Martin Klazar

Matematická analýza III

Přepsal Petr Baudiš

v ak. roce 2005/2006

“”

◯^{c} 2005/2006 Martin Klazar, Petr Baudiš Verze 0.20051004/L:1.616. Tato verze není garantována, nemusí být kompletní a může obsahovat chyby. Aktuální verzi vždy najdete na http://math.or.cz/. Sazba v programu TEX.

Martin Klazar — Matematická analýza III Metrické a topologické prostory —

Metrické a topologické prostory

Metrické prostory

Zde se přednášky zpočátku překrývají s koncem přednášek Analýzy II.

Definice:

Metrický prostor a topologický prostor definujeme jako (M, d), kde d: M^{2} → ℝ_{≥0}, přičemž:

(i) d(x, y) = d(y, x) (ii) d(x, y) = 0 ⇔ x = y (iii) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y)

Poznámka:

Bijekci f: M_{1} → M_{2} nazýváme izometrií, pokud:

d_{1}(x, y) = d_{2}(f(x), f(y)) ∀x, y ∈ M_{1}

Příklady:

(i) M = ℝ^{n}, p ≥ 1 reálné,

d_{p}(x, y) = (∑_{i=1}^{n}|x_{i} − y_{i}| ^{p})^{1/p}

(1) n = 1: |x − y|

(2) n ≥ 2, p = 2: euklidovská metrika

\sqrt{(x_{1} − y_{1})^{2} + ⋯ + (x_{n} − y_{n})^{2}}

(3) p = 1: poštovní metrika

(4) p → +∞: d_{∞}(x, y) = max_{1≤i≤n} |x_{i} − y_{i}| (⟨cvičení⟩), neboli maximová metrika

(ii) M = {f : f: X → ℝ, f je omezená },

d(f, g) = sup_{x∈X} |f(x) − g(x)|

neboli supremová metrika. Pokud navíc

M = C(a, b) = {f : f: [a, b] → ℝ, f je spojitá }

jde o maximovou metriku. (iii) M = C(a, b), p ≥ 1 reálné,

d_{p}(f, g_{=} (∫_{a}^{b} |f(x) − g(x)|^{p} dx)^{1/p}

pak pro p = 1 jde o integrální metriku a pro p = 2 jde o metriku, ve které se objevuje skalární součin. Pro p → +∞ konverguje (⟨cvičení⟩) k:

d_{∞}(f, g) = max_{[a,b]}|f(x) − g(x)|

Pozn.: Pro M = R(a, b) neplatí.

Martin Klazar — Matematická analýza III Metrické a topologické prostory — Metrické prostory

(iv) Mějme souvislý graf G = (M, E) a metriku d(u, v) jako počet hran na P, P je (nějaká) nejkratší cesta spojující u a v.

(v) M = ℤ, p nechť je prvočíslo (např. p = 29). Mějme z ∈ ℤ, pak m_{p}(z) = maxe ∈ ℕ_{0} : p^{e}|z, m_{p}(0) = +∞. Zavedeme metriku

d_{p}(x, y) = 2^{−m_{p}(x−y)}

neboli tzv. p-adickou metriku.

Cvičení: d_{p}(x, y) je ultrametrika: d_{p}(x, y) ≤ max(d_{p}(x, z), d_{p}(z, y)) Cvičení: V ultrametrice jsou všechny trojúhelníky rovnoramenné. Cvičení: Každý bod koule je jejím středem.

Pozn.: Ve všem další buď (M, d) metrický prostor.

Definice:

Mějme a ∈ M, r > 0:

(i) B(a, r) := {x ∈ M : d(a, x) < r} je (otevřená) koule

(ii) \overline{B}(a, r) := \{x ∈ M : d(a, x) ≤ r\} je uzavřená koule

Množina X ⊂ M je otevřená, pokud ∀a ∈ X ∃ r > 0 : B(a, x) ⊂ X. Množina je uzavřená, pokud M \ X je otevřená množina.

Cvičení: Pokud B(a, r) je otevřená a X je konečná, pak X je uzavřená.

VĚTA 1 ():

∅ a M jsou otevřené i uzavřené. Systém otevřených množin se zachovává libovolnými sjednoceními a konečnými průniky. Systém uzavřených množin se zachovává při konečných sjednoceních a libovolných průnicích.

Definice:

Platí-li a ∈ M, a ∈ U a U je otevřená, pak U je okolí bodu a. Máme-li a ∈ M, X ⊂ M, pak a je:

(i) vnitřní bod X: existuje okolí U bodu a takové, že U ⊂ X

(ii) vnější bod X: existuje U takové, že U ⊂ M \ X

(iii) hraniční bod X: není vnitřním ani vnějším bodem X, tedy pro ∀U protíná X a M \ X

(iv) limitní bod X: ∀U : X ∩ U je nekonečná

(v) izolovaný bod X: ∃ U : U ∩ X = {a}

Pro X ⊂ M definujme uzávěr X jako

\overline{X} = X ∪ \{limitní body množiny X\}

Příklad:

Mějme (M, d) = ℝ^{2} s euklidovskou metrikou,

X = (B \ {0}) ∪ {p}

B = B(0, 1)

,-. K (kružnice) / “ ---(--0--)----+---

“ / p (2,0)

‘-’ —-— 1

(i) Vnitřní body X: B \ {0} (ii) Vnější body X: ℝ^{2} \ (\overline{B}(0, 1) ∪ \{p\}) (iii) Hraniční body X: K ∪ {0, p} (iv) Limitní body X: \overline{B}(0, 1)

(v) Izolované body X: {p} (vi) \overline{X} = \overline{B}(0, 1) ∪ \{p\}

VĚTA 2 ():

X ⊂ M je uzavřená, právě když X = \overline{X}.

DŮKAZ:

“⇒”

Nechť X je uzavřená. Tedy M \ X je otevřená, a když a ∈ M \ X, pak U = M \ X je okolí a neprotíná jiné X, takže a není limitním bodem X, ergo X = \overline{X}.

“⇐”

Nechť X = \overline{X}, a ∈ M \ X není limitním bodem X, tedy existuje U okolí a takové, že U ∩ X je konečná. Tedy existuje okolí U_{a} bodu a takové, že U_{a} ∩ X = ∅ (tj. U_{a} ⊂ M \ X). M \ X = ⋃_{a∈M\X} U_{a} a tedy M \ X je otevřená množina, tudíž nutně X je uzavřená.

Q.E.D.

Definice:

(x_{n})_{n≥1} ⊂ M, limn → ∞x_{n} = a ∈ M, x_{n} → a:

(a) ∀U ∃ n_{0} : n ≥ n_{0} ⇒ x_{n} ∈ U

(b) ∀ε ∃ n_{0}, ∀n ≥ n_{0} : d(x_{n}, a) < ε

(c) lim_{n→∞} d(x_{n}, a) = 0

(x_{n}) ⊂ M je Cauchyovská, pokud

∀ε > 0 ∃ n_{0}, ∀m, n ≥ n_{0} : d(x_{m}, x_{n}) < ε

VĚTA 3 ():

Mějme a ∈ M, X ⊂ M. Potom (dle V2):

a ∈ \overline{X} ⟺ a ∈ x ∨ ∃ (x_{n}) ⊂ X : x_{n} → a

Důkaz: ⟨cvičení⟩

Definice:

Mějme metrické prostory (M_{1}, d_{1}), (M_{2}, d_{2}). Řekneme, že M_{1} je podprostor M_{2}, pokud M_{1} ⊂ M_{2} a ∀x, y ∈ M_{1} : d_{1}(x, y) = d_{2}(x, y).

Pozn.: X ⊂ M je též metrický prostor (X, d), s indukovanou metrikou. Dostaneme podprostor (M, d).

Součin (M, d_{1}) a (M, d_{2}): (M_{1} × M_{2}, d), kde

v_{1} := d_{1}(x_{1}, y_{1})
v_{2} := d_{2}(x_{2}, y_{2})

d(x, y) pak můžeme definovat jako

(i) \sqrt{v_{1}^{2} + v_{2}^{2}}

(ii) v_{1} + v_{2} (iii) max(v_{1}, v_{2})

(jak se brzy dozvíme, v topologickém prostoru jsou všechny v jistém smyslu shodné).

Pozor! Máme-li (0, 1) ⊂ ℝ^{n} jako M_{1} ⊂ M_{2} s euklidovskou metrikou d(x, y) = |x − y| a posloupností x_{n} = 1/n, pak (x_{n}) konverguje v M_{2} ale nekonverguje v M_{1}.

Stejně tak (0, 1) je uzavřená množina v M_{1}, ale není uzavřená v M_{2}. Máme-li {0} ⊂ ℝ jako M_{1} ⊂ M_{2}, pak {0} je otevřená v M_{1}, ale ne v M_{2}.

Martin Klazar — Matematická analýza III Metrické a topologické prostory — Topologické prostory

Topologické prostory

Definice:

Topologický prostor (nebo také topologie) je dvojice (X, T ), T ⊂ exp(x), splňující tři axiomy:

(a) ∅, X ∈ T

(b) U ⊂ T ⇒ ⋃ U ∈ T

(c) U ⊂ T , U konečná ⇒ ⋂ U ⊂ T (tj. A, B ∈ T ⇒ A ∩ B ∈ T )

T je systém otevřených množin, zatímco {X \ U : U ∈ T } jsou uzavřené množiny. Tedy máme-li a ∈ X a okolí a: U ∈ T , pak a ∈ U. T-O-D-O: ?

Příklady:

(i) (X, {∅, X}) je topologický prostor. (ii) Základní příklad: systém otevřených množin v metrickém prostoru (M, d) tvoří topologický

prostor (splňují všechny axiomy).

Metrizovatelné topologické prostory

(X, T ) je metrizovatelný: T jsou otevřené množiny v nějakém metrickém prostoru (X, d). Nás budou zajímat jen takovéhle.

Je-li (X, T ) metrizovatelný, každá konečná podmnožina X je uzavřená. Např. příklad (i) pro |X| > 1 není metrizovatelná topologie.

Je-li (X, T ) metrizovatelný,

∀a, b ∈ X, a ≠ b ∃ U, V ∈ T : a ∈ U, b ∈ V, U ∩ V = ∅

neboli jde o hausdorffovskou topologii.

Báze topologického prostoru

Mějme (X, T ). Pak jeho báze je U ⊂ T taková, že každá A ∈ T je sjednocení nějakých množin z U.

Příklad:

Mějme metrický prostor (M, d), pak

U = {B(a, r) : a ∈ M, r > 0}

je bází topologie metrického prostoru (M, d). Tak jsme ale deifnovali otevřené množiny v metrickém prostoru!

(X, d_{1}), (X, d_{2}) nechť jsou metrické prostory. Řekneme o nich, že jsou ekvivalentní, dávají-li stejnou toplogii.

Příklad:

Mějme ℝ^{n}, pak maximová metrika d_{∞} a metrika

d_{p}(x, y) = ( ∑_{i=1}^{n}|x_{i} − y_{i}|^{p})^{1/p} p ≥ 1

jsou ekvivalentní na ℝ^{n}:

Mějme x = (x_{1}, …, x_{n}), y = (y_{1}, …, y_{n}). Pak bez újmy na obecnosti nechť platí

max_{1≤i≤n} |x_{i} − y_{i}| = |x_{1} − y_{1}|

|x_{1} − y_{1}| ≤ d_{p}(x, y) ≤ n^{1/p}|x_{1} − y_{1}|
d_{∞}(x, y) ≤ d_{p}(x, y) ≤ n^{1/p}d_{∞}(x, y)

Z toho nějak plyne, že všechny metriky d_{p} (p ≥ 1) a d_{∞} jsou ekvivalentní. Obecně máme-li 0 < r ≤ s,

rd_{1}(x, y) ≤ d_{2}(x, y) ≤ sd_{1}(x, y) ∀x, y ∈ X

platí, že d_{1} a d_{2} jsou ekvivalentní (do kouličky v jedné metrice můžu strčit menší kouličku v druhé metrice a naopak).

Součinové metriky jsou ekvivalentní — pro a, b ≥ 0:

max(a, b) ≤ \sqrt{a^{2} + b^{2}} ≤ a + b ≤ 2 max(a, b)

(X_{1}, T_{1}) je podprostorem (X_{2}, T_{2}), pokud X_{1} ⊂ X_{2} a T_{1} = {X_{1} ∩ A : A ∈ T_{2}}. Máme-li (X, T ), Y ⊂ X, pak na Y máme indukovanou topologii (Y, T′), T′ = {Y ∩ A : A ∈ T }.

Zároveň (Y, T′) je podprostorem (X, T ).

Součin topologických prostorů (X_{1}, T_{1}) a (X_{2}, T_{2}) je (X, T ), kde X = X_{1} × X_{2} a T je dán bází {U_{1} × U_{2} : U_{1} ∈ T_{1}, U_{2} ∈ T_{2}} (vezmu-li místo T_{i} bázi, dostanu stejnou T ).

Příklad:

Mějme euklidovský metrický prostor (ℝ^{n}, d_{2}), tedy

d_{2} = \sqrt{(x_{1} − y_{1})^{2} + ⋯ + (x_{n} − y_{n})^{2}}

Vezměme euklidovskou topologii na ℝ^{n}.

Platí, že euklidovský topologický prostor ℝ^{2} = ℝ × ℝ (součin dvou euklidovských topologií ℝ′). Podobně pro ℝ^{k+l} = ℝ^{k} × ℝ^{l}.

Spojitá zobrazení

Mějme f: X → Y a (X, U), (Y, V) nechť jsou topologické prostory. Vezměme a ∈ X. Pak f je spojité v a, pokud pro každé okolí V bodu f(a) existuje okolí U bodu a takové, že f(U) ⊂ V (stačí testovat vzhledem k bázi). f je spojité, je-li spojité v každém a ∈ X.

C(X, Y) = {f: X → Y : f je spojité}

VĚTA 4 ():

Nechť f: X → Y a (X, U) a (Y, V) jsou topologické prostory. Pak f je spojité, právě když pro každé V ∈ V je f^{−1}(V) ∈ U.

DŮKAZ:

“⇒”
Nechť f ∈ C(X, Y). Pro V = ∅: f^{−1}(∅) = ∅ ∈ U, to je v pořádku.
Pro V ≠ ∅ a f(a) ∈ V:
∃ U_{a} ∈ U : a ∈ U_{a}, f(U_{a}) ⊂ V
Tedy U_{a} ⊂ f^{−1}(V) a f^{−1}(V) = ⋃_{{a∈X \atop f(a)∈V}} U_{a} a proto nutně f^{−1}(V) ∈ U.

“⇐”

Mějme a ∈ X, f(a) ∈ V ∈ V. Podle předpokladu o f vím, že U = f^{−1}(V) ∈ U, a ∈ U. Máme f(U) ⊂ V (dokonce f(U) = V).

Tedy je f spojité v a, a to v každém a — f je tudíž spojité.

Q.E.D.

VĚTA 5 ():

Mějme zobrazení X→^{f}Y →^{f}Z, (X, U), (Y, V), (Z, W) jsou TPy, h = f ≤ g.

