\input /home/pasky/school/fastex/lib.tex \subchapter{Úvod}{ Diferenciální rovnice se používají zejména velmi často pro modely ve fyzice, biologii, ekonomii, \dots \optnote{ Vzpomeneme-li si na Newtonův zákon síly, ten můžeme zapsat jako: $$ m{d^2x \over dt^2} = F \qquad x = x(t) $$ $$ F=\left(t,x(t),{dx\over dt}\right) $$ V jednoduchém případě $F=-mg$. Vezměme $F$ konstantní, pak takovouto jednoduchou diferenciální rovnici můžeme vyřešit jako $$ x(t) = -gt^2/2+c_1t+c_2 $$ } Máme dva typy diferenciální rovnic - obyčejné a parciální. Parciálními rovnicemi se zde zabývat nebudeme, jen si ukážeme několik jejich příkladů: \list{ \listItem{Máme-li $u=u(x,y)$, Laplaceova rovnice potenciálu říká: $${\delta^2u \over \delta x^2} + {\delta^2u \over \delta y^2} = 0$$ } \listItem{Máme-li $u=u(x,t)$, rovnice difúze (vedení tepla) zní takto: $${\delta^2u \over \delta x^2} = {\delta u \over \delta t}$$ } \listItem{Máme-li opět $u=u(x,t)$, vlnová rovnice říká: $$a^2{\delta^2u \over \delta x^2} = {\delta^2u \over \delta t^2}$$ } } Naopak dobrý příklad obyčejné diferenciální rovnice je rovnice radioaktivního rozpadu: $$ {dR \over dt} = -kR \qquad R=R(t) $$ Obecný tvar diferenciální rovnice vypadá takto: $$ F(x,y,y',y'',\ldots,y(n)) = 0 $$ $y=y(x)$ je neznámá funkce, $F$ je tzv. rovnicová funkce $n+2$ proměnných. $n$ je pak {\bf řád rovnice}. \medskip Diferenciální rovnice můžeme také rozdělit na lineární a nelineární, v závislosti na linearitě $F$ --- tj. mám rovnici $$ a_n(x)y^{(n)} + \cdots + a_1(x)y' + a_0(x)y = b(x) $$ kde $a_i(x)$, $b(x)$ jsou zadané funkce. Je-li $F$ polynom, dostanu {\bf algebraickou} diferenciální rovnici: $$ (y^{(3)})^2 + 2y' - x^3 = 0 $$ \optnote{ Mějme kyvadlo na šňůrce dlouhé $l$, zajímá nás závislost úhlu $\Theta$ na čase $t$. To je příklad nelineární (a dokonce nealgebraické) diferenciální rovnice: $$ {d^2 \Theta \over dt^2} + {g \over l}\sin \Theta = 0 $$ Pro malá $\Theta$ lze však aproximovat $\sin \Theta \approx \Theta$, čímž již dostaneme lineární diferenciální rovnici druhého řádu: $$ {d^2 \Theta \over dt^2} + {g \over l}\Theta = 0 $$ } I v říši diferenciálních rovnic můžeme potkat implicitní funkce. Ty řešíme vzhledem k $y^{(n)}$, tj.: $$ y^{(n)} = G(x,y,y',\ldots,y^{(n-1)}) $$ Přitom samotná řešení diferenciálních rovnic (zejména nelineárních) vycházejí často jako implicitní funkce. \example{ Mějme $y = y(x)$ a diferenciální rovnici ${dy \over dx} = {x^2 \over 1+y^2}$. Tu řeší implicitní funkce daná rovnicí $$ y^3 + 4y - x^3 + c = 0 $$ $$ 0 = 3y^2y' + 3y' - 3x^2 \Longrightarrow y' = {x^2 \over 1+y^2} $$ } {\bf Řešení} diferenciální rovnice je dvojice $(y,I)$, kde $y = y(t)$ je funkce definovaná na otevřeném intervalu $I \subset \real$ a řeší zadanou diferenciální rovnici. (Řešení může být i