\input /home/pasky/school/fastex/lib.tex


\subchapter{Konvergence v metrických prostorech}{

\definition{
	Nechť $(P,\ro)$ je metrický prostor
	a nechť $\{x_n\}_{n=1}^\infty$ je posloupnost v $P$.
	Řekneme, že $x_n$ {\bf konverguje} k $y \in P$,
	neboli $x_n$ má limitu $y$, jestliže
	$$ \lim_{n\to\infty} \ro(x_n,y) = 0 $$

	Značíme:
	\list{
	\olistItem{\M{\lim_{n\to\infty} x_n = y \hskip1em\textbox{(v $P$)}}}
	\olistItem{\M{x_n \to y}}
	}
}

\examples{
\list{
\listItem{Pro $(P,\ro) = (\real,|x-y|)$
	je konvergence totožná s konvergencí posloupnosti reálných čísel,
	jak ji známe ze zimního semestru.
}
\listItem{V prostoru $C[a,b]$ se supremovou metrikou
	$$\ro_{\sup}(f,g) := \sup_{x \in [a,b]} |f(x) - g(x)|$$
	je konvergence posloupnosti funkcí ekvivalentní
	stejnoměrné konvergenci na $[a,b]$
	(jak vyplývá z \ias{7}{1}{}).
}
}
}

}


\theorem{4}{vlastnosti konvergence v metrickém prostoru}{
	Nechť $(P,\ro)$ je metrický prostor,
	pak platí:
	\list{
	\listItem{\M{\existss n_0\ \forall n \ge n_0: x_n = y \in P
		\Longrightarrow
		\lim_{n\to\infty} x_n = y}
	}
	\listItem{\M{x_n \to y_1 \et x_n \to y_2 \Rightarrow y_1 = y_2}
		(limita je určena jednoznačně)
	}
	\listItem{Nechť $\{x_{n_k}\}$ je vybraná posloupnost z $\{x_n\}$
		a nechť \M{\lim_{n\to\infty} x_n = y \in P}.

		Pak také \M{\lim_{k\to\infty} x_{n_k} = y}.
	}
	\listItem{Nechť $F \supset P$ je uzavřená,
		nechť $\{x_n\} \subset F$,
		a nechť \M{\lim_{n\to\infty} x_n = y \in P}.
		Potom $y \in F$.
	}
	}

	\proof{
	\list{
	\listItem{\M{\ro(x_n,y) = 0\quad \forall n \ge n_0
		\Rightarrow \lim_{n\to\infty} \ro(x_n,y) = 0
		\Rightarrow x_n \to y}
	}
	\listItem{\M{\ro(y_1,y_2) \le \undernote{\ro(y_1,x_n)}{\to 0} + \undernote{\ro(x_n,y_2)}{\to 0}
		\Rightarrow \ro(y_1,y_2) = 0
		\Rightarrow y_1 = y_2}
	}
	\listItem{\M{\ro(x_{n_k}, y)} je vybraná z $\ro(x_n,y)$ atd. (Viz zimní semestr.)}
	\listItem{\M{\ro(y,F) = \inf_{x\in F} \ro(y,x) \le \ro(y,x_n) \to 0
		\Rightarrow \ro(y,F) = 0
		\becauseof{\ias{}{3}{}}{\Rightarrow} y \in \overline{F}}.

		Ale $F$ je uzávěr, tedy
		\M{\overline{F} = F \Rightarrow y \in F}.
	}
	}
		\qed
	}
}

\theorem{5}{charakterizace uzavřených množin}{
	Množina $F$ je uzavřená v $(P,\ro)$
	právě tehdy, když platí implikace
	$$ x_n \in F \et x_n \to y \Longrightarrow y \in F $$

	(Důsledek předchozích tvrzení.)
}

\penalty-100

\examples{
\list{
	\listItem{konvergence v diskrétním prostoru:
		$$ x_n \to y \Longleftrightarrow \existss n_0\ \forall n \ge n_0: x_n = y $$
	}
	\listItem{$\real^n$: $\ro_1 = \ro_{\rm NY}$, $\ro_2 = \ro_{\rm eukl.}$, $\ro_{\infty} = \ro_{\rm max}$
		
		$$ \ro_1(x,y) = \sum_{i=1}^n |x_i-y_i|
			\becauseof{Cauchy}{\le} \sqrt{\sum_{i=1}^n 1}\cdot\sqrt{\sum_{i=1}^n |x_i-y_i|^2}
			= \sqrt{n}\cdot\ro_{\rm eukl.}(x,y) $$
		$$ \le n\ro_{\rm max}(x,y)
			\le n\sum_{i=1}^n |x_i - y_i| = n\ro_1(x,y) $$
		$$ \Longrightarrow \ro_1(x,y) \le \sqrt{n}\ro_{\rm eukl.}(x,y) \le n\ro_{\rm max}(x,y) \le n\ro_1(x,y) $$

