) ≤ 1/π ∫_{−π}^{π} f(x)^{2} dx

VĚTA 2 ():

f ∈ P_{2π} ∧ f^{2} ∈ R[−π, π] ⇒

lim_{n→∞} a_{n} = lim_{n→∞} b_{n} = 0

Poznámka:

Riemannovo–Lebesgueovo lemma ve skutečnosti tvrdí, že

f ∈ R[−π, π] ⇒ lim_{n→∞} a_{n} = lim_{n→∞} b_{n} = 0

LEMMA:

1/2 + cosx + cos(2x) + ⋯ + cos(nx) = \frac{sin((n + 1/2)x)}{2 sinx/2} x ≠ 2kπ

Důkaz: Jednoduše indukcí.

Důsledek:

1/π ∫_{0}^{π} \frac{sin((n + 1/2)t)}{2 sint/2} dt = 1/π ∫_{−π}^{0} \frac{sin((n + 1/2)t)}{2 sint/2} dt = 1/2

Značení:

Máme f, pak Fourierovu řadu značíme

S(f, x) := a_{0}/2 + ∑_{n=1}^{∞}(a_{n} cos(nx) + b_{n} sin(nx))

S_{n}(f, x) := a_{0}/2 + ∑_{k=1}^{n}(a_{k} cos(kx) + b_{k} sin(kx))

Připomeňme si, že

a_{n} = 1/π ∫_{−π}^{π} f(t) cos(nt) dx
b_{n} = 1/π ∫_{−π}^{π} f(t) sin(nt) dx

Luboš Pick — Matematická analýza II Fourierovy řady —

f(x + 0) := lim_{y→0_{+}} f(x + y)

f(x − 0) := lim_{y→0_{+}} f(x − y)

Pro f ∈ P_{2π} definuji f^{∗}(x) := \frac{f(x + 0) + f(x − 0)}{2} .

Poznámky:

(i) f spojitá v x ⇒ f(x) = f^{∗}(x) (ii) f má “skok” v x ⇒ f^{∗}(x) je aritmetickým průměrem limit zleva a zprava (bez ohledu na

hodnotu).

Nesmyslný vzorec:

\frac{f(x + 0)}{2} = 1/π ∫_{0}^{π} \frac{f(x + 0)}{2 sint/2} sin((n + 1/2)t) dt

\frac{f(x − 0)}{2} = 1/π ∫_{−π}^{0} \frac{f(x − 0)}{2 sint/2} sin((n + 1/2)t) dt

VĚTA 3 (o bodové konvergenci Fourierovy řady):

f ∈ c_{2π} ⇒ S(f, x) = f^{∗}(x) x ∈ ℝ

Tedy Fourierova řada po částech hladké funkce konverguje bodově na celém ℝ k výrazu

f^{∗}(x) = \frac{f(x + 0) + f(x − 0)}{2}

DŮKAZ:

S_{n}(f, x) = 1/π ∫_{−π}^{π} f(t) {1/2 + ∑_{k=1}^{n}(cos(kt) cos(kx) + sin(kt) sin(kx))} dt

= 1/π ∫_{−π}^{π} f(t) {1/2 + ∑_{k=1}^{n}cos(k(t − x))} dt (trigonometrie) = 1/π ∫_{−π}^{π} f(x + t) {1/2 + ∑_{k=1}^{n}cos(kt)} dt (substituce a 2π-peridodicita)

= 1/π ∫_{−π}^{π} f(x + t)\frac{sin((n + 1/2)t)}{2 sint/2} dt (lemma)

S_{n}(f, x) − f^{∗}(x) =^{NV} 1/π ∫_{−π}^{0} \frac{f(x + t) − f(x − 0)}{2 sint/2} sin((n + 1/2)t) dt+

+1/π ∫_{0}^{π} \frac{f(x + t) − f(x + 0)}{2 sint/2} sin((n + 1/2)t) dt

Označíme

G(t) := \{ \begin{matrix}\frac{f(x + t) − f(x − 0)}{2 sint/2} & t ∈ [−π, 0) \\ 0 & t = 0 \\ \frac{f(x + t) − f(x + 0)}{2 sint/2} & t ∈ (0, π] \end{matrix}

⇒ S_{n}(f, x) − f^{∗}(x) = 1/π ∫_{−π}^{π} G(t) sin((n + 1/2)t) dt

= 1/π ∫_{−π}^{π} \underbrace{G(t) sin(t/2)}_{po částech spojitá?}cos(nt) dt + 1/π ∫_{−π}^{π} \underbrace{G(t) cos(t/2)}_{po částech spojitá?}sin(nt) dt

Chci dokázat, že G je po částech spojitá. K tomu stačí dokázat existenci G(0 + 0), G(0 − 0).