více, např. $y'=0$ má nekonečně mnoho řešení: $y(x)=c$.) $(\overline{y},J)$ je {\bf rozšířením řešení} $(y,I)$, pokud $J \supset I$, $x \in I \Rightarrow \overline{y}(x) = y(x)$. {\bf Maximální řešení} je takové, které už se nedá rozšířit. \theorem{1}{Picard}{ Připomeňme si Picardovu větu, tentokráte v řeči diferenciálních rovnic. Vezměme si diferenciální rovnici $$ \eqalign{y(x_0) &= y_0 \cr y'(x) &= f(x,y)} $$ Mějme otevřenou množinu $\Omega \subset \real^2$, bod $(x_0,y_0) \in \Omega$ a spojitou funkci $f \in C(\Omega)$ na $\Omega$ lokálně lipschitzovskou vzhledem k $y$. Pak má rovnice lokálně jednoznačné řešení, tj. $$ \existss h > 0,\ \onexists y(x) \in C^1(x_0-h,x_0+h): \eqalign{y(x_0) &= y_0 \cr y'(x) &= f(x,y)} $$ (na intervalu $(x_0-h,x_0+h)$). Přitom funkce bude {\bf ``lokálně lipschitzovská''}, pokud každý bod z $\Omega$ má okolí $U$ a konstantu $k>0$ takovou, že: $$ (x,y),(x,\overline{y}) \in U \Rightarrow |f(x,y)-f(x,\overline{y})| < K|y-\overline{y}| $$ Všimněme si přitom, že $\diff{f}{y} \in C(\Omega) \Rightarrow$ $f$ je lokálně lipschitzovská na $\Omega$. \medskip \shortproof{ Už byl. \sqed } } \theorem{2}{Peano}{ Zredukujeme-li předpoklady pouze na $f \in C(\Omega)$, dostaneme pouze existenci (ne vždy je zaručena jednoznačnost). } \scpart{Důsledek V1}{ Mějme $(y_1,I)$ a $(y_2,J)$, které řeší $y'=f(x,y)$ a $y_1(a) = y_2(a)$ pro nějaké $a \in I \cap J$. Pak ovšem $y_1 = y_2$ na $I \cap J$. \example{ Mějme $y(x)$ v $\real$, $$ \eqalign{y(0) &= 0\cr y' &= xy^{2/3}} $$ Pak však následující počáteční podmínky dávají nejednoznačnost: $$ y_1 = 0 $$ $$ y_2(x) = (x^2/6)^3 = x^6/6^3 $$ } } } \subchapter{Postupy řešení rovnic}{ \list{ \nlistItem{{\bf Lineární rovnice} $$ y' + a(x)y = b(x) \qquad y = y(x),\ a,b \in C(I) $$ \list{ \rlistItem{{\bf Integračním faktorem:} Hledáme {\bf integrační faktor} $c = c(x)$ takový, že $$ \eqalign{c \cdot LS &= (c \cdot y')\cr c \cdot (y' + ay) &= (c \cdot y')\cr c \cdot a &= c'} $$ $$ c'/c = a \Rightarrow (\log c)' = a \Rightarrow c = c(x) = e^A \Rightarrow A = \int a $$ $$ (cy)' = c \cdot LS = c \cdot PS = cb $$ $$ (cy)' = cb \Rightarrow cy = \int cb $$ Položme $cy = D$, kde $D$ je primitivní funkce k $cb$. $$ y(x) = D/c = e^{-A} \int e^{A(x)}b(x)\,dx $$ $$ y(x) = e^{-A(x)}\left(\int e^{A(x)}b(x)\,dx + c\right) $$ $$ A(x) = \int a(x)\,dx $$ } \rlistItem{{\bf Variací konstant:} Máme homogenní rovnici $y' + ay = 0$, tj. $$ y'/y = -a \Rightarrow (\log y)' = -a \Rightarrow \log y = -A + c \Rightarrow y(x) = Ke^{-A(x)} $$ kde $K$ je nějaká konstanta, $K=K(x)$. Jak bude vypadat? $$ \eqalign{(Ke^{-A})' + a(Ke^{-A}) &= b\cr K'e^{-A} &= b} $$ $$ K' = be^A \Rightarrow K = \int be^A + c $$ \penalty-200 Dosaďme toto do původní rovnosti: $$ y(x) = e^{-A(x)}\left(\int e^{A(x)}b(x)\,dx + c\right) $$ $$ A(x) = \int a(x)\,dx $$ } } \example{ Odvodíme si vzorec pro volný pád. Mějme částici o hmotnosti $m>0$ a odpor povětří $kv$ (kde $k>0$ je konstanta). Působí proti sobě tedy dvě síly, $mg$ a $kv$. Dle pana Newtona: $$ m\,{dv \over dt} = mg - kv $$ $$ v' + v(k/m) = g $$ Protože $k/m$ a $g$ jsou konstanty, jako integrační faktor dostaneme $c = e^{kt/m}$, $a(x) = k/m$, $b(x) = g$. Tedy řešení bude $$ v(t) = mg/k + c_1e^{-kt/m} $$ Vezměme jako počáteční podmínku $v(0)$. Tedy $c_1 = -mg/k$, $$ v(t) = {mg \over k}\left(1-e^{-kt/m}\right) $$ Pro $t \to +\infty$ dostáváme limitní rychlost $$ v_{\lim} = {mg \over k} $$ } } \nlistItem{{\bf Rovnice se separovanými proměnnými:} $$ y' = f(x)g(y) $$ \startRuledTable \M{\eqalign{y'/g(y) &= f(x)\cr G(t) &= \int dt/g(t)\cr G(y(x))' &= f(x)\cr G(y(x)) &= F(x) + c\cr F(x) &= \int f(x)\,dx}}\cr \endRuledTable Zapisujeme jako: $$ dy/dx = f(x)g(y) \qquad dy/g(y) = f(x)\,dx $$ $$ \int dy/g(y) = \int f(x)\,dx $$ \examples{ \list{ \rlistItem{Mějme \M{y' = {x^2 \over 1+y^2}}. Pak: $$ (1+y^2)\,dy = x^2\,dx \qquad y = y(x) $$ $$ y + y^3/3 = x^3/3 + c $$ $$ y^3 + 3y - x^3 + c = 0 $$ } \rlistItem{Zkusme odvodit únikovou (druhou kosmickou) rychlost. Mějme hmotný bod o hmotnosti $m$ ve výšce $x$ nad povrchem země o poloměru $R$. Jak vypadá tíže $F$? Newtonův gravitační zákon nám říká, že $$F={K \over (x+R)^2}$$ kde $K$ je konstanta --- položme $x=0$, pak $$ mg = K/R^2 \Rightarrow K = mgR^2 $$ $$ F = {mgR^2 \over (x+R)^2} $$ Vezměme rychlost v čase $t$ jako $v=v(t)$ a polohu $x=x(t)$. Pak dle pana Newtona $$ m\,{dv \over dt} = -{mgR^2 \over (x+R)^2} $$ Abychom dostali jen jednu neznámou, od $t$ přejdeme k nezávislé proměnné $x$ --- zderivujme $v$ jako složenou funkci: $$ {dv \over dt} = {dv \over dx} \cdot {dx \over dt} = v \cdot {dv \over dx} $$ Přepišme tedy naši původní rovnici bez $t$: $$ v\,{dv \over dx} = -{gR^2 \over (x+R)^2} $$ V této rovnici již ale máme separované proměnné! $$ v\,dv = -{gR^2\,dx \over (x+R)^2} $$ $$ v^2/2 = {gR^2 \over x+R} + c $$ Vezměme počáteční podmínku $$ t = 0\colon v = v_0,\ x = 0 \Rightarrow v(0) = v_0 $$ Pak nutně $$ c = v_0^2/2 - gR $$ $$ v^2 = v_0^2 - 2gR + {2gR^2 \over x + R} $$ Chceme $v_0$ zvolit takové, aby $v(x)$ byla definovaná pro $\forall x>0$. Tedy $v^2$ by mělo být nezáporné, tzn. $v_0^2 \ge 2gR$. Úniková rychlost je tudíž $$ v_0 = \sqrt{2gR} $$ } } } } \nlistItem{{\bf Exaktní rovnice:} $$ M(x,y) + N(x,y)y' = 0 $$ Takovou rovnici bychom uměli snadno vyřešit, existovala-li by funkce $\varphi = \varphi(x,y)$ taková, že $\delta_x\,\varphi = M$, $\delta_y\,\varphi = N$: $$ \varphi(x,y(x))' = 0 $$ Pak řešení původní rovnice je dané implicitně jako $$ \varphi(x,y(x)) = c $$ \penalty-200 Nechť $M,N,\delta_y\,M,\delta_x\,N$ jsou spojité na nějakém