\input /home/pasky/school/fastex/lib.tex


\subchapter{Metrick� prostory}{

\optnote{Zde se p�edn�ky zpo��tku p�ekr�vaj� s koncem p�edn�ek Anal�zy II.}

\definition{
	Metrick� prostor a topologick� prostor definujeme jako $(M,d)$,
	kde $d\colon M^2 \to \real_{\ge0}$, p�i�em�:
	\list{
	\listItem{$d(x,y) = d(y,x)$}
	\listItem{$d(x,y) = 0 \Leftrightarrow x = y$}
	\listItem{$d(x,y) \le d(x,z) + d(z,y)$}
	}
}

\note{
	Bijekci $f\colon M_1 \to M_2$ naz�v�me {\bf izometri�}, pokud:
	$$ d_1(x,y) = d_2(f(x),f(y))\qquad \forall x,y \in M_1 $$
}

\examples{
\list{
\listItem{$M = \real^n$, $p \ge 1$ re�ln�,
	$$ d_p(x,y) = \left(\sum_{i=1}^n \left|x_i-y_i\right|\,^p\right)^{1/p} $$
	\list{
	\listItem{$n = 1$: $|x-y|$}
	\listItem{$n \ge 2$, $p=2$: {\bf euklidovsk� metrika}
		$$ \sqrt{(x_1-y_1)^2+\cdots+(x_n-y_n)^2} $$
	}
	\listItem{$p = 1$: {\bf po�tovn� metrika}}
	\listItem{$p \to +\infty$: \M{d_\infty(x,y) = \max_{1\le i \le n} |x_i - y_i|} (\DCV), neboli {\bf maximov� metrika}}
	}
}
\listItem{$M = \{f : f\colon X \to \real, \textbox{$f$ je omezen�}\}$,
	$$ d(f,g) = \sup_{x \in X} |f(x) - g(x)| $$
	neboli {\bf supremov� metrika}. Pokud nav�c
	$$ M = C(a,b) = \{f : f\colon [a,b] \to \real, \textbox{$f$ je spojit�}\} $$
	jde o maximovou metriku.
}
\listItem{$M = C(a,b)$, $p \ge 1$ re�ln�,
	$$ d_p(f,g_ = \left(\int_a^b|f(x)-g(x)|^p\,dx\right)^{1/p} $$
	pak pro $p=1$ jde o {\bf integr�ln� metriku}
	a pro $p=2$ jde o metriku, ve kter� se objevuje skal�rn� sou�in.
	Pro $p\to+\infty$ konverguje (\DCV) k:
	$$ d_\infty(f,g) = \max_{[a,b]}|f(x)-g(x)| $$

	\shortnote{Pro $M=R(a,b)$ neplat�.}
}
\penalty500
\listItem{M�jme souvisl� graf $G=(M,E)$
	a metriku $d(u,v)$ jako po�et hran na $P$,
	$P$ je (n�jak�) nejkrat�� cesta spojuj�c� $u$ a $v$.
}
\listItem{$M=\intgr$, $p$ nech� je prvo��slo (nap�. $p = 29$).
	M�jme $z \in \intgr$, pak $m_p(z) = \max e \in \nat_0: p^e|z$,
	$m_p(0) = +\infty$. Zavedeme metriku
		$$ d_p(x,y) = 2^{-m_p(x-y)} $$
	neboli tzv. {\bf $p$-adickou metriku}.

	\shortexerc{$d_p(x,y)$ je {\bf ultrametrika}: $d_p(x,y)\le\max(d_p(x,z),d_p(z,y))$}
	\shortexerc{V ultrametrice jsou v�echny troj�heln�ky rovnoramenn�.}
	\shortexerc{Ka�d� bod koule je jej�m st�edem.}
}
}
}

\shortnote{Ve v�em dal�� bu� $(M,d)$ metrick� prostor.}

\definition{
	M�jme $a \in M$, $r > 0$:
	\list{
	\listItem{$B(a,r) := \{x \in M: d(a,x) < r\}$ je {\bf (otev�en�) koule}}
	\listItem{$\overline{B}(a,r) := \{x \in M: d(a,x) \le r\}$ je {\bf uzav�en� koule}}
	}

	Mno�ina $X \subset M$ je {\bf otev�en�}, pokud
	$\forall a \in X\ \existss r > 0: B(a,x) \subset X$.

	Mno�ina je {\bf uzav�en�}, pokud $M\setminus X$ je otev�en� mno�ina.
}

\shortexerc{Pokud $B(a,r)$ je otev�en� a $X$ je kone�n�, pak $X$ je uzav�en�.}

\theorem{1}{}{
	$\emptyset$ a $M$ jsou otev�en� i uzav�en�.

	Syst�m otev�en�ch mno�in se zachov�v� libovoln�mi sjednocen�mi a kone�n�mi pr�niky.

	Syst�m uzav�en�ch mno�in se zachov�v� p�i kone�n�ch sjednocen�ch a libovoln�ch pr�nic�ch.
}

\definition{
	Plat�-li $a \in M$, $a \in U$ a $U$ je otev�en�, pak $U$ je {\bf okol� bodu $a$}.

