\input /home/pasky/school/fastex/lib.tex

\subchapter{Konvergence posloupnost� funkc�}{

\definition{
	Nech� $M \subset \real$, $n \in \nat$
	a $f_n$ je posloupnost funkc� definovan�ch na $M$.
	�ekneme, �e posloupnost $f_n$ {\bf konverguje bodov� k $f$ na $M$}
	a zna��me
	$$f_n \conP f \textbox{na $M$}$$
	jestli�e
	$$ \forall x \in M: \lim_{n\to\infty} f_n(x) = f(x) $$
	neboli
	$$ \forall x \in M,\ \forall \eps > 0\ \existss n_0 \in \nat,\ \forall n \ge n_0:
		|f_n(x) - f(x)| < \eps $$

	�ekneme, �e posloupnost $f_n$ {\bf konverguje stejnom�rn� k $f$ na $M$}
	a zna��me
	$$f_n \conS f \textbox{na $M$}$$
	jestli�e
	$$ \forall \eps > 0\ \existss n_0 \in \nat,\ \forall n \ge n_0,\ \forall x \in M:
		|f_n(x) - f(x)| < \eps $$

	�ekneme, �e posloupnost $f_n$ {\bf konverguje lok�ln� stejnom�rn� k $f$ na $M$}
	a zna��me
	$$f_n \conSL \textbox{na $M$}$$
	jestli�e
	$$ \forall x \in M\ \existss \delta > 0:
		f_n \conS f \textbox{na $M \cap \cU(x,\delta)$} $$
}

\examples{
\list{

\listItem{$f_n(x) := x^n$, $x \in [0,1]$, $n \in \nat$

	Potom $f_n$ konverguje na $[0,1]$ bodov�, ale ne stejnom�rn�,
	k funkci
	$$ f(x) = \cases{0 & $x \in [0,1)$\cr 1 & $x = 1$} $$

	Plat� v�ak, �e $f_n \conSL f$ na $[0,1)$.
}

\listItem{\M{g_n(x) := \sin(nx)/2^n}, $x \in [0,1]$, $n \in \nat$

	Potom $g_n$ konverguje na $[0,1]$ stejnom�rn� k identicky
	nulov� funkci, neboli $f_n \conS 0$ na $\real$, nebo�
	$$ |f_n(x) - 0| \le 1/2^n \conP 0 $$
	(nez�visle na $x$).
}

\listItem{\M{f_n(x) := {nx \over 1 + n^2x^2}}, $x \in (0,\infty)$, $n \in \nat$

	Potom $f_n \conP 0$ a $f_n \conSL 0$ na $(0,\infty)$.
	P�itom v�ak $f_n \not\conS 0$, nebo� $f_n(1/n) = 1/2$ pro $n \in \nat$.
}

}
}

\penalty-100

\notes{
\list{

\listItem{Srovn�n� typ� konvergence:
	$$ f_n \conS f \Longrightarrow f_n \conP f $$
}

\listItem{Posloupnost funkc� $\{f_n\}_{n=1}^\infty$ konverguje
	lok�ln� stejnom�rn� na otev�en�m intervalu $(a,b)$,
	pr�v� kdy� konverguje stejnom�rn� na ka�d�m jeho
	uzav�en�m podintervalu:
	$$ f_n \conSLi{f}{(a,b)} \Longrightarrow f_n \conSi{f}{[\alpha,\beta]}
		\qquad \forall [\alpha,\beta] \subset (a,b) $$
	(netrivi�ln�, je t�eba si rozmyslet).
}

\listItem{Bodov� konvergence nemus� zachovat omezenost ani integrovatelnost.
	Vezm�me nap��klad tzv. funk�n� �ezy:
	$$ f_n(x) := \cases{1/x & $x \in [1/n,1)$\cr
	                    n & $x \in (0,1/n]$} $$

	To je posloupnost omezen�ch a integrovateln�ch funkc� na $(0,1)$,
	jen� konverguje bodov� k funkci $1/x$, kter� nen� na $(0,1)$
	omezen� ani integrovateln�:
	$$ \newtint{0}{1} {dx \over x}
		= \lim_{x\to1_-}\log x - \lim_{x\to0_+}\log x
		= 0 + \infty = \infty $$
}