obdélníku $R=(\alpha,\beta)\times(\gamma,\delta)$. Pak $$\existss \varphi: \undernote{\delta_x\,\varphi = M,\ \delta_y\,\varphi = N}{(*)} \Rightarrow \delta_y\,M = \delta_x\,N$$ (protože ${\delta^2\varphi\over\delta x \delta y} = {\delta^2\varphi\over\delta y \delta x}$). \smallskip Nechť naopak $\delta_y\,M = \delta_x\,N$, chceme $\varphi$ splňující vztahy $(*)$. Vezměme $\delta_x\,\varphi = M$ a zintegrujme podle $x$ (pro pevné $y$). To nám dává $$ \varphi(x,y) = \int^x M(t,y)\,dt + \psi(y) $$ Aby $\delta_y\,\varphi = N$, musím mít: $$ N = \diff{\varphi}{y} = \diff{}{y}\,\int^x M(t,y)\,dt + {d\psi\over dy} = \int^x \diff{M}{y}(t,y)\,dt - {d\psi\over dy} $$ $$ {d\psi\over dy} = N(x,y) - \int^x \diff{M}{y}(t,y)\,dt $$ To je však funkce pouze podle $y$ --- když to zderivuji podle $x$, dostanu $\diff{N}{x} - \diff{M}{y} = 0$. $$ \psi(y) = \int^y \left( N(x,y) - \int^x \diff{M}{y}(t,y)\,dt \right) $$ $$ \varphi(x,y) = \int^x M(t,y)\,dt + \int^y \left( N(x,s) - \int^x \diff{M}{y}(t,y)\,dt \right)\,ds $$ \example{ $$ \undernote{(y\cos x + 2xe^y)}{M} + \undernote{(\sin x + x^2e^y + 2)}{N}\,{dy \over dx} = 0 $$ \DCV } } } $M(x,y)+N(x,y)y'=0$ je exaktní, právě když existuje $\varphi = \varphi(x,y)$ takové, že $\delta_x\varphi = M$, $\delta_y\varphi = N$ ($\varphi(x,y(x))'=0$, tj. $\varphi(x,y(x))=c$). To si dokážeme v následujícím tvrzení. \theorem{4}{}{ Mějme $M,N,\delta_yM,\delta_xN\colon R \to \real$ nechť jsou spojité, $R=(\alpha,\beta)\times(\gamma,\delta)$. Rovnice $$M(x,y)+N(x,y)y'=0$$ je exaktní, právě když na $R$ platí $\delta_yM=\delta_xN$. Je-li podmínka splněna, potom funkce $$ \varphi(x,y) = \int_{x_0}^x M(s,y)\,ds + \int_{y_0}^y \undernote{\bigg(N(x,t)-\int_{x_0}^x\diff{M}{y}(s,t)\,ds\bigg)}{h(x,t)}\,dt $$ splňuje na $R$ vztahy $\delta_x\varphi = M$, $\delta_y\varphi = N$ (kde $(x_0,y_0) \in R$ je libovolně zvolený bod). \proof{ Nechť $\varphi$ existuje. Pak dle \ias{2}{10}{}: $$\delta_yM=\delta^2_{xy}\varphi=\delta^2_{yx}\varphi = \delta_xN$$ \penalty-200 Opačná implikace bude ale trochu pracnější. Nechť na $R$ platí $\delta_yM=\delta_xN$: $$\delta_xh(x_1,t)=\delta_xN(x_1,t)-\delta_yM(x_1,t)=0$$ (podle předpokladů). $t$ je pevné, tedy $h(x,t)$ je konstantní. $h(x,y)$ závisí jen na $y$, tudíž $$ \delta_x\varphi(x_1,y) = M(x_1,y) $$ a proto $\delta_x\varphi = M$. Ještě nám však zbývá druhá rovnost. Položme $$ g(x,y) := \int_{x_0}^x M(s,y)\,ds $$ a všimněme si, že máme-li pro nějaké $(x,y_1) \in R$ rovnost $$\delta_yg(x,y_1) = \int_{x_0}^x \delta_yM(s,y_1)\,ds$$ máme již vyhráno: $$ \delta_y\varphi(x,y_1) = \delta_yg(x,y_1) + N(x,y_1) - \int_{x_0}^x \diff{M}{y}(s,y_1)\,ds $$ $$ \delta_y\varphi(x,y_1) = N(x,y_1) $$ $$ \delta_y\varphi = N $$ Jak ale dokázat onu předokládanou rovnost? Mějme $x \ge x_0$, $h > 0$ ($y_1+h<\delta$). Existuje funkce $\Theta=\Theta(s)$ taková, že $$ M(s,y_1+h)-M(s,y_1) - h\delta_yM (s,y_1+\Theta(s)) $$ (to nám říká za předpokladu $\existss s \in [x_0,x]\Rightarrow 0<\Theta(s)0$ existuje $\eta > 0$ takové, že $s \in [x_0,x] \et \Theta \in [0,\eta]$. To ovšem znamená, že $$ |\delta_yM(s,y_1+\Theta)-\delta_yM(s,y_1)| < \eps $$ Když však $h < \eta$, $$\bigg|\int_{x_0}^x\delta_yM(s,y_1+\Theta(s))\,ds-\int_{x_0}^x\delta_yM(s,y_1)\,ds\bigg| \le \int_{x_0}^x |d_yM(s,y_1+\Theta(s))-\delta_yM(s,y_1)|\,ds < \eps(x-x_0)$$ $$ \Longrightarrow \bigg|{g(x,y_1+h)-g(x,y_1)\over h} - \int_{x_0}^x\delta_yM(s,y_1)\,ds\bigg| < \eps(x-x_0) $$ $$ \lim_{h\to0} {g(x,y_1+h)-g(x,y_1)\over h} = \int_{x_0}^x\delta_yM(s,y_1)\,ds $$ \qed } } } \subchapter{Rovnice vyšších řádů}{ $F(x,y,y',y'',\ldots,y^{(n)}) = 0$ (kde $y=y(x)$) platí na $I \subset \real$, právě když $y_1=y',\ y_2=y_1',\ \ldots,\ y_n=y_{n-1}'$, $F(x,y,y_1,y_2,\ldots,y_n)=0$ a $y,y_1,\ldots,y_n$ jsou na $F$ řešením této soustavy. Tedy místo vícenásobných derivací jsme si zavedli nějaké další pomocné funkce, vždyť přeci $y'' = (y')'$. Lineární diferenciální rovnici $n$-tého řádu $$ y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots+a_0y + b = 0 \qquad a_i = a_i(x)$$ můžeme tímto triviálním způsobem převést na lineární soustavu $$ y_1 = y' \quad y_2 = y_1' \quad \ldots \quad y_n = y_{n-1}' $$ $$ y_n + a_{n-1}y_{n-1} + \cdots + a_1y_1 + a_0y + b = 0 $$ diferenciálních rovnic prvního řádu. \penalty-200 Soustava lineárních rovnic se ovšem dá řešit pomocí matic. Pro naši soustavu $y' = Ay + b$, neboli $$ \eqalign{y_1' &= a_{1,1}y_1 + \cdots + a_{1,n}y_n + b_1 \cr &\vdots \cr y_n' &= a_{n,1}y_1 + \cdots + a_{n,n}y_n + b_n} $$ $$ \eqalign{a_{i,j} &= a_{i,j}(x) \cr b_i &= b_i(x)}\colon I \to \real \textbox{spojité} $$ kde $y_1,\ldots,y_n$ jsou neznámé funkce, můžeme vyrobit tyto matice: $$ y = \pmatrix{y_1 \cr y_2 \cr \vdots \cr y_n} \qquad A\colon I \to \real^{n\times n} \qquad b\colon I \to \real^n $$ \theorem{5}{}{ Buď $I \subset \real$ otevřený interval, $a_{i,j},b_i\colon I \to \real$ spojité, $1 \le i,j \le n$, $A := (a_{i,j})$, $b := \pmatrix{b_1&\cdots&b_n}^T$, $x_0\in I$, $y^0 \in \real^n$. Pak soustava $y'=Ay+b$ s počáteční podmínkou $y(x_0)=y^0$ má na $I$ jediné řešení. \shortproof{Dělat nebudeme. Lze dokázat pomocí věty o kontrahujícím zobrazení. \sqed} } \definition{ Připomeňme si, že $C^1(I) = \{ f: f$ má na $I$ spojitou první derivaci$\}$. Budeme pracovat ve vektorovém prostoru $C^1(I)^n$ ($n$-tic takových funkcí) nad $\real$. $$ H := \{ y = (y_1,\ldots,y_n): y \textbox{je na $I$ řešení homogenní soustavy $y' = Ay$}\} $$ $$ M := \{ y = (y_1,\ldots,y_n): y \textbox{je na $I$ řešení nehomogenní soustavy $y' = Ay+b$}\} $$ } \theorem{6}{}{ $H$ je vekotorvý