\input /home/pasky/school/fastex/lib.tex

Ur�it� integr�l �e�� tzv. ``probl�m plochy'' (``area problem''),
kdy n�s zaj�m� plocha pod grafem dan� funkce v ur�it�ch mez�ch.
Tento probl�m �e�ili ji� sta�� �ekov�, {\bf Eudoxos} publikoval tzv.
{\it metodu vy�erp�v�n� (exhaust method)}, kdy se plocha po��t�
pomoc� obd�ln�k� a lichob�n�k�. To je i podstata {\bf Riemannova integr�lu}.

\bigskip

\subchapter{Riemann�v integr�l}{

	\definition{
		Kone�nou posloupnost bod� $x_0 < x_1 < \cdots < x_n$ nazveme
		{\bf d�len�m intervalu $[a,b]$}, kde $-\infty < a < b < \infty$,
		jestli�e $a = x_0 < x_1 < \cdots < x_n = b$.
		Zna��me \M{D = \{x_j\}_{j=0}^n}.
		�ekneme, �e d�len� $D'$ {\bf zjem�uje} $D$, jestli�e
		ka�d� bod d�len� $D$ je tak� bodem d�len� $D'$.

		\optnote{To je zaj�mav�, nebo� n�hle m�me mezi d�len�mi ur�it�
		uspo��d�n�. Ale pozor, navz�jem m��eme porovn�vat pouze n�kter�
		d�len�! Neplat� tedy dichotomie.}

		Nech� $f$ je omezen� funkce na $[a,b]$ a $D = \{x_j\}_{j=0}^n$
		je d�len� $[a,b]$. Polo�me
		$$ s(f,D) = \sum_{j=1}^n \inf\{f(x): x \in [x_{j-1},x_j]\}\cdot(x_j-x_{j-1}) $$
		$$ S(f,D) = \sum_{j=1}^n \sup\{f(x): x \in [x_{j-1},x_j]\}\cdot(x_j-x_{j-1}) $$
		��sla $s(f,D), S(f,D)$ naz�v�me {\bf doln�m a horn�m sou�tem}
		funkce $f$ p�es $[a,b]$ vzhledem k $D$.
		
		M�jme:
		$$ \driemint{a}{b} f(x)\,dx \defined \sup_{D} s(f,D) $$
		$$ \hriemint{a}{b} f(x)\,dx \defined \inf_{D} S(f,D) $$
		Tyto ��sla nazveme doln�m a horn�m {\bf Riemannov�m integr�lem}
		funkce $f$ p�es interval $[a,b]$.

		Pro ilustraci viz \figref{AII-1}.
	}

	\example{
		\href{Dirichletova funkce}:
		\M{D(x) = \cases{1 & $x \in \rat$\cr 0 & $x \notin \rat$}}

		Potom:
		$$ \driemint{0}{1} D(x)\,dx = 0\qquad \forall\ [x_{j-1},x_j]\hbox{, kde}\ \inf D(x) = 0 $$
		$$ \hriemint{0}{1} D(x)\,dx = 1 $$
	}

	\definition{
		�ekneme, �e omezen� funkce $f$ m� Riemann�v integr�l p�es interval $[a,b]$,
		jestli�e
		$$ \driemint{a}{b} f(x)\,dx = \hriemint{a}{b} f(x)\,dx $$
		
		(Tedy $D$ nem� Riemann�v integr�l.)
	}

	\example{
		\href{Riemannova funkce}:
		\M{R(x) = \cases{0 & $x \in \real\setminus\rat$\cr 1/q & $x = p/q$, $p \in \intgr, q \in \nat$}}

		Pak \M{\hriemint{0}{1} R(x)\,dx = 0} (\DCV).
	}

	\lemma{}{
		$f$ bu� omezen� na $[a,b]$, $D,D'$ d�len� $[a,b]$, $D'$ zjem�uje $D$.
		Potom:
		\list{
		\listItem{$s(f,D) \le s(f,D') \le S(f,D') \le S(f,D)$}
		\listItem{$D_1, D_2$ nech� jsou libovoln� d�len� $[a,b]$, pak $s(f,D_1) \le S(f,D_2)$.}
		}

