\input /home/pasky/school/fastex/lib.tex \scpart{Normovaný vektorový prostor}{ Normovaný vektorový prostor (nad $\real$) $X$: $||\cdot||\colon X \to \real$ splňující (pro $y,x \in X$, $\lambda \in \real$) \list{ \listItem{$||x|| \ge 0$, $||x|| = 0 \Leftrightarrow x = 0$} \listItem{$||\lambda x|| = |\lambda| ||x||$} \listItem{$||x+y|| \le ||x|| + ||y||$} } $d(x,y) := || x - y ||$ je metrika. \example{ $\real^n$ s metrikou $d_p$ je normovaný vektorový prostor, $$ ||x||_p = (|x_1|^p+\cdots+|x_n|^p)^{1/p} $$ $$ ||x||_\infty = \max_{1\le i \le n} |x_i $$ Podobně pro $C[a,b]$. } \shortdef{Banachův prostor}{Normovaný vektorový prostor, pro nějž je metrika $d(x,y) = || x - y ||$ úplná.} } \scpart{Vektorový prostor se skalárním součinem}{ Mějme $X$ vektorový prostor nad $\real$ se zobrazením $\left<\cdot,\cdot\right>\colon X \times X \to \real$: \list{ \listItem{$\left\ge 0$, $\left = 0 \Leftrightarrow x=0$} \listItem{$\left<\kappa x + \lambda x', y\right> = \kappa\left + \lambda\left$\hfill$\forall x,x',y \in X,\ \forall \kappa,\lambda \in \real$} \listItem{$\left = \left$} } \example{ Mějme $\real^n$, pak $$ \left = x_1y_1 + x_2y_2 + \cdots + x_my_m $$ Mějme $C[a,b]$, pak $$ \left = \int_a^b f(x)g(x)\,dx $$ } Každý vektorový prostor se skalárním součinem je normovaný vektorový prostor (tedy i metrický, tedy i topologický prostor), neboť: $$ || x || := \sqrt{\left} $$ Dle Cauchyho--Schwarzovy nerovnosti (vezměme ji jako {\bf V1}) platí trojúhelníková nerovnost: $$ X\hskip0.25em \hbox{má skal. součin},\ x,y \in X \Rightarrow \left^2 \le \left\left $$ (rovnost nastává právě, když $x = cy$ kde $c \in \real$). $$ \Longrightarrow \left \le \sqrt{\left\left} \Longleftrightarrow $$ $$ \eqalign{ \left + \left + 2\left &\le \left(\sqrt{\left}+\sqrt{\left}\right)^2 \cr \left &\le \left(\sqrt{\left}+\sqrt{\left}\right)^2 \cr \sqrt{\left} &\le \sqrt{\left}+\sqrt{\left} \cr ||x+y|| &\le ||x||+||y||} $$ \shortdef{Hilbertův prostor}{Úplný vektorový prostor se skal. součinem (tj. $d(x,y) = \sqrt{\left}$).} } \penalty-200 Budeme uvažovat $\real^m$, $$ \left = x_1y_1 + \cdots + x_my_m $$ $$ ||x||_2 = ||x|| = |x| = \sqrt{\left} = \sqrt{x_1^2 + \cdots + x_m^2} $$ a dále otevřenou $D \subset \real^m$, $f\colon D \to \real$, $a \in D$. \list{ \listItem{Derivace funkce $f$ v bodě $a$ ve směru $v$ ($v \in \real^m$, $v \ne 0$) je limita $$ \lim_{t\to0} {f(a+vt)-f(a)\over t} =: D_vf(a) $$ Např. vezmeme částici a pošleme ji ve směru $v$ skrz $D$ (tedy poletí po přímce $a+vt$, $t \in \real$), $f$ bude měřit teplotu