podprostor $C^1(I)^n$ dimenze $n$, $M$ je afinní podprostor $C^1(I)^n$ dimenze $n$, a~navíc $M = H + y$ pro každé $y \in M$. \proof{ Má-li být $H$ vektorový prostor, pro $y^1,y^2 \in H$, $\alpha,\beta \in \real$ musí $\alpha y^1 + \beta y^2 \in H$. (\DCV proč platí.) Dále pokud $y \in M$ a $h \in M$, $y + h \in M$. ($(y+h)'=y'+h'=Ay+b+Ah=A(y+h)+b$, tj. $y+h\in M$.) Máme-li zadané $y \in $, $z \in M$ můžeme psát jako $z = y + (z-y)$ a $z-y \in H$, tedy $M = y + H$. $\dim H = n$ plyne z \ias{}{5}{}: Vezměme libovolný bod $x_0 \in I$; pro $i = 1 \ldots n$ mám $y(i) \in M$ takové, že $y(i)(x_0) = (0,\ldots,0,1,0,\ldots,0)$ má jedničku na $i$-tém místě ($(i)$ je prostě jen další index $y$). Nechť $y \in H$ je libovolné, položme: $$ y(x_0) = \pmatrix{y_1(x_0)\cr\vdots\cr y_n(x_0)} = \pmatrix{\pi_1\cr\vdots\cr\pi_n} $$ $$ z := \pi_1y(a) + \pi_2y(2) + \cdots + \pi_ny(n) \in H $$ $$ z(x_0) = y(x_0) \becauseof{\ias{}{5}{}}{\Longrightarrow} z(x) = y(x) \qquad \forall x \in I $$ Takže $y \in {\sl Lin}(\{y(1),y(2),\ldots,y(n)\}) = H$. \qed } } \definition{ Bázi $H$ říkáme {\bf fundamentální systém řešení}. Mějme $f^1,\ldots,f^n\colon I \to \real^n$. Pak {\bf Wronského determinant} ({\bf wronoskián}) definujeme jako $$ W_{f^1,\ldots,f^n}(x) \defined \det \pmatrix{f_1^1(x) & \cdots & f_1^n(x) \cr \vdots & & \vdots \cr f_n^1(x) & \cdots & f_n^n(x)} \colon I \to \real $$ } \theorem{7}{}{ Mějme $f^1,\ldots,f^n \in H$ (množina řešení homogenní soustavy $Ay=y'$). Pak pro $W := W_{f^1,\ldots,f^n}$ máme $W(x_0)=0$ pro nějaké $x_0 \in I$, právě když $W(x) = 0$ pro $\forall x \in I$. \proof{ Je-li $W(x_0)=0$, pro nějaké $\alpha_i \in \real$ (kde ne všechny $\alpha_i=0$) platí: $$\alpha_1f^1(x_0)+\cdots+\alpha_nf^n(x_0)=\pmatrix{0\cr\vdots\cr0}$$ Tedy ale podle \ias{}{5}{} máme $$\alpha_1f^1(x) + \cdots + \alpha_nf^n(x) = \pmatrix{0\cr\vdots\cr0}$$ pro $\forall x \in I$. Ale v tom případě $W(x) = 0$ pro $\forall x \in I$. Opačná implikace je triviální. \qed } } $f^1,\ldots,f^n$ jsou řešení soustavy $Ay=y'$, $W := W_{f^1,\ldots,f^n}$. Buď $W(x) \ne 0$ pro $\forall x \in I$, pak $\{f^1,\ldots,f^n\}$ je fundamentální systém řešení, nebo $W(x) = 0$ pro $\forall x \in I$ a pak $\{f^1,\ldots,f^n\}$ fundamentální systém řešení není. Pro nalezení f. s. ř. nám tedy podle tvrzeí sedm stačí jen spočítat $W$ v nějakém šikovném bodě. \theorem{8}{variace konstant}{ $\{y^1,\ldots,y^n\}$ buď f. s. ř. pro soustavu $Ay = y'$, $$ Y := \pmatrix{\pmatrix{y^1} & \pmatrix{y^2} & \pmatrix{y^3}} = \pmatrix{ y_1^1 & y_1^2 & \cdots & y_1^n \cr &&\vdots&\cr y_n^1 & y_n^2 & \cdots & y_n^n } $$ a $x_0 \in I$, $y^0 \in \real^n$. Pak platí, že $$ y(x) = Y(x)\left(Y^{-1}(x_0)y^0 + \int_{x_0}^x Y(t)b(t)\,dt\right) $$ je řešením soustavy $y'=Ay+b$ splňující $y(x_0)=y^0$. } } \bend