\input /home/pasky/school/fastex/lib.tex

Určitý integrál řeší tzv. ``problém plochy'' (``area problem''),
kdy nás zajímá plocha pod grafem dané funkce v určitých mezích.
Tento problém řešili již staří řekové, {\bf Eudoxos} publikoval tzv.
{\it metodu vyčerpávání (exhaust method)}, kdy se plocha počítá
pomocí obdélníků a lichoběžníků. To je i podstata {\bf Riemannova integrálu}.

\bigskip

\subchapter{Riemannův integrál}{

	\definition{
		Konečnou posloupnost bodů $x_0 < x_1 < \cdots < x_n$ nazveme
		{\bf dělením intervalu $[a,b]$}, kde $-\infty < a < b < \infty$,
		jestliže $a = x_0 < x_1 < \cdots < x_n = b$.
		Značíme \M{D = \{x_j\}_{j=0}^n}.
		Řekneme, že dělení $D'$ {\bf zjemňuje} $D$, jestliže
		každý bod dělení $D$ je také bodem dělení $D'$.

		\optnote{To je zajímavé, neboť náhle máme mezi děleními určité
		uspořádání. Ale pozor, navzájem můžeme porovnávat pouze některá
		dělení! Neplatí tedy dichotomie.}

		Nechť $f$ je omezená funkce na $[a,b]$ a $D = \{x_j\}_{j=0}^n$
		je dělení $[a,b]$. Položme
		$$ s(f,D) = \sum_{j=1}^n \inf\{f(x): x \in [x_{j-1},x_j]\}\cdot(x_j-x_{j-1}) $$
		$$ S(f,D) = \sum_{j=1}^n \sup\{f(x): x \in [x_{j-1},x_j]\}\cdot(x_j-x_{j-1}) $$
		Čísla $s(f,D), S(f,D)$ nazýváme {\bf dolním a horním součtem}
		funkce $f$ přes $[a,b]$ vzhledem k $D$.
		
		Mějme:
		$$ \driemint{a}{b} f(x)\,dx \defined \sup_{D} s(f,D) $$
		$$ \hriemint{a}{b} f(x)\,dx \defined \inf_{D} S(f,D) $$
		Tyto čísla nazveme dolním a horním {\bf Riemannovým integrálem}
		funkce $f$ přes interval $[a,b]$.

		Pro ilustraci viz \figref{AII-1}.
	}

	\example{
		\href{Dirichletova funkce}:
		\M{D(x) = \cases{1 & $x \in \rat$\cr 0 & $x \notin \rat$}}

		Potom:
		$$ \driemint{0}{1} D(x)\,dx = 0\qquad \forall\ [x_{j-1},x_j]\hbox{, kde}\ \inf D(x) = 0 $$
		$$ \hriemint{0}{1} D(x)\,dx = 1 $$
	}

	\definition{
		Řekneme, že omezená funkce $f$ má Riemannův integrál přes interval $[a,b]$,
		jestliže
		$$ \driemint{a}{b} f(x)\,dx = \hriemint{a}{b} f(x)\,dx $$
		
		(Tedy $D$ nemá Riemannův integrál.)
	}

	\example{
		\href{Riemannova funkce}:
		\M{R(x) = \cases{0 & $x \in \real\setminus\rat$\cr 1/q & $x = p/q$, $p \in \intgr, q \in \nat$}}

		Pak \M{\hriemint{0}{1} R(x)\,dx = 0} (\DCV).
	}

	\lemma{}{
		$f$ buď omezená na $[a,b]$, $D,D'$ dělení $[a,b]$, $D'$ zjemňuje $D$.
		Potom:
		\list{
		\listItem{$s(f,D) \le s(f,D') \le S(f,D') \le S(f,D)$}
		\listItem{$D_1, D_2$ nechť jsou libovolná dělení $[a,b]$, pak $s(f,D_1) \le S(f,D_2)$.}
		}