}
}


\theorem{1}{krit�rium stejnom�rn� konvergence}{
	Nech� $M \subset \real$ je nepr�zdn� mno�ina, $n \in \nat$
	a nech� $f_n$ je posloupnost funkc� definovan�ch na $M$.
	Pak plat�
	$$ f_n \conSi{f}{M} \Longleftrightarrow
		\lim_{n\to\infty} \sup_{x\in M} |f_n(x) - f(x)| = 0 $$

	\proof{
		$f_n \conSi{f}{M}$, pr�v� kdy�
		$$ \forall \eps > 0\ \existss n_0 \in \nat,\ \forall n \ge n_0,\ \forall x \in M:
			|f_n(x) - f(x)| < \eps $$

		Pokud toto plat� pro ka�d� $x$, mus� to platit i pro supremum
		p�es $x$, jen se mus� zm�nit nerovnost na neostrou
		(supremum nemus� b�t prvkem mno�iny):
		$$ \forall \eps > 0\ \existss n_0 \in \nat,\ \forall n \ge n_0:
			\sup_{x\in M} \{|f_n(x) - f(x)|\} \le \eps $$
		T�m v�ak z�rove� ��k�me, �e limita tohoto suprema je nulov�.

		\qed
	}
}

\penalty-1000

\examples{
	P�edchoz� p��klady z pohledu \ias{}{1}{}:

	\list{
	\listItem{\M{\sup_{x\in[0,1]} |x^n-f(x)| = 1}}
	\listItem{\M{\sup_{x\in\real} \left|{nx\over1+n^2x^2}-0\right| \ge 1/2}}
	\listItem{\M{\sup_{x\in\real} \left|{\sin nx\over2^n}-0\right| < \sup_{x\in\real}1/2^n \conP 0}}
	}
}

\scpart{Ot�zka}{
	M�jme $f_n \conSi{f}{(a,b)}$, $x_0 \in (a,b)$.
	Plat�, �e
	$$ \lim_{x\to x_0}\lim_{n\to\infty} f_n(x) = \lim_{n\to\infty}\lim_{x\to x_0} f_n(x) $$
	Pro bodovou konvergenci v�ak neplat�
	$$ \lim_{n\to\infty}\lim_{x\to1_-} x^n = 1 \ne \lim_{x\to1_-}\lim_{n\to\infty} x^n = 0 $$
	Ale co pro stejnom�rnou?
}


\theorem{2}{Moore--Osgood}{
	M�jme nepr�zdnou mno�inu $M \subset \real$, $x_0 \in \real^*$ a $n \in \nat$.
	Nech� $f_n$ je �ada funkc� definovan�ch na $M$ a nech� plat� n�sleduj�c�
	dva p�edpoklady:

	\list{
	\listItem{$f_n \conSi{f}{M}$}
	\listItem{Pro $\forall n \in \nat$ existuje \M{\lim_{x\to {x_0}_+} f_n(x) := a_n \in \real}.  }
	}

	Potom existuj� vlastn� limity
	$$ \lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{x\to {x_0}_+} f(x) $$

	\proof{
		Zvol $\eps > 0$, pak
		$$ \existss n_0 \in \nat,\ \forall n \ge n_0,\ \forall x \in M:
			|f_n(x) - f(x)| < \eps $$
		$$ \forall m,n > n_0,\ \forall x \in M: |f_n(x) - f_m(x)| < 2\eps $$
		(\ref{troj�heln�kov� nerovnost} pozp�tku).
		$$ \sesac{\eqmalign{\lim_{x\to{x_0}_+} f_m(x) &:= a_m\cr
		                     \lim_{x\to{x_0}_+} f_n(x) &:= a_n}}
			 {\Longrightarrow |a_n-a_m| \le 2\eps} $$

		Tud�� posloupnost $\{a_n\}_{n=1}^\infty$
		spl�uje \ref{Bolzano-Cauchy}ovu podm�nku, tedy
		$$ \existss a \in \real: \lim_{n\to\infty} a_n = a $$
		$$ |f(x)-a| \becauseof{$\triangle$}{\le}
			\undernote{|f(x)-f_n(x)|}{A}
			+ \undernote{|f_n(x)-a_n|}{B}
			+ \undernote{|a_n-a|}{C}
			\qquad \forall n,x $$

