\input /home/pasky/school/fastex/lib.tex


\subchapter{�vod}{

Diferenci�ln� rovnice se pou��vaj� zejm�na velmi �asto
pro modely ve fyzice, biologii, ekonomii, \dots

\optnote{
	Vzpomeneme-li si na Newton�v z�kon s�ly,
	ten m��eme zapsat jako:
	$$ m{d^2x \over dt^2} = F \qquad x = x(t) $$
	$$ F=\left(t,x(t),{dx\over dt}\right) $$

	V jednoduch�m p��pad� $F=-mg$.
	Vezm�me $F$ konstantn�,
	pak takovouto jednoduchou diferenci�ln� rovnici
	m��eme vy�e�it jako
	$$ x(t) = -gt^2/2+c_1t+c_2 $$
}

M�me dva typy diferenci�ln� rovnic - oby�ejn�
a parci�ln�. Parci�ln�mi rovnicemi se zde zab�vat
nebudeme, jen si uk�eme n�kolik jejich p��klad�:
\list{
\listItem{M�me-li $u=u(x,y)$, Laplaceova rovnice potenci�lu ��k�:
	$${\delta^2u \over \delta x^2} + {\delta^2u \over \delta y^2} = 0$$
}
\listItem{M�me-li $u=u(x,t)$, rovnice dif�ze (veden� tepla) zn� takto:
	$${\delta^2u \over \delta x^2} = {\delta u \over \delta t}$$
}
\listItem{M�me-li op�t $u=u(x,t)$, vlnov� rovnice ��k�:
	$$a^2{\delta^2u \over \delta x^2} = {\delta^2u \over \delta t^2}$$
}
}

Naopak dobr� p��klad oby�ejn� diferenci�ln� rovnice
je rovnice radioaktivn�ho rozpadu:
$$ {dR \over dt} = -kR \qquad R=R(t) $$

Obecn� tvar diferenci�ln� rovnice vypad� takto:
$$ F(x,y,y',y'',\ldots,y(n)) = 0 $$
$y=y(x)$ je nezn�m� funkce, $F$ je tzv. rovnicov� funkce $n+2$ prom�nn�ch.
$n$ je pak {\bf ��d rovnice}.

\medskip

Diferenci�ln� rovnice m��eme tak� rozd�lit na line�rn� a neline�rn�,
v z�vislosti na linearit� $F$ --- tj. m�m rovnici
$$ a_n(x)y^{(n)} + \cdots + a_1(x)y' + a_0(x)y = b(x) $$
kde $a_i(x)$, $b(x)$ jsou zadan� funkce.

Je-li $F$ polynom, dostanu {\bf algebraickou} diferenci�ln� rovnici:
$$ (y^{(3)})^2 + 2y' - x^3 = 0 $$

\optnote{
	M�jme kyvadlo na ���rce dlouh� $l$, zaj�m� n�s z�vislost �hlu $\Theta$ na �ase $t$.
	To je p��klad neline�rn� (a dokonce nealgebraick�) diferenci�ln� rovnice:
	$$ {d^2 \Theta \over dt^2} + {g \over l}\sin \Theta = 0 $$
	Pro mal� $\Theta$ lze v�ak aproximovat $\sin \Theta \approx \Theta$,
	��m� ji� dostaneme line�rn� diferenci�ln� rovnici druh�ho ��du:
	$$ {d^2 \Theta \over dt^2} + {g \over l}\Theta = 0 $$
}

I v ���i diferenci�ln�ch rovnic m��eme potkat implicitn� funkce.
Ty �e��me vzhledem k $y^{(n)}$, tj.:
$$ y^{(n)} = G(x,y,y',\ldots,y^{(n-1)}) $$
P�itom samotn� �e�en� diferenci�ln�ch rovnic (zejm�na neline�rn�ch)
vych�zej� �asto jako implicitn� funkce.

\example{
	M�jme $y = y(x)$ a diferenci�ln� rovnici
	${dy \over dx} = {x^2 \over 1+y^2}$.
	Tu �e�� implicitn� funkce dan� rovnic�
	$$ y^3 + 4y - x^3 + c = 0 $$
	$$ 0 = 3y^2y' + 3y' - 3x^2 \Longrightarrow y' = {x^2 \over 1+y^2} $$
}

{\bf �e�en�} diferenci�ln� rovnice je dvojice $(y,I)$,
kde $y = y(t)$ je funkce definovan�
na otev�en�m intervalu $I \subset \real$
a �e�� zadanou diferenci�ln� rovnici.
(�e�en� m��e b�t i v�ce,
nap�. $y'=0$ m� nekone�n� mnoho �e�en�: $y(x)=c$.)