(i) f, g jsou spojitá zobrazení ⇒ h je též spojité (ii) f spojité v a ∈ X, g spojité v f(a) ⇒ h je spojité v a

DŮKAZ:

(i) W ⊂ Z, W ∈ W. Pak

h^{−1}(W) = \underbrace{f^{−1}( \underbrace{g^{−1}(W)}_{∈V (g spoj.)} )}_{∈U (f spoj.)}

Tedy h je spojité. (ii) a ∈ X, h(a) ∈ W ∈ W. g je spojité v f(a), tedy ∃ V ∈ V takové, že f(a) ∈ V, g(V) ⊂ W. f je spojité v a, tedy ∃ U ∈ U takové, že a ∈ U, f(U) ⊂ V. Tedy h(U) ⊂ W, takže h je spojité v a.

Q.E.D.

Mějme topologické prostory (X, U), (Y, V). Bijekce f: X → Y je homeomorfismus (isomorfismus topologických prostorů X a Y), pokud f i f^{−1} jsou spojitá zobrazení. X a Y jsou pak homeomorfní.

Příklad: (0, 1) a ℝ (s euklidovskou topologií) jsou homeomorfní, např. prostřednictvím

f: (0, 1) → ℝ, f(x) = tg(π(x − 1/2))

Kompaktní prostory

(X, U) buď topologický prostor, E ⊂ X. Otevřené pokrytí E pak buď

{A_{i} ∈ U : i ∈ I} : ⋃_{i∈I} A_{i} ⊃ E

E je kompaktní množina, pokud pro každé otevřené pokrytí E existuje konečné podpokrytí

J ⊂ I : ⋃_{i∈J} A_{i} ⊃ E

(X, U) je kompaktní prostor, pokud X je kompaktní. (X, U) buď topologický prostor, E ⊂ X. Pak (E, U′) buď topologický podprostor s indukovanou

topologií. Platí, že (E, U′) bude kompaktní jako topologické prostor, právě když E je kompaktní jako podmnožina (X, U). Tedy kompaktnost je absolutní vlastnost.

Příklad:

Vezměme ℝ s euklidovskou topologií. (0, 1) ⊂ ℝ není komapktní, ℝ není kompaktní, [0, ∞) není kompaktní, ale [a, b] ⊂ ℝ je kompaktní.

Příklad:

X = [0, 2π). Vezměme ℝ^{2} (např. jako ℂ).

f: X → Y, f(φ) = e^{iφ}

f je spojitá bijekce, ale f^{−1} není spojité:

,---.X / ,-. “ / / Y“ “

-(-(--0--)-’-.----) “ “ / / “ ‘-’ / ‘-----’

VĚTA 6 ():

(X, U) buď hausdorffovský topologický prostor, Je-li K ⊂ X kompaktní, pak je K uzavřená. DŮKAZ:

Vezměme bod a ∈ X \ K. Pak stačí najít okolí U_{a} bodu a takové, že U_{a} ∩ K = ∅. Pak totiž

X \ K = ⋃_{a∈X\K} U_{a}

je otevřená, tedy K je uzavřená.

Zvolme k ∈ K, a ∈ X \ K. Tyto dva body mají dle hausdorffovosti disjunktní okolí:

k ∈ V (k) ∈ U, a ∈ U(k) = U, V (k) ∩ U(a) = ∅

{V (k) : k ∈ K} je přitom otevřené pokrytí K, tedy existuje konečně mnoho bodů k_{1}, …, k_{n} takových, že:

K ⊂ \underbrace{V (k_{1}) ∪ ⋯ ∪ V (k_{n})}_{V}

Uvažme okolí a jako

\underbrace{U(k_{1}) ∩ ⋯ U(k_{n})}_{U_{a}}

U_{a} ⊂ U(k_{i}) i ∈ {1, …, n}
U_{a} ∩ V (k_{i}) = ∅ i ∈ {1, …, v}

U_{a} ∩ V = ∅

U_{a} ∩ K = ∅

Q.E.D.

Martin Klazar — Matematická analýza III Metrické a topologické prostory — Topologické prostory

Topologie revisited

X, B ⊂ exp(X), G(B) = {⋃ U : U ⊂ B}. Kdy je G(B) topologie na X? Nutné podmínky:

(i) ⋃ B = X (ii) A_{1}, A_{2} ∈ B ⇒ A_{1} ∩ A_{2} ∈ G(B) Cvičení: Tyto dvě podmínky jsou i postačující.

Součinová topologie

(X, U), (Y, V) nechť jsou topologické prostory. Mějme součin (X × Y, W), pak W bude součinová topologie zadaná bází

B = {U × V : U ∈ U, V ∈ V}

B má vlastnosti báze:

(i) dokonce X × Y ∈ B (ii) U × V, U′ × V′ ∈ B

(U × V) ∩ (U′ × V′) = \underbrace{(U ∩ U′)}_{∈U} × \underbrace{(V ∩ V′)}_{∈V} ∈ B

VĚTA 7 ():

Kompaktnost se zachovává při třech operacích:

(i) Přechod k uzavřenému podprostoru, tj.: (X, U)kompaktní, Y ⊂ X uzavřená ⟹ Y kompaktní

(ii) Obraz spojitým zobrazením, tj.: f: X → Y spojitá ⟹ f(x) je kompaktní podmnožina Y

(iii) Kratézský součin, tj.: (X, U), (Y, V) kompaktní prostory ⇒ (X, U) × (Y, V) je též kompaktní

Důkaz: Viz webový text k přednášce. Q.E.D.

Definice:

Mějme X ⊂ M, ε > 0. X je ε-síť, pokud

∀a ∈ M ∃ b ∈ X : d(a, b) < ε

a pak také platí

M = ⋃_{a∈X} B(a, ε)

VĚTA 8 ():

Metrický prostor (M, d) je kompaktní, právě když pro ∀(x_{n}) ⊂ M má konvergentní podposloupnost (říkejme tomu vlastnost P).

LEMMA:

Má-li (M, d) vlastnost P, (M, d) má pro ∀ε > 0 konečnou ε-síť.

DŮKAZ:

Existuje r > 0 takové, že (M, d) nemá konečnou r-síť. Přitom x_{1} ∈ M, tedy existuje x_{2} ∈ M takové, že d(x_{1}, x_{2}) ≥ r (protože {x_{i}} není r-síť). Ergo existuje x_{3} ∈ M takové, že d(x_{i}, x_{3}) ≥ r pro i = 1, 2.

Tedy vyrobím (x_{n}) ⊂ M takovou, že 1 ≤ m < n. To znamená, že d(x_{m}, x_{n}) ≥ r a tak (x_{n}) není konvergentní podposloupnost.

Tudíž (M, d) ale nemá vlastnost P. Q.E.D.

DŮKAZ:

“⇐”

Mějme (M, d) s vlastností P. Pro spor nechť O je otevřené pokrytí M, které nemá konečné podpokrytí.

Vezměme S_{n} := 1/n-síť. Dle lemmatu je S_{n} konečná. Všimněme si, že ∃ x_{n} ∈ S_{n} takový, že B(x_{n}, 1/n) nelze pokrýt konečně mnoha prvky O.

Uvážím posloupnost (x_{n}) ⊂ M. Pro jednoduchost nechť x_{n} → α ∈ M (z vlastnosti P, přinejhorším vyberu podposloupnost). α ∈ U ∈ O, tedy

∃ r > 0 : B(α, r) ⊂ U

Vezmu m tak velké, že

d(x_{m}, α) < r/2 ∧ 1/m < r/2

a z trojúhelníkové nerovnosti plyne

B(x_{m}, 1/n) ⊂ B(α, r) ⊂ U

A máme spor, protože pomocí B(x_{m}, 1/m) jsme pokryli U!

“⇒”

Nechť (M, d) je kompaktní. Vezměme libovolnou posloupnost (x_{n}) ⊂ M.

a ∈ M, a ∈ (x_{n}), ∀ε > 0 : {n ∈ ℕ : d(x_{n}, a) < ε} nekonečná

Má-li (x_{n}) limitní bod a, tedy (x_{n}) má podposloupnost konvergující z a.

Nechť (x_{n}) žádný limitní bod nemá. Není-li a ∈ M limitním bodem,

∃ r(a) > 0 : I(a) = {n ∈ ℕ : x_{n} ∈ B(a, r(a))} konečná

Z otevřeného pokrytí O = {B(a, r(a) : a ∈ M} vyberu konečné podpokrytí:

a_{1}, a_{2}, …, a_{t} ∈ M : M = B(a_{1}, r(a_{1})) ∪ ⋯ ∪ B(a_{t}, r(a_{t}))

\underbrace{I(a_{1}) ∪ ⋯ ∪ I(a_{t})}_{I je konečná} ⊂ ℕ

Vezmu si m ∈ ℕ \ I. Jak vypadá x_{m}?

x_{m} ∉ ⋃_{i=1}^{t} B(a_{i}, r(a_{i})) = M

Zase jsme dostali spor, x_{m} musí přece někde ležet.

Q.E.D.

VĚTA 9 ():

X ⊂ ℝ^{n} je kompaktní, právě když je uzavřená a omezená (tzn. ∃ B : X ⊂ B kde B je koule).

DŮKAZ:

“⇒”

Platí v každém (M, d): X je kompaktní, tedy X je uzavřená (V.6-). Buď X neomezená. Platí, že pokud x_{n} ∈ X \ B_{n}, (x_{n}) ⊂ X utíká do ∞. Mějme pevné

m ∈ ℕ, pak

lim_{n→∞} d(x_{m}, x_{n}) = +∞

(x_{n}) tedy nemá kovnergentní podposloupnost, a to znamená, že X není kompaktní.

“⇐”

(Funguje v ℝ^{n}, ale nikoliv v obecném metrickém prostoru.) Mějme uzavřenou a omezenou X ⊂ ℝ^{n}.

X ⊂ K = [0, a]^{n} = \underbrace{[0, a]x ⋯ x[0, a]}_{n×} a > 0

K je přitom kompaktní v ℝ^{n} (z V.7-(iii); [0, a] ⊂ ℝ^{1} je kompaktní). K je uzavřená (kvůli V.6-), X je také uzavřená — jako podmnožina K. Podle V.7-(i) je X kompaktní podmnožina K. Tedy X je kompaktní množina v ℝ^{n}.

Q.E.D.

VĚTA 10 ():

Mějme spojité zobrazení f: X → Y a topologické prostory (X, U), (Y, V), kde (X, U) je kompaktní.

(i) Buď Y = ℝ, pak f na X nabývá maxima i minima. (ii) Buď f bijekce, Y hausdorffovské. Pak f^{−1} je také spojité. (iii) X, Y nechť jsou metrické prostory, pak f je stejnoměrně spojité:

∀ε > 0 ∃ δ > 0 : a, b ∈ X, d_{X}(a, b) < δ ⇒ d_{Y} (f(a), f(b)) < ε

DŮKAZ:

(i) Mějme f ∈ C(X, ℝ), X je kompaktní. Pak f(x) ⊂ ℝ je kompaktní (V.7-(ii)). Podle V.9- je f(x) uzavřená a omezená, tedy supf(x) ∈ f(x). Pak ale f(x) má největší prvek. Obdoně má i prvek nejmenší.

(ii) Mějme bijektivní zobrazení f: X → Y z kompaktního do hausdorffovského topologického prostoru. Vezměme i inverzní zobrazení g := f^{−1}. T-O-D-O: bzz? V.4- říká, že g^{−1}(Z), Z ⊂ X je uzavřená. Tedy (V.7-(i)) Z je kompaktní. g^{−1}(Z) = f(Z) ⊂ Y, přitom f(Z) je kompaktní v Y (f je dle V.7-(ii) prosté). Tedy f(Z) je uzavřená v Y (V.6-), a tedy spojitá.

(iii) ⟨cvičení⟩(podobně jako stejnoměrná spojitost f ∈ C(0, 1))

Q.E.D.

Martin Klazar — Matematická analýza III Metrické a topologické prostory — Souvislé prostory

Souvislé prostory

Definice:

Mějme (X, U). Řekneme, že E ⊂ X je obojetná, je-li otevřená i uzavřená — např. ∅, X. Řekneme, že (X, U) je nesouvislý, má-li netriviální obojetnou podmnožinu E. Mějme Y ⊂ X, pak Y je nesouvislá, je-li indukovaný podprostor (Y, U′) nesouvislý. Jinak řekneme, že (X, U) je souvislý, resp. Y je souvislá.

VĚTA 11 ():

Mějme topologický prostor (X, U):

(i) E ⊂ X je nesouvislá, právě když

∃ A, B ∈ U : E ⊂ A ∪ B, A ∩ B = ∅. A ∩ E ≠ ∅, B ∩ E ≠ ∅

(totéž platí s otevřenými i uzavřenými A, B). (ii) (X, U) je souvislá, právě když

∀a, b ∈ X ∃ souvislá E ⊂ X : a, b ∈ E

(iii) E, F ⊂ X nechť jsou souvislé, E ∩ F ≠ ∅. Pak platí, že E ∪ F je též souvislá.

DŮKAZ:

(i) ⟨cvičení⟩ (ii) Rozdělme na dvě implikace:

“⇐”

Zřejmé, uvažme E := X.

“⇒”

(X, U) má popsanou vlastnost, ale je nesouvislý, tj. existuje F ⊂ X obojetná taková, že F ≠ ∅ a X \ F ≠ ∅. Vezmu si a ∈ F, b ∈ X \ F a souvislou E ⊂ X takovou, že a, b ∈ E.

Přitom platí, že E ⊂ F ∪ (X \ F), to ale podle (i) ukazuje nesouvislost E (konec konců jde o sjednocení dvou disjunktních otevřených množin).

♯̸ Spor

(iii) Pro spor nechť E ∪ F je nesouvislá, tj. podle (i):

(1) E ∪ F ⊂ A ∪ B

(2) A, B otevřené

(3) A ∩ B = ∅

(4) A i B protíná E ∪ F Přitom je-li E souvislé, pak E ⊂ A nebo E ⊂ B (jinak by podle (i) E byla nesouvislá)

a stejně i F ⊂ A nebo F ⊂ B.

E, F ⊂ A ⇝ spor (B ∩ (E ∪ F) = ∅)
E, F ⊂ B ⇝ spor (A ∩ (E ∪ F) = ∅)
E ⊂ A, F ⊂ B ⇝ spor (A ∩ B ≠ ∅)

Tedy máme spor a E ∪ F musí být souvislá.

Q.E.D.

Příklad:

E = [−5, −1) ∪ [2, 7] ⊂ ℝ

Pak E je nesouvislá, např. A = (−∞, 0), B = (0, +∞).

VĚTA 12 ():

E ⊂ ℝ je souvislá, právě když:

∀x < y < z, x, z ∈ E ⇒ y ∈ E

(tj. E je interval).

DŮKAZ:

“⇒”

Nechť E není interval, tedy druhé tvrzení neplatí.

A := (−∞, y), B := (y, +∞) ⇝ E ⊂ A ∪ B

a tedy E není souvislá (podle V.11-(i)).

“⇐”

Nechť E je nesouvislá, tedy

E ⊂ A ∪ B : A ∩ B = ∅, A ∩ E ≠ ∅, B ∩ E ≠ ∅

a uvažme uzavřené A, B. Vezměme a ∈ A ∩ E a b ∈ B ∩ E, a < b.

[a, b] ⊄ E, tedy ∃ c ∉ E : a < c < b, tj. E není interval. Tedy předpokládejme nechť [a, b] ⊂ E a odvoďme spor.

d = inf{x ∈ [a, b] : x ∈ B}

Tvrdím, že d ∈ B:

(i) d = b: jasné (ii) d < b: d ∈ B podle uzavřenosti B (iii) d > a: [a, d) ⊂ A ⇒ d ∈ A (A je uzavřená).

