\input /home/pasky/school/fastex/lib.tex \subchapter{Implicitní funkce}{ Mějme soustavu funkcí $$ \eqalign{F_1(x_1,\ldots,x_m,y_1,\ldots,y_n) &= 0\cr F_2(x_1,\ldots,x_m,y_1,\ldots,y_n) &= 0\cr \vdots &\cr F_n(x_1,\ldots,x_m,y_1,\ldots,y_n) &= 0} $$ a bod $(x_0,y_0) \in \real^{m+n}$, $F_i(x_0,y_0) = 0$ (pro $1 \le i \le n$). To vše můžeme mít, právě když $$y_i = f_i(x_1,\ldots,x_m)\qquad 1 \le i \le n$$ (lokálně v okolí $(x_0,y_0)$). Zaveďme si značení: $$F_i=F_i(x_1,\ldots,x_m,y_1,\ldots,y_n) \qquad f_i=f_i(x_1,\ldots,x_m)$$ $$F=(F_1,\ldots,n) \qquad f=(f_1,\ldots,n)$$ $$x=(x_1,\ldots,x_m) \qquad y=(y_1,\ldots,y_n)$$ $$F_x'(x,y) = \pmatrix{\diffi{F_1}{x_1} & \cdots & \diffi{F_1}{x_m} \cr \vdots & & \vdots \cr \diffi{F_n}{x_1} & \cdots & \diffi{F_n}{x_m}}(x,y)$$ \smallskip $$f'(x) = \pmatrix{\diffi{f_1}{x_1} & \cdots & \diffi{F_1}{x_m} \cr \vdots & & \vdots \cr \diffi{f_n}{x_1} & \cdots & \diffi{f_n}{x_m}}(x)$$ \smallskip $$F_y'(x,y) = \pmatrix{\diffi{F_1}{y_1} & \cdots & \diffi{F_1}{y_n} \cr \vdots & & \vdots \cr \diffi{F_n}{y_1} & \cdots & \diffi{F_n}{y_n}}(x,y)$$ \theorem{14}{o implicitních funkcích}{ Mějme $F=(F_1,\ldots,F_n): W \to \real^n$ jako zobrazení definované na okolí $W \subset \real^{m+n}$ bodu $(x_0,y_0)$ (kde $x_0 \in \real^m$, $y_0 \in \real^n$) splňující následující podmínky: \list{ \listItem{$F_i \in C^1(W)$ pro $1 \le i \le n$} \listItem{$F_i(x_0,y_0) = 0$ pro $1 \le i \le n$} \listItem{$\det F_y'(x_0,y_0) \ne 0$} } Potom existují okolí $x_0 \in U \subset \real^m$, $y_0 \in V \subset \real^n$ taková, že $U \times V \subset W$ a zároveň $$ \forall x \in U\ \onexists y \in V: F_i(x,y) = 0 \qquad 1 \le i \le n $$ \medskip Tj. existuje zobrazení $f=(f_1,\ldots,f_n)\colon U \to V$ takové, že $$ \forall (x,y) \in U \times V: F(x,y) = \overline{0} \Leftrightarrow y = f(x) $$ a navíc $f_i \in C^1(U)$ pro $1 \le i \le n$. Tedy zobrazení $f$ je diferencovatelné v $\forall x \in U$ a zároveň $$ f'(x) = -F_y'(x,f(x))^{-1} \cdot F_x'(x,f(x)) $$ } \penalty-200 \TODO{nějak hezky navázat, tady věta samotná končí... co to tu vlastně je? ;-)} $$ F_k(x_1,\ldots,x_m,f_1(x),\ldots,f_n(x)) = 0 \qquad 1 \le k \le n,\ x \in U $$ $$ \diff{F_k}{x_i} + \sum_{j=1}^n \diff{F_k}{y_j}\diff{f_j}{x_i} = 0 $$ $$ \undernote{\pmatrix{\diffi{F_1}{y_1} & \cdots & \diffi{F_1}{y_n} \cr \vdots & & \vdots \cr \diffi{F_n}{y_1} & \cdots & \diffi{F_n}{y_n}}}{A} \pmatrix{\diffi{f_1}{x_i} \cr \vdots \cr \diffi{f_n}{x_i}} = -\pmatrix{\diffi{F_1}{x_i} \cr \vdots \cr \diffi{F_n}{x_i}} $$ $$ \diffi{f_j}{x_i} = -{\pmatrix{\cdots & \diffi{F_1}{x_i} & \cdots \cr & \vdots & \cr & \diffi{F_n}{x_i} &} \over \det(F_y'(x,f(x))) } = - {\det(A') \over \det(A)}$$ (v čitateli zaměníme $j$-tý sloupec). } \theorem{15}{o inverzních funkcích}{ Mějme $f\colon U \to \real^m$, otevřenou $U \subset \real^m$, $x_0 \in U$ (označme $y_0=f(x_0)$). Nechť $f$ splňuje $f \in C^1(U)$, $$\det(\delta_{xj} f_i(x_0))_{i,j=1}^m \ne 0$$ Pak existují okolí $x_0 \in U' \subset \real^m$, $y_0 \in V \subset \real^m$ taková, že $f\colon U' \to V$ je bijekce, $f^{-1} \in C^1(V)$ a~zároveň $$ \forall x \in U', y = f(x) \in V: Df^{-1}(y) = (Df(x))^{-1} $$ (a podobně i pro Jacobiho matice). \proof{ Plyne z \ias{}{14}{}. Vezměme $x = x_1,\ldots,x_m$, $y = y_1,\ldots,y_m$: $$ F(x,y) = f(x) - y $$ $$ x_i = g_i(y_1,\ldots,y_m) \Rightarrow F(x,y) = \overline{0} \qquad 1 \le i \le m $$ Předpoklady \ias{}{14}{} jsme tak tedy splnili ($F$ je $C^1$, $F(x_0,y_0) = \overline{0}$, determinant je také nulový). Mám okolí $y_0 \in V \subset \real^m$, $g\colon V \to U$ takové, že $$ \forall y \in V: f(x) - y = 0 \Leftrightarrow x = g(y) $$ $$ \Rightarrow f(g(y)) = y \Rightarrow g = f^{-1} $$ Vezmu $U' := g(V)$. Pak $f\colon U' \to V$ a $g\colon V \to U'$. $U'$ je okolí $x_0$, protože $U'$ je $f^{-1}(V)$. \qed } \note{ Mějme $f\colon U' \to V$, $U,V \in \real^m$, $f$ je bijekce, $f \in C^1(U')$, $f^{-1} \in C^1(V)$. Takovému zobrazení říkáme {\bf difeomorfismus}. } } \medskip Mějme $U \subset \real^m$ otevřenou, $f\colon U \to \real$, $F_i\colon U \to \real$ ($1 \le i \le n < m$). Nechť $f,F_i \in C^1(U)$: $$ H = \{ x \in \real^m: F_1(x) = \cdots = F_n(x) = 0 \} $$ Jak najít lokální extrémy $f$ na $H$? \theorem{16}{Lagrangeovy multiplikátory}{ $a \in H$ buď bod lokálního extrému, $f$ na $H$. Mějme matici $(\delta_{xj}F_i(a))_{i,j=1}^{n,m}$ mající maximální hodnost (tj. $n$, neboli $\grad F_1(a),\ldots,\grad F_n(a)$ jsou lineárně nezávislé vektory v $\real^m$). Potom existují čísla $\lambda_1,\ldots,\lambda_n \in \real$ taková, že: $$\grad f(a) - \sum_{i=1}^n \lambda_i \grad F_i(a) = \overline{0}$$ $$ \Rightarrow \diff{f}{x_j}(a) - \sum_{i=1}^n \lambda_i\diff{F_i}{x_j}(a) = 0 \qquad 1 \le j \le m $$ \proof{ Bez újmy na obecnosti nechť: $$ \det(\delta_{x_{m-n+1}} F(a), \delta_{x_{m-n+2}} F(a), \ldots, \delta_{x_m} F(a)) \ne 0 $$ $$ x_1,\ldots,x_m = \undernote{x_1,\ldots,x_{m-n}}{y},\undernote{x_{m-n+1},\ldots,x_m}{z} $$ $$ a = (\undernote{a_1,\ldots,a_{m-n}}{y_0},\undernote{a_{m-n+1},\ldots,a_m}{z_0}) $$ Pak podle \ias{}{14}{} existuje zobrazení $g=(g_1,\ldots,g_n)$ definované na okolí $y_0$ takové, že (lokálně) platí: $$ F_i(y,z) = 0 \Leftrightarrow z = g(y) \qquad 1 \le i \le n $$ Nyní předpokládáme, že funkce $$ h(y) := f(y,g_1(y),\ldots,g_n(y)) $$ má v bodě $y_0$ lokální extrém, bez vazby, neboli $\grad h(y_0) = \overline{0}$: $$ \diff{f}{y_i}(y_0,g(y_0)) + \sum_{j=1}^n \diff{f}{z_j}(y_0,g(y_0))\cdot\diff{g_j}{y_i}(y_0) = 0 \qquad 1 \le i \le m-n $$ $$ D_yf(y_0,g(y_0)) + D_zf(y_0,g(y_0))\cdot Dg(y_0) = 0 $$ Podle \ias{}{14}{} si ale můžeme $Dg(y_0)$ spočítat: $$ Dg(y_0) = -(D_z F(y_0,g(y_0)))^{-1}\cdot D_y F(y_0,g(y_0)) $$ $$ D_yf - \undernote{D_zf \cdot (D_zF)^{-1}}{\lambda} \cdot D_yF = \overline{0} $$ $$ \lambda = (\lambda_1,\ldots,\lambda_n) = D_zf\cdot(D_zF)^{-1}$$ $$ D_yf - \lambda D_yF = \overline{0} $$ $$ D_zf - \lambda D_zF = \overline{0} $$ $$ \Rightarrow Df - \lambda DF = 0 $$ \qed } \notes{ \list{ \listItem{Jaký je geometrický význam této věty? Mějme $a \in H$ jako bod lokálního extrému $f$ na $H$. V~tom případě $$ \grad f(a) \in \mathop{\rm Lin}(\{\grad F_1(a),\ldots,\grad F_n(a)\}) $$ (kde $\mathop{\rm Lin}$ je lineární obal). Všimněme si, že tohle platí triviálně pro $\grad f(a) = \overline{0}$. Jak je to ale v případě, že $\grad f(a) \ne \overline{0}$? $$ T N_a = \{ x \in \real^m: x \perp \grad f(a) \Leftrightarrow \left<\grad f(a),x\right> = 0 \} $$ je tečný prostor (posunutý od počátku) k ploše $$ N = \{x \in \real^m: f(x) = f(a) \} $$ v bodě $a$ (s dimenzí $m-1$). \penalty-500 Mějme plochu $$H = \{x \in \real^m: F_1(x) = \cdots = F_n(x) = 0\}$$ $$T H_a = \{x \in \real^m: \left<\grad F_1(a),x\right> = \cdots = \left<\grad F_n(a),x\right> = 0 \} $$ pak bude tečný prostor k ploše $H$ v bodě $a$ (s dimenzí $m-n$). \medskip Pak se dá \ias{}{16}{} přeformulovat jako: má-li $f$ v $a$ lokální extrém vzhledem k $H$, pak $$T H_a \subset T N_a$$ } \listItem{Vezměme si {\bf Lagrangovu funkci}: $$ L(x,\lambda) = L(x_1,\ldots,x_m,\lambda_1,\ldots,\lambda_n) = f(x) - \sum_{i=1}^n \lambda_iF_i(x) $$ $$ \grad L = \left(\diff{f}{x_1}(x) - \sum_{i=1}^n\lambda_i\diff{F_i}{x_1}(x), \ldots, \diff{f}{x_m}(x) - \sum_{i=1}^n\lambda_i\diff{F_i}{x_m}(x), -F_1(x),\ldots,-F_n(x) \right)$$ $$ \grad L(x,\lambda) = \overline{0} \Longleftrightarrow \grad f(x) = \sum_{i=1}^n \lambda_i \grad F_i(x) \,\et\, F_1(x) = \cdots = F_n(x) = 0 \textnote{tj. $x \in H$} $$ Tedy \ias{}{16}{} lze přeformulovat také jako: má-li $f$ v $a$ lokální extrém vzhledem k $H$, pak $$\existss \lambda \in \real^n: \grad L(a,\lambda) = \overline{0}$$ } } } } \theorem{17}{}{ Mějme otevřenou $U \subset \real^m$, $f,F_i \in C^2(U)$, $1 \le i \le n < m$, $$ H = \{ x \in \real^m: F_1(x) = \cdots F_n(x) = 0 \} $$ a pro $\forall x \in U$ má matice $(\delta_{xj} F_i(x))_{i,j=1}^{n,m}$ maximálně hodnost $n$, $a \in H$ a $\grad f(a) \ne \overline{0}$. Pak platí: \list{ \listItem{Pokud pro $\forall \lambda \in \real^n$ máme $\grad L(a,\lambda) \ne \overline{0}$, pak $f$ v $a$ nemá lokální extrém vzhledem k $H$. (Důsledek \ias{}{16}{}.) } \listItem{Nechť $\lambda \in \real^n$ splňuje $\grad L(a,\lambda) = \overline{0}$. Pokud kvadratická forma $$P(h_1,\ldots,h_m) = \sum_{i,j=1}^m {\delta^2 L \over \delta x_i \delta x_j}(a,\lambda) h_i h_j$$ je pozitivně (negativně) definitní na vektorech $h \in T H_a$, pak $f$ má v $a$ ostré lokální minimum (maximum) vzhledem k $H$. } \listItem{Pokud je tato kvadratická forma indefinitní, $f$ nemá v $a$ lokální extrém vzhledem k $H$. } } } \bend