G(0 + 0) = lim_{t→0_{+}} G(t) =^{L’H “ \frac{0}{0} ”} \frac{lim_{t→0_{+}} f′(x + t)}{lim_{t→0_{+}} 2 cos(t/2) · 1/2} = f′(x + 0) (víme, že existuje)

G(0 − 0) = f′(x − 0)

Tedy G je po částech spojitá, tudíž také G(t) sin(t/2), G(t) cos(t/2) jsou po částech spojité. Tedy jejich druhá mocnina je ∈ R[−π, π] a podle V.2- jejich Fourierovy koeficienty jdou k nule.

lim_{n→∞}(S_{n}(f, x) − f^{∗}(x)) = 0

Q.E.D.

VĚTA 4 (o stejnoměrné konvergenci Fourierovy řady):

f ∈ c_{2π} ∧ spojitá na ℝ ⟹ S(f, x) ⇉ f(x) x ∈ ℝ

DŮKAZ:

Protože

sup_{x∈ℝ} |a_{n} cos(nx) + b_{n} sin(nx)| ≤ |a_{n}| + |b_{n}|

stačilo by dokázat, že

∑_{n=1}^{∞}(|a_{n}| + |b_{n}|) konverguje

neboť pak by tvrzení plynulo z Weistrassova kritéria.

Víme, že f′ je definovaná (a spojitá) všude kromě konečně mnoha bodů v [−π, π). Je tak po částech spojitá na ℝ, a tedy

(f′)^{2} ∈ R[−π, π]

Nechť α_{n}, β_{n} jsou Fourierovy koeficienty funkce f′, tedy

α_{n} = 1/π ∫_{−π}^{π} f′(x) cos(nx) dx =^{per partes} \underbrace{1/π[f(x) cos(nx)]_{−π}^{π}}_{0}−1/π ∫_{−π}^{π} f(x)(−n sin(nx)) dx

= n/π ∫_{−π}^{π} f(x) sin(nx) dx = nb_{n}

a obdobně

β_{n} = −na_{n}

Luboš Pick — Matematická analýza II Fourierovy řady — Z Besselovy nerovnosti pro f′ máme

∑_{n=1}^{∞}(α_{n}^{2} + β_{n}^{2}) ≤ 1/π ∫_{−π}^{π} f′(x)^{2} dx < ∞

Víme, že

∑(αn^{2} + βn^{2}) < ∞ α_{n} = nb_{n}, β_{n} = −na_{n}

a chceme

∑(|a_{n}| + |b_{n}|) < ∞

Tedy jest:

∑_{n=1}^{∞}(|a_{n}| + |b_{n}|) = ∑_{n=1}^{∞}(|α_{n}|/n + |β_{n}|/n) =^{(na dluh)} ∑_{n=1}^{∞}|α_{n}|/n + ∑_{n=1}^{∞}|β_{n}|/n

Do hry konečně po mnoha měsících přichází dávná Cauchyova nerovnost:

≤ (∑_{n=1}^{∞}α_{n}^{2})^{1/2} (∑_{n=1}^{∞}1/n^{2})^{1/2} + (∑_{n=1}^{∞}β_{n}^{2})^{1/2} (∑_{n=1}^{∞}1/n^{2})^{1/2} < ∞

Q.E.D.

VĚTA 5 (o lokálně stejnoměrné konvergenci Fourierovy řady):

Nechť f ∈ c_{2π}, pak její Fourierova řada konverguje bodově k f^{∗}. Tato konvergence je lokálně stejnoměrná na každém intervalu (α, β), na kterém je f spojitá.

Důkaz: Bez. Q.E.D.