v $D$. Pak okamžitá změna teploty částice v bodě $a$ je právě $D_vf(a)$. $$ f(a+vt) = f(a) + D_vf(a)\cdot t + o(t)\qquad t \to 0 $$ (kde $o(t)$ je nějaká mrňavá chyba, která ještě navíc jde sama taky k nule). } \listItem{Parciální derivace funkce $f$ v bodě $a$ podle proměnné $x_i$ ($1\le i \le m$) je limita $$ \lim_{h\to0} {f(a_1,\ldots,a_{i-1},a_i+h,a_{i+1},\ldots,a_m)-f(a_1,a_2,\ldots,a_m)\over h} =: {\delta f \over \delta x_i}(a) $$ $$ {\delta f \over \delta x_i}(a) = Df_{e_i}(a) $$ {\bf Gradientem} funkce $f$ v bodě $a$ nazveme $$ \grad f(a) = \left({\delta f \over \delta x_1}(a), {\delta f \over \delta x_2}(a),\ldots, {\delta f \over \delta x_m}(a)\right) $$ \example{ $$ {\delta (yx^2e^y - z^3 \arctg x) \over \delta y} = x^2(e^y + ye^y) $$ } } \listItem{Funkce $f$ má v bodě $a$ {\bf (totální) diferenciál} (neboli je $f$ v $a$ {\bf diferencovatelná}), existuje-li linearní zobrazení $L\colon \real^m \to \real$ takové, že $$ \lim_{v\to\overline{0}} {f(a+v) - f(a) - L(v) \over ||v||} = 0 $$ $$ \Longleftrightarrow f(a+v) = f(a) + L(v) + o(||v||) \qquad v \to \overline{0} $$ ($v \to \overline{0}$ přitom znamená, že jeho euklidovská vzdálenost od nulového vektoru jde k nule). Mohu vzít $L$ podle $a$, tedy $L = L_a$, nebo také $L := Df(a)$, $L(v) = Df(a)(v)$. \smallskip Mějme $f\colon D \to \real^n$, tj. $f = (f_1,f_2,\ldots,f_n)$, $f_i\colon D \to \real$. Pak $f$ má v $a$ (totální) diferenciál, existuje-li lineární zobrazení $L\colon \real^m\to\real^n$ takové, že $$ \lim_{v\to\overline{0}} {||f(a+v)-f(a)-L(v)|| \over ||v||} = 0 $$ $$ \Longleftrightarrow f(a+v) = f(a) + L(v) + \alpha(v) \qquad v \to \overline{0} $$ Přitom $\alpha\colon \real^m \to \real^n$, kde $$ || \alpha(v) || = o(||v||) \qquad v \to \overline{0} = \undernote{(0,0,\ldots,0)}{m} $$ } } \penalty-500 \theorem{2}{vlastnosti totálního diferenciálu}{ Mějme $D \subset \real^m$, $f = (f_1,\ldots,f_n)$. \list{ \listItem{$f\colon D \to \real^n$ je diferencovatelná v bodě $a \in D$, právě když každá $f_i\colon D \to \real$ je diferencovatelná v bodě $a$. } \listItem{Je-li $f\colon D \to \real^n$ diferencovatelná v bodě $a \in D$, je v $a$ také spojitá. } \listItem{Je-li $f\colon D \to \real$ diferencovatelná v bodě $a \in D$, má v $a$ všechny parciální derivace ${\delta f \over \delta x_i}(a)$, $$ Df(a)(h) = {\delta f \over \delta x_1}(a)h_1 + {\delta f \over \delta x_2}(a)h_2 + \cdots + {\delta f \over \delta x_m}(a)h_m $$ } \listItem{Je-li $f\colon D \to \real$ diferencovatelná v bodě $a \in D$ a máme-li $0 \ne v \in \real^m$, pak $$ D_vf(a) = Df(a)(v) $$ } } \proof{ \list{ \listItem{Cvičení na definice.