		\proof{
		\list{
		\listItem{
			Stačí pro případy
			$$ D = \{x_0,x_1,\ldots,x_{j-1},x_j,\ldots,x_n\}\textnote{$n+1$ bodů} $$
			$$ D = \{x_0,x_1,\ldots,x_{j-1},z,x_j,\ldots,x_n\}\textnote{$n+2$ bodů} $$

			Pak (podle obrázku \figref{AII-2}):
			\list{
			\nlistItem{\M{\inf\{f(x): x \in [x_{j-1},x_j]\} \le \inf\{f(x): x \in [x_{j-1},z]\}}}
			\nlistItem{\M{\inf\{f(x): x \in [x_{j-1},x_j]\} \le \inf\{f(x): x \in [z,x_j]\}}}
			}

			Vezměme \M{(1) \cdot (z - x_{j-1}) + (2) \cdot (x_j - z)}, a máme:
			$$ \inf\{f(x): x \in [x_{j-1},x_j]\}\cdot(x_j - x_{j-1}) \le \textbox{součet} $$
			$$ \Longrightarrow s(f,D) \le s(f,D') $$
			(analogicky $S(f,D) \ge S(f,D')$).

			Zbývající nerovnost je zřejmá ($\inf \le \sup$).
		}
		\listItem{
			$D_1, D_2$ dáno, vezmeme $D$ jako společné zjemnění $D_1$ i $D_2$.
			Potom:
			$$ s(f,D_1) \becauseof{(i)}{\le} s(f,D) \becauseof{triv.}{\le} S(f,D) \becauseof{(i)}{\le} S(f,D_2) $$
			$$ \Longrightarrow s(f,D_1) \le S(f,D_2) $$
		}
		}
			\qed
		}
	}

	\impl{
		$f$ buď omezená na $[a,b]$, $m = \inf_{[a,b]} f$, $M = \sup_{[a,b]} f$, potom:
		$$ m(b-a) \le \driemint{a}{b}f(x)\,dx \le \hriemint{a}{b} f(x)\,dx \le M(b-a) $$
	}

	\definition{
		Nechť $D$ je dělení intervalu $[a,b]$. {\bf Normou dělení $D$} nazýváme číslo
		$$ \| D \| \defined \max_{j=1,\ldots,n} (x_j-x_{j-1}) $$
	}


	\penalty-100

	\theorem{1}{o tvaru horního a dolního Riemannova integrálu}{
		Nechť $f$ je omezená funkce na $[a,b]$ a nechť $\{D_n\}_{n=1}^\infty$
		je nekonečná posloupnost dělení $[a,b]$.
		Navíc nechť $\lim_{n\to\infty} \|D_n\| = 0$. Potom:
		$$ \driemint{a}{b} f(x)\,dx = \sup_n s(f,D_n) $$
		$$ \hriemint{a}{b} f(x)\,dx = \inf_n S(f,D_n) $$

		\proof{
			Zvolíme dělení $D$ a $\eps > 0$. Stačí dokázat, že $\existss n_0 \in \nat$
			takové, že $s(f,D_{n_0}) > s(f,D) - \eps$. Pak totiž pro $\forall \eps > 0$
			$\existss n_0 \in \nat$ takové, že
			$$ \sup_{D'} s(f,D') \ge \sup_n s(f,D_n) \ge s(f,D) - \eps $$
			Máme pevně zvolené $D$ a $\eps$. Nechť
			$$ K = \sup_{x \in [a,b]} |f(x)| $$
			Zvolíme $n_0$ tak, aby
			$$ \|D_{n_0}\| < {\eps \over K\cdot\#D} $$
			kde $\#D$ je počet intervalů v $D$. Položím
			$$ P = D_{n_0} \cup D $$
			$P$ tedy zjemňuje $D$, proto
			$$ s(f,D) \le s(f,P) $$

			Nazvěme $I_1$ intervaly takové, které neobsahují body $D$,
			a $I_2$ intervaly takové, které obsahují alespoň jeden bod z $D$.
			$$ s(f,P) = \sum_{I_1 \in P} (\inf_{I_1} f)\cdot|I|
			+ \sum_{I_2 \in P} (\inf_{I_2} f)\cdot|I| $$
			$$ \le s(f,D_{n_0}) + K\cdot\|D_{n_0}\|\cdot\#D $$
			$$ < s(f,D_{n_0}) + \eps $$
			\qed
		}