		Zvol $n \ge n_0$, pak $A < \eps$. $n$ lze zvolit tak velk�,
		aby i $C < \eps$. D�le k tomuto $n$ zvol�me $\delta > 0$
		takovou, aby
		$$\forall x \in \cP^+(x_0,\delta): B < \eps$$

		Pak v�ak tak�
		$$ \forall \eps > 0\ \existss \delta > 0,\ \forall x \in \cP^+(x_0,\delta):
			|f(x)-a| < 3\eps| $$
		$$ \lim_{x\to x_0} f(x) = a $$

		\qed
	}

	\impl{
		Nech� $f_n \conSi{f}{I}$, kde $f_n$ je na $I$ spojit�.
		Potom $f$ je na $I$ tak� spojit�.

		\proof{
			M�jme $x_0 \in I$, kter� nen� jeho prav� krajn� bod.
			$$ \lim_{x\to {x_0}_+} f(x) \hypothetically{=} f(x_0) $$
			$$ \lim_{x\to {x_0}_+} f(x)
				= \lim_{x\to{x_0}_+} \lim_{n\to\infty} f_n(x)
				\becauseof{\ias{}{2}{}}{=} \lim_{n\to\infty} \lim_{x\to{x_0}_+} f_n(x) $$
			Nebo� je v�ak $f$ v $x_0$ spojit�, tato limita se rovn�
			$$ \lim_{n\to\infty} f_n(x_0) \becauseof{$\scriptstyle{f_n \conP f}$}{=} f(x_0) $$

			\qed
		}
	}

	\note{
		Z (ii) implicitn� vypl�v�, �e $M$ obsahuje n�jak� okol� bodu $x_0$.
		Plat� tak� analogick� verze t�to v�ty pro jednostrann� limity
		v bod� $x_0$.
	}
}

\lemma{}{
	Posloupnost funkc� $\{f_n\}_{n=1}^\infty$ je na nepr�zdn� mno�in� $M \subset \real$
	stejnom�rn� konvergentn�, pr�v� kdy� je tam {\bf stejnom�rn� cauchyovsk�}:
	$$ \forall \eps > 0\ \existss n_0 \in \nat,\ \forall m,n \in \nat \ge n_0,\ \forall x \in M:
		|f_n(x) - f_m(x)| < \eps $$
}

\theorem{3}{o z�m�n� limity a derivace}{
	Nech� funkce z $f_n$ maj� vlastn� derivace na $(a,b) \subset \real$,
	a nech� plat� n�sleduj�c� dva p�edpoklady:
	\list{
	\listItem{$\existss x_0 \in (a,b): \{f_n(x_0)\}_{n=1}^\infty$ konverguje}
	\listItem{$f_n' \conSLi{g}{(a,b)}$ (kde $g$ je n�jak� libovoln� funkce)}
	}

	Potom existuje na $(a,b)$ funkce $f$, kter� m� vlastn� derivaci $f'$,
	$f_n \conSL f$ a $f_n' \conSL f'$.

	\proof{
		Zvol�me p�edsedu vl�dy a $\eps > 0$.
		D�le zvol�me $[c,d] \subset (a,b)$ takov�,
		aby $x_0 \in [c,d]$, a ozna��me $f_n' \conSL{g}{[c,d]}$.

		Pak k p�edsedovi vl�dy a $\eps$ jist�:
		$$\existss n_0,\ \forall m,n\ge n_0\ \forall x \in [c,d]:
			|f_n(x_0) - f_m(x_0)| < \eps \et
			|f_n'(x) - f_m'(x)| < {\rm p.v.}$$

		Potom pro $x \in [c,d]$ m�me:
		$$ |f_n(x) - f_m(x)| \becauseof{$\triangle$}{\le}
			|(f_n(x) - f_m(x)) - (f_n(x_0) - f_m(x_0))| + |f_n(x_0) - f_m(x_0)| $$

		Pou�ijeme Lagrangeovu v�tu o st�edn� hodnot� pro $(f_0 - f_m)$ a zjist�me,
		�e p�edchoz� se rovn�
		$$ |f_n'(\xi) - f_m(\xi)|\cdot|x-x_0| + |f_n(x_0) - f_m(x_0)|\qquad \xi \in (x,x_0)\lor(x_0,x) $$
		$$ \eps|x-x_0| + \eps \le \eps|d-c+1|=K\eps \qquad K > 0 $$

		Tud�� je posloupnost $\{f_n\}$ stejnom�rn� cauchyovsk�:
		$$ \forall \eps > 0\ \existss n_0,\ \forall x: |f_n(x) - f_m(x)| < \eps $$
		tedy $f_n \conSi{f}{[c,d]}$ a $f_n \conSLi{f}{(a,b)}$.

