\input /home/pasky/school/fastex/lib.tex

\subchapter{Newtonův integrál}{

	Řekneme, ľe funkce $f$ má na intervalu $(a,b) \in \real$
	{\bf Newtonův integrál}, jestliľe existuje primitivní
	funkce $F$ k funkci $f$ na $(a,b)$ a existují
	$\lim_{x \to a_+} F(x)$ a $\lim_{x \to b_-} F(x)$.
	Potom {\bf hodnotou Newtonova integrálu} z $f$ přes $(a,b)$
	nazýváme číslo
	$$ \newtint{a}{b} f(x)\,dx := \lim_{x\to b_-} F(x) - \lim_{x\to a_+} F(x) $$

	Mnoľinu funkcí, které mají Newtonův integrál přes $(a,b)$
	značíme $N(a,b)$.

	\notes{
	\list{
		\listItem{Je-li $f$ spojitá na $[a,b]$, potom
			$$ \newtint{a}{b} f(x)\,dx = \riemint{a}{b} f(x)\,dx $$
			(důsledek (ii) \ias{6}{7}{}).
		}
		\listItem{\M{f(x) = 1/\sqrt{x}} na $(0,1)$:
			$$ \newtint{0}{1} f(x)\,dx = \lim_{x\to1_-} 2\sqrt{x} - \lim_{x\to0_+} 2\sqrt{x} = 2-0 = 2 $$

			Přitom $1/\sqrt{x}$ není na $(0,1)$ omezená, tedy nepatří
			do $R([0,1])$. Tedy $$1/\sqrt{x} \in N(0,1) \setminus R([0,1])$$
		}
		\listItem{$f(x) = \sign x$ na $[-1,1]$ $\in R([-1,1])$, ale
			nemá na $(-1,1)$ primitivní funkci (není tam darbouxovská),
			tedy pro změnu $$\sign x \in R([-1,1]) \setminus N(-1,1)$$
		}
		\listItem{Existují omezené funkce $f \in N(a,b) \setminus R([a,b])$, ale je obtíľné je zkonstruovat.
		}
	}
	}

	\theorem{8}{per partes pro určitý integrál}{
		Nech» $f,g,f',g'$ jsou spojité na $[a,b]$.
		Potom $$ \int_a^b f(x)g'(x)\,dx = [f(x)g(x)]_{x=a}^{x=b} - \int_a^b f'(x)g(x)\,dx $$
		kde
		$$ [h(x)]_{x=a}^{x=b} \defined \lim_{x\to b_-} h(x) - \lim_{x\to a_+} h(x) $$

		\proof{
			\dots nás nezajímá. \sqed
		}
	}

	\theorem{9}{substituce pro určitý integrál}{
		\list{
		\listItem{Nech» $f$ je spojitá na $[a,b]$ a nech» mám
			$$\varphi: [\alpha,\beta] \to [a,b]$$
			Nech» $\varphi$ má na $(\alpha,\beta)$ spojitou
			derivaci. Pak
			$$\int_a^b f(\varphi(t))\varphi'(t)\,dt =
				\int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} f(x)\,dx $$
		}
		\listItem{Nech» $f$ je spojitá na $[a,b]$ a nech» mám
			$$\varphi: [\alpha,\beta] \to [a,b]$$
			nech» $\varphi([\alpha,\beta]) = [a,b]$ a nech»
			$\varphi$ má na $(a,b)$ spojitou nenulovou derivaci.
			Pak
			$$ \int_a^b f(x)\,dx = \int_{\varphi^{-1}(a)}^{\varphi^{-1}(b)} f(\varphi(t))\varphi'(t)\,dx $$
		}
		}

		\proof{
			\dots nechceme. \sqed
		}

		\example{
			\M{\int_{-r}^r \sqrt{r^2 - x^2}\,dx}
			\startRuledTable
			\M{\eqalign{x &= r\sin t\cr
				   dx &= r\cos t}}\cr
			\endRuledTable
			$$ = r\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \sqrt{r^2\cos^2t}\cos t\,dt = r^2\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos^2t\,dt
				= r^2\int_{-\pi/2}^{\pi/2} {1+\cos2t\over2}\,dt = \pi/2\cdot r^2 $$
		}
	}

}

\bend