♯̸ Spor

Q.E.D.

VĚTA 13 ():

(i) Obraz souvislého prostoru je opět souvislý. (ii) Součin souvislých prostorů je také souvislý.

DŮKAZ:

(i) Máme spojité zobrazení f: X → Y, (X, U), (Y, V), a (X, U) je souvislý. Tedy f(X) ⊂ Y je souvislá podmnožina v Y. Bez újmy na obecnosti nechť f(X) =

Y. Kdyby Y byl nesouvislý, tak Y = A ∪^{.} B (A, B neprázdné a otevřené). Tedy X = f^{−1}(A) ∪^{.} f^{−1}(B) a X je nesouvislý.

♯̸ Spor (ii) (X, U), (Y, V) nechť jsou souvislé, pak (X × Y, W) by měl být též souvislý (kde W je

součinová topologie). Díky V.11 − (ii) víme, že

a = (a_{X}, a_{Y}), b = (b_{X}, b_{Y}), a, b ∈ X × Y

\begin{matrix}Y′ & = \{a_{X}\} × Y \\ X′ & = X × \{b_{y}\} \end{matrix} \} jsou souvislé podmnožiny v X × Y

(protože X′ ≅ X a Y′ ≅ Y — jsou homeomorfní).

Vezměme bod {(a_{X}, b_{Y})} = X′ ∩ Y′, pak nutně X′ ∩ Y′ ≠ ∅ a podle V.11-(iii) X′ ∪ Y′ je souvislá podmnožina.

VĚTA 14 ():

(X, U) buď souvislý, f ∈ ℂ(X, ℝ). Pak f(x) je interval v ℝ. Tj. spojitá funkce na souvislém prostoru nabývá všech mezihodnot (vzpomínáte na Darbouxe?).

Důkaz: Přímý důsledek předchozí věty. Q.E.D.

Definice:

(X, U) buď topologický prostor. E ⊂ X je obloukově souvislá, pokud ∀a, b ∈ E existuje spojité zobrazení f: [0, 1] → E takové, že f(0) = a, f(1) = b.

Všimněme si, že je-li E obloukově souvislá, je také souvislá.

Příklad:

Jsme v ℝ^{2} ⊃ E.

E = \underbrace{\{(x, sin(1/x) : x ∈ (0, 1]\}}_{E_{1}}∪ \underbrace{(\{0\} × [−1, 1])}_{E_{2}}

(graf je sin(1/x) plus svislá úsečka v nule z -1 do 1).

E := E_{1} ∪ E_{2} E_{1} ∩ E_{2} = ∅

je souvislá, ale není obloukově souvislá (a ∈ E_{1} se nedá spojit křivkou s b ∈ E_{2} — rozmyslete si proč).

VĚTA 15 ():

E ⊂ ℝ^{n} buď otevřená a souvislá, pak E je obloukově souvislá.

DŮKAZ:

Vezměme binární relaci na E: a ∼ b ⇔ a, b se dají spojit křivkou ležící v E.

∼ buď relace ekvivalence:

(i) reflexivita (a ∼ a): f(x) = a x ∈ [0, 1] (ii) symetrie (a ∼ b ⇒ b ∼ a): g(x) = f(1 − x) (iii) transitivita (a ∼ b, b ∼ c ⇒ a ∼ c):

h(x) = \{ \begin{matrix}f(2x) & x ∈ [0, 1/2] \\ g(2x − 1) & x ∈ [1/2, 1] \end{matrix}

Pro takovou bude stále platit h : [0, 1] → E.

Mám množinu bloků (tříd ekvivalence) E/ ∼. Vezmu blok C ∈ E/ ∼, tj. množinu vzájemně ekvivalentních (v ∼) prvků z E. Říkám, že C je otevřená: vezměme c ∈ C, E je otevřená, tedy vždy B(c, r) ⊂ E pro nějaké r > 0. Máme-li úsečku u = \overline{bc} ⊂ B(c, r) ⊂ E, nutně také b ∈ B(c, r), b ∼ c, tedy B(c, r) ⊂ C.

Každý blok je tedy otevřený. Pokud bychom však měli takové bloky ≥ 2, pak

E = C ∪^{.} ( ⋃^{.} ; B blok_{B≠C} B)

tedy by byla E nesouvislá.

Nutně tedy existuje pouze jeden blok, tedy

∀a, b ∈ E : a ∼ b

Q.E.D.

Poznámka:

Tato věta platí, i když povolíme jako křivky jen lomené čáry.

Co že je ta oblouková souvislost? V takovém případě můžeme mít nějaké obloukově souvislé křivky A, B, kde jedna protíná horní a dolní stranu nějakého čtverce v ℝ^{2}, druhá protíná levou a pravou stranu, a platí, že se musejí někde protnout. Přitom pokud jsou křivky jen souvislé, již mohou být i v takovémto případě disjunktní.

Martin Klazar — Matematická analýza III Metrické a topologické prostory — Úplné metrické prostory

Úplné metrické prostory

Definice:

(M, d) je úplný, pokud každá Cauchyovská posloupnost (x_{n}) ⊂ M má limitu a ∈ M.

Příklady:

(i) ℝ je úplný, stejně tak ℝ^{n} nebo [−5, +∞) ⊂ ℝ. Zato [0, 1), ℚ ⊂ ℝ úplné nejsou. (ii) C[a, b] s maximovou metrikou je úplný (viz MA2). Mějme integrální metriku na C[a, b]:

d(f, g) = ∫_{a}^{b} |f(x) − g(x)| dx

Taková metrika už úplný metrický prostor nedává! Např. mějme a = −1, b = 1, (f_{n}) ⊂ C[−1, 1] cauchyovskou. f_{n} si vyrobíme mezi ±1 a ±1/n

konstantní (±1) a lineární mezi ∓1/n. Vezměme m ≤ n, pak

d(f_{m}, f_{n}) = ∫_{−1}^{1} |f_{m}(x) − f_{n}(x)| dx ≤ ∫_{−1/m}^{1/m} 1 dx = 2/m

(tedy je jistě cauchyovská).

Ptáme se, jestli ∃ f ∈ C[−1, 1] : f_{n} → f. To by ale znamenalo

f = \{ \begin{matrix}−1 & na [−1, 0) \\ 1 & na (0, 1] \end{matrix}

a to je ve sporu s tím, že f je spojitá v 0. (iii) Kompaktní metrický prostor je vždy úplný (viz V.8-). (iv) (−π/2, π/2) → ℝ

f(x) = arctgx (bijekce)

f^{−1}(x) = tgx : (−π/2, π/2) → ℝ

Tedy f i f^{−1} jsou spojité a jde tudíž o homeomorfismus. Ale přesto ℝ je úplný a (−π/2, π/2) ne! f je totiž stejnoměrně spojitá, f^{−1} však ne (byly-li by obě stejnoměrně spojité, již by se úplnost zachovávala).

VĚTA 16 ():

Úplnost metrického prostoru se zachovává při třech operacích:

(i) Přechod k uzavřenému podprostoru (je-li (M, d) úplný a E ⊂ M, E je uzavřená, právě když (E, d) je úplný).

(ii) Obraz prostým zobrazením f, pokud f i f^{−1} jsou stejnoměrně spojitá zobrazení. (iii) Kartézský součin (jsou-li (M, d), (N, e) úplné, (M × N, \sqrt{d^{2} + e^{2}} ) je též úplný). Důkaz: ⟨cvičení⟩Q.E.D.

Definice:

Zobrazení f: (M, d) → (N, e) je kontrahující, pokud

∃ 0 < g < 1, ∀x, y ∈ M : e(f(x), f(y)) ≤ gd(x, y)

(všimněme si, že f je pak i stejnoměrně spojité).

Máme-li f: X → X, a ∈ X je pevný bod f, pokud f(a) = a. Máme-li x_{1} ∈ X, x_{2} = f(x_{1}), x_{3} = f(x_{2}), …: (x_{n}) ⊂ X, x_{n+1} = f(x_{n}) nazveme posloupností

iterací zobrazení f.

VĚTA 17 (Picardova–Banachova o pevném bodu):

Každé kontrahující zobrazení f úplného metrického prostoru do sebe má právě jeden pevný bod a každá posloupnost (x_{n}) iterací f k němu konverguje.

DŮKAZ:

Mějme (x_{n}) ⊂ M. Ta je cauchyovská, neboť

d(x_{n+2} , x_{n+1} ) ≤ qd(x_{n+1} , x_{n}) ≤ q^{2}d(x_{n}, x_{n−1}) ≤ ⋯ ≤ q^{n}d(x_{2}, x_{1})

a vezmeme-li k, n ∈ ℕ,

d(x_{n+k} , x_{n}) Δ≤ ∑_{i=1}^{k}d(x_{n+i} , x_{n+i−1} ) ≤ ∑_{i=1}^{k}q^{n+i−2} d(x_{2}, x_{1}) ≤ d(x_{2}, x_{1}) ∑_{i=1}^{∞}q^{n+i−2} = d(x_{2}, x_{1})\frac{q^{n−1}}{1 − q}

a (x_{n}) je cauchyovská, tzn. ∃ a ∈ M : x_{n} → a.

a = lim_{n→∞} x_{n} = lim_{n→∞} x_{n+1} = lim_{n→∞} f(x_{n})

Ale pak ze spojitosti f platí

f( lim_{n→∞} x_{n}) = f(a)

a a je tedy pevný bod.

Je opravdu pouze jeden? Mějme a, b ∈ M pevné body f:

d(a, b) = d(f(a), f(b)) ≤ qd(a, b) ⇒ d(a, b) = 0 ⇒ a = b

Q.E.D.

Příklad:

Mějme y(x): I → ℝ kde I ⊂ ℝ je otevřený interval a 1 ∈ I. Dále uvažme

y(1) = 3  y′(x) = y(x)  (∗)

čemuž díky oné počáteční podmínce (y(1) = 3) vyhovuje jen a pouze

y(x) = 3/e · e^{x}

Obecně mějme funkci typu (∗):

(∗) \{ \begin{matrix}y(a) = b \\ y′(x) = f(x, y(x)) \end{matrix}

f(u, v): ℝ^{2} → ℝ
a, b ∈ ℝ

VĚTA 18 (Picard):

Nechť f ∈ C(ℝ^{2}, ℝ) a navíc nechť f je lipschitzovská:

∃ M > 0, ∀u, v, w ∈ ℝ : |f(u, v) − f(u, w)| ≤ M|v − w|

Pak ∀a ∈ ℝ má okolí I = (a − δ, a + δ), na němž má (∗) jednoznačné řešení.

DŮKAZ:

(∗) je ekvivalentní rovnici

y = y(x) = b + ∫_{a}^{x} f(t, y(t)) dt
x ∈ I = (a − δ, a + δ)
J = [a − δ, a + δ]

Položme

A(y) = z(x) := b + ∫_{a}^{x} f(t, y(t) dt
y = A(y)

Všimněme si, že z′(x) = f(x, y(x)) (z(x) má na J spojitou derivaci). Tedy

A: C^{1}(J, ℝ′) → C^{1}(J, ℝ)

(kde C^{1}(J, ℝ) = {g: J → ℝ: g má na J spojitou derivaci}).

C^{1}(J, ℝ) s maximovou metrikou je úplný prostor. Navíc pro dostatečně malé δ > 0 je A kontrahující:

y(x), z(x) ∈ C^{1}(J, ℝ) : d(A(y), A(z)) = max_{x∈J} | ∫_{a}^{x} f(t, y(t)) dt − ∫_{a}^{x} f(t, z(t)) dt| =

= max_{y} | ∫_{a}^{x}(f(t, y(t)) − f(t, z(t)) dt| ≤ | max_{x∈J} ∫_{a}^{x} \underbrace{|f(t, y(t)) − f(t, z(t))|}_{≤M|y(t)−z(t)|} dt|

a to podle Lipschitzovy podmínky odhadnu jako

≤ | max_{x∈J} ∫_{a}^{x} M \underbrace{|y(t) − z(t)|}_{≤d(y,z)} dt| ≤ | max_{x∈J} \underbrace{∫_{a}^{x} Md(y, z) dt}_{(x−a)Md(y,z)} | = δMd(y, z)

Vezměme δ ≤ 1/2n, tzn. d(A(y), A(z)) ≤ 1/2d(y, z) a tedy podle V.17- A má jednoznačný pevný bod y, A(y) = y.

Q.E.D.

Pozn.: Lze to i jednodušeji, neboť stačí, že f ∈ C[a − δ, a + δ].

Martin Klazar — Matematická analýza III Funkce více proměnných —

Funkce více proměnných

Normovaný vektorový prostor

Normovaný vektorový prostor (nad ℝ) X: || · ||: X → ℝ splňující (pro y, x ∈ X, λ ∈ ℝ)

(i) ||x|| ≥ 0, ||x|| = 0 ⇔ x = 0 (ii) ||λx|| = |λ|||x|| (iii) ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y|| d(x, y) := ||x − y|| je metrika.

Příklad:

ℝ^{n} s metrikou d_{p} je normovaný vektorový prostor,

||x||_{p} = (|x_{1}|^{p} + ⋯ + |x_{n}|^{p})^{1/p}

||x||_{∞} = max_{1≤i≤n} |x_{i}

Podobně pro C[a, b]. Banachův prostor: Normovaný vektorový prostor, pro nějž je metrika d(x, y) = ||x − y|| úplná.

Vektorový prostor se skalárním součinem

Mějme X vektorový prostor nad ℝ se zobrazením ⟨·, ·⟩: X × X → ℝ:

(i) ⟨x, x⟩ ≥ 0, ⟨x, x⟩ = 0 ⇔ x = 0 (ii) ⟨κx + λx′, y⟩ = κ ⟨x, y⟩ + λ ⟨x′, y⟩ ∀x, x′, y ∈ X, ∀κ, λ ∈ ℝ (iii) ⟨x, y⟩ = ⟨y, x⟩

Příklad:

Mějme ℝ^{n}, pak

⟨x, y⟩ = x_{1}y_{1} + x_{2}y_{2} + ⋯ + x_{m}y_{m}

Mějme C[a, b], pak

⟨f, g⟩ = ∫_{a}^{b} f(x)g(x) dx

Každý vektorový prostor se skalárním součinem je normovaný vektorový prostor (tedy i metrický, tedy i topologický prostor), neboť:

||x|| := \sqrt{⟨x, x⟩}

Dle Cauchyho–Schwarzovy nerovnosti (vezměme ji jako V1) platí trojúhelníková nerovnost:

X má skal. součin, x, y ∈ X ⇒ ⟨x, y⟩^{2} ≤ ⟨x, x⟩ ⟨y, y⟩

(rovnost nastává právě, když x = cy kde c ∈ ℝ).

⟹ ⟨x, y⟩ ≤ \sqrt{⟨x, x⟩ ⟨y, y⟩} ⟺

\begin{aligned}⟨x, x⟩ + ⟨y, y⟩ + 2 ⟨x, y⟩ & ≤ (\sqrt{⟨x, x⟩} + \sqrt{⟨y, y⟩}) ^{2} \\ ⟨x + y, x + y⟩ & ≤ (\sqrt{⟨x, x⟩} + \sqrt{⟨y, y⟩}) ^{2} \\ \sqrt{⟨x + y, x + y⟩} & ≤ \sqrt{⟨x, x⟩} + \sqrt{⟨y, y⟩} \\ ||x + y|| & ≤ ||x|| + ||y|| \end{aligned}

Hilbertův prostor: Úplný vektorový prostor se skal. součinem (tj. d(x, y) = \sqrt{⟨x − y, x − y⟩}).