		V�me, �e $f_n' \conSL g$ a $f_n \conSL f$. Zb�v� dok�zat,
		�e $f' = g$. Pro $x \in [c,d]$ m�me
		$$ f'(x) = \lim_{h\to0} {f(x+h)-f(x)\over h} = \lim_{h\to0}\lim_{n\to\infty}{f_n(x+h)-f_n(x)\over h} = $$
		$$ \becauseof{\ias{}{2}{}}{=} \lim_{n\to\infty}\lim_{h\to0}{f_n(x+h)-f_n(x)\over h}
			= \lim_{n\to\infty} f_n'(x) = g(x) $$

		\qed
	}

	\note{
		Bez p�edpokladu (i) v�ta neplat�, jak je vid�t na p��kladu
		posloupnosti konstantn�ch funkc�, kter� nen� bodov� konvergentn�,
		kup��kladu
		$$ f_n(x) \equiv (-1)^n \qquad n \in \nat,\ x \in \real $$

		Derivace v�ech funkc� $f_n$ jsou pak nulov�, a tedy trivi�ln�
		stejnom�rn� konverguj�. Tento probl�m zachr�n� p�edpoklad (i),
		tedy jak�si konvergence v ``z�chytn�m bod�''.
	}
}

\theorem{4}{stejnom�rn� limita a newtonovsky derivovateln� funkce}{
	M�jme $f_n \in N(a,b)$, $f_n \conSi{f}{(a,b)}$.
	Potom tak� $f \in N(a,b)$ a plat�, �e
	$$ \lim_{n\to\infty} \newtint{a}{b}f_n(x)\,dx = \newtint{a}{b} f(x)\,dx $$

	\proof{
		$f_n \in N(a,b)$, tedy existuje primitivn� funkce $F_n$,
		$F_n' = f_n$ na $(a,b)$. Zvol�me $c \in (a,b)$ a d�le
		vol�me primitivn� funkce tak, aby $F_n(c) = 0$ pro
		$\forall n \in \nat$. Potom plat�:

		\list{
		\listItem{\M{\{F_n(c)\}_{n=1}^\infty} je nulov� posloupnost,
			tedy je jist� konvergentn�.}
		\listItem{\M{F_n' \conS f}}
		}

		Tud�� existuje $F$ na $(a,b)$ takov�, �e
		$F_n \conSL F$, $F' = f$. D�le
		$$ \newtint{a}{b} f(x)\,dx
			= \lim_{x\to b_-}\lim_{n\to\infty} F_n(x) - \lim_{x\to a_+}\lim_{n\to\infty} F_n(x) = $$
		$$ \becauseof{\ias{}{2}{}}{=} \lim_{n\to\infty} \left(\lim_{x\to b_-} F_n(x) - \lim_{x\to a_+} F_n(x)\right)
			= \lim_{n\to\infty} \newtint{a}{b} f_n(x)\,dx $$

		\qed
	}
}

\penalty-100

\theorem{5}{Dini}{
	Nech� $\{f_n\}_{n=1}^\infty$ je monot�nn� posloupnost spojit�ch funkc�
	na uzav�en�m intervalu $[a,b]$, kter� bodov� konverguje ke spojit�
	funkci. Potom $f_n \conS{f}{[a,b]}$.

	\shortproof{Ned�l�me. \sqed}
}

\theorem{6}{Weistrass}{
	Nech� $f$ je spojit� funkce na uzav�en�m intervalu $[a,b]$.
	Potom existuje posloupnost polynom� $\{P_n\}$ takov�,
	�e $P_n \conS f$.

	\shortproof{Nechceme. \sqed}

	\shortnote{P�edpoklad uzav�enosti intervalu pot�ebujeme,
	nap�. $e^x$ nelze na $\real$ aproximovat polynomy.}
}

}

\bend
