\input /home/pasky/school/fastex/lib.tex \definition{ Řadu funkcí $$ \sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n\qquad x_0 \in \real,\ a_n \in \real $$ nazýváme {\bf mocninnou řadou} se {\bf středem} v bodě $x_0$ a {\bf koeficienty} $a_n$.\footnote*{Zde používáme konvenci $0^0 := 1$} } Zajímá nás, zda, kde, jak a kam mocninná řada konverguje. \shortobs{Každá mocninná řada konverguje pro $x=x_0$ (tj. ve svém středu).} Odpověď na otázku, zda řada konverguje, případně kde, nám dá {\it oblast konvergence} $M$, ve které $x_0 \in M$. Jak mocninná řada konverguje? Bodově, stejnoměrně, lokálně stejnoměrně či absolutně. A kam konverguje? $$ \existss f(x): f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n \textbox{?} $$ V některých případech je řada vytvořena nějakou funkcí. Např. Taylorův polynom: $$T^{f,n}_{x_0}(x) = \sum{f^k(x_0)\over k!}(x-x_0)^k$$ dále třeba \ref{Fourierova řada} (bude), Martaminova řada (nebude), Bersteinovy polynomy (také nebudou). \theorem{1}{o existenci a jednoznačnosti poloměru konvergence mocninné řady}{ Nechť $\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n$ je mocninná řada. Pak $$\onexists R \in [0,\infty]$$ (pozor, $R$ může být i nekonečno) takové, že řada konverguje pro $\forall x$ takové, že $|x-x_0|R$. Co se děje v krajních hodnotách, nevíme --- tam se může stát cokoliv. \proof{ $$ R := \sup\{|y-x_0|: \sum_{n=0}^\infty a_n(y-x_0)^n \hbox{\ konverguje}\} $$ Nechť $|x-x_0| |x - x_0|\quad \et\quad |y - x_0| < R\quad \et\quad \sum_{n=0}^\infty a_n(y-x_0)^n \textbox{konverguje} $$ $$ \sum_{n=0}^\infty |a_n||x-x_0|^n = \sum_{n=0}^\infty |a_n||y-x_0|^n\left(|x-x_0|\over|y-x_0|\right)^n $$ \penalty-100 Protože řada $\sum a_n(y-x_0)^n$ konverguje, $$\existss K: |a_n||y-x_0|^n \le K $$ $$ \sum_{n=0}^\infty |a_n||x-x_0|^n \le K\sum_{n=0}^\infty \left(|x-x_0|\over|y-x_0|\right)^n $$ Protože však \M{{|x-x_0|\over|y-x_0|} < 1}, jde o konvergentní geometrickou řadu. \medskip Nechť $|x-x_0|>R$. Z definice $R$ plyne, že $x$ diverguje. Jednoznačnost $R$ plyne z jednoznačnosti suprema. \qed } } \theorem{2}{o výpočtu poloměru konvergence}{ Nechť $\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n$ je mocninná řada s poloměrem konvergence $R \in [0,\infty]$. Potom $$ R = {1 \over \limsup\limits_{n\to\infty} \broot{n}\of{|a_n|}} $$ \proof{ Označme si $$ R^* := {1 \over \limsup\limits_{n\to\infty} \broot{n}\of{|a_n|}} $$ Budeme dokazovat, že řada konverguje pro $|x-x_0| < R^*$ a diverguje pro $|x-x_0| > R^*$, tedy že $R^* = R$. Jakmile toto dokážeme, tvrzení vyplyne z jednoznačnosti $R$, dokázané v \ias{}{1}{}. Nechť $R^* \in (0,\infty)$. Dále nechť $|x-x_0| R^*$. Pak $$ \limsup_{n\to\infty} \broot{n}\of{|a_n||x-x_0|^n} > 1 $$ a tedy opět dle \ref{Cauchy}ho $\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n$ diverguje. Případy $R^* = 0$ a $R^* = \infty$ odbobně (\DCV). \qed } } \examples{ \list{ \listItem{\M{\sum_{n=0}^\infty {x^n \over n!}} Střed je v $x_0 = 0$, poloměr $$ R = {1 \over \limsup\limits_{n\to\infty} \broot{n}\of{1/n!