$(\overline{y},J)$ je {\bf roz���en�m �e�en�} $(y,I)$,
pokud $J \supset I$, $x \in I \Rightarrow \overline{y}(x) = y(x)$.
{\bf Maxim�ln� �e�en�} je takov�, kter� u� se ned� roz���it.


\theorem{1}{Picard}{
	P�ipome�me si Picardovu v�tu, tentokr�te v �e�i diferenci�ln�ch rovnic.
	Vezm�me si diferenci�ln� rovnici
	$$ \eqalign{y(x_0) &= y_0 \cr y'(x) &= f(x,y)} $$

	M�jme otev�enou mno�inu $\Omega \subset \real^2$,
	bod $(x_0,y_0) \in \Omega$ a
	spojitou funkci $f \in C(\Omega)$
	na $\Omega$ lok�ln� lipschitzovskou vzhledem k $y$.

	Pak m� rovnice lok�ln� jednozna�n� �e�en�, tj.
	$$ \existss h > 0,\ \onexists y(x) \in C^1(x_0-h,x_0+h):
		\eqalign{y(x_0) &= y_0 \cr y'(x) &= f(x,y)} $$
	(na intervalu $(x_0-h,x_0+h)$).

	P�itom funkce bude {\bf ``lok�ln� lipschitzovsk�''},
	pokud ka�d� bod z $\Omega$ m� okol� $U$ a konstantu $k>0$
	takovou, �e:
	$$ (x,y),(x,\overline{y}) \in U \Rightarrow |f(x,y)-f(x,\overline{y})| < K|y-\overline{y}| $$
	V�imn�me si p�itom, �e $\diff{f}{y} \in C(\Omega) \Rightarrow$
		$f$ je lok�ln� lipschitzovsk� na $\Omega$.

	\medskip

	\shortproof{ U� byl.  \sqed }
}

\theorem{2}{Peano}{
	Zredukujeme-li p�edpoklady pouze na $f \in C(\Omega)$,
	dostaneme pouze existenci (ne v�dy je zaru�ena jednozna�nost).
}

\scpart{D�sledek V1}{
	M�jme $(y_1,I)$ a $(y_2,J)$,
	kter� �e�� $y'=f(x,y)$ a $y_1(a) = y_2(a)$
	pro n�jak� $a \in I \cap J$.
	Pak ov�em $y_1 = y_2$ na $I \cap J$.

	\example{
		M�jme $y(x)$ v $\real$,
		$$ \eqalign{y(0) &= 0\cr y' &= xy^{2/3}} $$
		Pak v�ak n�sleduj�c� po��te�n� podm�nky d�vaj� nejednozna�nost:
		$$ y_1 = 0 $$
		$$ y_2(x) = (x^2/6)^3 = x^6/6^3 $$
	}
}

}

\subchapter{Postupy �e�en� rovnic}{

\list{
\nlistItem{{\bf Line�rn� rovnice}

	$$ y' + a(x)y = b(x) \qquad y = y(x),\ a,b \in C(I) $$

\list{
\rlistItem{{\bf Integra�n�m faktorem:}

	Hled�me {\bf integra�n� faktor} $c = c(x)$ takov�, �e
	$$ \eqalign{c \cdot LS &= (c \cdot y')\cr
		    c \cdot (y' + ay) &= (c \cdot y')\cr
		    c \cdot a &= c'} $$
	$$ c'/c = a \Rightarrow (\log c)' = a \Rightarrow c = c(x) = e^A \Rightarrow A = \int a $$

	$$ (cy)' = c \cdot LS = c \cdot PS = cb $$
	$$ (cy)' = cb \Rightarrow cy = \int cb $$

	Polo�me $cy = D$, kde $D$ je primitivn� funkce k $cb$.
	$$ y(x) = D/c = e^{-A} \int e^{A(x)}b(x)\,dx $$

	$$ y(x) = e^{-A(x)}\left(\int e^{A(x)}b(x)\,dx + c\right) $$
	$$ A(x) = \int a(x)\,dx $$