		\proof{
		\list{
		\listItem{
			Sta�� pro p��pady
			$$ D = \{x_0,x_1,\ldots,x_{j-1},x_j,\ldots,x_n\}\textnote{$n+1$ bod�} $$
			$$ D = \{x_0,x_1,\ldots,x_{j-1},z,x_j,\ldots,x_n\}\textnote{$n+2$ bod�} $$

			Pak (podle obr�zku \figref{AII-2}):
			\list{
			\nlistItem{\M{\inf\{f(x): x \in [x_{j-1},x_j]\} \le \inf\{f(x): x \in [x_{j-1},z]\}}}
			\nlistItem{\M{\inf\{f(x): x \in [x_{j-1},x_j]\} \le \inf\{f(x): x \in [z,x_j]\}}}
			}

			Vezm�me \M{(1) \cdot (z - x_{j-1}) + (2) \cdot (x_j - z)}, a m�me:
			$$ \inf\{f(x): x \in [x_{j-1},x_j]\}\cdot(x_j - x_{j-1}) \le \textbox{sou�et} $$
			$$ \Longrightarrow s(f,D) \le s(f,D') $$
			(analogicky $S(f,D) \ge S(f,D')$).

			Zb�vaj�c� nerovnost je z�ejm� ($\inf \le \sup$).
		}
		\listItem{
			$D_1, D_2$ d�no, vezmeme $D$ jako spole�n� zjemn�n� $D_1$ i $D_2$.
			Potom:
			$$ s(f,D_1) \becauseof{(i)}{\le} s(f,D) \becauseof{triv.}{\le} S(f,D) \becauseof{(i)}{\le} S(f,D_2) $$
			$$ \Longrightarrow s(f,D_1) \le S(f,D_2) $$
		}
		}
			\qed
		}
	}

	\impl{
		$f$ bu� omezen� na $[a,b]$, $m = \inf_{[a,b]} f$, $M = \sup_{[a,b]} f$, potom:
		$$ m(b-a) \le \driemint{a}{b}f(x)\,dx \le \hriemint{a}{b} f(x)\,dx \le M(b-a) $$
	}

	\definition{
		Nech� $D$ je d�len� intervalu $[a,b]$. {\bf Normou d�len� $D$} naz�v�me ��slo
		$$ \| D \| \defined \max_{j=1,\ldots,n} (x_j-x_{j-1}) $$
	}


	\penalty-100

	\theorem{1}{o tvaru horn�ho a doln�ho Riemannova integr�lu}{
		Nech� $f$ je omezen� funkce na $[a,b]$ a nech� $\{D_n\}_{n=1}^\infty$
		je nekone�n� posloupnost d�len� $[a,b]$.
		Nav�c nech� $\lim_{n\to\infty} \|D_n\| = 0$. Potom:
		$$ \driemint{a}{b} f(x)\,dx = \sup_n s(f,D_n) $$
		$$ \hriemint{a}{b} f(x)\,dx = \inf_n S(f,D_n) $$

		\proof{
			Zvol�me d�len� $D$ a $\eps > 0$. Sta�� dok�zat, �e $\existss n_0 \in \nat$
			takov�, �e $s(f,D_{n_0}) > s(f,D) - \eps$. Pak toti� pro $\forall \eps > 0$
			$\existss n_0 \in \nat$ takov�, �e
			$$ \sup_{D'} s(f,D') \ge \sup_n s(f,D_n) \ge s(f,D) - \eps $$
			M�me pevn� zvolen� $D$ a $\eps$. Nech�
			$$ K = \sup_{x \in [a,b]} |f(x)| $$
			Zvol�me $n_0$ tak, aby
			$$ \|D_{n_0}\| < {\eps \over K\cdot\#D} $$
			kde $\#D$ je po�et interval� v $D$. Polo��m
			$$ P = D_{n_0} \cup D $$
			$P$ tedy zjem�uje $D$, proto
			$$ s(f,D) \le s(f,P) $$