Martin Klazar — Matematická analýza III Funkce více proměnných —

Budeme uvažovat ℝ^{m},

⟨x, y⟩ = x_{1}y_{1} + ⋯ + x_{m}y_{m}
||x||_{2} = ||x|| = |x| = \sqrt{⟨x, x⟩} = \sqrt{x_{1}^{2} + ⋯ + x_{m}^{2}}

a dále otevřenou D ⊂ ℝ^{m}, f: D → ℝ, a ∈ D.

(i) Derivace funkce f v bodě a ve směru v (v ∈ ℝ^{m}, v ≠ 0) je limita

lim_{t→0} \frac{f(a + vt) − f(a)}{t} =: D_{v}f(a)

Např. vezmeme částici a pošleme ji ve směru v skrz D (tedy poletí po přímce a + vt, t ∈ ℝ), f bude měřit teplotu v D. Pak okamžitá změna teploty částice v bodě a je právě D_{v}f(a).

f(a + vt) = f(a) + D_{v}f(a) · t + o(t) t → 0

(kde o(t) je nějaká mrňavá chyba, která ještě navíc jde sama taky k nule). (ii) Parciální derivace funkce f v bodě a podle proměnné x_{i} (1 ≤ i ≤ m) je limita

lim_{h→0} \frac{f(a_{1}, …, a_{i−1}, a_{i} + h, a_{i+1} , …, a_{m}) − f(a_{1}, a_{2}, …, a_{m})}{h} =: \frac{δf}{δx_{i}} (a)

\frac{δf}{δx_{i}} (a) = Df_{e_{i}}(a)

Gradientem funkce f v bodě a nazveme

▽f(a) = (\frac{δf}{δx_{1}} (a), \frac{δf}{δx_{2}} (a), …, \frac{δf}{δx_{m}} (a))

Příklad:

\frac{δ(yx^{2}e^{y} − z^{3} arctgx)}{δy} = x^{2}(e^{y} + ye^{y})

(iii) Funkce f má v bodě a (totální) diferenciál (neboli je f v a diferencovatelná), existuje-li linearní zobrazení L: ℝ^{m} → ℝ takové, že

lim_{v→\overline{0}} \frac{f(a + v) − f(a) − L(v)}{||v||} = 0

⟺ f(a + v) = f(a) + L(v) + o(||v||) v → \overline{0}

(v → \overline{0} přitom znamená, že jeho euklidovská vzdálenost od nulového vektoru jde k nule). Mohu vzít L podle a, tedy L = L_{a}, nebo také L := Df(a), L(v) = Df(a)(v). Mějme f: D → ℝ^{n}, tj. f = (f_{1}, f_{2}, …, f_{n}), f_{i}: D → ℝ. Pak f má v a (totální) diferenciál,

existuje-li lineární zobrazení L: ℝ^{m} → ℝ^{n} takové, že

lim_{v→\overline{0}} \frac{||f(a + v) − f(a) − L(v)||}{||v||} = 0

⟺ f(a + v) = f(a) + L(v) + α(v) v → \overline{0}

Přitom α: ℝ^{m} → ℝ^{n}, kde

||α(v)|| = o(||v||) v → \overline{0} = \underbrace{(0, 0, …, 0)}_{m}

Martin Klazar — Matematická analýza III Funkce více proměnných —

VĚTA 2 (vlastnosti totálního diferenciálu): Mějme D ⊂ ℝ^{m}, f = (f_{1}, …, f_{n}).

(i) f: D → ℝ^{n} je diferencovatelná v bodě a ∈ D, právě když každá f_{i}: D → ℝ je diferencovatelná v bodě a.

(ii) Je-li f: D → ℝ^{n} diferencovatelná v bodě a ∈ D, je v a také spojitá. (iii) Je-li f: D → ℝ diferencovatelná v bodě a ∈ D, má v a všechny parciální derivace \frac{δf}{δx_{i}} (a),

Df(a)(h) = \frac{δf}{δx_{1}} (a)h_{1} + \frac{δf}{δx_{2}} (a)h_{2} + ⋯ + \frac{δf}{δx_{m}} (a)h_{m}

(iv) Je-li f: D → ℝ diferencovatelná v bodě a ∈ D a máme-li 0 ≠ v ∈ ℝ^{m}, pak D_{v}f(a) = Df(a)(v)

DŮKAZ:

(i) Cvičení na definice.

(ii) Zřejmé.

(iii) Vezměme L = Df(a), to znamená:

L(h) = L(∑_{i=1}^{m}h_{i}e_{i}) = ∑_{i=1}^{m}h_{i}L(e_{i}) = α_{1}h_{1} + ⋯ + α_{m}h_{m}

f(a + te_{i}) − f(a) = L(te_{i}) + o(||te_{i}||) = tL(e_{i}) + o(|t|) = tα_{i} + o(|t|) ⇝ α_{i} − \frac{δf}{δx_{i}} (a)

(iv) Podobně, ⟨cvičení⟩.

Q.E.D. Důsledek: Df(a) je jednoznačně určený. V.2-(iii) můžeme dále zobecnit jako

⟨▽f(a), h⟩ = (\frac{δf}{δx_{1}} (a), …, \frac{δf}{δx_{m}} (a)) · ( h_{1} ; h_{2} ; ⋮ ; h_{m} )

Definice:

Mějme D ⊂ ℝ^{m}, f: D → ℝ^{n}. Pak definujme Jacobiho matici zobrazení f v bodě a jako

Df(a) = (\frac{δf_{i}}{δx_{j}} (a))_{{i=1...n \atop j=1...m}}

Jakobián: Determinant Jacobiho matice, postavíme-li m = n.

Důsledek:

Df(a)(h) = ( \begin{matrix}l_{1,1} & l_{1,2} & … & l_{1,m} \\ l_{2,1} & l_{2,2} & … & l_{2,m} \\ ⋮ & & & ⋮ \\ l_{n,1} & l_{n,2} & … & l_{n,m} \end{matrix} ) · ( h_{1} ; h_{2} ; ⋮ ; h_{m} ) = (…) ∈ ℝ^{n}

l_{i,j} = (\frac{δf_{i}}{δx_{j}} (a))

Pozn.: Všimněme si, že řádky tvoří gradienty f_{i}.

Příklady:

(i) Vezměme f: ℝ^{2} → ℝ a definujme ji jako

f = \{ \begin{matrix}1 & y = x^{2} \\ 0 & jinak \end{matrix}

Pak pro a = \overline{0} platí

D_{v}f(\overline{0}) = 0 ∀v

ale f není spojitá v \overline{0}.

(ii) Na osách f = 1, jinak f = 0. Pak pro a = 0 platí

\frac{δf}{δx} (\overline{0}) = \frac{δf}{δy} (\overline{0}) = 0

ale f nemá žádnou jinou směrovou derivaci.

VĚTA 4 (o vztahu parciálních derivací a diferenciovatelnosti):

Mějme f: V → ℝ a U ⊂ ℝ^{m} okolí a. f nechť má na U všechny parciální derivace a každá \frac{δf}{δx_{i}} nechť je spojitá v a. Pak f je v bodě a diferencovatelná.

DŮKAZ:

Hlavní myšlenka (podrobně v učebním textu): m = 2, vezměme a = (0, 0). Spojme a s nějakým bodem h v U lomenou úsečkou s_{1}, …, s_{n}.

Pak dle Lagrangovy věty o střední hodnotě přírůstek f na s_{i} bude \frac{δf}{δx_{i}} (ζ) · h_{i}.

f(h) − f(\overline{0}) = ∑_{i=1}^{m} přírůstek f na s_{i} = ∑_{i=1}^{m} \frac{δf}{δx_{i}} (ζ_{i})h_{i} =

(kde bod ζ_{i} leží někde na úsečce s_{i}).

= ∑_{i=1}^{m} \frac{δf}{δx_{i}} (\overline{0}) + o(||h||)

Q.E.D.

VĚTA 5 ():

Nechť f je spojitá na úsečce u a diferenciovatelná v každém vnitřním bodě u. Pak

∃ ζ ∈ u : f(b) − f(a) = Df(ζ)(b − a)

DŮKAZ:

Vezměme F: [0, 1] → ℝ a nadefinujme si ji jako F (t) = f(a + th), h = b − a, t ∈ [0, 1]. F je z předpokladu spojitá na [0, 1],

F′ = lim_{Δ→0} \frac{f(a + th + Δh) − f(a + th)}{Δ} =

= lim_{Δ→0} \frac{Df(a + th)(Δh) + o( \overbrace{||Δh||}^{|Δ|·||h||})}{Δ} = Df(a + th)(h)

Lagrangova věta o střední hodnotě tvrdí, že

∃ t_{0} ∈ (0, 1) : F (1) − F (0) = F′(t_{0}) = Df(\underbrace{a + t_{0}h}_{ζ})(h)

Q.E.D.

Důsledek:

D ⊂ ℝ^{m} buď otevřená a souvislá, f: D → ℝ, Df(a) = ˜0 (nulové lineární zobrazení) pro ∀a ∈ D. Pak f je na D konstantní.

DŮKAZ:

Vezměme nějaké dva body a a b a spojme je lomenou čarou (to umíme z V1.15-). Pak hodnoty v “bodech zlomu” (nazvěme je c_{1}, …, c_{n}) budou dle V.5- všechny stejné:

f(a) = f(c_{1}) = f(c_{2}) = f(c_{3}) = ⋯ = f(b)

f(c_{2}) − f(c_{1}) = \underbrace{Df(ζ)}_{˜0}(c_{2} − c_{1}) = 0 ⇒ f(c_{2}) = f(c_{3})

Q.E.D.

Příklad:

Mějme a ∈ U ⊂ ℝ^{m}, f: V → ℝ, v ∈ ℝ^{m}, ||v|| = 1

D_{v}f(a) = lim_{t→0} \frac{f(a + tv) − f(a)}{t}

Pro jaký směr v je |D_{v}f(a)| c_{0} největší? Předpokládejme, že existuje Df(a). Pak D_{v}f(a) = Df(a)(v).

|D_{v}f(a)| = |Df(a)(v)| = | ⟨▽f(a), v⟩|

To ale umíme odhadnout Cauchy–Schwarzovou nerovností jako

≤ || ▽ f(a)|| · ||v|| = || ▽ f(a)||

a navíc víme, že rovnost nastává, právě když v je nějaký násobek gradientu. Protože v je jednotkový vektor, takové jsou právě dva:

v^{+} = \frac{1}{|| ▽ f(a)||} ▽ f(a)

v^{−} = −\frac{1}{|| ▽ f(a)||} ▽ f(a)

v^{+} a v^{−} jsou ony směry největšího růstu, resp. poklesu funkce f v bodě a. Ten je tedy určen gradientem.

Martin Klazar — Matematická analýza III Funkce více proměnných —

Tečná (nad)rovina

Mějme D ⊂ ℝ^{2} otevřenou, f: D → ℝ, (x_{0}, y_{0}) ∈ D. Pak plocha bude {(x, y, f(x, y)) : (x, y) ∈ D}. Nechť f má v bodě (x_{0}, y_{0}) diferenciál:

f(x, y) = f(x_{0}, y_{0}) + \frac{δf}{δx} (x_{0}, y_{0})(x − x_{0}) + \frac{δf}{δy} (x_{0}, y_{0})(y − y_{0}) + o(\sqrt{(x − x_{0})^{2} + (y − y_{0})^{2}} )

Zapomeňme na chybu a vezměme pouze afinní funkci:

z(x, y) = \underbrace{f(x_{0}, y_{0})}_{z_{0}}+\frac{δf}{δx} (x_{0}, y_{0})(x − x_{0}) + \frac{δf}{δy} (x_{0}, y_{0})(y − y_{0})

Graf T této funkce pak nazveme tečnou rovinou T k ploše P v bodě (x_{0}, y_{0}, z_{0} = f(x_{0}, y_{0})). Všimněme si, že T je jediná rovina L = L(x, y) = z_{0} + A(x − x_{0}) + B(y − y_{0}), která splňuje

f(x, y) = L(x, y) + o(\sqrt{(x − x_{0})^{2} + (y − y_{0})^{2}} )

\frac{δf}{δx} (x_{0}, y_{0})(x − x_{0}) + \frac{δf}{δy} (x_{0}, y_{0})(y − y_{0}) − (z − z_{0}) = 0

▽f((x_{0}, y_{0})) = (\frac{δf}{δx} (x_{0}, y_{0}), \frac{δf}{δy} (x_{0}, y_{0}))

V ∈ ℝ^{3} = (\frac{δf}{δx} (x_{0}, y_{0}), \frac{δf}{δy} (x_{0}, y_{0}), −1)

⟨V, (x − x_{0}, y − y_{0}, z − z_{0})⟩ = 0 ∀(x, y, z) ∈ T

Tedy V je kolmý na T, neboli V je normálový vektor roviny T.

VĚTA 7 ():

Mějme otevřenou U ⊂ ℝ^{m}, funkce f, g: U → ℝ a nějaký bod a ∈ U. Nechť f, g jsou definované v a:

(i) Pak i κf + λy je diferencovatelná v a a má v a diferenciál: κDf(a) + λDg(b)

(ii) I fg je diferencovatelná v a a má v a diferenciál: g(a) · Df(a) + f(a) · Dg(a)

(iii) Pokud g(a) ≠ 0, pak i f/g je diferencovatelná v a a má v a diferenciál: 1/g(a)^{2}(f(a) · Df(a) − f(a) · Dg(a))

Důkaz: Nebudeme dělat, vyjde se z definice diferenciálu. Q.E.D. Pozn.: (i) platí i v situaci f, g: U → ℝ^{k} Podobně i pro parciální derivace:

(i) \frac{δ(κDf(a) + λDg(b))}{δx_{i}} (a) = κ\frac{δf}{δx_{i}} (a) + λ\frac{δg}{δx_{i}} g(a)
(ii) \frac{δfg}{δx_{i}} (a) = \frac{δf}{δx_{i}} (a) · g(a) + f(a) · \frac{δg}{δx_{i}} (a)

(iii) \frac{δf/g}{δx_{i}} (a) = \frac{\frac{δf}{δx_{i}} (a) · g(a) − f(a) · \frac{δg}{δx_{i}} (a)}{g(a)^{2}}

VĚTA 8 (o diferenciálu složeného zobrazení):

Mějme otevřené U ⊂ ℝ^{m} a V ⊂ ℝ^{n}, f: U → V, g: V → ℝ^{k}. Vezměme a ∈ U, b = f(a) ∈ V. Předpokládáme, že f je diferencovatelné v a a g je diferencovatelné v b. Pak h = g ∘ f: U → ℝ^{k}

je diferenciál v bodě a a pro diferenciál h v a máme:

Dh(a) = Dg(b) ∘ Df(a)

LEMMA 9:

V řeči Jacobiho matic:

(\frac{δh_{i}}{δx_{j}} (a))_{i,j=1}^{k,m} = (\frac{δg_{i}}{δx_{j}} (b))_{i,j=1}^{k,n} (\frac{δf_{i}}{δx_{j}} (a))_{i,j=1}^{n,m} =

(∑_{v=1}^{n} \frac{δg_{i}}{δx_{v}} (b) · \frac{δf_{v}}{δx_{j}} (a))_{i,j=1}^{k,m}

V případě k = 1 je to pak zvláště zajímavé, protože f_{i}: U ⊂ ℝ^{m} → ℝ, g: V → ℝ, h: U ⊂ ℝ^{m} → ℝ:

h = g(f_{1}, f_{2}, …, f_{n})

\frac{δh}{δx_{i}} (a) = ∑_{j=1}^{n} \frac{δg}{δx_{j}} (f(a)) · \frac{δf_{j}}{δx_{i}} (a)

Pro počítání se složenými funkcemi se v praxi hodí tzv. řetízkové pravidlo:

= ⟨▽g(f(a)), f′(a)⟩
f = (f_{1}, …, f_{n}), f′ = (f′_{1}, …, f′_{n})

Příklad:

Jak souvisí řetízkové pravidlo a zákon zachování energie?