		\example{
			$$ \riemint{0}{2} x^2\,dx $$

			Volíme $D_n = \{j/n\}_{j=0}^{2n}$ (tedy nejdříve dělím
			na poloviny, pak na čtvrtiny atd.). Pak
			$$ \| D_n \| = 1/n \to 0 $$
			tedy dle \ias{}{1}{}:
			$$ \driemint{a}{b} f(x)\,dx = \sup_n \sum_{j=1}^{2n} \left(j-1\over n\right)^2{1\over n}
				= \sup_n {1\over n^3} \sum_{j=1}^{2n} (j-1)^2 $$
			$$ \becauseof{\DCV}{=} \sup_n {(2n-1)2n(4n-1)\over 6n^3} = 8/3 $$

			$$ \hriemint{a}{b} f(x)\,dx = \inf_n \sum_{j=1}^{2n} \left(j \over n\right)^2{1\over n}
				= \inf_n {(2n-1)2n(4n+1)\over n^3} = 8/3 $$
		}
	}

	\theorem{2}{kritérium existence Riemannova integrálu}{

		Nechť $f$ je omezená na $[a,b]$, kde $-\infty < a < b < \infty$.
		Potom $f \in R([a,b])$ právě, když k $\forall \eps > 0$ $\existss D$ dělení $[a,b]$
		takové, že $S(f,D) - s(f,D) < \eps$. (Tedy pro jakoukoliv celkovou chybu $\eps$
		můžeme najít natolik jemné dělení, že jeho celková chyba je menší.)

		\proof{
		\proofrightimpl{
			$$ f \in R([a,b]) \Longrightarrow \existss \riemint{a}{b} f(x)\,dx \Longrightarrow
				\driemint{a}{b} f = \hriemint{a}{b} f $$

			Zvolme posloupnost dělení $\{D_n\}$ takovou, aby $\|D_n\| \to 0$.
			Potom $$\lim_{n\to\infty} s(f,D_n) = \lim_{n\to\infty} S(f,D_n) = A = \riemint{a}{b} f(x)\,dx $$

			Stačí zvolit $\eps > 0$, potom $\existss n_0$ tak, aby zároveň platilo:
			$$\eqalign{S(f,D_{n_0}) - A &< \eps/2\cr
			           A - s(f,D_{n_0}) &< \eps/2}$$
			Tedy $$S(f,D_{n_0}) - s(f,D_{n_0}) < \eps/2 + \eps/2 = \eps$$
		}

		\proofleftimpl{
			Zvolme $\eps > 0$. Pak $\existss D$ dělení takové, že $$S(f,D) - s(f,D) < \eps$$
			Potom také platí
			$$ 0 \le \hriemint{a}{b}f(x)\,dx - \driemint{a}{b}f(x)\,dx \le S(f,D) - s(f,D) < \eps $$
			$$ \Longrightarrow \hriemint{a}{b} f = \driemint{a}{b} f \becauseof{def}{\Longrightarrow}
				f \in R([a,b]) $$
		}

		\qed
		}

	}


	\penalty-1000

	\definition{
		Nechť $I$ je nezdegenerovaný interval, $f\colon I \to \real$. Řekneme, že
		$f$ je na $I$ {\bf stejnoměrně spojitá}, jestliže
		$$\forall \eps > 0\ \existss \delta > 0,\ \forall x,y\in I: |x-y| < \delta
			\Longrightarrow |f(x)-f(y)| < \eps \eqno (1) $$

		\shortnote{$f$ je spojitá na $I$, právě když $f$ je spojitá v každém bodě $x \in I$:}
		$$\forall x \in I, \eps > 0\ \existss \delta > 0,\ \forall y\in I: |x-y| < \delta
			\Longrightarrow |f(x)-f(y)| < \eps \eqno (2) $$

		\smallskip

		\optnote{Mějme dvě tvrzení: ``$\existss$ hůl na $\forall$ psa'' (1) a ``na $\forall$ psa $\existss$ hůl'' (2).
		Pak triviálně platí $(1) \Rightarrow (2)$.}

		V druhém případě (spojitosti) tedy volím $(\eps,\delta)$-krabičku podle pevného
		$x$. Ovšem v případě stejnoměrné spojitosti mám pevně zvolené $\eps$, udělám
		si $(\eps,\delta)$-krabičku, se kterou projedu všechna $x$ a všude musí sedět.