Příklad:

f(x) = π − x x ∈ [−π, π)

2π-periodické rozšíření: f(x) = π − (x + 2kπ) x ∈ [(2k − 1)π, (2k + 1)π)

f ∈ c_{2π} ⇒ \underbrace{s(f, x)}_{0} → f^{∗}(x) = \{ \begin{matrix}f(x) & x ≠ 2kπ \\ π & x = 2kπ \end{matrix}

Cvičení:

a_{0} = 2π, a_{n} = 0, n ≥ 1, b_{n} = \frac{2(−1)^{n}}{n}

S(f, x) = π + 2 ∑_{n=1}^{∞} \frac{(−1)^{n}}{n} sin(nx)

= π − 2 sinx + sin(2x) − 2/3 sin(3x) + ⋯

VĚTA 6 (o derivování Fourierovy řady):

Nechť f ∈ P_{2π} a má Fourierovy koeficienty {a_{n}}_{n=0}^{∞} , {b_{n}}_{n=1}^{∞} . Dále nechť

∑_{n=1}^{∞}n(|a_{n}| + |b_{n}|)

konverguje. Potom f ∈ c^{1} (tj. má spojitou derivaci) a řada

∑_{n=1}^{∞}n(cos(nx)b_{n} − sin(nx)a_{n}) ⇉ f′ na ℝ

DŮKAZ:

f_{n}(x) := a_{n} cos(nx) + b_{n} sin(nx)

f′_{n}(x) = n(b_{n} cos(nx) − a_{n} sin(nx))

sup_{x∈ℝ} |f′_{n}(x)| ≤ n(|a_{n}| + |b_{n}|) =: s_{n}

přičemž ∑ s_{n} < ∞ (z předpokladu). Tedy dle Weistrassova kritéria ∑_{n=1}^{∞} f′_{n} ⇉ na ℝ.

g := ∑_{n=1}^{∞}f′_{n}(x)

Navíc pro pevný bod x = 0 platí

|∑_{n=1}^{∞}f_{n}(0)| = |∑ a_{n}| ≤ ∑ |a_{n}| < ∞

Tedy dle věty o záměně sumy a derivace ∑_{n=1}^{∞} f_{n} ⇉^{loc} f, protože ale f ∈ P_{2π}, tak ∑ f_{n} ⇉ f na ℝ a navíc f′ = g.

Q.E.D.

Poznámka:

Je-li f sudá, b_{n} = 0 a a_{n} = 2/π ∫_{0}^{π} f(x) cos(nx) dx. Je-li f lichá, a_{n} = 0 a b_{n} = 2/π ∫_{0}^{π} f(x) sin(nx) dx. Fourierovy koeficienty se tedy krásně počítají, je-li funkce symetrická.

Luboš Pick — Matematická analýza II Metrické prostory —

Metrické prostory

Úvod

Motivace

Máme neprázdnou množinu P (množinu čehokoliv — může jít o množinu všech žiraf v Maďarsku, množinu všech pravdivých výroků Stanislava Grosse — nebo i něco většího), mezi jejímiž objekty chceme měřit vzdálenost.

Definice:

Buď P neprázdná množina a ϱ: P × P → [0, ∞). Jestliže platí:

(i) ϱ(x, y) = 0 ⇔ x = y ∀x, y ∈ P

(ii) ϱ(x, y) = ϱ(y, x)  (symetrie)  ∀x, y ∈ P
(iii) ϱ(x, y) ≤ ϱ(x, z) + ϱ(z, y)  (trojúhelníková nerovnost)  ∀x, y ∈ P

Potom ϱ je metrika na P a (P, ϱ) nazýváme metrickým prostorem. Cvičení: Je v metrickém prostoru nádraží cena lístku metrikou? ⟨cvičení⟩

Příklady:

(i) P = ℝ, ϱ = ϱ_{eukl.} (x, y) := |x − y| (ii) P ⊂ ℝ, ϱ = ϱ_{eukl.} (x, y) (podprostor se zděděnou metrikou) (iii) P = ℝ^{n} = {x = (x_{1}, x_{2}, …, x_{n}), x_{j} ∈ ℝ, j = 1, …, n}, n ∈ ℕ