	M�me-li $a \in M$, $X \subset M$, pak $a$ je:
	\list{
	\listItem{{\bf vnit�n� bod $X$}: existuje okol� $U$ bodu $a$ takov�, �e $U \subset X$}
	\listItem{{\bf vn�j�� bod $X$}: existuje $U$ takov�, �e $U \subset M \setminus X$}
	\listItem{{\bf hrani�n� bod $X$}: nen� vnit�n�m ani vn�j��m bodem $X$,
		tedy pro $\forall U$ prot�n� $X$ a $M \setminus X$}
	\listItem{{\bf limitn� bod $X$}: $\forall U: X \cap U$ je nekone�n�}
	\listItem{{\bf izolovan� bod $X$}: $\existss U: U \cap X = \{a\}$}
	}

	Pro $X \subset M$ definujme uz�v�r $X$ jako
	$$\overline{X} = X \cup \{\hbox{limitn� body mno�iny $X$}\}$$
}

\penalty-2000

\example{
	M�jme $(M,d) = \real^2$ s euklidovskou metrikou,
	$$X = (B \setminus \{0\}) \cup \{p\}$$
	$$B = B(0,1)$$

	\asciiart{
       ,-. K (kru�nice)
      /   \
  ---(--0--)----+---
      \   /    p (2,0)
       `-'
         |-|
          1
	}

	\list{
	\listItem{Vnit�n� body $X$: $B \setminus \{0\}$}
	\listItem{Vn�j�� body $X$: $\real^2 \setminus (\overline{B}(0,1)\cup\{p\})$}
	\listItem{Hrani�n� body $X$: $K \cup \{0,p\}$}
	\listItem{Limitn� body $X$: $\overline{B}(0,1)$}
	\listItem{Izolovan� body $X$: $\{p\}$}
	\listItem{$\overline{X} = \overline{B}(0,1)\cup\{p\}$}
	}
}

\theorem{2}{}{
	$X \subset M$ je uzav�en�, pr�v� kdy� $X = \overline{X}$.

	\proof{
	\proofrightimpl{
		Nech� $X$ je uzav�en�.
		Tedy $M \setminus X$ je otev�en�, a kdy� $a \in M \setminus X$,
		pak $U = M \setminus X$ je okol� a neprot�n� jin� $X$,
		tak�e $a$ nen� limitn�m bodem $X$, ergo $X = \overline{X}$.
	}
	\proofleftimpl{
		Nech� $X=\overline{X}$, $a \in M\setminus X$
		nen� limitn�m bodem $X$, tedy existuje $U$ okol� $a$
		takov�, �e $U \cap X$ je kone�n�.
		Tedy existuje okol� $U_a$ bodu $a$ takov�, �e $U_a \cap X = \emptyset$
		(tj. $U_a \subset M \setminus X$).

		$M \setminus X = \bigcup_{a \in M \setminus X} U_a$
		a tedy $M \setminus X$ je otev�en� mno�ina,
		tud�� nutn� $X$ je uzav�en�.
	}
	\qed
	}
}

\definition{
	$(x_n)_{n \ge 1} \subset M$, $\lim{n\to\infty} x_n = a \in M$, $x_n \to a$:

	\list{
	\alistItem{$\forall U\ \existss n_0: n \ge n_0 \Rightarrow x_n \in U$}
	\alistItem{$\forall \eps\ \existss n_0,\ \forall n \ge n_0: d(x_n,a) < \eps$}
	\alistItem{\M{\lim_{n\to\infty} d(x_n,a) = 0}}
	}

	$(x_n) \subset M$ je {\bf Cauchyovsk�}, pokud
	$$ \forall \eps > 0\ \existss n_0,\ \forall m,n\ge n_0: d(x_m,x_n) < \eps $$
}

\penalty-1000

\theorem{3}{}{
	M�jme $a \in M$, $X \subset M$. Potom (dle V2):
	$$ a \in \overline{X} \Longleftrightarrow a \in x \, \lor \, \existss (x_n) \subset X: x_n \to a $$
	\shortproof{\DCV}
}

\definition{
	M�jme metrick� prostory $(M_1,d_1)$, $(M_2,d_2)$.
	�ekneme, �e $M_1$ je {\bf podprostor} $M_2$,
	pokud $M_1 \subset M_2$ a $\forall x,y \in M_1: d_1(x,y) = d_2(x,y)$.

	\shortnote{$X \subset M$ je t� metrick� prostor $(X,d)$, s indukovanou metrikou.
		Dostaneme podprostor $(M,d)$.}

	Sou�in $(M,d_1)$ a $(M,d_2)$: $(M_1 \times M_2, d)$, kde
	$$ v_1 := d_1(x_1,y_1) $$
	$$ v_2 := d_2(x_2,y_2) $$

	$d(x,y)$ pak m��eme definovat jako
	\list{
	\listItem{$\sqrt{v_1^2 + v_2^2}$}
	\listItem{$v_1 + v_2$}
	\listItem{$\max(v_1,v_2)$}
	}
	(jak se brzy dozv�me, v topologick�m prostoru jsou v�echny v jist�m smyslu shodn�).
}

Pozor! M�me-li $(0,1) \subset \real^n$ jako $M_1 \subset M_2$
s euklidovskou metrikou $d(x,y) = |x-y|$ a posloupnost� $x_n = 1/n$,
pak $(x_n)$ konverguje v $M_2$ ale nekonverguje v $M_1$.

Stejn� tak $(0,1)$ je uzav�en� mno�ina v $M_1$, ale nen� uzav�en� v $M_2$.
M�me-li $\{0\} \subset \real$ jako $M_1 \subset M_2$,
pak $\{0\}$ je otev�en� v $M_1$, ale ne v $M_2$.

}


\bend