			Nazv�me $I_1$ intervaly takov�, kter� neobsahuj� body $D$,
			a $I_2$ intervaly takov�, kter� obsahuj� alespo� jeden bod z $D$.
			$$ s(f,P) = \sum_{I_1 \in P} (\inf_{I_1} f)\cdot|I|
			+ \sum_{I_2 \in P} (\inf_{I_2} f)\cdot|I| $$
			$$ \le s(f,D_{n_0}) + K\cdot\|D_{n_0}\|\cdot\#D $$
			$$ < s(f,D_{n_0}) + \eps $$
			\qed
		}

		\example{
			$$ \riemint{0}{2} x^2\,dx $$

			Vol�me $D_n = \{j/n\}_{j=0}^{2n}$ (tedy nejd��ve d�l�m
			na poloviny, pak na �tvrtiny atd.). Pak
			$$ \| D_n \| = 1/n \to 0 $$
			tedy dle \ias{}{1}{}:
			$$ \driemint{a}{b} f(x)\,dx = \sup_n \sum_{j=1}^{2n} \left(j-1\over n\right)^2{1\over n}
				= \sup_n {1\over n^3} \sum_{j=1}^{2n} (j-1)^2 $$
			$$ \becauseof{\DCV}{=} \sup_n {(2n-1)2n(4n-1)\over 6n^3} = 8/3 $$

			$$ \hriemint{a}{b} f(x)\,dx = \inf_n \sum_{j=1}^{2n} \left(j \over n\right)^2{1\over n}
				= \inf_n {(2n-1)2n(4n+1)\over n^3} = 8/3 $$
		}
	}

	\theorem{2}{krit�rium existence Riemannova integr�lu}{

		Nech� $f$ je omezen� na $[a,b]$, kde $-\infty < a < b < \infty$.
		Potom $f \in R([a,b])$ pr�v�, kdy� k $\forall \eps > 0$ $\existss D$ d�len� $[a,b]$
		takov�, �e $S(f,D) - s(f,D) < \eps$. (Tedy pro jakoukoliv celkovou chybu $\eps$
		m��eme naj�t natolik jemn� d�len�, �e jeho celkov� chyba je men��.)

		\proof{
		\proofrightimpl{
			$$ f \in R([a,b]) \Longrightarrow \existss \riemint{a}{b} f(x)\,dx \Longrightarrow
				\driemint{a}{b} f = \hriemint{a}{b} f $$

			Zvolme posloupnost d�len� $\{D_n\}$ takovou, aby $\|D_n\| \to 0$.
			Potom $$\lim_{n\to\infty} s(f,D_n) = \lim_{n\to\infty} S(f,D_n) = A = \riemint{a}{b} f(x)\,dx $$

			Sta�� zvolit $\eps > 0$, potom $\existss n_0$ tak, aby z�rove� platilo:
			$$\eqalign{S(f,D_{n_0}) - A &< \eps/2\cr
			           A - s(f,D_{n_0}) &< \eps/2}$$
			Tedy $$S(f,D_{n_0}) - s(f,D_{n_0}) < \eps/2 + \eps/2 = \eps$$
		}

		\proofleftimpl{
			Zvolme $\eps > 0$. Pak $\existss D$ d�len� takov�, �e $$S(f,D) - s(f,D) < \eps$$
			Potom tak� plat�
			$$ 0 \le \hriemint{a}{b}f(x)\,dx - \driemint{a}{b}f(x)\,dx \le S(f,D) - s(f,D) < \eps $$
			$$ \Longrightarrow \hriemint{a}{b} f = \driemint{a}{b} f \becauseof{def}{\Longrightarrow}
				f \in R([a,b]) $$
		}

		\qed
		}

	}


	\penalty-1000

	\definition{
		Nech� $I$ je nezdegenerovan� interval, $f\colon I \to \real$. �ekneme, �e
		$f$ je na $I$ {\bf stejnom�rn� spojit�}, jestli�e
		$$\forall \eps > 0\ \existss \delta > 0,\ \forall x,y\in I: |x-y| < \delta
			\Longrightarrow |f(x)-f(y)| < \eps \eqno (1) $$

		\shortnote{$f$ je spojit� na $I$, pr�v� kdy� $f$ je spojit� v ka�d�m bod� $x \in I$:}
		$$\forall x \in I, \eps > 0\ \existss \delta > 0,\ \forall y\in I: |x-y| < \delta
			\Longrightarrow |f(x)-f(y)| < \eps \eqno (2) $$