Vezměme otevřenou U ⊂ ℝ^{m} a na ní zobrazení F: U → ℝ^{m}. Toto zobrazení si představme jako silové pole, které nám říká, jak velká síla (a jakým směrem) působí ve všech bodech U.

Pošleme množinou U nějakou částici po dráze γ: [0, 1] → U (γ = (γ_{1}(t), …, γ_{m}(t))). Předpokládejme, že dráha bude plně určena silovým polem F.

Vyjděme z Newtonova zákona síly (síla = hmotnost × zrychlení):

F (γ(t)) = mγ′′(t)
γ′′ = (γ′′_{1}(t), …, γ′′_{m}(t))

(všimněme si, že γ′′ představuje vektor zrychlení).

Druhý fyzikální předpoklad bude, že existuje funkce f: U → ℝ taková, že

a ∈ U: F (a) = − ▽ f(a)

(tzv. konzervativní pole). Potenciál f(a) definujme jako potenciální energii částice, je-li v bodě a. Kinetická energie částice v čase t ∈ [0, 1] bude:

m/2 · v(t)^{2} = m/2 · γ′(t)^{2} = m/2 · ⟨γ′(t), γ′(t)⟩ = m/2 · ||γ′(t)||^{2}

Zákon zachování energie nám říká, že součet potenciální a kinetické energie je konstantní:

f(γ(t)) + m/2 · γ′(t)^{2} =: s(t) t ∈ [0, 1]
s′(t) = ⟨▽f(γ(t)), γ′(t)⟩ + m ⟨γ′(t), γ′′(t)⟩
= ⟨▽f(γ(t)), γ′(t)⟩ + ⟨γ′(t), mγ′′(t)⟩
= ⟨▽f(γ(t)), γ′(t)⟩ + ⟨γ′(t), F (γ(t))⟩
= ⟨▽f(γ(t)), γ′(t)⟩ + ⟨γ′(t), − ▽ f(γ(t))⟩
= ⟨▽f(γ(t)), γ′(t)⟩ − ⟨▽f(γ(t)), γ′(t)⟩ = 0

Tedy s(t) je konstantní. Q.E.D.

Parciální derivace vyšších řádů

Vezměme f: U ⊂ ℝ^{m} → ℝ. f má δ_{i}f(a) pro ∀a ∈ U, tedy δ_{i}f: U → ℝ. Parciální derivaci druhého řádu v a podle x_{i} a x_{j} pak bude

δ_{j}(δ_{i}f)(a) =: \frac{δ^{2}f}{δx_{j}δx_{i}} (a)

Obdobně se pak zavádějí i parciální derivace vyšších řádů. Pozor, obecně může záležet na pořadí derivování, např.:

f(x, y) = \{ \begin{matrix}xy \frac{x^{2} −y^{2}}{x^{2} +y^{2}} & x^{2} + y^{2} ≠ 0 \\ 0 & x^{2} + y^{2} = 0 \end{matrix}

\begin{aligned}\frac{δ^{2}f}{δxδy} (0, 0) & = 1 \\ \frac{δ^{2}f}{δyδx}(0, 0) & = −1 \end{aligned}

VĚTA 10 (o pořadí parciálních derivací):

Mějme f: U ⊂ ℝ^{m} → ℝ a bod a ∈ U. Nechť f má nad U parciální derivace δ_{j}δ_{i}f, δ_{i}δ_{j}f (v zápisu δ_{j}δ_{i}f derivujeme nejdřív podle i, pak podle j) a obě nechť jsou spojité v a. Potom

\frac{δ^{2}f}{δx_{j}δx_{i}} (a) = \frac{δ^{2}f}{δx_{i}δx_{j}} (a)

DŮKAZ:

Předpokládejme m = 2, tedy f(x, y). Položme a = (0, 0). Stačí ukázat, že pro ∀h > 0 ve čtverci [0, h] × [0, h] existují body σ a τ takové, že

\frac{δ^{2}f}{δxδy} (σ) = \frac{δ^{2}f}{δyδx}(τ)

(ze spojitosti v počátku pak plyne zbytek).

Martin Klazar — Matematická analýza III Funkce více proměnných —

Označme si rohy čtverce jako

a = (0, 0) b = (0, h) c = (h, 0) d = (h, h)

a dále si označme délku úsečky z nějakého α do β jako: f(u) = f(αβ) := f(β) − f(α)

č = f(d) − f(b) − f(c) + f(a) = \{ \begin{matrix}f(cd) − f(ab) = φ(h) − φ(0) & φ(t) := f(u_{t}) \\ f(bd) − f(ac) = ψ(h) − ψ(0) & ψ(t) := f(v_{t}) \end{matrix}

Na to si můžeme přivolat pana Lagrange s větou o střední hodnotě:

φ(h) − φ(0) = φ′(t_{0}) · h 0 < t_{0} < h

Uvažme φ′(t) = δ_{x}f(u_{t}),

= δ_{x}f(u_{t_{0}}) · h = (δ_{x}f(t_{0}, h) − δ_{x}f(t_{0}, 0))h

a dle Lagrangeho střední hodnoty

= δ_{y}δ_{x}f(\underbrace{t_{0}, t_{1}}_{τ})h^{2} 0 ≤ t_{1} < h

Analogicky:

č = δ_{x}δ_{y}f(\underbrace{s_{0}, s_{1}}_{σ})h^{2} 0 < s_{0}, s_{1} < h

δ_{y}δ_{x}(τ) = δ_{x}δ_{y}(σ)

Q.E.D. Pozn.: Rovnost lze dokázat i se slabšími předpoklady.

K U ⊂ ℝ^{m} definujme C^{k}(U) jako množinu všech f: U → ℝ, kde f má na U všechny parciální derivace řádů ≤ k, a to spojité.

Důsledek:

Mějme f ∈ C^{k}(U), bod a ∈ U a dva vektory (i_{1}, …, i_{n}) a (j_{1}, …, j_{n}), které se liší jen permutací (n ≤ k). Pak platí:

\frac{δ^{n}f}{δx_{i_{n}} ⋯ δx_{i_{1}}} (a) = \frac{δ^{n}f}{δx_{j_{n}} ⋯ δx_{j_{1}}} (a)

\frac{δ^{4}f}{δxδyδzδx}(a) = \frac{δ^{4}f}{δx^{2}δyδz} (a) = \frac{δ^{4}f}{δzδx^{2}δy} (a) = ⋯

VĚTA 12 (Taylorův rozvoj funkcí více proměnných):

Mějme f: U ⊂ ℝ^{m} → ℝ, f ∈ C^{n}(U) a bod a ∈ U. Pak v okolí a máme rozvoj

f(a + h) = ∑_{i=0}^{n} \frac{1}{i!}(h_{1}δ_{1} + h_{2}δ_{2} + ⋯ + h_{m}δ_{m})^{i}f(a) + o(||h||^{h})

= ∑_{{i_{1} ,...,im≥0 \atop i_{1} +···+im≤n}} \frac{1}{i_{1}! ⋯ i_{m}!} · \frac{δ^{i_{1} +···+i_{m}} f}{δx_{i_{1}} ⋯ x_{i_{m}}} (a) · h_{1}^{i_{1}} ⋯ h_{m}^{i_{m}} + o(||h||^{h})

(Tato rovnost plyne z multinomické věty.)

Mějme i_{1} + ⋯ + i_{m} = 0, jdeme → f(a). Uvažme (h_{1}δ_{1} + ⋯ + h_{m}δ_{m})^{i}f, vezměme např. i = 2:

(h_{1}δx + h_{2}δy)^{2}f = (h_{1}^{2}δxδx + h_{2}^{2}δyδy + 2h_{1}h_{2}δxδy)f = h_{1}^{2} \frac{δ^{2}f}{δx^{2}} + h_{2}^{2} \frac{δ^{2}f}{δy^{2}} + 2h_{1}h_{2} \frac{δ^{2}f}{δxδy}

Lokální extrémy

Mějme f: U ⊂ ℝ^{m} → ℝ a bod a ∈ U. Nechť existují δ_{1}f(a), …, δ_{m}f(a). Jaké jsou podmínky lokálního extrému funkce f v a?

Připomeňme si, že neostré lokální minimum v a definujeme jako

∃ δ > 0 : ||x − a|| < δ ⇒ f(x) ≥ f(a)

zatímco ostré lokální minimum v a bude

∃ δ > 0 : 0 < ||x − a|| < δ ⇒ f(x) > f(a)

Všimněme si, že má-li f v a lokální extrém, ▽f(a) = 0 (neboť pro ∀x_{i}, 1 ≤ i ≤ m : \frac{δf}{δx_{i}} (a) = 0). Definujme stacionární body (nebo také kritické body) jako {a ∈ U : ▽f(a) = 0}. Vezmu f ∈ C^{2}(U). Pak matice

H_{f}(a) = (\frac{δ^{2}f}{δx_{i}δx_{j}} (a))_{i,j=1}^{m}

(tzv. Hessova matice) bude symetrická.

Nechť matice A ∈ ℝ^{n×n} je symetrická. Vezměme její kvadratickou formu:

xAx^{T} = P (x_{1}, …, x_{n}) = ∑_{i,j=1}^{n} a_{ij}x_{i}x_{j}: ℝ^{n} → ℝ

Pak A je pozitivně (negativně) definitní, pokud

∀x ∈ ℝ^{n} \ \{\overline{0}\} : P (x) > 0

(resp. P (x) < 0), a pozitivně (negativně) semidefinitní, pokud:

∀x ∈ ℝ^{n} : P (x) ≥ 0

Matice A je indefinitní, pokud není pozitivně ani negativně semidefinitní, tedy:

∃ x, y ∈ ℝ^{n} : P (x) > 0 ∧ P (y) < 0

VĚTA 13 ():

Mějme U ⊂ ℝ^{m}, f: U → ℝ, f ∈ C^{2}(U). Pak vezmeme-li nějaký bod a ∈ U:

(i) ▽f(a) ≠ \overline{0} ⇒ f nemá v a lokální extrém (ani neostrý).

(ii) ▽f(a) = \overline{0}, H_{f}(a) je pozitivně (resp. negativně) definitní ⇒ f má v a ostré lokální

minimum (resp. maximum). (iii) ▽f(a) = \overline{0}, H_{f}(a) je indefinitní ⇒ f nemá v a (zase) ani neostrý lokální extrém.

Neříkáme však nic o semidefinitních maticích.

DŮKAZ:

(i) Nechť např. δ_{1}f(a) ≠ 0. Pak

f(a_{1} + h_{,}a_{2}, …, a_{m}) = f(a) + δ_{1}f(a)h + o(h)

a existuje δ > 0 takové, že

−δ < h < 0 ⇒ f(a_{1} + h, a_{2}, …, a_{m}) < 0

nebo naopak

0 < h < δ ⇒ f(a_{1} + h, a_{2}, …, a_{m}) > 0

(ii) Nechť ▽f(a) = 0. f rozvineme v okolí a pomocí Taylorova rozvoje (V.12-) do řady n = 2:

f(a + h) = ∑_{i=0}^{2} \frac{δ_{1}h_{1} + ⋯ + δ_{m}h_{m})^{i}}{i!} f(a) + o(||h||^{2}) h ∈ ℝ^{m}

i = 1 → ▽f(a)h = 0

f(a + h) − f(a) = \frac{1}{2}(δ_{1}h_{1} + ⋯ + δ_{m}h_{m})^{2}f(a) + o(||h||^{2})

= \frac{1}{2} ∑_{i,j=1}^{m} \frac{δ^{2}f}{δx_{i}δx_{j}} (a)h_{i}h_{j} + o(||h||^{2})

= \frac{1}{2}P (h_{1}, …, h_{m}) + o(||h||^{2})

(kde P (…) je kvadratická forma odpovídající H_{f}(a))

= \frac{1}{2}||h||^{2}(P (h_{1}/||h||, …, h_{m}/||h||) + o(1))

= \frac{1}{2}||h||^{2}(P (e) + o(1)) e = e(h) = (h_{1}/||h||, …, h_{m}/||h||)

Všimněme si, že ||e|| = 1, tedy e ∈ S = {x ∈ ℝ^{m} : ||x|| = 1}.

μ = P (α) = min_{S} P (x)

M = P (β) = max_{S} P (x)

μ ≤ P (e) ≤ M

Přitom H_{f}(a) (tj. P) je pozitivně definitní, právě když 0 < μ, a negativně definitní, právě když M < 0. Nechť H_{f}(a) je pozitivně definitní. Pak

∀e ∈ S : P (e) ≥ μ > 0
⇒ ∃ δ > 0, ∃ h ∈ ℝ^{m} : 0 < ||h − a|| < δ
⇒ P (e) + o(1) ≥ μ/2 > 0
⇒ f(a + h) − f(a) > 0

a v a je ostré lokální minimum. Stejně pro negativně definitní H_{f}(a).

(iii) H_{f}(a) je indefinitní, právě když μ < 0 < M.

∃ δ > 0, ∀t, 0 < t < δ, ||tα|| = t : f(a + tα) − f(a) = \frac{1}{2}t^{2}(P (α) + o(1)) < \frac{t^{2}}{2} · \frac{μ^{2}}{2} < 0

Podobně f(a + tβ) − f(a) − ⋯ > 0. Q.E.D.

Vezměme D ⊂ ℝ^{m}, f: D → ℝ. D buď “kruhovitý útvar” skládající se z D = U ∪^{.} H (U je vnitřek, H je hranice). Jaké jsou lokální a globální extrémy funkce f?

V.13- nám pomůže najít lokální extrémy na U (S = \{a ∈ U : ▽f(a) = \overline{0}\}), musí ale platit, že f ∈ C^{2}(U).

Najít lokální extrémy na H nám pomůžou najít Lagrangovy multiplikátory, o kterých si povíme blíže zanedlouho.

Je-li D kompaktní, f (spojitá) na D nabývá maximum i minimum. Není-li D kompaktní, všimneme si, že umíme-li najít globální maximum, našli jsme i lokální maximum.