(a) P = ℝ^{n}, ϱ = ϱ_{eukl.} (x, y) := \sqrt{∑_{j=1}^{n}(y_{j} − x_{j})^{2}}

(i) a (ii) triviální. Dokažme si (iii):

\sqrt{∑_{j=1}^{n}(y_{j} − x_{j})^{2}} ≤ \sqrt{∑_{j=1}^{n}(x_{j} − z_{j})^{2}} + \sqrt{∑_{j=1}^{n}(z_{j} − y_{j})^{2}}

Označme a_{j} := x_{j} − z_{j}, b_{j} := z_{j} − y_{j}, tedy chci
\sqrt{∑(a_{j} + b_{j})^{2}} ≤ \sqrt{∑ a_{j}^{2}} + \sqrt{∑ b_{j}^{2}}

\begin{aligned}\sqrt{∑(a_{j} + b_{j})^{2}} & = \sqrt{∑ a_{j}^{2} + 2 ∑ a_{j}b_{j} + ∑ b_{j}^{2}} \\ & ≤^{Cauchy} \sqrt{∑ a_{j}^{2} + 2\sqrt{∑ a_{j}^{2}} \sqrt{∑ b_{j}^{2}} + ∑ b_{j}^{2}} = \sqrt{∑ a_{j}^{2}} + \sqrt{∑ b_{j}^{2}} \end{aligned}

(b) newyorkská metrika: ϱ_{NY}(x, y) := ∑_{j=1}^{n}|x_{j} − y_{j}|

(c) maximová metrika: ϱ_{max} (x, y) := max_{j=1,...,n} |x_{j} − y_{j}|

(d) “ruská” metrika: mějme a ∈ P, ϱ_{pamp.} (x, y) := \{ \begin{matrix}0 & x = y \\ ϱ(x, a) + ϱ(a, y) & x ≠ y \end{matrix} Luboš Pick — Matematická analýza II Metrické prostory — Úvod

(iv) P = C[a, b] = {f definovaná a spojitá na [a, b]} (a) integrální metrika: ϱ_{int}(f, g) := ∫_{a}^{b} |f(x) − g(x)| dx

(b) supremální metrika: ϱ_{sup}(f, g) := sup_{x∈[a,b]}|f(x) − g(x)|

Z obrázku vyplývá, že ϱ_{int}(f, g) ≤ (b − a)ϱ_{sup}(f, g)

(v) diskrétní metrika: P je cokoliv, ϱ_{diskr.} (x, y) = \{ \begin{matrix}0 & x = y \\ 1 & x ≠ y \end{matrix}

Definice:

(P, ϱ) buď metrický prostor, x ∈ P, r > 0. Pak otevřenou koulí se středem x a poloměrem r rozumíme množinu

B(x, r) := {y ∈ P : ϱ(x, y) < r}

Obdobně definujeme uzavřenou kouli jako

\overline{B}(x, r) := \{y ∈ P : ϱ(x, y) ≤ r\}

Pozor, např. když P = [0, 1], x = 1/4, r = 1/2, pak B(x, r) = B(1/4, 1/2) = [0, 3/4)!

Příklady:

Mějme P = ℝ^{2}, x = [0, 0], r = 1 (jednotková koule se středem 0: B([0, 0], 1)). Spousta obrázků...

(1) ϱ_{eukl.}: kolečko

(2) ϱ_{NY}: kosočtverec

(3) ϱ_{max} : čtvereček

(4) ϱ_{diskr.} : B(x, r) = \{ \begin{matrix}\{x\} & r ≤ 1 \\ P & r > 1 \end{matrix}

(5) ϱ_{pamp.} : ⟨cvičení⟩ Mějme P = C[a, b], f, r > 0.

(1) ϱ_{sup}: r-ový pásek kolem funkce, všechny funkce, které z něj nevylezou

(2) ϱ_{int}: nelze nakreslit

Definice:

(P, ϱ) buď metrický prostor a G ⊆ P. Řekneme, že G je otevřená v P, pokud

∀x ∈ G ∃ r > 0 : B(x, r) ⊆ G

Naopak G je uzavřená v P, pokud P \ G je otevřená.

