\input /home/pasky/school/fastex/lib.tex


\subchapter{Metrické prostory}{

\optnote{Zde se přednášky zpočátku překrývají s koncem přednášek Analýzy II.}

\definition{
	Metrický prostor a topologický prostor definujeme jako $(M,d)$,
	kde $d\colon M^2 \to \real_{\ge0}$, přičemž:
	\list{
	\listItem{$d(x,y) = d(y,x)$}
	\listItem{$d(x,y) = 0 \Leftrightarrow x = y$}
	\listItem{$d(x,y) \le d(x,z) + d(z,y)$}
	}
}

\note{
	Bijekci $f\colon M_1 \to M_2$ nazýváme {\bf izometrií}, pokud:
	$$ d_1(x,y) = d_2(f(x),f(y))\qquad \forall x,y \in M_1 $$
}

\examples{
\list{
\listItem{$M = \real^n$, $p \ge 1$ reálné,
	$$ d_p(x,y) = \left(\sum_{i=1}^n \left|x_i-y_i\right|\,^p\right)^{1/p} $$
	\list{
	\listItem{$n = 1$: $|x-y|$}
	\listItem{$n \ge 2$, $p=2$: {\bf euklidovská metrika}
		$$ \sqrt{(x_1-y_1)^2+\cdots+(x_n-y_n)^2} $$
	}
	\listItem{$p = 1$: {\bf poštovní metrika}}
	\listItem{$p \to +\infty$: \M{d_\infty(x,y) = \max_{1\le i \le n} |x_i - y_i|} (\DCV), neboli {\bf maximová metrika}}
	}
}
\listItem{$M = \{f : f\colon X \to \real, \textbox{$f$ je omezená}\}$,
	$$ d(f,g) = \sup_{x \in X} |f(x) - g(x)| $$
	neboli {\bf supremová metrika}. Pokud navíc
	$$ M = C(a,b) = \{f : f\colon [a,b] \to \real, \textbox{$f$ je spojitá}\} $$
	jde o maximovou metriku.
}
\listItem{$M = C(a,b)$, $p \ge 1$ reálné,
	$$ d_p(f,g_ = \left(\int_a^b|f(x)-g(x)|^p\,dx\right)^{1/p} $$
	pak pro $p=1$ jde o {\bf integrální metriku}
	a pro $p=2$ jde o metriku, ve které se objevuje skalární součin.
	Pro $p\to+\infty$ konverguje (\DCV) k:
	$$ d_\infty(f,g) = \max_{[a,b]}|f(x)-g(x)| $$

	\shortnote{Pro $M=R(a,b)$ neplatí.}
}
\penalty500
\listItem{Mějme souvislý graf $G=(M,E)$
	a metriku $d(u,v)$ jako počet hran na $P$,
	$P$ je (nějaká) nejkratší cesta spojující $u$ a $v$.
}
\listItem{$M=\intgr$, $p$ nechť je prvočíslo (např. $p = 29$).
	Mějme $z \in \intgr$, pak $m_p(z) = \max e \in \nat_0: p^e|z$,
	$m_p(0) = +\infty$. Zavedeme metriku
		$$ d_p(x,y) = 2^{-m_p(x-y)} $$
	neboli tzv. {\bf $p$-adickou metriku}.

	\shortexerc{$d_p(x,y)$ je {\bf ultrametrika}: $d_p(x,y)\le\max(d_p(x,z),d_p(z,y))$}
	\shortexerc{V ultrametrice jsou všechny trojúhelníky rovnoramenné.}
	\shortexerc{Každý bod koule je jejím středem.}
}
}
}

\shortnote{Ve všem další buď $(M,d)$ metrický prostor.}

\definition{
	Mějme $a \in M$, $r > 0$:
	\list{
	\listItem{$B(a,r) := \{x \in M: d(a,x) < r\}$ je {\bf (otevřená) koule}}
	\listItem{$\overline{B}(a,r) := \{x \in M: d(a,x) \le r\}$ je {\bf uzavřená koule}}
	}

	Množina $X \subset M$ je {\bf otevřená}, pokud
	$\forall a \in X\ \existss r > 0: B(a,x) \subset X$.

	Množina je {\bf uzavřená}, pokud $M\setminus X$ je otevřená množina.
}

\shortexerc{Pokud $B(a,r)$ je otevřená a $X$ je konečná, pak $X$ je uzavřená.}

\theorem{1}{}{
	$\emptyset$ a $M$ jsou otevřené i uzavřené.

	Systém otevřených množin se zachovává libovolnými sjednoceními a konečnými průniky.

	Systém uzavřených množin se zachovává při konečných sjednoceních a libovolných průnicích.
}

\definition{
	Platí-li $a \in M$, $a \in U$ a $U$ je otevřená, pak $U$ je {\bf okolí bodu $a$}.