Příklad:

Máme f: ℝ^{2} → ℝ definovanou jako:

f(x, y) = y^{2} + y cosx − sinx − 2

Pak platí:

▽f(x, y) = (δ_{x}f, δ_{y}f) = (−y sinx − cosx, 2y + cosx)

H_{f}(x, y) = ( \begin{matrix}−y cosx + sinx & − sinx \\ − sinx & 2 \end{matrix})

S : ▽f(x, y) = (0, 0) ⇒ S = {(π/2 + kπ, 0) : k ∈ ℤ}

H_{f}(Δ_{k}) = ( \begin{matrix}−1 & 1 \\ 1 & 2 \end{matrix}) n ∈ ℕ, k = 2n + 1

H_{f}(Δ_{k}) = ( \begin{matrix}1 & −1 \\ −1 & 2 \end{matrix}) n ∈ ℕ, k = 2n

kliché : P = −x^{2} + 2xy + 2y^{2} = −(x − y)^{2} + 3y^{2} (indef.)
ksudé : P = x^{2}02xy + 2y^{2} = (x − y)^{2} + y^{2} (poz. def.)

Tudíž pro liché k lokální extrém nemáme, zato sudé k má ostré lokální minimum: f(s_{2k}) = −3. f nemá globální maximum — např. pro f(π/2, y) = y^{2} − 3 →_{y→±∞} +∞ (f není shora

omezená). Alternativně to plyne z toho, že f nemá lokální maximum.

Ale co globální minimum? f je 2π-periodická v x, stačí se tedy na f(x, y) dívat jen v pásu 0 ≤ x ≤ 2π:

f(0, y) = f(2π, y) = y^{2} + y − 2 = (y + 1/2)^{2} − 9/4 ≥ −9/4 > −3 (hranice pásu)

x ∈ ℝ, |y| ≥ 2 ⇒ f(x, y) ≥ y^{2} − |y| − 3 = (y ± 1/2)^{2} − 13/4 ≥ 9/4 ≥ −1 > −3

Tedy s_{2k} jsou všechny body, v nichž f nabývá své globální minimum −3.

Martin Klazar — Matematická analýza III Funkce více proměnných — Implicitní funkce

Implicitní funkce

Mějme soustavu funkcí

F_{1}(x_{1}, …, x_{m}, y_{1}, …, y_{n}) = 0
F_{2}(x_{1}, …, x_{m}, y_{1}, …, y_{n}) = 0
⋮
F_{n}(x_{1}, …, x_{m}, y_{1}, …, y_{n}) = 0

a bod (x_{0}, y_{0}) ∈ ℝ^{m+n} , F_{i}(x_{0}, y_{0}) = 0 (pro 1 ≤ i ≤ n).

To vše můžeme mít, právě když

y_{i} = f_{i}(x_{1}, …, x_{m}) 1 ≤ i ≤ n

(lokálně v okolí (x_{0}, y_{0})).

Zaveďme si značení:

F_{i} = F_{i}(x_{1}, …, x_{m}, y_{1}, …, y_{n}) f_{i} = f_{i}(x_{1}, …, x_{m})
F = (F_{1}, …, n) f = (f_{1}, …, n)
x = (x_{1}, …, x_{m}) y = (y_{1}, …, y_{n})

F′_{x}(x, y) = ( \begin{matrix}δF_{1}/δx_{1} & ⋯ & δF_{1}/δx_{m} \\ ⋮ & & ⋮ \\ δF_{n}/δx_{1} & ⋯ & δF_{n}/δx_{m} \end{matrix} ) (x, y)

f′(x) = ( \begin{matrix}δf_{1}/δx_{1} & ⋯ & δF_{1}/δx_{m} \\ ⋮ & & ⋮ \\ δf_{n}/δx_{1} & ⋯ & δf_{n}/δx_{m} \end{matrix} ) (x)

F′_{y}(x, y) = ( \begin{matrix}δF_{1}/δy_{1} & ⋯ & δF_{1}/δy_{n} \\ ⋮ & & ⋮ \\ δF_{n}/δy_{1} & ⋯ & δF_{n}/δy_{n} \end{matrix} ) (x, y)

VĚTA 14 (o implicitních funkcích):

Mějme F = (F_{1}, …, F_{n}) : W → ℝ^{n} jako zobrazení definované na okolí W ⊂ ℝ^{m+n} bodu (x_{0}, y_{0}) (kde x_{0} ∈ ℝ^{m}, y_{0} ∈ ℝ^{n}) splňující následující podmínky:

(i) F_{i} ∈ C^{1}(W) pro 1 ≤ i ≤ n (ii) F_{i}(x_{0}, y_{0}) = 0 pro 1 ≤ i ≤ n (iii) detF′_{y}(x_{0}, y_{0}) ≠ 0

Potom existují okolí x_{0} ∈ U ⊂ ℝ^{m}, y_{0} ∈ V ⊂ ℝ^{n} taková, že U × V ⊂ W a zároveň

∀x ∈ U ∃! y ∈ V : F_{i}(x, y) = 0 1 ≤ i ≤ n

Tj. existuje zobrazení f = (f_{1}, …, f_{n}): U → V takové, že

∀(x, y) ∈ U × V : F (x, y) = \overline{0} ⇔ y = f(x)

a navíc f_{i} ∈ C^{1}(U) pro 1 ≤ i ≤ n. Tedy zobrazení f je diferencovatelné v ∀x ∈ U a zároveň

f′(x) = −F′_{y}(x, f(x))^{−1} · F′_{x}(x, f(x))

T-O-D-O: nějak hezky navázat, tady věta samotná končí... co to tu vlastně je? ;-)

F_{k}(x_{1}, …, x_{m}, f_{1}(x), …, f_{n}(x)) = 0 1 ≤ k ≤ n, x ∈ U

\frac{δF_{k}}{δx_{i}} + ∑_{j=1}^{n} \frac{δF_{k}}{δy_{j}} \frac{δf_{j}}{δx_{i}} = 0

\underbrace{( \begin{matrix}δF_{1}/δy_{1} & ⋯ & δF_{1}/δy_{n} \\ ⋮ & & ⋮ \\ δF_{n}/δy_{1} & ⋯ & δF_{n}/δy_{n} \end{matrix} )}_{A} ( δf_{1}/δx_{i} ; ⋮ ; δf_{n}/δx_{i} ) = − ( δF_{1}/δx_{i} ; ⋮ ; δF_{n}/δx_{i} )

δf_{j}/δx_{i} = −\frac{( ⋯ δF_{1}/δx_{i} ⋯; ⋮ ; δF_{n}/δx_{i} )}{det(F′_{y}(x, f(x)))} = −\frac{det(A′)}{det(A)}

(v čitateli zaměníme j-tý sloupec).

VĚTA 15 (o inverzních funkcích):

Mějme f: U → ℝ^{m}, otevřenou U ⊂ ℝ^{m}, x_{0} ∈ U (označme y_{0} = f(x_{0})). Nechť f splňuje f ∈ C^{1}(U),

det(δ_{xj}f_{i}(x_{0}))_{i,j=1}^{m} ≠ 0

Pak existují okolí x_{0} ∈ U′ ⊂ ℝ^{m}, y_{0} ∈ V ⊂ ℝ^{m} taková, že f: U′ → V je bijekce, f^{−1} ∈ C^{1}(V) a zároveň

∀x ∈ U′, y = f(x) ∈ V : Df^{−1}(y) = (Df(x))^{−1}

(a podobně i pro Jacobiho matice).

DŮKAZ:

Plyne z V.14-. Vezměme x = x_{1}, …, x_{m}, y = y_{1}, …, y_{m}:

F (x, y) = f(x) − y
x_{i} = g_{i}(y_{1}, …, y_{m}) ⇒ F (x, y) = \overline{0} 1 ≤ i ≤ m

Předpoklady V.14- jsme tak tedy splnili (F je C^{1}, F (x_{0}, y_{0}) = \overline{0}, determinant je také nulový). Mám okolí y_{0} ∈ V ⊂ ℝ^{m}, g: V → U takové, že

∀y ∈ V : f(x) − y = 0 ⇔ x = g(y)
⇒ f(g(y)) = y ⇒ g = f^{−1}

Vezmu U′ := g(V). Pak f: U′ → V a g: V → U′. U′ je okolí x_{0}, protože U′ je f^{−1}(V). Q.E.D.

Poznámka:

Mějme f: U′ → V, U, V ∈ ℝ^{m}, f je bijekce, f ∈ C^{1}(U′), f^{−1} ∈ C^{1}(V). Takovému zobrazení říkáme difeomorfismus.

Mějme U ⊂ ℝ^{m} otevřenou, f: U → ℝ, F_{i}: U → ℝ (1 ≤ i ≤ n < m). Nechť f, F_{i} ∈ C^{1}(U):

H = {x ∈ ℝ^{m} : F_{1}(x) = ⋯ = F_{n}(x) = 0}

Jak najít lokální extrémy f na H?

VĚTA 16 (Lagrangeovy multiplikátory):

a ∈ H buď bod lokálního extrému, f na H. Mějme matici (δ_{xj}F_{i}(a))_{i,j=1}^{n,m} mající maximální hodnost (tj. n, neboli ▽F_{1}(a), …, ▽F_{n}(a) jsou lineárně nezávislé vektory v ℝ^{m}). Potom existují čísla λ_{1}, …, λ_{n} ∈ ℝ taková, že:

▽f(a) − ∑_{i=1}^{n}λ_{i} ▽ F_{i}(a) = \overline{0}

⇒ \frac{δf}{δx_{j}} (a) − ∑_{i=1}^{n}λ_{i} \frac{δF_{i}}{δx_{j}} (a) = 0 1 ≤ j ≤ m

DŮKAZ:

Bez újmy na obecnosti nechť:

det(δ_{x_{m−n+1}} F (a), δ_{x_{m−n+2}} F (a), …, δ_{x_{m}}F (a)) ≠ 0

x_{1}, …, x_{m} = \underbrace{x_{1}, …, x_{m−n}}_{y}, \underbrace{x_{m−n+1} , …, x_{m}}_{z}

a = (\underbrace{a_{1}, …, a_{m−n}}_{y_{0}}, \underbrace{a_{m−n+1} , …, a_{m}}_{z_{0}})

Pak podle V.14- existuje zobrazení g = (g_{1}, …, g_{n}) definované na okolí y_{0} takové, že (lokálně) platí:

F_{i}(y, z) = 0 ⇔ z = g(y) 1 ≤ i ≤ n

Nyní předpokládáme, že funkce

h(y) := f(y, g_{1}(y), …, g_{n}(y))

má v bodě y_{0} lokální extrém, bez vazby, neboli ▽h(y_{0}) = \overline{0}:

\frac{δf}{δy_{i}} (y_{0}, g(y_{0})) + ∑_{j=1}^{n} \frac{δf}{δz_{j}} (y_{0}, g(y_{0})) · \frac{δg_{j}}{δy_{i}} (y_{0}) = 0 1 ≤ i ≤ m − n

D_{y}f(y_{0}, g(y_{0})) + D_{z}f(y_{0}, g(y_{0})) · Dg(y_{0}) = 0

Podle V.14- si ale můžeme Dg(y_{0}) spočítat:

Dg(y_{0}) = −(D_{z}F (y_{0}, g(y_{0})))^{−1} · D_{y}F (y_{0}, g(y_{0}))

D_{y}f − \underbrace{D_{z}f · (D_{z}F)^{−1}}_{λ} ·D_{y}F = \overline{0}

λ = (λ_{1}, …, λ_{n}) = D_{z}f · (D_{z}F)^{−1}

D_{y}f − λD_{y}F = \overline{0}
D_{z}f − λD_{z}F = \overline{0}
⇒ Df − λDF = 0

Q.E.D.

Poznámky:

(i) Jaký je geometrický význam této věty? Mějme a ∈ H jako bod lokálního extrému f na H. V tom případě

▽f(a) ∈ Lin({▽F_{1}(a), …, ▽F_{n}(a)})

(kde Lin je lineární obal). Všimněme si, že tohle platí triviálně pro ▽f(a) = \overline{0}. Jak je to ale v případě, že ▽f(a) ≠ \overline{0}?

T N_{a} = {x ∈ ℝ^{m} : x ⊥ ▽f(a) ⇔ ⟨▽f(a), x⟩ = 0}

je tečný prostor (posunutý od počátku) k ploše

N = {x ∈ ℝ^{m} : f(x) = f(a)}

v bodě a (s dimenzí m − 1).

Martin Klazar — Matematická analýza III Funkce více proměnných — Implicitní funkce

Mějme plochu

H = {x ∈ ℝ^{m} : F_{1}(x) = ⋯ = F_{n}(x) = 0}
T H_{a} = {x ∈ ℝ^{m} : ⟨▽F_{1}(a), x⟩ = ⋯ = ⟨▽F_{n}(a), x⟩ = 0}

pak bude tečný prostor k ploše H v bodě a (s dimenzí m − n).

Pak se dá V.16- přeformulovat jako: má-li f v a lokální extrém vzhledem k H, pak T H_{a} ⊂ T N_{a}

(ii) Vezměme si Lagrangovu funkci:

L(x, λ) = L(x_{1}, …, x_{m}, λ_{1}, …, λ_{n}) = f(x) − ∑_{i=1}^{n}λ_{i}F_{i}(x)

▽L = (\frac{δf}{δx_{1}} (x) − ∑_{i=1}^{n}λ_{i} \frac{δF_{i}}{δx_{1}}(x), …, \frac{δf}{δx_{m}} (x) − ∑_{i=1}^{n}λ_{i} \frac{δF_{i}}{δx_{m}} (x), −F_{1}(x), …, −F_{n}(x))

▽L(x, λ) = \overline{0} ⟺ ▽f(x) = ∑_{i=1}^{n}λ_{i} ▽ F_{i}(x) ∧ F_{1}(x) = ⋯ = F_{n}(x) = 0 (tj. x ∈ H)

Tedy V.16- lze přeformulovat také jako: má-li f v a lokální extrém vzhledem k H, pak ∃ λ ∈ ℝ^{n} : ▽L(a, λ) = \overline{0}

VĚTA 17 ():

Mějme otevřenou U ⊂ ℝ^{m}, f, F_{i} ∈ C^{2}(U), 1 ≤ i ≤ n < m,

H = {x ∈ ℝ^{m} : F_{1}(x) = ⋯ F_{n}(x) = 0}

a pro ∀x ∈ U má matice (δ_{xj}F_{i}(x))_{i,j=1}^{n,m} maximálně hodnost n, a ∈ H a ▽f(a) ≠ \overline{0}. Pak platí:

(i) Pokud pro ∀λ ∈ ℝ^{n} máme ▽L(a, λ) ≠ \overline{0}, pak f v a nemá lokální extrém vzhledem k H. (Důsledek V.16-.)

(ii) Nechť λ ∈ ℝ^{n} splňuje ▽L(a, λ) = \overline{0}. Pokud kvadratická forma

P (h_{1}, …, h_{m}) = ∑_{i,j=1}^{m} \frac{δ^{2}L}{δx_{i}δx_{j}} (a, λ)h_{i}h_{j}

je pozitivně (negativně) definitní na vektorech h ∈ T H_{a}, pak f má v a ostré lokální minimum (maximum) vzhledem k H.

(iii) Pokud je tato kvadratická forma indefinitní, f nemá v a lokální extrém vzhledem k H.

Martin Klazar — Matematická analýza III Funkce více proměnných — Základní věta algebry

Základní věta algebry

Každý nekonstantní polynom

p(z) = a_{n}z^{n} + a_{n−1}z^{n−1} + ⋯ + a_{1}z + a_{0}
a_{i} ∈ ℂ, n ≥ 1, a_{n} ≠ 0

má alespoň jeden komplexní kořen.