} \listItem{Zřejmé.} \listItem{Vezměme $L = Df(a)$, to znamená: $$ L(h) = L(\sum_{i=1}^m h_ie_i) = \sum_{i=1}^m h_iL(e_i) = \alpha_1h_1 + \cdots + \alpha_mh_m $$ $$ f(a+te_i) - f(a) = L(te_i) + o(||te_i||) = tL(e_i) + o(|t|) = t\alpha_i + o(|t|) \derived \alpha_i - {\delta f \over \delta x_i}(a) $$ } \listItem{Podobně, \DCV.} } \qed } \shortimpl{$Df(a)$ je jednoznačně určený.} \ias{}{2}{(iii)} můžeme dále zobecnit jako $$ \left<\grad f(a),h\right> = \left(\diff{f}{x_1}(a),\ldots,\diff{f}{x_m}(a)\right) \cdot \pmatrix{h_1 \cr h_2 \cr \vdots \cr h_m} $$ } \definition{ Mějme $D \subset \real^m$, $f\colon D \to \real^n$. Pak definujme {\bf Jacobiho matici zobrazení} $f$ v bodě $a$ jako $$ Df(a) = \left(\diff{f_i}{x_j}(a)\right)_{i = 1\ldots n \atop j=1 \ldots m} $$ \shortdef{Jakobián}{Determinant Jacobiho matice, postavíme-li $m=n$.} } \penalty-500 \impl{ % 3 $$ Df(a)(h) = \pmatrix{ l_{1,1} & l_{1,2} & \ldots & l_{1,m} \cr l_{2,1} & l_{2,2} & \ldots & l_{2,m} \cr \vdots & & & \vdots \cr l_{n,1} & l_{n,2} & \ldots & l_{n,m} } \cdot \pmatrix{h_1 \cr h_2 \cr \vdots \cr h_m} = (\ldots) \in \real^n$$ $$l_{i,j} = \left(\diff{f_i}{x_j}(a)\right)$$ \shortnote{Všimněme si, že řádky tvoří gradienty $f_i$.} } \examples{ \list{ \listItem{Vezměme $f\colon \real^2 \to \real$ a definujme ji jako $$ f = \cases{1 & $y = x^2$ \cr 0 & jinak} $$ Pak pro $a = \overline{0}$ platí $$ D_vf(\overline{0}) = 0 \qquad \forall v $$ ale $f$ není spojitá v $\overline{0}$. } \listItem{Na osách $f=1$, jinak $f=0$. Pak pro $a=0$ platí $$ \diff{f}{x}(\overline{0}) = \diff{f}{y}(\overline{0}) = 0 $$ ale $f$ nemá žádnou jinou směrovou derivaci. } } } \theorem{4}{o vztahu parciálních derivací a diferenciovatelnosti}{ Mějme $f\colon V \to \real$ a $U \subset \real^m$ okolí $a$. $f$ nechť má na $U$ všechny parciální derivace a každá $\diff{f}{x_i}$ nechť je spojitá v $a$. Pak $f$ je v bodě $a$ diferencovatelná. \proof{ Hlavní myšlenka (podrobně v učebním textu): $m = 2$, vezměme $a = (0,0)$. Spojme $a$ s nějakým bodem $h$ v $U$ lomenou úsečkou $s_1,\ldots,s_n$. Pak dle Lagrangovy věty o střední hodnotě přírůstek $f$ na $s_i$ bude $\diff{f}{x_i}(\zeta)\cdot h_i$. $$ f(h) - f(\overline{0}) = \sum_{i=1}^m \textbox{přírůstek $f$ na $s_i$} = \sum_{i=1}^m \diff{f}{x_i}(\zeta_i)h_i = $$ (kde bod $\zeta_i$ leží někde na úsečce $s_i$). $$ = \sum_{i=1}^m \diff{f}{x_i}(\overline{0}) + o(||h||) $$ \qed } } \penalty -500 \theorem{5}{}{ Nechť $f$ je spojitá