		\smallskip

		\optnote{M�jme dv� tvrzen�: ``$\existss$ h�l na $\forall$ psa'' (1) a ``na $\forall$ psa $\existss$ h�l'' (2).
		Pak trivi�ln� plat� $(1) \Rightarrow (2)$.}

		V druh�m p��pad� (spojitosti) tedy vol�m $(\eps,\delta)$-krabi�ku podle pevn�ho
		$x$. Ov�em v p��pad� stejnom�rn� spojitosti m�m pevn� zvolen� $\eps$, ud�l�m
		si $(\eps,\delta)$-krabi�ku, se kterou projedu v�echna $x$ a v�ude mus� sed�t.

		\shortnote{Ka�d� stejnom�rn� spojit� funkce na $I$ je automaticky spojit�.}
	}

	\example{
		$f(x) = 1/x$ na $(0,1)$. Pak $f$ je spojit�, ale nen� stejnom�rn� spojit�
		(spojit� ano). Chci tedy dok�zat, �e
		$$\existss \eps > 0,\ \forall \delta > 0\ \existss x,y\in(0,1): |x-y|<\delta\hbox{, ale } |1/x-1/y| \ge \eps$$

		Zvol�m $\eps = 1$, $x_n = 1/n$, $y_n = 1/(n+1)$. Pak $|f(x_n) - f(y_n)| = 1 \ge \eps$.
		Ale to je spor, nebo� $$\forall \delta > 0\ \existss n: |x_n - y_n| < \delta$$
		\qed
	}

	\theorem{3}{vztah spojitosti a stejnom�rn� spojitosti}{
		Nech� $f$ je spojit� na uzav�en�m intervalu $[a,b]$, kde
		$ - \infty < a < b < \infty$. Pak $f$ je na $[a,b]$
		stejnom�rn� spojit�.

		\proof{
			Pro spor nech� $f$ nen� na $[a,b]$ stejnom�rn� spojit�, tedy
			$$\existss \eps > 0,\ \forall \delta > 0\ \existss x,y: |x-y|<\delta\hbox{, ale } |f(x)-f(y)| \ge \eps$$

			Zvolme $\delta = 1/n$, pak $\existss$ posloupnosti $\{x_n\}, \{y_n\}$ v $[a,b]$ takov�,
			�e $$|x_n - y_n| < 1/n \et |f(x_n) - f(y_n)| \ge \eps$$

			Podle \href{Bolzano--Weistrass} e lze z posloupnosti $\{x_n\}$ vybrat
			konvergentn� podposloupnost $\{x_{n_k}\}$.

			Je na �ase vyu��t toho, �e pracujeme nad uzav�en�m intervalem:
			$$ \existss x \in [a,b]: \lim_{k\to\infty} x_{n_k} = x $$
			Dle \href{VOLU} i kdy� $a < x_{n_k} < b$, tak $a \le \lim x_{n_k} \le b$,
			tedy na otev�en�m intervalu bychom limitu mohli m�t mimo n�j.

			\optnote{Tady je c�tit ta prav� matematika, ne jen nudn� kalkulus\dots ;-)}

			D�le plat�:
			$$ |y_{n_k} - x| \le |y_{n_k} - x_{n_k}| + |x_{n_k} - x| < 1/n_k + o(1) \to 0 $$
			$$ \Longrightarrow \lim_{k\to\infty} y_{n_k} = x $$

			\shortdef{V�me}{$f$ je spojit� na $[a,b]$, tedy je $f$ spojit� v $x$.}
			Tedy k na�emu $\eps/2$ existuje $\delta$ tak, �e
			$$ \forall x \in (x-\delta,x+\delta) \cap [a,b]: |f(x) - f(z)| < \eps/2 $$

			Proto�e \M{\lim_{k\to\infty} x_{n_k} = \lim_{k\to\infty} y_{n_k} = x}, nutn�
			$$\existss k_0,\ \forall k \ge k_0: x_{n_k},y_{n_k} \in (x-\delta,x+\delta)\cap[a,b]$$

			$$ \eps \le | f(x_{n_k}) - f(y_{n_k}) | \le | f(x_{n_k} - f(x) | + |f(x) - f(y_{n_k})|
				< \eps/2 + \eps/2 $$

			\XXX
		}
	}

	\theorem{4}{o vztahu spojitosti a riemannovsk� integrovatelnosti}{
		Nech� $f$ je spojit� na $[a,b]$, pak $f \in R([a,b])$.