DŮKAZ:

(i) zřejmé

(ii) F ⊃ B, F uz., tedy F ⊃ A ⇒ ⋂_{F ⊃B} F ⊃ ⋂_{F ⊃A} F

(iii) \overline{A} je uz. a A ⊂ \overline{A} ⇒ \overline{\overline{A}} = \overline{A} (iv)

(“⊆”)

Luboš Pick — Matematická analýza II Metrické prostory — Konvergence v metrických prostorech

Konvergence v metrických prostorech

Definice:

Nechť (P, ϱ) je metrický prostor a nechť {x_{n}}_{n=1}^{∞} je posloupnost v P. Řekneme, že x_{n} konverguje k y ∈ P, neboli x_{n} má limitu y, jestliže

lim_{n→∞} ϱ(x_{n}, y) = 0

Značíme:

• lim_{n→∞} x_{n} = y (v P)
• x_{n} → y

Příklady:

(i) Pro (P, ϱ) = (ℝ, |x − y|) je konvergence totožná s konvergencí posloupnosti reálných čísel, jak ji známe ze zimního semestru.

(ii) V prostoru C[a, b] se supremovou metrikou

ϱ_{sup}(f, g) := sup_{x∈[a,b]}|f(x) − g(x)|

je konvergence posloupnosti funkcí ekvivalentní stejnoměrné konvergenci na [a, b] (jak vyplývá z V7.1-).

VĚTA 4 (vlastnosti konvergence v metrickém prostoru): Nechť (P, ϱ) je metrický prostor, pak platí:

(i) ∃ n_{0} ∀n ≥ n_{0} : x_{n} = y ∈ P ⟹ lim_{n→∞} x_{n} = y

(ii) x_{n} → y_{1} ∧ x_{n} → y_{2} ⇒ y_{1} = y_{2} (limita je určena jednoznačně) (iii) Nechť {x_{n_{k}}} je vybraná posloupnost z {x_{n}} a nechť lim_{n→∞} x_{n} = y ∈ P .

Pak také lim_{k→∞} x_{n_{k}} = y . (iv) Nechť F ⊃ P je uzavřená, nechť {x_{n}} ⊂ F, a nechť lim_{n→∞} x_{n} = y ∈ P . Potom y ∈ F.

DŮKAZ:

(i) ϱ(x_{n}, y) = 0 ∀n ≥ n_{0} ⇒ lim_{n→∞} ϱ(x_{n}, y) = 0 ⇒ x_{n} → y
(ii) ϱ(y_{1}, y_{2}) ≤ \underbrace{ϱ(y_{1}, x_{n})}_{→0}+ \underbrace{ϱ(x_{n}, y_{2})}_{→0} ⇒ ϱ(y_{1}, y_{2}) = 0 ⇒ y_{1} = y_{2}

(iii) ϱ(x_{n_{k}}, y) je vybraná z ϱ(x_{n}, y) atd. (Viz zimní semestr.)

(iv) ϱ(y, F) = inf_{x∈F} ϱ(y, x) ≤ ϱ(y, x_{n}) → 0 ⇒ ϱ(y, F) = 0 ⇒^{V.3-} y ∈ \overline{F} .

Ale F je uzávěr, tedy \overline{F} = F ⇒ y ∈ F . Q.E.D.

VĚTA 5 (charakterizace uzavřených množin):

Množina F je uzavřená v (P, ϱ) právě tehdy, když platí implikace

x_{n} ∈ F ∧ x_{n} → y ⟹ y ∈ F

(Důsledek předchozích tvrzení.)

Luboš Pick — Matematická analýza II Metrické prostory — Konvergence v metrických prostorech

Příklady:

(i) konvergence v diskrétním prostoru:

x_{n} → y ⟺ ∃ n_{0} ∀n ≥ n_{0} : x_{n} = y

(ii) ℝ^{n}: ϱ_{1} = ϱ_{NY}, ϱ_{2} = ϱ_{eukl.}, ϱ_{∞} = ϱ_{max}

ϱ_{1}(x, y) = ∑_{i=1}^{n}|x_{i} − y_{i}| ≤^{Cauchy} \sqrt{∑_{i=1}^{n}1} · \sqrt{∑_{i=1}^{n}|x_{i} − y_{i}|^{2}} = \sqrt{n} · ϱ_{eukl.} (x, y)

≤ nϱ_{max} (x, y) ≤ n ∑_{i=1}^{n}|x_{i} − y_{i}| = nϱ_{1}(x, y)

⟹ ϱ_{1}(x, y) ≤ \sqrt{n}ϱ_{eukl.} (x, y) ≤ nϱ_{max} (x, y) ≤ nϱ_{1}(x, y)

Tedy konvergence ve všech třech metrikách splývá a konvergence v ℝ^{n} je konvergence po složkách.