		\shortnote{Každá stejnoměrně spojitá funkce na $I$ je automaticky spojitá.}
	}

	\example{
		$f(x) = 1/x$ na $(0,1)$. Pak $f$ je spojitá, ale není stejnoměrně spojitá
		(spojitá ano). Chci tedy dokázat, že
		$$\existss \eps > 0,\ \forall \delta > 0\ \existss x,y\in(0,1): |x-y|<\delta\hbox{, ale } |1/x-1/y| \ge \eps$$

		Zvolím $\eps = 1$, $x_n = 1/n$, $y_n = 1/(n+1)$. Pak $|f(x_n) - f(y_n)| = 1 \ge \eps$.
		Ale to je spor, neboť $$\forall \delta > 0\ \existss n: |x_n - y_n| < \delta$$
		\qed
	}

	\theorem{3}{vztah spojitosti a stejnoměrné spojitosti}{
		Nechť $f$ je spojitá na uzavřeném intervalu $[a,b]$, kde
		$ - \infty < a < b < \infty$. Pak $f$ je na $[a,b]$
		stejnoměrně spojitá.

		\proof{
			Pro spor nechť $f$ není na $[a,b]$ stejnoměrně spojitá, tedy
			$$\existss \eps > 0,\ \forall \delta > 0\ \existss x,y: |x-y|<\delta\hbox{, ale } |f(x)-f(y)| \ge \eps$$

			Zvolme $\delta = 1/n$, pak $\existss$ posloupnosti $\{x_n\}, \{y_n\}$ v $[a,b]$ takové,
			že $$|x_n - y_n| < 1/n \et |f(x_n) - f(y_n)| \ge \eps$$

			Podle \href{Bolzano--Weistrass} e lze z posloupnosti $\{x_n\}$ vybrat
			konvergentní podposloupnost $\{x_{n_k}\}$.

			Je na čase využít toho, že pracujeme nad uzavřeným intervalem:
			$$ \existss x \in [a,b]: \lim_{k\to\infty} x_{n_k} = x $$
			Dle \href{VOLU} i když $a < x_{n_k} < b$, tak $a \le \lim x_{n_k} \le b$,
			tedy na otevřeném intervalu bychom limitu mohli mít mimo něj.

			\optnote{Tady je cítit ta pravá matematika, ne jen nudný kalkulus\dots ;-)}

			Dále platí:
			$$ |y_{n_k} - x| \le |y_{n_k} - x_{n_k}| + |x_{n_k} - x| < 1/n_k + o(1) \to 0 $$
			$$ \Longrightarrow \lim_{k\to\infty} y_{n_k} = x $$

			\shortdef{Víme}{$f$ je spojitá na $[a,b]$, tedy je $f$ spojitá v $x$.}
			Tedy k našemu $\eps/2$ existuje $\delta$ tak, že
			$$ \forall x \in (x-\delta,x+\delta) \cap [a,b]: |f(x) - f(z)| < \eps/2 $$

			Protože \M{\lim_{k\to\infty} x_{n_k} = \lim_{k\to\infty} y_{n_k} = x}, nutně
			$$\existss k_0,\ \forall k \ge k_0: x_{n_k},y_{n_k} \in (x-\delta,x+\delta)\cap[a,b]$$

			$$ \eps \le | f(x_{n_k}) - f(y_{n_k}) | \le | f(x_{n_k} - f(x) | + |f(x) - f(y_{n_k})|
				< \eps/2 + \eps/2 $$

			\XXX
		}
	}

	\theorem{4}{o vztahu spojitosti a riemannovské integrovatelnosti}{
		Nechť $f$ je spojitá na $[a,b]$, pak $f \in R([a,b])$.