}
\rlistItem{{\bf Variac� konstant:}

	M�me homogenn� rovnici $y' + ay = 0$, tj.
	$$ y'/y = -a \Rightarrow (\log y)' = -a \Rightarrow \log y = -A + c \Rightarrow y(x) = Ke^{-A(x)} $$
	kde $K$ je n�jak� konstanta, $K=K(x)$. Jak bude vypadat?
	$$ \eqalign{(Ke^{-A})' + a(Ke^{-A}) &= b\cr
	            K'e^{-A} &= b} $$
	$$ K' = be^A \Rightarrow K = \int be^A + c $$

	\penalty-200

	Dosa�me toto do p�vodn� rovnosti:
	$$ y(x) = e^{-A(x)}\left(\int e^{A(x)}b(x)\,dx + c\right) $$
	$$ A(x) = \int a(x)\,dx $$
}
}

\example{
	Odvod�me si vzorec pro voln� p�d.
	M�jme ��stici o hmotnosti $m>0$
	a odpor pov�t�� $kv$ (kde $k>0$ je konstanta).
	P�sob� proti sob� tedy dv� s�ly, $mg$ a $kv$.
	Dle pana Newtona:
	$$ m\,{dv \over dt} = mg - kv $$
	$$ v' + v(k/m) = g $$

	Proto�e $k/m$ a $g$ jsou konstanty,
	jako integra�n� faktor dostaneme $c = e^{kt/m}$,
	$a(x) = k/m$, $b(x) = g$.
	Tedy �e�en� bude
	$$ v(t) = mg/k + c_1e^{-kt/m} $$

	Vezm�me jako po��te�n� podm�nku $v(0)$.
	Tedy $c_1 = -mg/k$,
	$$ v(t) = {mg \over k}\left(1-e^{-kt/m}\right) $$

	Pro $t \to +\infty$ dost�v�me limitn� rychlost
	$$ v_{\lim} = {mg \over k} $$
}

}
\nlistItem{{\bf Rovnice se separovan�mi prom�nn�mi:}

	$$ y' = f(x)g(y) $$

	\startRuledTable
	\M{\eqalign{y'/g(y) &= f(x)\cr
		    G(t) &= \int dt/g(t)\cr
		    G(y(x))' &= f(x)\cr
		    G(y(x)) &= F(x) + c\cr
		    F(x) &= \int f(x)\,dx}}\cr
	\endRuledTable

	Zapisujeme jako:
	$$ dy/dx = f(x)g(y) \qquad dy/g(y) = f(x)\,dx $$
	$$ \int dy/g(y) = \int f(x)\,dx $$

	\examples{
	\list{
	\rlistItem{M�jme \M{y' = {x^2 \over 1+y^2}}. Pak:
		$$ (1+y^2)\,dy = x^2\,dx \qquad y = y(x) $$
		$$ y + y^3/3 = x^3/3 + c $$
		$$ y^3 + 3y - x^3 + c = 0 $$
	}
	\rlistItem{Zkusme odvodit �nikovou (druhou kosmickou) rychlost.
		M�jme hmotn� bod o hmotnosti $m$
		ve v��ce $x$ nad povrchem
		zem� o polom�ru $R$.
		Jak vypad� t��e $F$?
		
		Newton�v gravita�n� z�kon n�m ��k�,
		�e $$F={K \over (x+R)^2}$$
		kde $K$ je konstanta --- polo�me $x=0$, pak
		$$ mg = K/R^2 \Rightarrow K = mgR^2 $$
		$$ F = {mgR^2 \over (x+R)^2} $$

		Vezm�me rychlost v �ase $t$ jako $v=v(t)$
		a polohu $x=x(t)$.
		Pak dle pana Newtona
		$$ m\,{dv \over dt} = -{mgR^2 \over (x+R)^2} $$

		Abychom dostali jen jednu nezn�mou,
		od $t$ p�ejdeme k nez�visl� prom�nn� $x$
		--- zderivujme $v$ jako slo�enou funkci:
		$$ {dv \over dt} = {dv \over dx} \cdot {dx \over dt} = v \cdot {dv \over dx} $$