}} = 1/0 = \infty $$ (z konvence {\it (pouze v této pasáži)} $1/0 = +\infty$ a $1/\infty = 0$). Tedy tato řada konverguje (bodově) pro $\forall x \in \real$ k funkci $\exp x$. } \listItem{\M{\sum_{n=0}^\infty n^n(x-1)^n} $$ x_0 = 1 $$ $$ R = {1 \over \limsup\limits_{n\to\infty} \broot{n}\of{n^n}} = 1/\infty = 0 $$ Řada konverguje jen pro $x = 1$. } \listItem{\M{\sum_{n=0}^\infty \arctg(2n)(x-3)^n} $$ x_0 = 3 $$ $$ R = 1 $$ Řada konverguje pro $x \in (2,4)$, diverguje pro $x \in \real \setminus [2,4]$. V bodech $x = 2$, $x = 4$ řada diverguje ($\arctg$ rychle odkonverguje někam vysoko nad nulu). Tedy řada konverguje pro $x \in (2,4)$. } \listItem{\M{\sum_{n=2}^\infty {(x+e)^n \over \log n}} $$ x_0 = -e $$ $$ \broot{n}\of{1/\log n} \in \left(\broot{n}\of{1/n},\broot{n}\of{1}\right) \Rightarrow R = 1 $$ Konverguje pro $x \in (-e-1, -e+1)$. V bodě $x = -e-1$: $\sum_{n=2}^\infty {(-1)^n\over\log n}$ konverguje, Leibniz. V bodě $x = -e+1$: $\sum_{n=2}^\infty {1\over\log n}$ diverguje, srovnání s harmonickou. Tedy řada konverguje pro $x \in [-e-1,-e+1)$. } \listItem{\M{\sum_{n=1}^\infty {(-1)^n(2x)^{2n}\over2n}} $$ x = 0 $$ $$ a_m = \cases{\displaystyle {(-1)^n2^{2n}\over2n} & $m=2n$, $n \in \nat$\cr 0 & $m=2n+1$, $n \in \nat$} $$ $$ \limsup_{n\to\infty} \broot{n}\of{|a_n|} = \limsup_{n\to\infty} \broot{2n}\of{2^{2n}\over2n} = \limsup_{n\to\infty} {2 \over \broot{2n}\of{2n}} = 2 $$ Tedy $R = 1/2$, řada konverguje pro $x \in (-1/2,1/2)$. V bodech $x = \pm1/2$: $\sum {(-1)^n\over2n}$ konverguje dle Leibnize, tudíž řada konverguje pro $x \in [-1/2,1/2]$. } } } \shortdef{Otázka}{Jak vyšetořovat stejnoměrnou (lokálně stejnoměrnou) konvergenci mocninných řad?} \theorem{3}{o lokálně stejnoměrné konvergenci mocninné řady}{ Nechť $\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n$ je mocninná řada s poloměrem konvergence $R \in (0,\infty]$. Potom řada konverguje absolutně a lokálně stejnoměrně na intervalu $(x_0-R,x_0+R)$ je-li $R < \infty$ a na intervalu $\real$, je-li $R = +\infty$. \proof{ Stačí dokázat, že $\sum \conS$ na každém intervalu $[x_0-K,x_0+K]$, kde $K \in (0,R)$. Mějme tedy $K \in (0,R)$, pak $$ \sup_{x\in[x_0-K,x_0+K]} |a_n||(x-x_0)^n| = |a_n|K^n $$ ale $\sum_{n=0}^\infty |a_n|K^n$ konverguje (viz důkaz \ias{}{1}{}). Tedy dle \ref{Weistrass}ova kriteria $\sum \conS$ na $[x_0-K,x_0+K]$. \qed } } \penalty-100 \theorem{4}{o derivaci mocninné řady}{ Nechť $\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n$ je mocninná řada s poloměrem konvergence $R \in (0,\infty]$. Potom řada $$ \sum_{n=1}^\infty na_n(x-x_0)^{n-1} $$ je také mocninná, se stejným středem i poloměrem konvergence, a navíc $$ \left(\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n\right)' = \sum_{n=1}^\infty na_n(x-x_0)^{n-1} \qquad x \in (x_0 - R, x_0 + R) $$ \proof{ Nechť $R'$ je poloměr konvergence řady $\sum_{n=1}^\infty na_n(x-x_0)^{n-1}$, pak $$ \limsup_{n\to\infty} \broot{n}\of{n|a_n|} \becauseof{\ref{VOAL}}{=} 1 \cdot \limsup_{n\to\infty} \broot{n}\of{|a_n|} $$ a tedy $R' = R$. Zároveň díky tomu $$ \sum_{n=1}^\infty