		\proof{
			Víme dle \href{VSAO}, že $f$ je omezená na $[a,b]$.
			Dále víme dle \ias{}{3}{}, že $f$ je stejnoměrně
			spojitá na $[a,b]$, tedy
			$$\forall \eps > 0\ \existss \delta > 0,\ \forall x,y\in I: |x-y| < \delta
				\Longrightarrow |f(x)-f(y)| < \eps $$

			Zvolme $\eps > 0$. Najdeme dělení $D$ intervalu $[a,b]$ takové,
			aby $\|D\| < \delta$. Nechť $D = \{x_j\}_{j=0}^n$.
			Označ
			$$ M_j := \sup_{x \in [x_{j-1},x_j]} |f(x)| $$
			$$ m_j := \inf_{x \in [x_{j-1},x_j]} |f(x)| $$

			Ze stejnoměrné spojitosti ($x_j - x_{j-1} < \delta$) plyne, že
			$$ M_j < m_j + \eps $$

			$$ S(f,D) - s(f,D) = \sum_{j=1}^n M_j(x_j-x_{j-1}) - \sum_{j=1}^n m_j(x_j-x_{j-1}) = $$
			$$	= \sum_{j=1}^n (M_j-m_j)(x_j-x_{j-1}) < \eps\sum_{j=1}^n(x_j-x_{j-1}) = \eps(b-a) $$

			Tedy jsme dokázali, že
			$$ \forall \eps\ \existss D: S(f,D) - s(f,D) < \eps(b-a) $$
			a dle \ias{}{2}{} (kritérium r. int.) platí $f \in R([a,b])$.

			\qed
		}
	}

	\theorem{5}{vztah monotonie a riemannovské integrovatelnosti}{
		Nechť $f$ je omezená a mnotónní na $[a,b]$.
		Potom $f \in R([a,b])$.

		\proof{
			Bez újmy na obecnosti nechť $f$ je neklesající.
			Zvolme $\eps > 0$ a ``ekvidistantní'' dělení
			$$ D = \Big\{\undernote{a + {b-a\over n}j}{x_j}\Big\}_{j=0}^n $$

			$$ S(f,D) = \sum_{j=1}^n \sup_{x \in [x_{j-1},x_j]} |f(x)(x_{j}-x_{j-1})
				= \sum_{j=1}^n f(x_j){b-a\over n} $$
			$$ s(f,D) = \sum_{j=1}^n f(x_{j-1}){b-a\over n} $$
			Tedy musí nutně platit
			$$ S(f,D) - s(f,D) = {b-a \over n} \sum_{j=1}^n (f(x_j) - f(x_{j-1}))
				= {((f(b)-f(a))(b-a)\over n} $$
			Tedy k zadanému $\eps > 0$ stačí volit $n$ dost velké,
			aby $$ n > {(f(b)-f(a))(b-a)\over\eps} $$
			Potom však $S(f,D) - s(f,D) < \eps$ a $f \in R([a,b])$ dle \ias{}{2}{}.

			\qed
		}
	}

	\theorem{6}{vlastnosti Riemannova integrálu}{
		\list{
		\listItem{{\bf linearita}: Mějme $f,g \in R([a,b])$, $-\infty < a < b < \infty$
			a nějaký skalár $\alpha \in \real$. Potom $(f+g) \in R([a,b])$, $\alpha f \in R([a,b])$,
			$$ \riemint{a}{b} (f(x)+g(x))\,dx = \riemint{a}{b} f(x)\,dx + \riemint{a}{b} g(x)\,dx$$
			$$ \riemint{a}{b} \alpha f(x))\,dx = \alpha \riemint{a}{b} f(x)\,dx$$
		}
		\listItem{{\bf monotonie}: Mějme $f,g \in R([a,b])$, $f(x) \le g(x)$ pro $\forall x \in [a,b]$. Potom
			$$ \riemint{a}{b} f(x)\,dx < \riemint{a}{b} g(x)\,dx $$
		}
		\listItem{{\bf aditivita vzhledem k intervalům}:
			Nechť $a < b < c \in \real$. Potom
			$$ f \in R([a,c]) \Longleftrightarrow f \in R([a,b]) \et f \in R([b,c]) $$
			a navíc dokonce platí
			$$ \riemint{a}{c} f(x)\,dx = \riemint{a}{b} f(x)\,dx + \riemint{b}{c} f(x)\,dx $$
		}
		}