		Tedy konvergence ve všech třech metrikách splývá
		a konvergence v $\real^n$ je konvergence \penalty-1000\ po~složkách.
	}
}
}


\definition{
	Řekneme, že množina $K$ v metrickém prostoru $(P,\ro)$ je {\bf kompaktní},
	jestliže z každé posloupnosti $\{x_n\} \subset K$
	lze vybrat podposloupnost $\{x_{n_k}\}$,
	která je
	(i) {konvergentní v $P$}
	a (ii) {její limita je \penalty-100 prvkem $K$}.
}

\examples{
\list{
	\listItem{Konečné množiny v libovolném $(P,\ro)$ jsou kompaktní.}
	\listItem{V $(\real,|x-y|)$ např. $[a,b]$ je kompaktní.}
	\listItem{V $(\real,\ro_{\rm diskr.})$ jsou kompaktní pouze konečné množiny.}
	\listItem{$B(0,1)$ (jednotková koule) v $(C[0,1],\sup)$ není kompaktní.

		Tady je tato jednotková koule reprezentována všemi spojitými funkcemi,
		které na intervalu $[0,1]$ nevyběhnou z pásku $(-1,1)$.

		$$ f_n(x) = \cases{2^nx & $x \in [0,2^{-n}]$\cr
				   1 & $x \in [2^{-n},1]$} $$

		Platí, že $\ro(f_n,f_m) \ge 1/2$ \DCV, pokud $n \ne m$.
		Z posloupnosti $\{f_n\}$ ale nelze vybrat konvergentní.
		Kdyby $f_{n_k} \to h$, pak $\ro(f_{n_k},h) \to 0$, a tedy
		$$ 1/2 \le \ro(f_{n_k}, f_{n_j}) \le \ro(f_{n_k},h) + \ro(f_{n_j},h) \to 0 $$
		a to je spor.
	}
}
}


\penalty-1000

\theorem{6}{vlastnosti kompaktních množin}{
	Mějme metrický prostor $(P,\ro)$ a v něm kompaktní množinu.
	Potom platí:
	\list{
	\listItem{$K$ je uzavřená}
	\listItem{$K$ je omezená}
	\listItem{Jestliže $F \subseteq K$ a $F$ je uzavřená, pak $F$ je kompaktní.}
	}

	\proof{
	\list{
	\listItem{Nechť $\{x_n\} \subset K$, $x_n \to x \in P$.
		Chci dokázat, že $x \in K$.
		
		Vybereme $x_{n_k} \to y$ v $K$,
		pak ale (jednoznačností limity) $x = y$.
		Ale $y \in K$, tedy $x \in K$ a $K$ je uzavřená.
	}
	\listItem{Nechť $K$ není omezená, zvolme $x_0 \in P$.
		Pak platí
		$$ \forall n \in \nat\ \existss x_n \in K: x_n \notin B(x_0,n) $$
		(tedy $\ro(x_n,x_0) > n$).

		Z kompaktnosti platí, že $\existss x_{n_k}$ vybraná,
		$x_{n_k} \to y$ a $y \in K$.
		Potom
		$$ n < \ro(x_n,x_0) < \undernote{\ro(x_n,y)}{\to 0} + \ro(y,x_0) < \ro(y,x_0) + \eps\qquad \forall n $$
		\XXX
	}
	\listItem{Nechť $\{x_n\} \subset F$.
		Pak samozřejmě také  $\{x_n\} \subset K$.

		$K$ je kompaktní, tedy $\existss x_{n_k} \to y$ a $y \in K$.
		$F$ je však uzavřená, tedy $y \in F$ a tudíž je \penalty-100 $F$ kompaktní.
	}
	}
		\qed
	}
}

\theorem{7}{charakteristika kompaktních podmnožin $\real^n$}{
	V prostoru $(\real^n,\ro_{\rm eukl.})$ je množina $K$ kompaktní
	právě tehdy, když je omezená a uzavřená.

	\proof{
		Myšlenka: v $\real$ \ref{Bolzano-Weistrass}
		a z $\real$ do $\real^n$ indukcí.
	}

	\shortnote{Tvrzení \ias{}{7}{} neplatí pro obecné metrické prostory
		(viz $\overline{B}(0,1)$ v $C\,[a,b]$, ta je omezená,
		uzavřená, leč nikoliv kompaktní).}
}


\bend