		\proof{
			V�me dle \href{VSAO}, �e $f$ je omezen� na $[a,b]$.
			D�le v�me dle \ias{}{3}{}, �e $f$ je stejnom�rn�
			spojit� na $[a,b]$, tedy
			$$\forall \eps > 0\ \existss \delta > 0,\ \forall x,y\in I: |x-y| < \delta
				\Longrightarrow |f(x)-f(y)| < \eps $$

			Zvolme $\eps > 0$. Najdeme d�len� $D$ intervalu $[a,b]$ takov�,
			aby $\|D\| < \delta$. Nech� $D = \{x_j\}_{j=0}^n$.
			Ozna�
			$$ M_j := \sup_{x \in [x_{j-1},x_j]} |f(x)| $$
			$$ m_j := \inf_{x \in [x_{j-1},x_j]} |f(x)| $$

			Ze stejnom�rn� spojitosti ($x_j - x_{j-1} < \delta$) plyne, �e
			$$ M_j < m_j + \eps $$

			$$ S(f,D) - s(f,D) = \sum_{j=1}^n M_j(x_j-x_{j-1}) - \sum_{j=1}^n m_j(x_j-x_{j-1}) = $$
			$$	= \sum_{j=1}^n (M_j-m_j)(x_j-x_{j-1}) < \eps\sum_{j=1}^n(x_j-x_{j-1}) = \eps(b-a) $$

			Tedy jsme dok�zali, �e
			$$ \forall \eps\ \existss D: S(f,D) - s(f,D) < \eps(b-a) $$
			a dle \ias{}{2}{} (krit�rium r. int.) plat� $f \in R([a,b])$.

			\qed
		}
	}

	\theorem{5}{vztah monotonie a riemannovsk� integrovatelnosti}{
		Nech� $f$ je omezen� a mnot�nn� na $[a,b]$.
		Potom $f \in R([a,b])$.

		\proof{
			Bez �jmy na obecnosti nech� $f$ je neklesaj�c�.
			Zvolme $\eps > 0$ a ``ekvidistantn�'' d�len�
			$$ D = \Big\{\undernote{a + {b-a\over n}j}{x_j}\Big\}_{j=0}^n $$

			$$ S(f,D) = \sum_{j=1}^n \sup_{x \in [x_{j-1},x_j]} |f(x)(x_{j}-x_{j-1})
				= \sum_{j=1}^n f(x_j){b-a\over n} $$
			$$ s(f,D) = \sum_{j=1}^n f(x_{j-1}){b-a\over n} $$
			Tedy mus� nutn� platit
			$$ S(f,D) - s(f,D) = {b-a \over n} \sum_{j=1}^n (f(x_j) - f(x_{j-1}))
				= {((f(b)-f(a))(b-a)\over n} $$
			Tedy k zadan�mu $\eps > 0$ sta�� volit $n$ dost velk�,
			aby $$ n > {(f(b)-f(a))(b-a)\over\eps} $$
			Potom v�ak $S(f,D) - s(f,D) < \eps$ a $f \in R([a,b])$ dle \ias{}{2}{}.

			\qed
		}
	}

	\theorem{6}{vlastnosti Riemannova integr�lu}{
		\list{
		\listItem{{\bf linearita}: M�jme $f,g \in R([a,b])$, $-\infty < a < b < \infty$
			a n�jak� skal�r $\alpha \in \real$. Potom $(f+g) \in R([a,b])$, $\alpha f \in R([a,b])$,
			$$ \riemint{a}{b} (f(x)+g(x))\,dx = \riemint{a}{b} f(x)\,dx + \riemint{a}{b} g(x)\,dx$$
			$$ \riemint{a}{b} \alpha f(x))\,dx = \alpha \riemint{a}{b} f(x)\,dx$$
		}
		\listItem{{\bf monotonie}: M�jme $f,g \in R([a,b])$, $f(x) \le g(x)$ pro $\forall x \in [a,b]$. Potom
			$$ \riemint{a}{b} f(x)\,dx < \riemint{a}{b} g(x)\,dx $$
		}
		\listItem{{\bf aditivita vzhledem k interval�m}:
			Nech� $a < b < c \in \real$. Potom
			$$ f \in R([a,c]) \Longleftrightarrow f \in R([a,b]) \et f \in R([b,c]) $$
			a nav�c dokonce plat�
			$$ \riemint{a}{c} f(x)\,dx = \riemint{a}{b} f(x)\,dx + \riemint{b}{c} f(x)\,dx $$
		}
		}