		P�epi�me tedy na�i p�vodn� rovnici bez $t$:
		$$ v\,{dv \over dx} = -{gR^2 \over (x+R)^2} $$
		V t�to rovnici ji� ale m�me separovan� prom�nn�!
		$$ v\,dv = -{gR^2\,dx \over (x+R)^2} $$
		$$ v^2/2 = {gR^2 \over x+R} + c $$

		Vezm�me po��te�n� podm�nku
		$$ t = 0\colon v = v_0,\ x = 0 \Rightarrow v(0) = v_0 $$

		Pak nutn�
		$$ c = v_0^2/2 - gR $$
		$$ v^2 = v_0^2 - 2gR + {2gR^2 \over x + R} $$

		Chceme $v_0$ zvolit takov�,
		aby $v(x)$ byla definovan� pro $\forall x>0$.
		Tedy $v^2$ by m�lo b�t nez�porn�, tzn.
		$v_0^2 \ge 2gR$.
		�nikov� rychlost je tud��
		$$ v_0 = \sqrt{2gR} $$
	}
	}
	}

}
\nlistItem{{\bf Exaktn� rovnice:}

	$$ M(x,y) + N(x,y)y' = 0 $$

	Takovou rovnici bychom um�li snadno vy�e�it, existovala-li by funkce
	$\varphi = \varphi(x,y)$ takov�,
	�e $\delta_x\,\varphi = M$, $\delta_y\,\varphi = N$:
	$$ \varphi(x,y(x))' = 0 $$

	Pak �e�en� p�vodn� rovnice je dan� implicitn�
	jako $$ \varphi(x,y(x)) = c $$

	\penalty-200

	Nech� $M,N,\delta_y\,M,\delta_x\,N$ jsou spojit� na n�jak�m obd�ln�ku $R=(\alpha,\beta)\times(\gamma,\delta)$.
	Pak $$\existss \varphi: \undernote{\delta_x\,\varphi = M,\ \delta_y\,\varphi = N}{(*)} \Rightarrow \delta_y\,M = \delta_x\,N$$
	(proto�e ${\delta^2\varphi\over\delta x \delta y} = {\delta^2\varphi\over\delta y \delta x}$).
	\smallskip

	Nech� naopak $\delta_y\,M = \delta_x\,N$,
	chceme $\varphi$ spl�uj�c� vztahy $(*)$.
	Vezm�me $\delta_x\,\varphi = M$
	a zintegrujme podle $x$ (pro pevn� $y$).
	To n�m d�v�
	$$ \varphi(x,y) = \int^x M(t,y)\,dt + \psi(y) $$

	Aby $\delta_y\,\varphi = N$, mus�m m�t:
	$$ N = \diff{\varphi}{y} = \diff{}{y}\,\int^x M(t,y)\,dt + {d\psi\over dy}
		= \int^x \diff{M}{y}(t,y)\,dt - {d\psi\over dy} $$
	$$ {d\psi\over dy} = N(x,y) - \int^x \diff{M}{y}(t,y)\,dt $$
	To je v�ak funkce pouze podle $y$ --- kdy� to zderivuji podle $x$,
	dostanu $\diff{N}{x} - \diff{M}{y} = 0$.

	$$ \psi(y) = \int^y \left( N(x,y) - \int^x \diff{M}{y}(t,y)\,dt \right) $$
	$$ \varphi(x,y) = \int^x M(t,y)\,dt + \int^y \left( N(x,s) - \int^x \diff{M}{y}(t,y)\,dt \right)\,ds $$

	\example{
		$$ \undernote{(y\cos x + 2xe^y)}{M} + \undernote{(\sin x + x^2e^y + 2)}{N}\,{dy \over dx} = 0 $$

		\DCV
	}

}
}

$M(x,y)+N(x,y)y'=0$ je exaktn�,
pr�v� kdy� existuje $\varphi = \varphi(x,y)$ takov�,
�e $\delta_x\varphi = M$, $\delta_y\varphi = N$
($\varphi(x,y(x))'=0$, tj. $\varphi(x,y(x))=c$).
To si dok�eme v n�sleduj�c�m tvrzen�.