Podívejme se, jak bychom něco takového dokazovali s využitím našich současných znalostí kolem extrémů funkcí více proměnných.

Chceme tedy najít číslo z_{0} ∈ ℂ takové, že p(z_{0}) = 0. Vezměme f(z) = |p(z)|: ℂ → ℝ_{0}^{+} . Přitom ℂ chápeme jako ℝ^{2}, tzn. |a + bi| = \sqrt{a^{2} + b^{2}} . Jinak řečeno

f(z): ℝ^{2} → ℝ_{0}^{+} . Všimněme si, že f je spojitá:

|p(z)| = |p(a + bi)| = \sqrt{r(a, b)^{2} + s(a, b)^{2}} r, s ∈ ℝ[x, y]

Plán boje:

(i) Nejdříve ověřme, že f nabývá na ℂ (tedy ℝ^{2}) minima, tj.:

min_{z∈ℂ} |p(z)| = |p(z_{0})| z_{0} ∈ ℂ

(ii) Vezměme nějaké u ∈ ℂ. Pak by mělo platit:

f(u) > 0 ⟹ ∃ u′ ∈ ℂ : f(u′) < f(u)

Platí-li pak (i) i (ii), globální minimum z_{0} z (i) už je kořen p a platí p(z_{0}) = 0.

(i) Vezměme si poloměr

R := max(1, \frac{2(|a_{0}| + 1)}{|a_{n}|} , \frac{2n}{|a_{n}|} max_{0≤i≤n−1} |a_{i}|)

a podívejme se, co se stane, zvolíme-li komplexní číslo větší než tento poloměr:

|z| > R ⟹ |p(z)| = |a_{n}z^{n} + a_{n−1}z^{n−1} + ⋯ + a_{0}|

= |z|^{n}|a_{n} + a_{n−1}/z + ⋯ + a_{0}/z^{n}|

≥ |z|^{n}(|a_{n}| − ∑_{i=0}^{n−1} |a_{i}/z^{n−i}|)

≥ |z|(|a_{n}| − ∑_{i=0}^{n−1} |a_{i}|/|z|)

≥ |z|(|a_{n}| − \frac{n · max_{0≤i≤n−1} |a_{i}|}{|z|})

≥ z \frac{|a_{0}| + 1}{|a_{n}|} \frac{|a_{n}|}{2} = |a_{0}| + 1

(Pozor, tento řetěz nerovností platí pouze, je-li z ≥ 1, ale na to už jsem myslel při definici R.) Tedy jsem právě dokázal, že

|z| > R ⟹ |p(z)| ≥ |a_{0}| + 1 > |a_{0}| = |p(0)|

Vezmu-li si kruh K := {z ∈ ℂ : |z| ≤ ℝ}, bude to kompaktní množina, a z toho, co jsme si právě dokázali, plyne:

inf_{z∈ℂ} |p(z)| = inf_{K} |p(z)| = |p(z_{0})| z_{0} ∈ K

(Poslední rovnost platí, neboť K je kompaktní a f(z) je spojitá.)

(ii) Mějme z ∈ ℂ, z ≠ 0. Vzpomeňme si na alternativní zápis komplexních čísel:

z = r(cosφ + i sinφ) = re^{iφ} r = |z| > 0, φ ∈ [0, 2π), φ = arg(z)

Mám-li u, v ∈ ℂ, 0 < |u| < |v|, platí:

| arg(u) − arg(v)| = π ⟹ |u + v| = |v| − |u|

LEMMA:

Zvolme a ∈ ℂ, a ≠ 0, n ∈ ℕ, r > 0. Pak platí, že

az^{n}: {z ∈ ℂ : |z| < (r/|a|)^{1/n}} → {z ∈ ℂ : |z| < r}

je zobrazení na (surjektivní).

DŮKAZ:

Nechť z ∈ B. Pak je-li z = 0, z = a · 0^{n}, jinak

z_{0} = \frac{|z|^{1/n}e^{i arg (z)/n}}{|a|^{1/n}e^{i arg (a)/n}}

a tudíž az_{0}^{n} = z. Q.E.D.

u ∈ ℂ, f(u) > 0, tj. |p(u)| > 0, tj. p(u) ≠ 0. p(z) vyjádříme (se vzpomínkou na p. Taylora) takto:

p(z) = b_{0} + b_{1}(z − n) + ⋯ + b_{n}(z − n)^{n} b_{i} ∈ ℂ
p(z) = a_{0} + a_{1}z + ⋯ + a_{n}z^{n}

T-O-D-O: Následující text asi mlží. To je ale lineární podle nějakého k v bázi {1, z, z^{2}, …}. Vyjádříme to v jiné bázi:

{1, z − n, (z − n)^{2}, …}

Jak vypadají koeficienty?

b_{0} = p(n) ≠ 0 b_{n} = a_{n} ≠ 0

Vezměme nejmenší k ≥ 1 takové, že b_{k} ≠ 0:

p(z) = b_{0} + b_{k}(z − n)^{k} + ∑_{i=k+1}^{n} b_{i}(z − n)^{i} = b_{0} + p_{1}(z) + p_{2}(z)

Pro z → u mám p_{2}(z) = o(p_{1}(z)). Vezmu δ > 0 takové, aby

|z − u| < δ ⇒ |p_{2}(z)| ≤ |p_{1}(z)|/2

Zvolím r > 0 tak malé, aby r < |b_{0}| a (r/|bk|)^{1/k} < δ. Zvolím c ∈ ℂ takové, že 0 < |c| < r < |b_{0}| a c je opačné k b_{0}. Podle lemmatu existuje u′ ∈ ℂ takové, že

0 < |u′ − u| < (r/|bk|)^{1/k} < δ ∧ p_{1}(u′) = c

|p(u′)| = |b_{0} + p_{1}(u′) + p_{2}(u′)| △ ≤ |b_{0} + c| + |p_{2}(u′)|
= |b_{0}| − |c| + |p_{2}(u′)| < |b_{0}| − |c|/2 < |b_{0}| = |p(u)|

Q.E.D.

Martin Klazar — Matematická analýza III Obyčejné diferenciální rovnice —

Obyčejné diferenciální rovnice

Úvod

Diferenciální rovnice se používají zejména velmi často pro modely ve fyzice, biologii, ekonomii, …

Vzpomeneme-li si na Newtonův zákon síly, ten můžeme zapsat jako:

m\frac{d^{2}x}{dt^{2}} = F x = x(t)

F = (t, x(t), \frac{dx}{dt})

V jednoduchém případě F = −mg. Vezměme F konstantní, pak takovouto jednoduchou diferenciální rovnici můžeme vyřešit jako

x(t) = −gt^{2}/2 + c_{1}t + c_{2}

Máme dva typy diferenciální rovnic - obyčejné a parciální. Parciálními rovnicemi se zde zabývat nebudeme, jen si ukážeme několik jejich příkladů:

(i) Máme-li u = u(x, y), Laplaceova rovnice potenciálu říká:

\frac{δ^{2}u}{δx^{2}} + \frac{δ^{2}u}{δy^{2}} = 0

(ii) Máme-li u = u(x, t), rovnice difúze (vedení tepla) zní takto:

\frac{δ^{2}u}{δx^{2}} = \frac{δu}{δt}

(iii) Máme-li opět u = u(x, t), vlnová rovnice říká:

a^{2} \frac{δ^{2}u}{δx^{2}} = \frac{δ^{2}u}{δt^{2}}

Naopak dobrý příklad obyčejné diferenciální rovnice je rovnice radioaktivního rozpadu:

\frac{dR}{dt} = −kR R = R(t)

Obecný tvar diferenciální rovnice vypadá takto:

F (x, y, y′, y′′, …, y(n)) = 0

y = y(x) je neznámá funkce, F je tzv. rovnicová funkce n + 2 proměnných. n je pak řád rovnice.

Diferenciální rovnice můžeme také rozdělit na lineární a nelineární, v závislosti na linearitě F — tj. mám rovnici

a_{n}(x)y^{(n)} + ⋯ + a_{1}(x)y′ + a_{0}(x)y = b(x)

kde a_{i}(x), b(x) jsou zadané funkce.

Je-li F polynom, dostanu algebraickou diferenciální rovnici:

(y^{(3)})^{2} + 2y′ − x^{3} = 0

Martin Klazar — Matematická analýza III Obyčejné diferenciální rovnice — Úvod

Mějme kyvadlo na šňůrce dlouhé l, zajímá nás závislost úhlu Θ na čase t. To je příklad nelineární (a dokonce nealgebraické) diferenciální rovnice:

\frac{d^{2}Θ}{dt^{2}} + \frac{g}{l} sinΘ = 0

Pro malá Θ lze však aproximovat sinΘ ≈ Θ, čímž již dostaneme lineární diferenciální rovnici druhého řádu:

\frac{d^{2}Θ}{dt^{2}} + \frac{g}{l} Θ = 0

I v říši diferenciálních rovnic můžeme potkat implicitní funkce. Ty řešíme vzhledem k y^{(n)}, tj.:

y^{(n)} = G(x, y, y′, …, y^{(n−1)})

Přitom samotná řešení diferenciálních rovnic (zejména nelineárních) vycházejí často jako implicitní funkce.

Příklad:

Mějme y = y(x) a diferenciální rovnici \frac{dy}{dx} = \frac{x^{2}}{1+y^{2}} . Tu řeší implicitní funkce daná rovnicí

y^{3} + 4y − x^{3} + c = 0

0 = 3y^{2}y′ + 3y′ − 3x^{2} ⟹ y′ = \frac{x^{2}}{1 + y^{2}}

Řešení diferenciální rovnice je dvojice (y, I), kde y = y(t) je funkce definovaná na otevřeném intervalu I ⊂ ℝ a řeší zadanou diferenciální rovnici. (Řešení může být i více, např. y′ = 0 má nekonečně mnoho řešení: y(x) = c.)

(\overline{y}, J) je rozšířením řešení (y, I), pokud J ⊃ I, x ∈ I ⇒ \overline{y}(x) = y(x). Maximální řešení je takové, které už se nedá rozšířit.

VĚTA 1 (Picard):

Připomeňme si Picardovu větu, tentokráte v řeči diferenciálních rovnic. Vezměme si diferenciální rovnici

\begin{aligned}y(x_{0}) & = y_{0} \\ y′(x) & = f(x, y) \end{aligned}

Mějme otevřenou množinu Ω ⊂ ℝ^{2}, bod (x_{0}, y_{0}) ∈ Ω a spojitou funkci f ∈ C(Ω) na Ω lokálně lipschitzovskou vzhledem k y.

Pak má rovnice lokálně jednoznačné řešení, tj.

∃ h > 0, ∃! y(x) ∈ C^{1}(x_{0} − h, x_{0} + h) : \begin{aligned}y(x_{0}) & = y_{0} \\ y′(x) & = f(x, y) \end{aligned}

(na intervalu (x_{0} − h, x_{0} + h)).

Přitom funkce bude “lokálně lipschitzovská”, pokud každý bod z Ω má okolí U a konstantu k > 0 takovou, že:

(x, y), (x, \overline{y}) ∈ U ⇒ |f(x, y) − f(x, \overline{y})| < K|y − \overline{y}|

Všimněme si přitom, že \frac{δf}{δy} ∈ C(Ω) ⇒ f je lokálně lipschitzovská na Ω.

Důkaz: Už byl. Q.E.D.

VĚTA 2 (Peano):

Zredukujeme-li předpoklady pouze na f ∈ C(Ω), dostaneme pouze existenci (ne vždy je zaručena jednoznačnost).

Martin Klazar — Matematická analýza III Obyčejné diferenciální rovnice — Postupy řešení rovnic

Důsledek V1

Mějme (y_{1}, I) a (y_{2}, J), které řeší y′ = f(x, y) a y_{1}(a) = y_{2}(a) pro nějaké a ∈ I ∩ J. Pak ovšem y_{1} = y_{2} na I ∩ J.

Příklad:

Mějme y(x) v ℝ,

\begin{aligned}y(0) & = 0 \\ y′ & = xy^{2/3} \end{aligned}

Pak však následující počáteční podmínky dávají nejednoznačnost:

y_{1} = 0
y_{2}(x) = (x^{2}/6)^{3} = x^{6}/6^{3}

Postupy řešení rovnic

(1) Lineární rovnice

y′ + a(x)y = b(x) y = y(x), a, b ∈ C(I)

(i) Integračním faktorem: Hledáme integrační faktor c = c(x) takový, že

\begin{aligned}c · LS & = (c · y′) \\ c · (y′ + ay) & = (c · y′) \\ c · a & = c′ \end{aligned}

c′/c = a ⇒ (logc)′ = a ⇒ c = c(x) = e^{A} ⇒ A = ∫ a

(cy)′ = c · LS = c · P S = cb

(cy)′ = cb ⇒ cy = ∫ cb

Položme cy = D, kde D je primitivní funkce k cb.

y(x) = D/c = e^{−A} ∫ e^{A(x)}b(x) dx

y(x) = e^{−A(x)} (∫ e^{A(x)}b(x) dx + c)
A(x) = ∫ a(x) dx

(ii) Variací konstant: Máme homogenní rovnici y′ + ay = 0, tj.

y′/y = −a ⇒ (logy)′ = −a ⇒ logy = −A + c ⇒ y(x) = Ke^{−A(x)}

kde K je nějaká konstanta, K = K(x). Jak bude vypadat?

\begin{aligned}(Ke^{−A})′ + a(Ke^{−A}) & = b \\ K′e^{−A} & = b \end{aligned}

K′ = be^{A} ⇒ K = ∫ be^{A} + c Dosaďme toto do původní rovnosti:

y(x) = e^{−A(x)} (∫ e^{A(x)}b(x) dx + c)

A(x) = ∫ a(x) dx

Příklad:

Odvodíme si vzorec pro volný pád. Mějme částici o hmotnosti m > 0 a odpor povětří kv (kde k > 0 je konstanta). Působí proti sobě tedy dvě síly, mg a kv. Dle pana Newtona:

m \frac{dv}{dt} = mg − kv

v′ + v(k/m) = g

Protože k/m a g jsou konstanty, jako integrační faktor dostaneme c = e^{kt/m}, a(x) = k/m, b(x) = g. Tedy řešení bude

v(t) = mg/k + c_{1}e^{−kt/m}

Vezměme jako počáteční podmínku v(0). Tedy c_{1} = −mg/k,

v(t) = \frac{mg}{k} (1 − e^{−kt/m})

Pro t → +∞ dostáváme limitní rychlost

v_{lim} = \frac{mg}{k}

(2) Rovnice se separovanými proměnnými:

y′ = f(x)g(y)

\begin{aligned}y′/g(y) & = f(x) \\ G(t) & = ∫ dt/g(t) \\ G(y(x))′ & = f(x) \\ G(y(x)) & = F (x) + c \\ F (x) & = ∫ f(x) dx \end{aligned}

Zapisujeme jako:

dy/dx = f(x)g(y) dy/g(y) = f(x) dx
∫ dy/g(y) = ∫ f(x) dx

Příklady:

(i) Mějme y′ = \frac{x^{2}}{1 + y^{2}} . Pak:

(1 + y^{2}) dy = x^{2} dx y = y(x)
y + y^{3}/3 = x^{3}/3 + c
y^{3} + 3y − x^{3} + c = 0