na úsečce $u$ a diferenciovatelná v každém vnitřním bodě $u$. Pak $$\existss \zeta \in u: f(b) - f(a) = Df(\zeta)(b-a)$$ \proof{ Vezměme $F\colon [0,1]\to\real$ a nadefinujme si ji jako $F(t) = f(a+th)$, $h = b-a$, $t \in [0,1]$. $F$ je z předpokladu spojitá na $[0,1]$, $$ F' = \lim_{\Delta\to 0} {f(a+th+\Delta h) - f(a+th) \over \Delta} = $$ $$ = \lim_{\Delta\to 0} {Df(a+th)(\Delta h) + o(\overbrace{||\Delta h||}^{|\Delta|\cdot||h||}) \over \Delta} = Df(a+th)(h) $$ Lagrangova věta o střední hodnotě tvrdí, že $$ \existss t_0 \in (0,1): F(1) - F(0) = F'(t_0) = Df(\undernote{a+t_0h}{\zeta})(h) $$ \qed } \impl{ $D \subset \real^m$ buď otevřená a souvislá, $f\colon D \to \real$, $Df(a) = {\tilde 0}$ (nulové lineární zobrazení) pro $\forall a \in D$. Pak $f$ je na $D$ konstantní. \proof{ Vezměme nějaké dva body $a$ a $b$ a spojme je lomenou čarou (to umíme z \ias{1}{15}{}). Pak hodnoty v ``bodech zlomu'' (nazvěme je $c_1,\ldots,c_n$) budou dle \ias{}{5}{} všechny stejné: $$f(a) = f(c_1) = f(c_2) = f(c_3) = \cdots = f(b)$$ $$ f(c_2) - f(c_1) = \undernote{Df(\zeta)}{\tilde 0}(c_2-c_1)=0 \Rightarrow f(c_2) = f(c_3) $$ \qed } } } \example{ Mějme $a \in U \subset \real^m$, $f\colon V \to \real$, $v \in \real^m$, $||v||=1$ $$ D_vf(a) = \lim_{t\to0} {f(a+tv)-f(a) \over t} $$ Pro jaký směr $v$ je $|D_vf(a)|$ $c_0$ největší? Předpokládejme, že existuje $Df(a)$. Pak $D_vf(a) = Df(a)(v)$. $$ |D_vf(a)| = |Df(a)(v)|=|\left<\grad f(a),v \right>| $$ To ale umíme odhadnout Cauchy--Schwarzovou nerovností jako $$ \le || \grad f(a)|| \cdot ||v|| = ||\grad f(a)|| $$ a navíc víme, že rovnost nastává, právě když $v$ je nějaký násobek gradientu. Protože $v$ je jednotkový vektor, takové jsou právě dva: $$ v^+ = {1 \over || \grad f(a) ||} \grad f(a) $$ $$ v^- = - {1 \over || \grad f(a) ||} \grad f(a) $$ $v^+$ a $v^-$ jsou ony směry největšího růstu, resp. poklesu funkce $f$ v bodě $a$. Ten je tedy určen gradientem. } \penalty-500 \scpart{Tečná (nad)rovina}{ Mějme $D \subset \real^2$ otevřenou, $f \colon D \to \real$, $(x_0,y_0) \in D$. Pak {\bf plocha} bude $\{(x,y,f(x,y)): (x,y) \in D\}$. Nechť $f$ má v bodě $(x_0,y_0)$ diferenciál: $$ f(x,y) = f(x_0,y_0) + \diff{f}{x}(x_0,y_0)(x-x_0) + \diff{f}{y}(x_0,y_0)(y-y_0) + o(\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}) $$ Zapomeňme na chybu a vezměme pouze afinní funkci: $$ z(x,y) = \undernote{f(x_0,y_0)}{z_0} + \diff{f}{x}(x_0,y_0)(x-x_0) + \diff{f}{y}(x_0,y_0)(y-y_0) $$ Graf $T$ této funkce pak nazveme {\bf tečnou rovinou} $T$ k ploše $P$ v bodě $(x_0,y_0,z_0=f(x_0,y_0))$. \medskip Všimněme si, že $T$ je jediná rovina $L=L(x,y)=z_0+A(x-x_0)+B(y-y_0)$, která splňuje $$ f(x,y) = L(x,y) + o(\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}) $$ $$ \diff{f}{x}(x_0,y_0)(x-x_0) + \diff{f}{y}(x_0,y_0)(y-y_0) - (z-z_0) = 0 $$ $$ \grad f((x_0,y_0)) = \left(\diff{f}{x}(x_0,y_0),\diff{f}{y}(x_0,y_0)\right) $$ $$ V \in \real^3 = \left(\diff{f}{x}(x_0,y_0),\diff{f}{y}(x_0,y_0),-1\right) $$ $$ \left = 0\qquad \forall (x,y,z) \in T $$ Tedy $V$ je kolmý na $T$, neboli $V$ je normálový vektor roviny $T$. } \theorem{7}{}{ Mějme otevřenou $U \subset \real^m$, funkce $f,g\colon U \to \real$ a nějaký bod $a \in U$. Nechť $f,g$ jsou definované~v~$a$: \list{ \listItem{Pak i $\kappa f + \lambda y$ je diferencovatelná v $a$ a má v $a$ diferenciál: $$ \kappa Df(a) + \lambda Dg(b) $$ } \listItem{I $fg$ je diferencovatelná v $a$ a má v $a$ diferenciál: $$ g(a) \cdot Df(a) + f(a) \cdot Dg(a) $$ } \listItem{Pokud $g(a) \ne 0$, pak i $f/g$ je diferencovatelná v $a$ a má v $a$ diferenciál: $$ 1/g(a)^2(f(a)\cdot Df(a) - f(a)\cdot Dg(a)) $$ } } \shortproof{Nebudeme dělat, vyjde se z definice diferenciálu. \sqed} \shortnote{(i) platí i v situaci $f,g\colon U \to \real^k$} \medskip \penalty-500 Podobně i pro parciální derivace: \list{ \listItem{\M{ \diff{(\kappa Df(a) + \lambda Dg(b))}{x_i}(a) = \kappa \diff{f}{x_i}(a)+\lambda\diff{g}{x_i}g(a) }} \medskip \listItem{\M{ \diff{fg}{x_i}(a) = \diff{f}{x_i}(a)\cdot g(a) + f(a)\cdot\diff{g}{x_i}(a) }} \medskip \listItem{\M{ \diff{f/g}{x_i}(a) = {\diff{f}{x_i}(a)\cdot g(a) - f(a)\cdot\diff{g}{x_i}(a) \over g(a)^2} }} } } \theorem{8}{o diferenciálu složeného zobrazení}{ Mějme otevřené $U \subset \real^m$ a $V \subset \real^n$, $f\colon U \to V$, $g\colon V \to \real^k$. Vezměme $a \in U$, $b = f(a) \in V$. Předpokládáme, že $f$ je diferencovatelné v $a$ a $g$ je diferencovatelné v $b$. Pak $h = g \circ f\colon U \to \real^k$ je diferenciál v bodě $a$ a pro diferenciál $h$ v $a$ máme: $$ Dh(a) = Dg(b) \circ Df(a) $$ \lemma{ 9}{ V řeči Jacobiho matic: $$ \left(\diff{h_i}{x_j}(a)\right)_{i,j=1}^{k,m} = \left(\diff{g_i}{x_j}(b)\right)_{i,j=1}^{k,n} \left(\diff{f_i}{x_j}(a)\right)_{i,j=1}^{n,m} = $$ $$ \left(\sum_{v=1}^n \diff{g_i}{x_v}(b)\cdot\diff{f_v}{x_j}(a) \right)_{i,j=1}^{k,m} $$ V případě $k=1$ je to pak zvláště zajímavé, protože $f_i\colon U \subset \real^m \to \real$, $g\colon V \to \real$, $h\colon U \subset \real^m \to \real$: $$ h = g(f_1,f_2,\ldots,f_n) $$ $$ \diff{h}{x_i}(a) = \sum_{j=1}^n \diff{g}{x_j}(f(a))\cdot\diff{f_j}{x_i}(a) $$ Pro počítání se složenými funkcemi se v praxi hodí tzv. {\bf řetízkové pravidlo}: $$ = \left<\grad g(f(a)),f'(a)\right> $$ $$ f=(f_1,\ldots,f_n), \quad f'=(f_1',\ldots,f_n') $$ \example{ Jak souvisí řetízkové pravidlo a zákon zachování energie? Vezměme otevřenou $U \subset \real^m$ a na ní zobrazení $F\colon U \to \real^m$. Toto zobrazení si představme jako {\it silové pole}, které nám říká, jak velká síla (a~jakým směrem) působí ve~všech bodech $U$. Pošleme množinou $U$ nějakou částici po dráze $\gamma\colon [0,1]\to U$ ($\gamma = (\gamma_1(t),\ldots,\gamma_m(t))$). Předpokládejme, že dráha bude plně určena silovým polem $F$. Vyjděme z {\it Newtonova zákona síly} (síla = hmotnost $\times$ zrychlení): $$ F(\gamma(t)) = m\gamma''(t) $$ $$ \gamma'' = (\gamma_1''(t),\ldots,\gamma_m''(t)) $$ (všimněme si, že $\gamma''$ představuje vektor zrychlení). Druhý fyzikální předpoklad bude, že existuje funkce $f\colon U \to \real$ taková, že $$ a \in U\colon F(a) = -\grad f(a) $$ (tzv. konzervativní pole). Potenciál $f(a)$ definujme jako potenciální energii částice, je-li v~bodě $a$. Kinetická energie částice v čase $t \in [0,1]$ bude: $$ m/2\cdot v(t)^2 = m/2\cdot \gamma'(t)^2 = m/2\cdot \left<\gamma'(t),\gamma'(t)\right> = m/2\cdot || \gamma'(t) ||^2 $$ Zákon zachování energie nám říká, že součet potenciální a kinetické energie je konstantní: $$ f(\gamma(t)) + m/2\cdot\gamma'(t)^2 =: s(t)\qquad t \in [0,1] $$ $$ \eqalign{ s'(t) &= \left<\grad f(\gamma(t)), \gamma'(t)\right> + m\left<\gamma'(t),\gamma''(t)\right>\cr &= \left<\grad f(\gamma(t)), \gamma'(t)\right> + \left<\gamma'(t),m\gamma''(t)\right>\cr &= \left<\grad f(\gamma(t)), \gamma'(t)\right> + \left<\gamma'(t),F(\gamma(t))\right>\cr &= \left<\grad f(\gamma(t)), \gamma'(t)\right> + \left<\gamma'(t),- \grad f(\gamma(t))\right>\cr &= \left<\grad f(\gamma(t)), \gamma'(t)\right> - \left<\grad f(\gamma(t)), \gamma'(t)\right> = 0 } $$ Tedy $s(t)$ je konstantní. \qed } } % \proof{ % Vezměme Jacobiho matici zobrazení $f$ v bodě $a$, % tedy matici lineárního zobrazení $Df(a)$ % vzhledem ke kanonické bázi... % % {\it Pokračování příště.} % % } } \scpart{Parciální derivace vyšších řádů}{ Vezměme $f\colon U \subset \real^m \to \real$. $f$ má $\delta_i f(a)$ pro $\forall a \in U$, tedy $\delta_i f \colon U \to \real$. Parciální derivaci druhého řádu v $a$ podle $x_i$ a $x_j$ pak bude $$ \delta_j(\delta_i f)(a) =: {\delta^2 f \over \delta x_j \delta x_i}(a) $$ Obdobně se pak zavádějí i parciální derivace vyšších