\theorem{4}{}{
	M�jme $M,N,\delta_yM,\delta_xN\colon R \to \real$ nech� jsou spojit�,
	$R=(\alpha,\beta)\times(\gamma,\delta)$.
	Rovnice $$M(x,y)+N(x,y)y'=0$$ je exaktn�,
	pr�v� kdy� na $R$ plat� $\delta_yM=\delta_xN$.
	Je-li podm�nka spln�na, potom funkce
	$$ \varphi(x,y) = \int_{x_0}^x M(s,y)\,ds
		+ \int_{y_0}^y \undernote{\bigg(N(x,t)-\int_{x_0}^x\diff{M}{y}(s,t)\,ds\bigg)}{h(x,t)}\,dt $$
	spl�uje na $R$ vztahy $\delta_x\varphi = M$, $\delta_y\varphi = N$
	(kde $(x_0,y_0) \in R$ je libovoln� zvolen� bod).

	\proof{
		Nech� $\varphi$ existuje.
		Pak dle \ias{2}{10}{}:
		$$\delta_yM=\delta^2_{xy}\varphi=\delta^2_{yx}\varphi = \delta_xN$$

		\penalty-200

		Opa�n� implikace bude ale trochu pracn�j��.
		Nech� na $R$ plat� $\delta_yM=\delta_xN$:
		$$\delta_xh(x_1,t)=\delta_xN(x_1,t)-\delta_yM(x_1,t)=0$$
		(podle p�edpoklad�).
		$t$ je pevn�, tedy $h(x,t)$ je konstantn�.
		$h(x,y)$ z�vis� jen na $y$, tud��
		$$ \delta_x\varphi(x_1,y) = M(x_1,y) $$
		a proto $\delta_x\varphi = M$.

		Je�t� n�m v�ak zb�v� druh� rovnost.
		Polo�me
		$$ g(x,y) := \int_{x_0}^x M(s,y)\,ds $$
		a v�imn�me si, �e m�me-li pro n�jak� $(x,y_1) \in R$ rovnost
		$$\delta_yg(x,y_1) = \int_{x_0}^x \delta_yM(s,y_1)\,ds$$
		m�me ji� vyhr�no:
		$$ \delta_y\varphi(x,y_1) = \delta_yg(x,y_1) + N(x,y_1) - \int_{x_0}^x \diff{M}{y}(s,y_1)\,ds $$
		$$ \delta_y\varphi(x,y_1) = N(x,y_1) $$
		$$ \delta_y\varphi = N $$

		Jak ale dok�zat onu p�edokl�danou rovnost?
		M�jme $x \ge x_0$, $h > 0$ ($y_1+h<\delta$).
		Existuje funkce $\Theta=\Theta(s)$ takov�, �e
		$$ M(s,y_1+h)-M(s,y_1) - h\delta_yM (s,y_1+\Theta(s)) $$
		(to n�m ��k� za p�edpokladu $\existss s \in [x_0,x]\Rightarrow 0<\Theta(s)<h$
		Lagrangova v�ta o st�edn� hodnot�).

		$$ {g(x,y_1+h)-g(x,y_1)\over h} = \int_{x_0}^x {M(s,y_1+h)-M(s,y_1) \over h}\,ds
			= \int_{x_0}^x \delta_y M(s,y_1+\theta(s))\,ds $$
		P�itom $\delta_yM$ je stejnom�rn� spojit� na kompaktn� podmno�in� $R$,
		tedy pro dan� $\eps>0$ existuje $\eta > 0$ takov�, �e $s \in [x_0,x] \et \Theta \in [0,\eta]$.
		To ov�em znamen�, �e
		$$ |\delta_yM(s,y_1+\Theta)-\delta_yM(s,y_1)| < \eps $$

		Kdy� v�ak $h < \eta$,
		$$\bigg|\int_{x_0}^x\delta_yM(s,y_1+\Theta(s))\,ds-\int_{x_0}^x\delta_yM(s,y_1)\,ds\bigg|
			\le \int_{x_0}^x |d_yM(s,y_1+\Theta(s))-\delta_yM(s,y_1)|\,ds < \eps(x-x_0)$$
		$$ \Longrightarrow \bigg|{g(x,y_1+h)-g(x,y_1)\over h} - \int_{x_0}^x\delta_yM(s,y_1)\,ds\bigg| < \eps(x-x_0) $$
		$$ \lim_{h\to0} {g(x,y_1+h)-g(x,y_1)\over h} = \int_{x_0}^x\delta_yM(s,y_1)\,ds $$
		\qed
	}
}

}


\subchapter{Rovnice vy���ch ��d�}{

$F(x,y,y',y'',\ldots,y^{(n)}) = 0$
(kde $y=y(x)$) plat� na $I \subset \real$,
pr�v� kdy� $y_1=y',\ y_2=y_1',\ \ldots,\ y_n=y_{n-1}'$,
$F(x,y,y_1,y_2,\ldots,y_n)=0$
a $y,y_1,\ldots,y_n$ jsou na $F$ �e�en�m t�to soustavy.

