\input /home/pasky/school/fastex/lib.tex

\subchapter{Aplikace určitého integrálu}{

\scpart{Délka křivky}{
	\definition{
		Nechť $f$ je definovaná a riemannovsky integrovatelná
		na $[a,b]$ a $D$ je dělení $[a,b]$. Potom lze spočítat
		délku křivky vzhledem k dělení $D$
		$$ L(f,D) \defined \sum_{i=1}^n \sqrt{(x_j-x_{j-1})+|f(x_j)-f(x_{j-1})|} $$

		Délku křivky samotnou pak definujeme jako
		$$ L(f) \defined \sup_D \{L(f,D)\} $$
	}

	\theorem{10}{o délce křivky}{
		Nechť $f$ má na $(a,b)$ spojitou derivaci.
		Pak délka křivky funkce $f$ je
		$$ L(f) = \int_a^b \sqrt{1+f'(x)^2}\,dx $$
	}
}

\scpart{Objem a obsah pláště rotačního tělesa}{
	\definition{
		Nechť $f$ je na $[a,b]$ nezáporná funkce.
		Potom definujeme rotační těleso jako
		$$ T \defined \left\{ |x,y,z| \in \real^3: \sqrt{y^2+z^2} \le f(x) \right\} $$
	}

	\theorem{11}{o objemu a obsahu pláště rotačního tělesa}{
		$$ V = \pi\int_a^b f(x)^2\,dx $$
		$$ S = 2\pi\int_a^b f(x)\sqrt{1+f'(x)^2}\,dx $$
	}
}

\scpart{Konvergence řad}{
	\theorem{12}{integrální kritérium konvergence řad}{
		Nechť $f$ je spojitá, nezáporná a nerostoucí
		na intervalu $[n_0, \infty]$ pro nějaké
		$n_0 \in \nat$.
		Mějme dále posloupnost $\{a_n = f(n)\}_{n=1}^\infty$.
		Potom
		$$ \sum a_n \textbox{konverguje} \Longleftrightarrow \newtint{n_0}{\infty} f(x)\,dx < \infty $$

		\shortproof{Nechceme. \sqed}
	}

	\example{
		Vyšetřete konvergenci řady \M{\sum_{n=2}^\infty {1 \over n\log^\alpha n}}, kde $\alpha \in \real$.

		\medskip

		$$ \int_2^\infty {dx \over x\log^\alpha x} $$
		\startRuledTable
		\M{\eqalign{y &= \log x\cr dy &= dx/x}}\cr
		\M{\eqmalign{x:\, & 2 &\,\ldots\, \infty\cr y:\, & \log2 &\,\ldots\, \infty}}\cr
		\endRuledTable

		Pro $\alpha \ne 1$ platí:
		$$ \int_{\log2}^\infty {dy\over y^\alpha}
			= \left[y^{1-\alpha}\over1-\alpha\right]_{\log2}^\infty
			= {\lim_{y\to\infty} y^{1-\alpha} - \log 2^{1-\alpha} \over 1 - \alpha} $$
		To je menší než nekonečno (konverguje), právě když $\alpha > 1$.

		Pro $\alpha = 1$ platí:
		$$ \int_{\log2}^\infty {dy\over y^\alpha}
			= \left[\log y\right]_{\log2}^\infty
			= \lim_{y\to\infty}\log y - \log2 = \infty $$

		Tedy platí:
		$$ \sum_{n=2}^\infty {1 \over n\log^\alpha n} \textbox{konverguje}
			\Longleftrightarrow \alpha > 1 $$
	}
}

}

\bend