		\proof{
			\dots je protivn�. \sqed
		}
	}

	\penalty-100

	\scpart{�mluva}{
		$$ \int_a^a f(x)\,dx = 0 $$
		$$ \int_b^a f(x)\,dx = -\int_a^b f(x)\,dx $$
	}

	\theorem{7}{Riemann�v integr�l jako�to funkce horn� meze}{
		(Nejd�le�it�j�� v�ta sez�ny. Tak� eufemisticky naz�v�na
		F.T.C., neboli z�kladn� v�ta kalkulu.)

		Nech� $I \in \real$ je nepr�zdn� interval libovoln�ho typu.
		Nech� d�le $f \in R([\alpha,\beta])$ pro v�echna
		$\alpha,\beta \in I$. Nech� $c \in I$ je libovoln�
		pevn� stanoven� bod.
		Polo�me $$ F(x) := \riemint{c}{x} f(t)\,dt\qquad x \in I $$
		Potom plat�:
		\list{
			\listItem{$F$ je spojit� na $I$.}
			\listItem{Je-li $x_0 \in I$ bodem spojitosti $f$, pak $F'(x_0) = f(x_0)$.}
		}

		\penalty-1000

		\proof{
		\list{
		\listItem{Nech� $y_0 \in I$ nen� prav� krajn� bod $I$.
			Chci dok�zat, �e
			$$ \lim_{y\to {y_0}_+} (F(y) - F(y_0)) = 0 $$
			(analogicky pak pro spojitost zleva).

			V�me:
			$$ F(y) - F(y_0) = \riemint{c}{y} f(t)\,dt - \riemint{c}{y_0} f(t)\,dt
				\becauseof{\ias{}{6}{(iii)}}{=} \riemint{y_0}{y} f(t)\,dt $$
			$$ \existss \delta > 0 : f \in R([y,y_0+\delta]) $$
			Tedy $f$ je na $[y_0,y_0+\delta]$ omezen�, a tedy existuj� $m,M \in \real$
			takov�, �e
			$$ m = \inf \{f(t): t \in [y_0,y_0 + \delta]\} $$
			$$ M = \sup \{f(t): t \in [y_0,y_0 + \delta]\} $$

			Tud�� dle \ias{}{6}{(ii)}:
			$$ \forall y \in [y_0,y_0+\delta] :
				\undernote{m(y-y_0)}{\to 0} \le \riemint{y_0}{y} f(t)\,dt \le \undernote{M(y-y_0)}{\to 0} $$
			$$ \lim_{y\to {y_0}_+} (F(y) - F(y_0)) = \lim_{y\to {y_0}_+} \riemint{y_0}{y} f(t)\,dt = 0 $$
		}

		\listItem{Nech� $x_0 \in I$ je bod spojitosti funkce $f$. Chceme:
			$$ F'(x_0) = f(x_0) $$
			$$ F'(x_0) - f(x_0) = 0 $$
			\penalty-100

			Z�rove� v�me, �e
			$$ F'(x_0) = \lim_{h \to 0} {F(x_0 - h) - F(x_0) \over h}
				= \lim_{h\to0}{1\over h}\int_{x_0}^{x_0+h} f(t)\,dt $$
			Tedy nutn� plat�
			$$ F'(x_0) - f(x_0) = \lim_{h\to0}{1\over h}\int_{x_0}^{x_0+h} f(t)\,dt - f(x_0)
				\becauseof{!}{=} \lim_{h\to0}{1\over h}\int_{x_0}^{x_0+h} (f(t) - f(x_0))\,dt $$

			V�me, �e $f$ je spojit� v $x_0$. Zvolme $\eps > 0$, pak tedy
			$\existss \delta > 0$ takov�, �e $|f(t) - f(x_0)| < \eps$ pro $\forall\,|t-x_0| < \delta$.