		\proof{
			\dots je protivný. \sqed
		}
	}

	\penalty-100

	\scpart{Úmluva}{
		$$ \int_a^a f(x)\,dx = 0 $$
		$$ \int_b^a f(x)\,dx = -\int_a^b f(x)\,dx $$
	}

	\theorem{7}{Riemannův integrál jakožto funkce horní meze}{
		(Nejdůležitější věta sezóny. Také eufemisticky nazývána
		F.T.C., neboli základní věta kalkulu.)

		Nechť $I \in \real$ je neprázdný interval libovolného typu.
		Nechť dále $f \in R([\alpha,\beta])$ pro všechna
		$\alpha,\beta \in I$. Nechť $c \in I$ je libovolný
		pevně stanovený bod.
		Položme $$ F(x) := \riemint{c}{x} f(t)\,dt\qquad x \in I $$
		Potom platí:
		\list{
			\listItem{$F$ je spojitá na $I$.}
			\listItem{Je-li $x_0 \in I$ bodem spojitosti $f$, pak $F'(x_0) = f(x_0)$.}
		}

		\penalty-1000

		\proof{
		\list{
		\listItem{Nechť $y_0 \in I$ není pravý krajní bod $I$.
			Chci dokázat, že
			$$ \lim_{y\to {y_0}_+} (F(y) - F(y_0)) = 0 $$
			(analogicky pak pro spojitost zleva).

			Víme:
			$$ F(y) - F(y_0) = \riemint{c}{y} f(t)\,dt - \riemint{c}{y_0} f(t)\,dt
				\becauseof{\ias{}{6}{(iii)}}{=} \riemint{y_0}{y} f(t)\,dt $$
			$$ \existss \delta > 0 : f \in R([y,y_0+\delta]) $$
			Tedy $f$ je na $[y_0,y_0+\delta]$ omezená, a tedy existují $m,M \in \real$
			taková, že
			$$ m = \inf \{f(t): t \in [y_0,y_0 + \delta]\} $$
			$$ M = \sup \{f(t): t \in [y_0,y_0 + \delta]\} $$

			Tudíž dle \ias{}{6}{(ii)}:
			$$ \forall y \in [y_0,y_0+\delta] :
				\undernote{m(y-y_0)}{\to 0} \le \riemint{y_0}{y} f(t)\,dt \le \undernote{M(y-y_0)}{\to 0} $$
			$$ \lim_{y\to {y_0}_+} (F(y) - F(y_0)) = \lim_{y\to {y_0}_+} \riemint{y_0}{y} f(t)\,dt = 0 $$
		}

		\listItem{Nechť $x_0 \in I$ je bod spojitosti funkce $f$. Chceme:
			$$ F'(x_0) = f(x_0) $$
			$$ F'(x_0) - f(x_0) = 0 $$
			\penalty-100

			Zároveň víme, že
			$$ F'(x_0) = \lim_{h \to 0} {F(x_0 - h) - F(x_0) \over h}
				= \lim_{h\to0}{1\over h}\int_{x_0}^{x_0+h} f(t)\,dt $$
			Tedy nutně platí
			$$ F'(x_0) - f(x_0) = \lim_{h\to0}{1\over h}\int_{x_0}^{x_0+h} f(t)\,dt - f(x_0)
				\becauseof{!}{=} \lim_{h\to0}{1\over h}\int_{x_0}^{x_0+h} (f(t) - f(x_0))\,dt $$

			Víme, že $f$ je spojitá v $x_0$. Zvolme $\eps > 0$, pak tedy
			$\existss \delta > 0$ taková, že $|f(t) - f(x_0)| < \eps$ pro $\forall\,|t-x_0| < \delta$.

