\input /home/pasky/school/fastex/lib.tex

\subchapter{Aplikace ur�it�ho integr�lu}{

\scpart{D�lka k�ivky}{
	\definition{
		Nech� $f$ je definovan� a riemannovsky integrovateln�
		na $[a,b]$ a $D$ je d�len� $[a,b]$. Potom lze spo��tat
		d�lku k�ivky vzhledem k d�len� $D$
		$$ L(f,D) \defined \sum_{i=1}^n \sqrt{(x_j-x_{j-1})+|f(x_j)-f(x_{j-1})|} $$

		D�lku k�ivky samotnou pak definujeme jako
		$$ L(f) \defined \sup_D \{L(f,D)\} $$
	}

	\theorem{10}{o d�lce k�ivky}{
		Nech� $f$ m� na $(a,b)$ spojitou derivaci.
		Pak d�lka k�ivky funkce $f$ je
		$$ L(f) = \int_a^b \sqrt{1+f'(x)^2}\,dx $$
	}
}

\scpart{Objem a obsah pl�t� rota�n�ho t�lesa}{
	\definition{
		Nech� $f$ je na $[a,b]$ nez�porn� funkce.
		Potom definujeme rota�n� t�leso jako
		$$ T \defined \left\{ |x,y,z| \in \real^3: \sqrt{y^2+z^2} \le f(x) \right\} $$
	}

	\theorem{11}{o objemu a obsahu pl�t� rota�n�ho t�lesa}{
		$$ V = \pi\int_a^b f(x)^2\,dx $$
		$$ S = 2\pi\int_a^b f(x)\sqrt{1+f'(x)^2}\,dx $$
	}
}

\scpart{Konvergence �ad}{
	\theorem{12}{integr�ln� krit�rium konvergence �ad}{
		Nech� $f$ je spojit�, nez�porn� a nerostouc�
		na intervalu $[n_0, \infty]$ pro n�jak�
		$n_0 \in \nat$.
		M�jme d�le posloupnost $\{a_n = f(n)\}_{n=1}^\infty$.
		Potom
		$$ \sum a_n \textbox{konverguje} \Longleftrightarrow \newtint{n_0}{\infty} f(x)\,dx < \infty $$

		\shortproof{Nechceme. \sqed}
	}

	\example{
		Vy�et�ete konvergenci �ady \M{\sum_{n=2}^\infty {1 \over n\log^\alpha n}}, kde $\alpha \in \real$.

		\medskip

		$$ \int_2^\infty {dx \over x\log^\alpha x} $$
		\startRuledTable
		\M{\eqalign{y &= \log x\cr dy &= dx/x}}\cr
		\M{\eqmalign{x:\, & 2 &\,\ldots\, \infty\cr y:\, & \log2 &\,\ldots\, \infty}}\cr
		\endRuledTable

		Pro $\alpha \ne 1$ plat�:
		$$ \int_{\log2}^\infty {dy\over y^\alpha}
			= \left[y^{1-\alpha}\over1-\alpha\right]_{\log2}^\infty
			= {\lim_{y\to\infty} y^{1-\alpha} - \log 2^{1-\alpha} \over 1 - \alpha} $$
		To je men�� ne� nekone�no (konverguje), pr�v� kdy� $\alpha > 1$.

		Pro $\alpha = 1$ plat�:
		$$ \int_{\log2}^\infty {dy\over y^\alpha}
			= \left[\log y\right]_{\log2}^\infty
			= \lim_{y\to\infty}\log y - \log2 = \infty $$

		Tedy plat�:
		$$ \sum_{n=2}^\infty {1 \over n\log^\alpha n} \textbox{konverguje}
			\Longleftrightarrow \alpha > 1 $$
	}
}

}

\bend