Tedy m�sto v�cen�sobn�ch derivac� jsme si zavedli n�jak�
dal�� pomocn� funkce, v�dy� p�eci $y'' = (y')'$.

Line�rn� diferenci�ln� rovnici $n$-t�ho ��du
$$ y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots+a_0y + b = 0 \qquad a_i = a_i(x)$$
m��eme t�mto trivi�ln�m zp�sobem p�ev�st na line�rn� soustavu
$$ y_1 = y' \quad y_2 = y_1' \quad \ldots \quad y_n = y_{n-1}' $$
$$ y_n + a_{n-1}y_{n-1} + \cdots + a_1y_1 + a_0y + b = 0 $$
diferenci�ln�ch rovnic prvn�ho ��du.

\penalty-200

Soustava line�rn�ch rovnic se ov�em d� �e�it pomoc� matic.
Pro na�i soustavu $y' = Ay + b$, neboli
$$ \eqalign{y_1' &= a_{1,1}y_1 + \cdots + a_{1,n}y_n + b_1 \cr
                 &\vdots \cr
	    y_n' &= a_{n,1}y_1 + \cdots + a_{n,n}y_n + b_n} $$
$$ \eqalign{a_{i,j} &= a_{i,j}(x) \cr b_i &= b_i(x)}\colon I \to \real \textbox{spojit�} $$
kde $y_1,\ldots,y_n$ jsou nezn�m� funkce, m��eme vyrobit tyto matice:
$$ y = \pmatrix{y_1 \cr y_2 \cr \vdots \cr y_n} \qquad A\colon I \to \real^{n\times n} \qquad b\colon I \to \real^n $$

\theorem{5}{}{
	Bu� $I \subset \real$ otev�en� interval,
	$a_{i,j},b_i\colon I \to \real$ spojit�,
	$1 \le i,j \le n$,
	$A := (a_{i,j})$,
	$b := \pmatrix{b_1&\cdots&b_n}^T$,
	$x_0\in I$,
	$y^0 \in \real^n$.

	Pak soustava $y'=Ay+b$ s po��te�n� podm�nkou $y(x_0)=y^0$
	m� na $I$ jedin� �e�en�.

	\shortproof{D�lat nebudeme. Lze dok�zat pomoc� v�ty o kontrahuj�c�m zobrazen�. \sqed}
}

\definition{

	P�ipome�me si, �e $C^1(I) = \{ f: f$ m� na $I$ spojitou prvn� derivaci$\}$.
	Budeme pracovat ve vektorov�m prostoru $C^1(I)^n$
	($n$-tic takov�ch funkc�) nad $\real$.

	$$ H := \{ y = (y_1,\ldots,y_n): y \textbox{je na $I$ �e�en� homogenn� soustavy $y' = Ay$}\} $$
	$$ M := \{ y = (y_1,\ldots,y_n): y \textbox{je na $I$ �e�en� nehomogenn� soustavy $y' = Ay+b$}\} $$

}

\theorem{6}{}{
	$H$ je vekotorv� podprostor $C^1(I)^n$ dimenze $n$,
	$M$ je afinn� podprostor $C^1(I)^n$ dimenze $n$,
	a~nav�c $M = H + y$ pro ka�d� $y \in M$.

	\proof{
		M�-li b�t $H$ vektorov� prostor,
		pro $y^1,y^2 \in H$, $\alpha,\beta \in \real$
		mus� $\alpha y^1 + \beta y^2 \in H$. (\DCV pro� plat�.)
		D�le pokud $y \in M$ a $h \in M$, $y + h \in M$.
		($(y+h)'=y'+h'=Ay+b+Ah=A(y+h)+b$, tj. $y+h\in M$.)

		M�me-li zadan� $y \in $,
		$z \in M$ m��eme ps�t jako $z = y + (z-y)$
		a $z-y \in H$, tedy $M = y + H$.