			Takže pro $h < \delta$ máme $f(t) - f(x_0) < \eps$ pro $\forall t \in [x_0, x_0 + h]$.  Tudíž
			pro $\forall \eps > 0$:
			$$ F'(x_0) - f(x_0) = \lim_{h\to0} {1\over h} \int_{x_0}^{x_0+h} (f(t)-f(x_0))\,dt
				< \lim_{h\to0} \eps{1\over h}\int_{x_0}^{x_0+h}dt = \eps $$
			a tedy $$ F'(x_0) - f(x_0) = 0 $$
		}
		}
		\qed
		}

		\penalty-100

		\notes{
		\list{
		\listItem{Funkce $f$ ve větě 7 nemusí být na $I$ spojitá, ani riemannovsky integrovatelná,
			dokonce ani omezená. Musí platit pouze $f \in R([\alpha,\beta])$ pro $\forall \alpha,\beta\in I$
			(včetně $\beta \le \alpha$).

			\optnote{Rozdíl mezi riemannovskou integrovatelností na $I$ a na libovolném jeho podintervalu
				můžeme dobře vidět např. na $I = (0,1)$ a $f = 1/x$.
			}
		}
		\listItem{Bez předpokladu spojitosti $f$ v $x_0$ tvrzení \ias{}{7}{(ii)} neplatí.

			\example{
				Vezměme $f = \sign x$, $I = [-1,1]$, $c = 0$.
				Potom $$ F(x) = \int_{0}^{x} \sign t\,dt = |x| \textbox{na $[-1,1]$} $$
				$F'(c)$ neexistuje, tzn. $f$ není spojitá v nule.
			}
		}
		}
		}

		\scpart{Důsledky:}{
		\list{
		\listItem{Nechť $f$ je spojitá na $(a,b) \in \real$. Potom $f$ má na $(a,b)$ primitivní funkci. (\ias{5}{2})

			\proof{
				$f$ je spojitá na $(a,b)$, tedy je $f$ spojitá v $x_0$ pro $\forall x_0 \in (a,b)$,
				tedy dle \ias{}{7}{(ii)} $F'(x_0) = f(x_0)$, kde $F$ je funkce z \ias{}{7}{},
				tedy $$ F(x) = \int_{c}^{x} f(t)\,dt\qquad c \in (a,b) \textnote{libovolné} $$

				Tudíž $F$ je primitivní k $f$ na $(a,b)$.
				\qed
			}
		}

		\penalty-100

		\listItem{Je-li $f$ spojitá na $[a,b]$, potom
			$$ \riemint{a}{b} f(x)\,dx = \lim_{x\to b_-} F(x) - \lim_{x\to a_+} F(x) $$
			kde $F$ je libovolná primitivní funkce k $f$ na $(a,b)$.

			\proof{
				$f$ je spojitá na $[a,b]$, tedy dle (i) má primitivní funkci $G$
				na $(a,b)$. Nechť $c \in (a,b)$ a
				$$ F(x) = \int_{c}^x f(t)\,dt\qquad \forall x \in [a,b] $$
				Potom dle (i) je $F$ primitivní funkce k $f$ na $(a,b)$,
				a tedy dle \ias{5}{1} existuje $d \in \real$ takové,
				že $$ G(x) = F(x) + d\qquad \forall x \in (a,b) $$
				$$ G(x) = G(c) + \int_{c}^x f(t)\,dt $$

				Neboť $G$ je spojitá na $[a,b]$, platí rovnost
				$$ \lim_{x\to b_-} G(x) - \lim_{x \to a_+} G(x)
					= G(c) + \int_{c}^b f(t)\,dt - \left(G(c) + \int_c^a f(t)\,dt\right) = $$
				$$ = \int_c^b f(t)\,dt + \int_a^c f(t)\,dt \becauseof{\ias{}{6}{(iii)}}{=}
					\int_a^b f(t)\,dt $$

				\qed
			}
		}
		}
		}
	}

}

\bend