\input /home/pasky/school/fastex/lib.tex


\subchapter{Základní věta algebry}{

	Každý nekonstantní polynom
	$$ p(z) = a_nz^n + a_{n-1}z^{n-1} + \cdots + a_1z + a_0 $$
	$$ a_i \in \cmplx,\ n \ge 1,\ a_n \ne 0 $$
	má alespoň jeden komplexní kořen.

	\bigskip

	Podívejme se, jak bychom něco takového dokazovali s využitím
	našich současných znalostí kolem extrémů funkcí více proměnných.

	Chceme tedy najít číslo $z_0 \in \cmplx$ takové, že $p(z_0) = 0$.

	Vezměme $f(z) = |p(z)|\colon \cmplx \to \real_0^+$.
	Přitom $\cmplx$ chápeme jako $\real^2$,
	tzn. $|a+bi| = \sqrt{a^2+b^2}$.
	Jinak řečeno $f(z)\colon \real^2 \to \real_0^+$.
	Všimněme si, že $f$ je spojitá:
	$$ |p(z)| = |p(a+bi)| = \sqrt{r(a,b)^2 + s(a,b)^2} \qquad r,s \in \real[x,y] $$

	Plán boje:
	\list{
	\listItem{Nejdříve ověřme, že $f$ nabývá
		na $\cmplx$ (tedy $\real^2$)
		minima, tj.:
		$$ \min_{z\in\cmplx} |p(z)| = |p(z_0)| \qquad z_0 \in \cmplx $$
	}
	\listItem{Vezměme nějaké $u \in \cmplx$.
		Pak by mělo platit:
		$$f(u) > 0 \Longrightarrow \existss u' \in \cmplx: f(u') < f(u)$$
	}
	}

	Platí-li pak (i) i (ii), globální minimum $z_0$ z (i)
	už je kořen $p$ a platí $p(z_0) = 0$.

	\list{
	\listItem{Vezměme si poloměr
		$$ R := \max\left(1,{2(|a_0|+1)\over|a_n|},{2n\over|a_n|}\max_{0\le i \le n-1} |a_i|\right) $$
		a podívejme se, co se stane,
		zvolíme-li komplexní číslo
		větší než tento poloměr:
		$$ |z| > R \Longrightarrow |p(z)| = |a_nz^n + a_{n-1}z^{n-1} + \cdots + a_0| $$
		$$\eqalign{ &= |z|^n |a_n + a_{n-1}/z + \cdots + a_0/z^n|\cr
			&\ge |z|^n \bigg(|a_n| - \sum_{i=0}^{n-1} |a_i/z^{n-i}|\bigg)\cr
			&\ge |z| \bigg(|a_n| - \sum_{i=0}^{n-1} |a_i|/|z|\bigg)\cr
			&\ge |z| \bigg(|a_n| - {n\cdot\max_{0\le i \le n-1} |a_i| \over |z|}\bigg)\cr
			&\ge z{|a_0|+1\over|a_n|}{|a_n|\over2} = |a_0|+1} $$
		(Pozor, tento řetěz nerovností platí pouze, je-li $z\ge1$, ale
		na to už jsem myslel při definici $R$.)

		Tedy jsem právě dokázal, že
		$$ |z| > R \Longrightarrow |p(z)| \ge |a_0| + 1 > |a_0| = |p(0)| $$

		Vezmu-li si kruh $K := \{ z \in \cmplx: |z| \le \real \}$,
		bude to kompaktní množina, a z toho,
		co jsme si právě dokázali, plyne:
		$$ \inf_{z \in \cmplx} |p(z)| = \inf_K |p(z)| = |p(z_0)| \qquad z_0 \in K $$
		(Poslední rovnost platí, neboť $K$ je kompaktní a $f(z)$ je spojitá.)
	}
	
	\listItem{Mějme $z \in \cmplx$, $z \ne 0$.
		Vzpomeňme si na alternativní zápis komplexních čísel:
		$$ z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi) = re^{i\varphi} \qquad r = |z| > 0,\ \varphi \in [0,2\pi),\ \varphi = \arg(z) $$
		Mám-li $u,v \in \cmplx$, $0<|u|<|v|$, platí:
		$$ |\arg(u) - \arg(v)| = \pi \Longrightarrow |u+v| = |v|-|u| $$

		\lemma{}{
			Zvolme $a \in \cmplx$, $a \ne 0$, $n \in \nat$, $r > 0$.
			Pak platí, že
			$$ az^n\colon \{ z \in \cmplx: |z| < (r/|a|)^{1/n} \} \to \{z \in \cmplx: |z| < r \} $$
			je zobrazení {\sl na} (surjektivní).

			\proof{
				Nechť $z \in B$.
				Pak je-li $z = 0$, $z = a\cdot0^n$,
				jinak
				$$ z_0 = {|z|^{1/n}e^{i\arg(z)/n} \over |a|^{1/n}e^{i\arg(a)/n}} $$
				a tudíž $az_0^n = z$.
				\qed
			}
		}

		$u \in \cmplx$, $f(u) > 0$, tj. $|p(u)|>0$, tj. $p(u) \ne 0$.
		$p(z)$ vyjádříme (se vzpomínkou na p. Taylora) takto:
		$$p(z) = b_0 + b_1(z-n) + \cdots + b_n(z-n)^n \qquad b_i \in \cmplx$$
		$$p(z) = a_0 + a_1z + \cdots + a_nz^n $$

		\TODO{Následující text asi mlží.}
		To je ale lineární podle nějakého $k$ v bázi $\{1,z,z^2,\ldots\}$.
		Vyjádříme to v jiné bázi: $$\{1,z-n,(z-n)^2,\ldots\}$$
		Jak vypadají koeficienty?
		$$b_0 = p(n) \ne 0 \qquad b_n = a_n \ne 0$$

		Vezměme nejmenší $k \ge 1$ takové, že $b_k \ne 0$:
		$$ p(z) = b_0 + b_k(z-n)^k + \sum_{i=k+1}^n b_i(z-n)^i = b_0 + p_1(z) + p_2(z) $$

		Pro $z \to u$ mám $p_2(z) = o(p_1(z))$.
		Vezmu $\delta > 0$ takové, aby
		$$ |z-u| < \delta \Rightarrow |p_2(z)| \le |p_1(z)|/2 $$
		Zvolím $r>0$ tak malé,
		aby $r < |b_0|$ a $(r/|bk|)^{1/k} < \delta$.
		Zvolím $c \in \cmplx$ takové, že $0<|c|<r<|b_0|$
		a~$c$~je opačné k $b_0$.
		Podle lemmatu existuje $u' \in \cmplx$ takové, že
		$$ 0 < |u'-u| < (r/|bk|)^{1/k} < \delta \et p_1(u') = c $$

		$$ |p(u')| = |b_0+p_1(u')+p_2(u')| \becauseof{$\triangle$}{\le} |b_0+c|+|p_2(u')| $$
		$$ = |b_0| - |c| + |p_2(u')| < |b_0| - |c|/2 < |b_0| = |p(u)| $$
	}
	}
		\qed

}


\bend