		$\dim H = n$ plyne z \ias{}{5}{}:
		Vezm�me libovoln� bod $x_0 \in I$;
		pro $i = 1 \ldots n$ m�m $y(i) \in M$ takov�, �e $y(i)(x_0) = (0,\ldots,0,1,0,\ldots,0)$
		m� jedni�ku na $i$-t�m m�st� ($(i)$ je prost� jen dal�� index $y$).
		Nech� $y \in H$ je libovoln�, polo�me:
		$$ y(x_0) = \pmatrix{y_1(x_0)\cr\vdots\cr y_n(x_0)} = \pmatrix{\pi_1\cr\vdots\cr\pi_n} $$
		$$ z := \pi_1y(a) + \pi_2y(2) + \cdots + \pi_ny(n) \in H $$
		$$ z(x_0) = y(x_0) \becauseof{\ias{}{5}{}}{\Longrightarrow} z(x) = y(x) \qquad \forall x \in I $$
		Tak�e $y \in {\sl Lin}(\{y(1),y(2),\ldots,y(n)\}) = H$.
		\qed
	}
}

\definition{
	B�zi $H$ ��k�me {\bf fundament�ln� syst�m �e�en�}.

	M�jme $f^1,\ldots,f^n\colon I \to \real^n$.
	Pak {\bf Wronsk�ho determinant} ({\bf wronoski�n})
	definujeme jako
	$$ W_{f^1,\ldots,f^n}(x) \defined
		\det \pmatrix{f_1^1(x) & \cdots & f_1^n(x) \cr \vdots & & \vdots \cr f_n^1(x) & \cdots & f_n^n(x)}
		\colon I \to \real $$
}

\theorem{7}{}{
	M�jme $f^1,\ldots,f^n \in H$
	(mno�ina �e�en� homogenn� soustavy $Ay=y'$).
	Pak pro $W := W_{f^1,\ldots,f^n}$ m�me $W(x_0)=0$ pro n�jak� $x_0 \in I$,
	pr�v� kdy� $W(x) = 0$ pro $\forall x \in I$.

	\proof{
		Je-li $W(x_0)=0$,
		pro n�jak� $\alpha_i \in \real$ (kde ne v�echny $\alpha_i=0$)
		plat�: $$\alpha_1f^1(x_0)+\cdots+\alpha_nf^n(x_0)=\pmatrix{0\cr\vdots\cr0}$$
		Tedy ale podle \ias{}{5}{} m�me
		$$\alpha_1f^1(x) + \cdots + \alpha_nf^n(x) = \pmatrix{0\cr\vdots\cr0}$$
		pro $\forall x \in I$.
		Ale v tom p��pad� $W(x) = 0$ pro $\forall x \in I$.

		Opa�n� implikace je trivi�ln�.
		\qed
	}
}

$f^1,\ldots,f^n$ jsou �e�en� soustavy $Ay=y'$, $W := W_{f^1,\ldots,f^n}$.
Bu� $W(x) \ne 0$ pro $\forall x \in I$,
pak $\{f^1,\ldots,f^n\}$ je fundament�ln� syst�m �e�en�,
nebo $W(x) = 0$ pro $\forall x \in I$
a pak $\{f^1,\ldots,f^n\}$ fundament�ln� syst�m �e�en� nen�.
Pro nalezen� f. s. �. n�m tedy podle tvrze� sedm
sta�� jen spo��tat $W$ v n�jak�m �ikovn�m bod�.

\theorem{8}{variace konstant}{
	$\{y^1,\ldots,y^n\}$ bu� f. s. �. pro soustavu $Ay = y'$,
	$$ Y := \pmatrix{\pmatrix{y^1} & \pmatrix{y^2} & \pmatrix{y^3}}
		= \pmatrix{
		y_1^1 & y_1^2 & \cdots & y_1^n \cr
		              &&\vdots&\cr
		y_n^1 & y_n^2 & \cdots & y_n^n } $$
	a $x_0 \in I$, $y^0 \in \real^n$.  Pak plat�, �e
	$$ y(x) = Y(x)\left(Y^{-1}(x_0)y^0 + \int_{x_0}^x Y(t)b(t)\,dt\right) $$
	je �e�en�m soustavy $y'=Ay+b$ spl�uj�c� $y(x_0)=y^0$.
}

}


\bend