	Máme-li $a \in M$, $X \subset M$, pak $a$ je:
	\list{
	\listItem{{\bf vnitřní bod $X$}: existuje okolí $U$ bodu $a$ takové, že $U \subset X$}
	\listItem{{\bf vnější bod $X$}: existuje $U$ takové, že $U \subset M \setminus X$}
	\listItem{{\bf hraniční bod $X$}: není vnitřním ani vnějším bodem $X$,
		tedy pro $\forall U$ protíná $X$ a $M \setminus X$}
	\listItem{{\bf limitní bod $X$}: $\forall U: X \cap U$ je nekonečná}
	\listItem{{\bf izolovaný bod $X$}: $\existss U: U \cap X = \{a\}$}
	}

	Pro $X \subset M$ definujme uzávěr $X$ jako
	$$\overline{X} = X \cup \{\hbox{limitní body množiny $X$}\}$$
}

\penalty-2000

\example{
	Mějme $(M,d) = \real^2$ s euklidovskou metrikou,
	$$X = (B \setminus \{0\}) \cup \{p\}$$
	$$B = B(0,1)$$

	\asciiart{
       ,-. K (kružnice)
      /   \
  ---(--0--)----+---
      \   /    p (2,0)
       `-'
         |-|
          1
	}

	\list{
	\listItem{Vnitřní body $X$: $B \setminus \{0\}$}
	\listItem{Vnější body $X$: $\real^2 \setminus (\overline{B}(0,1)\cup\{p\})$}
	\listItem{Hraniční body $X$: $K \cup \{0,p\}$}
	\listItem{Limitní body $X$: $\overline{B}(0,1)$}
	\listItem{Izolované body $X$: $\{p\}$}
	\listItem{$\overline{X} = \overline{B}(0,1)\cup\{p\}$}
	}
}

\theorem{2}{}{
	$X \subset M$ je uzavřená, právě když $X = \overline{X}$.

	\proof{
	\proofrightimpl{
		Nechť $X$ je uzavřená.
		Tedy $M \setminus X$ je otevřená, a když $a \in M \setminus X$,
		pak $U = M \setminus X$ je okolí a neprotíná jiné $X$,
		takže $a$ není limitním bodem $X$, ergo $X = \overline{X}$.
	}
	\proofleftimpl{
		Nechť $X=\overline{X}$, $a \in M\setminus X$
		není limitním bodem $X$, tedy existuje $U$ okolí $a$
		takové, že $U \cap X$ je konečná.
		Tedy existuje okolí $U_a$ bodu $a$ takové, že $U_a \cap X = \emptyset$
		(tj. $U_a \subset M \setminus X$).

		$M \setminus X = \bigcup_{a \in M \setminus X} U_a$
		a tedy $M \setminus X$ je otevřená množina,
		tudíž nutně $X$ je uzavřená.
	}
	\qed
	}
}

\definition{
	$(x_n)_{n \ge 1} \subset M$, $\lim{n\to\infty} x_n = a \in M$, $x_n \to a$:

	\list{
	\alistItem{$\forall U\ \existss n_0: n \ge n_0 \Rightarrow x_n \in U$}
	\alistItem{$\forall \eps\ \existss n_0,\ \forall n \ge n_0: d(x_n,a) < \eps$}
	\alistItem{\M{\lim_{n\to\infty} d(x_n,a) = 0}}
	}

	$(x_n) \subset M$ je {\bf Cauchyovská}, pokud
	$$ \forall \eps > 0\ \existss n_0,\ \forall m,n\ge n_0: d(x_m,x_n) < \eps $$
}

\penalty-1000

\theorem{3}{}{
	Mějme $a \in M$, $X \subset M$. Potom (dle V2):
	$$ a \in \overline{X} \Longleftrightarrow a \in x \, \lor \, \existss (x_n) \subset X: x_n \to a $$
	\shortproof{\DCV}
}

\definition{
	Mějme metrické prostory $(M_1,d_1)$, $(M_2,d_2)$.
	Řekneme, že $M_1$ je {\bf podprostor} $M_2$,
	pokud $M_1 \subset M_2$ a $\forall x,y \in M_1: d_1(x,y) = d_2(x,y)$.

	\shortnote{$X \subset M$ je též metrický prostor $(X,d)$, s indukovanou metrikou.
		Dostaneme podprostor $(M,d)$.}

	Součin $(M,d_1)$ a $(M,d_2)$: $(M_1 \times M_2, d)$, kde
	$$ v_1 := d_1(x_1,y_1) $$
	$$ v_2 := d_2(x_2,y_2) $$

	$d(x,y)$ pak můžeme definovat jako
	\list{
	\listItem{$\sqrt{v_1^2 + v_2^2}$}
	\listItem{$v_1 + v_2$}
	\listItem{$\max(v_1,v_2)$}
	}
	(jak se brzy dozvíme, v topologickém prostoru jsou všechny v jistém smyslu shodné).
}

Pozor! Máme-li $(0,1) \subset \real^n$ jako $M_1 \subset M_2$
s euklidovskou metrikou $d(x,y) = |x-y|$ a posloupností $x_n = 1/n$,
pak $(x_n)$ konverguje v $M_2$ ale nekonverguje v $M_1$.

Stejně tak $(0,1)$ je uzavřená množina v $M_1$, ale není uzavřená v $M_2$.
Máme-li $\{0\} \subset \real$ jako $M_1 \subset M_2$,
pak $\{0\}$ je otevřená v $M_1$, ale ne v $M_2$.

}


\bend