na_n(x-x_0)^{n-1} \conSLi{}{(x_0-R,x_0+R)} \textnote{viz předchozí věta} $$ a v záchytném bodě $x = x_0$ konverguje řada $\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n$. Tedy dle věty o záměně sumy a derivace $$ \left(\sum a_n(x-x_0)^n\right)' = \sum a_nn(x-x_0)^{n-1} $$ \qed } } \theorem{5}{o integraci mocninné řady}{ Nechť $\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n$ je mocninná řada s poloměrem konvergence $R \in (0,\infty]$. Potom $$ \int \left(\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n\right)\,dx = c + \sum_{n=0}^\infty {a_n \over n+1}(x-x_0)^{n+1} \qquad x \in (x_0-R,x_0+R) $$ \shortproof{Nechceme. \sqed} } \theorem{6}{Abelova}{ {\it Nejdůležitější věta pasáže.} Nechť má mocninná řada $\sum_{n=0}^\infty a_nx^n$ se středem $x_0 = 0$ poloměr konvergence $R \in (0,\infty)$. Nechť $\sum_{n=0}^\infty a_nR^n$ konverguje. Potom $$ \sum_{n=0}^\infty a_nx^n \conSi{}{[0,R]} $$ $$ !\qquad\sum_{n=0}^\infty a_nR^n = \lim_{x\to R_-} \sum_{n=0}^\infty a_nx^n\qquad! $$ \proof{ $$ \sum_{n=0}^\infty a_nx^n = \sum_{n=0}^\infty a_nR^n (x/R)^n $$ Řada $\sum a_nR^n$ konverguje, tedy také $\sum a_nR^n \conS$. Dále $\left|(x/R)^n\right| \le 1$, a navíc je $(x/R)^n$ monotónní (v $n$) pro každé $x$. Podle \ref{Abel}ova kritéria tedy $\sum a_nx^n \conS$. Vzorec s limitou plyne ihned z \ref{Moore-Osgood}ovy věty. \qed } } \penalty-100 \examples{ \list{ \listItem{ Sečtěte řadu \M{\sum_{n=1}^\infty {(-1)^{n-1} \over n} = 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + \cdots} \smallskip Zaveďme si umělou proměnnou $x$. Definujeme řadu (funkcí) $$ \sum_{n=1}^\infty {(-1)^{n-1}\over n}x^n $$ To je mocninná řada s poloměrem konvergence $R = 1$. Pro $x = R$ řada konverguje (\ref{Leibniz}). Tedy dle Abelovy věty $$ f(x) := \sum_{n=1}^\infty {(-1)^n\over n}x^n $$ a tato funkce splňuje $$ f'(x) = \sum_{n=1}^\infty {(-1)^{n-1}\over n}nx^{n-1} = \sum_{n=1}^\infty (-x)^{n-1} = \sum_{n=0}^\infty (-x)^n = {1 \over 1+x} \qquad x \in (-1,1) $$ a navíc platí $$ \sum_{n=1}^\infty {(-1)^{n-1}\over n} = \lim_{x\to1_-} f(x) $$ $$ f(x) = \int f'(x)\,dx = \int {dx\over1+x} = \log(1+x) + c $$ a zbývá dopočítat $c$: $$ f(0) = \sum_{n=1}^\infty {(-1)^{n-1}\over n}\cdot0^n = 0 \Longrightarrow \log (1+0)+c = 0 \Longrightarrow c = 0 $$ $$ \Longrightarrow f(x) = \log(1+x) $$ Tedy $$ \sum_{n=1}^\infty {(-1)^{n-1}\over n} = \lim_{x\to1_-} f(x) = \log 2 $$ } \medskip \listItem{ Sečtěte řadu \M{\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n} {n^2 \over n!} =: s} \smallskip $$s = \sum_{n=1}^\infty (-1)^n {n\over(n-1)!} = \sum_{n=0}^\infty (-1)^{n+1} {n+1\over n!}$$ Definujme si: $$ f(x) := \sum_{n=0}^\infty (-1)^{n+1} {n+1\over n!}x^n $$ Pak dle \ias{}{5}{} pro $F(x) = \int f(x)\,dx$ platí $$ F(x) = c + \sum_{n=0}^\infty(-1)^{n+1}{x^{n+1}\over n!} = c + \sum_{n=0}^\infty{(-x)^{n+1}\over n!} = c - x\sum_{n=0}^\infty{(-x)^n \over n!} = c - xe^{-x} $$ $$ F'(x) = -e^{-x} + xe^{-x} = (x-1)e^{-x} = f(x) $$ a tedy dle \ref{Abel}ovy věty $$ s = \lim_{x\to1_-} f(x) = 0 $$ \shortexerc{\M{\sum_{n=1}^\infty {n^2 \over n!} = 2e}} } } } \bend