(ii) Zkusme odvodit únikovou (druhou kosmickou) rychlost. Mějme hmotný bod o hmotnosti m ve výšce x nad povrchem země o poloměru R. Jak vypadá tíže F? Newtonův gravitační zákon nám říká, že

F = \frac{K}{(x + R)^{2}}

kde K je konstanta — položme x = 0, pak

mg = K/R^{2} ⇒ K = mgR^{2}

F = \frac{mgR^{2}}{(x + R)^{2}}

Vezměme rychlost v čase t jako v = v(t) a polohu x = x(t). Pak dle pana Newtona

m \frac{dv}{dt} = −\frac{mgR^{2}}{(x + R)^{2}}

Abychom dostali jen jednu neznámou, od t přejdeme k nezávislé proměnné x — zderivujme v jako složenou funkci:

\frac{dv}{dt} = \frac{dv}{dx} · \frac{dx}{dt} = v · \frac{dv}{dx}

Přepišme tedy naši původní rovnici bez t:

v \frac{dv}{dx} = −\frac{gR^{2}}{(x + R)^{2}}

V této rovnici již ale máme separované proměnné!

v dv = −\frac{gR^{2} dx}{(x + R)^{2}}

v^{2}/2 = \frac{gR^{2}}{x + R} + c

Vezměme počáteční podmínku

t = 0: v = v_{0}, x = 0 ⇒ v(0) = v_{0}

Pak nutně

c = v_{0}^{2}/2 − gR

v^{2} = v_{0}^{2} − 2gR + \frac{2gR^{2}}{x + R}

Chceme v_{0} zvolit takové, aby v(x) byla definovaná pro ∀x > 0. Tedy v^{2} by mělo být nezáporné, tzn. v_{0}^{2} ≥ 2gR. Úniková rychlost je tudíž

v_{0} = \sqrt{2gR}

(3) Exaktní rovnice:

M(x, y) + N(x, y)y′ = 0

Takovou rovnici bychom uměli snadno vyřešit, existovala-li by funkce φ = φ(x, y) taková, že δ_{x} φ = M, δ_{y} φ = N:

φ(x, y(x))′ = 0

Pak řešení původní rovnice je dané implicitně jako

φ(x, y(x)) = c

Nechť M, N, δ_{y} M, δ_{x} N jsou spojité na nějakém obdélníku R = (α, β) × (γ, δ). Pak

∃ φ : \underbrace{δ_{x} φ = M, δ_{y} φ = N}_{(∗)} ⇒ δ_{y} M = δ_{x} N

(protože \frac{δ^{2} φ}{δxδy} = \frac{δ^{2} φ}{δyδx}).

Nechť naopak δ_{y} M = δ_{x} N, chceme φ splňující vztahy (∗). Vezměme δ_{x} φ = M a zintegrujme podle x (pro pevné y). To nám dává

φ(x, y) = ∫ ^{x} M(t, y) dt + ψ(y)

Aby δ_{y} φ = N, musím mít:

N = \frac{δφ}{δy} = \frac{δ}{δy} ∫ ^{x} M(t, y) dt + \frac{dψ}{dy} = ∫ ^{x} \frac{δM}{δy} (t, y) dt − \frac{dψ}{dy}

\frac{dψ}{dy} = N(x, y) − ∫ ^{x} \frac{δM}{δy} (t, y) dt

To je však funkce pouze podle y — když to zderivuji podle x, dostanu \frac{δN}{δx} − \frac{δM}{δy} = 0.

ψ(y) = ∫ ^{y} (N(x, y) − ∫ ^{x} \frac{δM}{δy} (t, y) dt)

φ(x, y) = ∫ ^{x} M(t, y) dt + ∫ ^{y} (N(x, s) − ∫ ^{x} \frac{δM}{δy} (t, y) dt) ds

Příklad:

\underbrace{(y cosx + 2xe^{y})}_{M} + \underbrace{(sinx + x^{2}e^{y} + 2)}_{N} \frac{dy}{dx} = 0

⟨cvičení⟩

M(x, y) + N(x, y)y′ = 0 je exaktní, právě když existuje φ = φ(x, y) takové, že δ_{x}φ = M, δ_{y}φ = N (φ(x, y(x))′ = 0, tj. φ(x, y(x)) = c). To si dokážeme v následujícím tvrzení.

VĚTA 4 ():

Mějme M, N, δ_{y}M, δ_{x}N: R → ℝ nechť jsou spojité, R = (α, β) × (γ, δ). Rovnice

M(x, y) + N(x, y)y′ = 0

je exaktní, právě když na R platí δ_{y}M = δ_{x}N. Je-li podmínka splněna, potom funkce

φ(x, y) = ∫_{x_{0}}^{x} M(s, y) ds + ∫_{y_{0}}^{y} \underbrace{(N(x, t) − ∫_{x_{0}}^{x} \frac{δM}{δy} (s, t) ds)}_{h(x,t)} dt

splňuje na R vztahy δ_{x}φ = M, δ_{y}φ = N (kde (x_{0}, y_{0}) ∈ R je libovolně zvolený bod).

DŮKAZ:

Nechť φ existuje. Pak dle V2.10-:

δ_{y}M = δ_{xy}^{2}φ = δ_{yx}^{2}φ = δ_{x}N

Martin Klazar — Matematická analýza III Obyčejné diferenciální rovnice — Rovnice vyšších řádů

Opačná implikace bude ale trochu pracnější. Nechť na R platí δ_{y}M = δ_{x}N:

δ_{x}h(x_{1}, t) = δ_{x}N(x_{1}, t) − δ_{y}M(x_{1}, t) = 0

(podle předpokladů). t je pevné, tedy h(x, t) je konstantní. h(x, y) závisí jen na y, tudíž

δ_{x}φ(x_{1}, y) = M(x_{1}, y)

a proto δ_{x}φ = M.

Ještě nám však zbývá druhá rovnost. Položme

g(x, y) := ∫_{x_{0}}^{x} M(s, y) ds

a všimněme si, že máme-li pro nějaké (x, y_{1}) ∈ R rovnost

δ_{y}g(x, y_{1}) = ∫_{x_{0}}^{x} δ_{y}M(s, y_{1}) ds

máme již vyhráno:

δ_{y}φ(x, y_{1}) = δ_{y}g(x, y_{1}) + N(x, y_{1}) − ∫_{x_{0}}^{x} \frac{δM}{δy} (s, y_{1}) ds

δ_{y}φ(x, y_{1}) = N(x, y_{1})
δ_{y}φ = N

Jak ale dokázat onu předokládanou rovnost? Mějme x ≥ x_{0}, h > 0 (y_{1} + h < δ). Existuje funkce Θ = Θ(s) taková, že

M(s, y_{1} + h) − M(s, y_{1}) − hδ_{y}M(s, y_{1} + Θ(s))

(to nám říká za předpokladu ∃ s ∈ [x_{0}, x] ⇒ 0 < Θ(s) < h Lagrangova věta o střední hodnotě).

\frac{g(x, y_{1} + h) − g(x, y_{1})}{h} = ∫_{x_{0}}^{x} \frac{M(s, y_{1} + h) − M(s, y_{1})}{h} ds = ∫_{x_{0}}^{x} δ_{y}M(s, y_{1} + θ(s)) ds

Přitom δ_{y}M je stejnoměrně spojitá na kompaktní podmnožině R, tedy pro dané ε > 0 existuje η > 0 takové, že s ∈ [x_{0}, x] ∧ Θ ∈ [0, η]. To ovšem znamená, že

|δ_{y}M(s, y_{1} + Θ) − δ_{y}M(s, y_{1})| < ε

Když však h < η,

| ∫_{x_{0}}^{x} δ_{y}M(s, y_{1} + Θ(s)) ds − ∫_{x_{0}}^{x} δ_{y}M(s, y_{1}) ds| ≤ ∫_{x_{0}}^{x} |d_{y}M(s, y_{1} + Θ(s)) − δ_{y}M(s, y_{1})| ds < ε(x − x_{0})

⟹ |\frac{g(x, y_{1} + h) − g(x, y_{1})}{h} − ∫_{x_{0}}^{x} δ_{y}M(s, y_{1}) ds| < ε(x − x_{0})

lim_{h→0} \frac{g(x, y_{1} + h) − g(x, y_{1})}{h} = ∫_{x_{0}}^{x} δ_{y}M(s, y_{1}) ds

Q.E.D.

Rovnice vyšších řádů

F (x, y, y′, y′′, …, y^{(n)}) = 0 (kde y = y(x)) platí na I ⊂ ℝ, právě když y_{1} = y′, y_{2} = y′_{1}, …, y_{n} = y′_{n−1}, F (x, y, y_{1}, y_{2}, …, y_{n}) = 0 a y, y_{1}, …, y_{n} jsou na F řešením této soustavy.

Tedy místo vícenásobných derivací jsme si zavedli nějaké další pomocné funkce, vždyť přeci y′′ = (y′)′. Lineární diferenciální rovnici n-tého řádu

y^{(n)} + a_{n−1}y^{(n−1)} + ⋯ + a_{0}y + b = 0 a_{i} = a_{i}(x)

můžeme tímto triviálním způsobem převést na lineární soustavu

y_{1} = y′ y_{2} = y′_{1} … y_{n} = y′_{n−1}
y_{n} + a_{n−1}y_{n−1} + ⋯ + a_{1}y_{1} + a_{0}y + b = 0

diferenciálních rovnic prvního řádu.

Soustava lineárních rovnic se ovšem dá řešit pomocí matic. Pro naši soustavu y′ = Ay + b, neboli

y′_{1} = a_{1,1}y_{1} + ⋯ + a_{1,n}y_{n} + b_{1}

⋮

y′_{n} = a_{n,1}y_{1} + ⋯ + a_{n,n}y_{n} + b_{n}

\begin{aligned}a_{i,j} & = a_{i,j}(x) \\ b_{i} & = b_{i}(x) \end{aligned} : I → ℝ spojité

kde y_{1}, …, y_{n} jsou neznámé funkce, můžeme vyrobit tyto matice:

y = ( y_{1} ; y_{2} ; ⋮ ; y_{n} )  A: I → ℝ^{n×n}  b: I → ℝ^{n}

VĚTA 5 ():

Buď I ⊂ ℝ otevřený interval, a_{i,j}, b_{i}: I → ℝ spojité, 1 ≤ i, j ≤ n, A := (a_{i,j}), b := (b_{1} ⋯ b_{n})^{T}, x_{0} ∈ I, y^{0} ∈ ℝ^{n}.

Pak soustava y′ = Ay + b s počáteční podmínkou y(x_{0}) = y^{0} má na I jediné řešení. Důkaz: Dělat nebudeme. Lze dokázat pomocí věty o kontrahujícím zobrazení. Q.E.D.

Definice:

Připomeňme si, že C^{1}(I) = {f : f má na I spojitou první derivaci}. Budeme pracovat ve vektorovém prostoru C^{1}(I)^{n} (n-tic takových funkcí) nad ℝ.

H := {y = (y_{1}, …, y_{n}) : y je na I řešení homogenní soustavy y′ = Ay }
M := {y = (y_{1}, …, y_{n}) : y je na I řešení nehomogenní soustavy y′ = Ay + b }

VĚTA 6 ():

H je vekotorvý podprostor C^{1}(I)^{n} dimenze n, M je afinní podprostor C^{1}(I)^{n} dimenze n, a navíc M = H + y pro každé y ∈ M.

DŮKAZ:

Má-li být H vektorový prostor, pro y^{1}, y^{2} ∈ H, α, β ∈ ℝ musí αy^{1} + βy^{2} ∈ H. (⟨cvičení⟩proč platí.) Dále pokud y ∈ M a h ∈ M, y +h ∈ M. ((y +h)′ = y′ +h′ = Ay +b+Ah = A(y +h)+b, tj. y + h ∈ M.)

Máme-li zadané y ∈, z ∈ M můžeme psát jako z = y + (z − y) a z − y ∈ H, tedy M = y + H. dimH = n plyne z V.5-: Vezměme libovolný bod x_{0} ∈ I; pro i = 1 … n mám y(i) ∈ M

takové, že y(i)(x_{0}) = (0, …, 0, 1, 0, …, 0) má jedničku na i-tém místě ((i) je prostě jen další index y). Nechť y ∈ H je libovolné, položme:

y(x_{0}) = ( y_{1}(x_{0}) ; ⋮ ; y_{n}(x_{0}) ) = ( π_{1} ; ⋮ ; π_{n} )

z := π_{1}y(a) + π_{2}y(2) + ⋯ + π_{n}y(n) ∈ H

z(x_{0}) = y(x_{0}) ⟹^{V.5-} z(x) = y(x) ∀x ∈ I

Takže y ∈ Lin({y(1), y(2), …, y(n)}) = H.

Q.E.D.

Definice:

Bázi H říkáme fundamentální systém řešení. Mějme f^{1}, …, f^{n}: I → ℝ^{n}. Pak Wronského determinant (wronoskián) definujeme jako

W_{f^{1} ,...,f^{n}}(x) =^{def} det ( \begin{matrix}f_{1}^{1}(x) & ⋯ & f_{1}^{n}(x) \\ ⋮ & & ⋮ \\ f_{n}^{1}(x) & ⋯ & f_{n}^{n}(x) \end{matrix} ): I → ℝ

VĚTA 7 ():

Mějme f^{1}, …, f^{n} ∈ H (množina řešení homogenní soustavy Ay = y′). Pak pro W := W_{f^{1} ,...,f^{n}} máme W (x_{0}) = 0 pro nějaké x_{0} ∈ I, právě když W (x) = 0 pro ∀x ∈ I.

DŮKAZ:

Je-li W (x_{0}) = 0, pro nějaké α_{i} ∈ ℝ (kde ne všechny α_{i} = 0) platí:

α_{1}f^{1}(x_{0}) + ⋯ + α_{n}f^{n}(x_{0}) = ( 0 ⋮ 0 )

Tedy ale podle V.5- máme

α_{1}f^{1}(x) + ⋯ + α_{n}f^{n}(x) = ( 0 ⋮ 0 )

pro ∀x ∈ I. Ale v tom případě W (x) = 0 pro ∀x ∈ I. Opačná implikace je triviální. Q.E.D.

f^{1}, …, f^{n} jsou řešení soustavy Ay = y′, W := W_{f^{1} ,...,f^{n}}. Buď W (x) ≠ 0 pro ∀x ∈ I, pak {f^{1}, …, f^{n}} je fundamentální systém řešení, nebo W (x) = 0 pro ∀x ∈ I a pak {f^{1}, …, f^{n}} fundamentální systém řešení není. Pro nalezení f. s. ř. nám tedy podle tvrzeí sedm stačí jen spočítat W v nějakém šikovném bodě.

VĚTA 8 (variace konstant):

{y^{1}, …, y^{n}} buď f. s. ř. pro soustavu Ay = y′,

Y := ((y^{1} ) (y^{2} ) (y^{3} )) = ( y_{1}^{1} y_{1}^{2} ⋯ y_{1}^{n} ; ⋮ ; y_{n}^{1} y_{n}^{2} ⋯ y_{n}^{n} )

a x_{0} ∈ I, y^{0} ∈ ℝ^{n}. Pak platí, že

y(x) = Y (x) (Y^{−1}(x_{0})y^{0} + ∫_{x_{0}}^{x} Y (t)b(t) dt)

je řešením soustavy y′ = Ay + b splňující y(x_{0}) = y^{0}.