Definice:

Řekneme, že množina K v metrickém prostoru (P, ϱ) je kompaktní, jestliže z každé posloupnosti {x_{n}} ⊂ K lze vybrat podposloupnost {x_{n_{k}}}, která je (i) konvergentní v P a (ii) její limita je prvkem K.

Příklady:

(i) Konečné množiny v libovolném (P, ϱ) jsou kompaktní.

(ii) V (ℝ, |x − y|) např. [a, b] je kompaktní.

(iii) V (ℝ, ϱ_{diskr.} ) jsou kompaktní pouze konečné množiny.

(iv) B(0, 1) (jednotková koule) v (C[0, 1], sup) není kompaktní.

Tady je tato jednotková koule reprezentována všemi spojitými funkcemi, které na intervalu [0, 1] nevyběhnou z pásku (−1, 1).

f_{n}(x) = \{ \begin{matrix}2^{n}x & x ∈ [0, 2^{−n}] \\ 1 & x ∈ [2^{−n}, 1] \end{matrix}

Platí, že ϱ(f_{n}, f_{m}) ≥ 1/2 ⟨cvičení⟩, pokud n ≠ m. Z posloupnosti {f_{n}} ale nelze vybrat konvergentní. Kdyby f_{n_{k}} → h, pak ϱ(f_{n_{k}}, h) → 0, a tedy

1/2 ≤ ϱ(f_{n_{k}}, f_{n_{j}}) ≤ ϱ(f_{n_{k}}, h) + ϱ(f_{n_{j}}, h) → 0

a to je spor.

VĚTA 6 (vlastnosti kompaktních množin):

Mějme metrický prostor (P, ϱ) a v něm kompaktní množinu. Potom platí:

(i) K je uzavřená (ii) K je omezená (iii) Jestliže F ⊆ K a F je uzavřená, pak F je kompaktní.

DŮKAZ:

(i) Nechť {x_{n}} ⊂ K, x_{n} → x ∈ P. Chci dokázat, že x ∈ K. Vybereme x_{n_{k}} → y v K, pak ale (jednoznačností limity) x = y. Ale y ∈ K, tedy x ∈ K a K je uzavřená.

(ii) Nechť K není omezená, zvolme x_{0} ∈ P. Pak platí

∀n ∈ ℕ ∃ x_{n} ∈ K : x_{n} ∉ B(x_{0}, n)

(tedy ϱ(x_{n}, x_{0}) > n). Z kompaktnosti platí, že ∃ x_{n_{k}} vybraná, x_{n_{k}} → y a y ∈ K. Potom

n < ϱ(x_{n}, x_{0}) < \underbrace{ϱ(x_{n}, y)}_{→0}+ϱ(y, x_{0}) < ϱ(y, x_{0}) + ε ∀n

♯̸ Spor (iii) Nechť {x_{n}} ⊂ F. Pak samozřejmě také {x_{n}} ⊂ K.

K je kompaktní, tedy ∃ x_{n_{k}} → y a y ∈ K. F je však uzavřená, tedy y ∈ F a tudíž je F kompaktní.

Q.E.D.

VĚTA 7 (charakteristika kompaktních podmnožin ℝ^{n}):

V prostoru (ℝ^{n}, ϱ_{eukl.}) je množina K kompaktní právě tehdy, když je omezená a uzavřená.

DŮKAZ:

Myšlenka: v ℝ Bolzano-Weistrass a z ℝ do ℝ^{n} indukcí.

Pozn.: Tvrzení V.7- neplatí pro obecné metrické prostory (viz \overline{B}(0, 1) v C [a, b], ta je omezená, uzavřená, leč nikoliv kompaktní).