			Tak�e pro $h < \delta$ m�me $f(t) - f(x_0) < \eps$ pro $\forall t \in [x_0, x_0 + h]$.  Tud��
			pro $\forall \eps > 0$:
			$$ F'(x_0) - f(x_0) = \lim_{h\to0} {1\over h} \int_{x_0}^{x_0+h} (f(t)-f(x_0))\,dt
				< \lim_{h\to0} \eps{1\over h}\int_{x_0}^{x_0+h}dt = \eps $$
			a tedy $$ F'(x_0) - f(x_0) = 0 $$
		}
		}
		\qed
		}

		\penalty-100

		\notes{
		\list{
		\listItem{Funkce $f$ ve v�t� 7 nemus� b�t na $I$ spojit�, ani riemannovsky integrovateln�,
			dokonce ani omezen�. Mus� platit pouze $f \in R([\alpha,\beta])$ pro $\forall \alpha,\beta\in I$
			(v�etn� $\beta \le \alpha$).

			\optnote{Rozd�l mezi riemannovskou integrovatelnost� na $I$ a na libovoln�m jeho podintervalu
				m��eme dob�e vid�t nap�. na $I = (0,1)$ a $f = 1/x$.
			}
		}
		\listItem{Bez p�edpokladu spojitosti $f$ v $x_0$ tvrzen� \ias{}{7}{(ii)} neplat�.

			\example{
				Vezm�me $f = \sign x$, $I = [-1,1]$, $c = 0$.
				Potom $$ F(x) = \int_{0}^{x} \sign t\,dt = |x| \textbox{na $[-1,1]$} $$
				$F'(c)$ neexistuje, tzn. $f$ nen� spojit� v nule.
			}
		}
		}
		}

		\scpart{D�sledky:}{
		\list{
		\listItem{Nech� $f$ je spojit� na $(a,b) \in \real$. Potom $f$ m� na $(a,b)$ primitivn� funkci. (\ias{5}{2})

			\proof{
				$f$ je spojit� na $(a,b)$, tedy je $f$ spojit� v $x_0$ pro $\forall x_0 \in (a,b)$,
				tedy dle \ias{}{7}{(ii)} $F'(x_0) = f(x_0)$, kde $F$ je funkce z \ias{}{7}{},
				tedy $$ F(x) = \int_{c}^{x} f(t)\,dt\qquad c \in (a,b) \textnote{libovoln�} $$

				Tud�� $F$ je primitivn� k $f$ na $(a,b)$.
				\qed
			}
		}

		\penalty-100

		\listItem{Je-li $f$ spojit� na $[a,b]$, potom
			$$ \riemint{a}{b} f(x)\,dx = \lim_{x\to b_-} F(x) - \lim_{x\to a_+} F(x) $$
			kde $F$ je libovoln� primitivn� funkce k $f$ na $(a,b)$.

			\proof{
				$f$ je spojit� na $[a,b]$, tedy dle (i) m� primitivn� funkci $G$
				na $(a,b)$. Nech� $c \in (a,b)$ a
				$$ F(x) = \int_{c}^x f(t)\,dt\qquad \forall x \in [a,b] $$
				Potom dle (i) je $F$ primitivn� funkce k $f$ na $(a,b)$,
				a tedy dle \ias{5}{1} existuje $d \in \real$ takov�,
				�e $$ G(x) = F(x) + d\qquad \forall x \in (a,b) $$
				$$ G(x) = G(c) + \int_{c}^x f(t)\,dt $$

				Nebo� $G$ je spojit� na $[a,b]$, plat� rovnost
				$$ \lim_{x\to b_-} G(x) - \lim_{x \to a_+} G(x)
					= G(c) + \int_{c}^b f(t)\,dt - \left(G(c) + \int_c^a f(t)\,dt\right) = $$
				$$ = \int_c^b f(t)\,dt + \int_a^c f(t)\,dt \becauseof{\ias{}{6}{(iii)}}{=}
					\int_a^b f(t)\,dt $$

				\qed
			}
		}
		}
		}
	}

}

\bend