řádů. Pozor, obecně může záležet na pořadí derivování, např.: $$ f(x,y) = \cases{xy {x^2 - y^2 \over x^2 + y^2} & $x^2+y^2 \ne 0$ \cr 0 & $x^2+y^2 = 0$ } $$ $$ \eqalign{ {\delta^2 f \over \delta x \delta y}(0,0) &= 1\cr {\delta^2 f \over \delta y \delta x}(0,0) &= -1 } $$ \theorem{10}{o pořadí parciálních derivací}{ Mějme $f\colon U \subset \real^m \to \real$ a bod $a \in U$. Nechť $f$ má nad $U$ parciální derivace $\delta_j\delta_i f$, $\delta_i\delta_j f$ (v~zápisu $\delta_j\delta_i f$ derivujeme nejdřív podle $i$, pak podle $j$) a obě nechť jsou spojité v $a$. Potom $$ {\delta^2 f \over \delta x_j \delta x_i} (a) = {\delta^2 f \over \delta x_i \delta x_j} (a) $$ \proof{ Předpokládejme $m = 2$, tedy $f(x,y)$. Položme $a = (0,0)$. Stačí ukázat, že pro $\forall h > 0$ ve čtverci $[0,h] \times [0,h]$ existují body $\sigma$ a $\tau$ takové, že $$ { \delta^2 f \over \delta x \delta y } (\sigma) = { \delta^2 f \over \delta y \delta x } (\tau) $$ (ze spojitosti v počátku pak plyne zbytek). \penalty-500 Označme si rohy čtverce jako $$ a = (0,0) \quad b = (0,h) \quad c = (h,0) \quad d = (h,h) $$ a dále si označme délku úsečky z nějakého $\alpha$ do $\beta$ jako: $$ f(u) = f(\alpha\beta) := f(\beta) - f(\alpha) $$ $$ č = f(d) - f(b) - f(c) + f(a) = \cases{f(cd) - f(ab) = \varphi(h) - \varphi(0) & $\varphi(t) := f(u_t)$\cr f(bd) - f(ac) = \psi(h) - \psi(0) & $\psi(t) := f(v_t)$}$$ Na to si můžeme přivolat pana Lagrange s větou o střední hodnotě: $$\varphi(h) - \varphi(0) = \varphi'(t_0)\cdot h \qquad 0 < t_0 < h $$ Uvažme $\varphi'(t) = \delta_x f(u_t)$, $$ = \delta_x f(u_{t_0}) \cdot h = (\delta_x f(t_0,h) - \delta_x f(t_0,0))h $$ a dle Lagrangeho střední hodnoty $$ = \delta_y \delta_x f(\undernote{t_0,t_1}{\tau})h^2 \qquad 0 \le t_1 < h $$ Analogicky: $$ č = \delta_x \delta_y f(\undernote{s_0,s_1}{\sigma})h^2 \qquad 0 < s_0, s_1 < h $$ $$ \delta_y \delta_x (\tau) = \delta_x \delta_y (\sigma) $$ \qed } \shortnote{Rovnost lze dokázat i se slabšími předpoklady.} } K $U \subset \real^m$ definujme $C^k(U)$ jako množinu všech $f\colon U \to \real$, kde $f$ má na $U$ všechny parciální derivace řádů $\le k$, a to spojité. \impl{ % 11 Mějme $f \in C^k(U)$, bod $a \in U$ a dva vektory $(i_1,\ldots,i_n)$ a $(j_1,\ldots,j_n)$, které se liší jen permutací ($n \le k$). Pak platí: $$ {\delta^n f \over \delta x_{i_n} \cdots \delta x_{i_1}}(a) = {\delta^n f \over \delta x_{j_n} \cdots \delta x_{j_1}}(a) $$ $$ {\delta^4 f \over \delta x \delta y \delta z \delta x}(a) = {\delta^4 f \over \delta x^2 \delta y \delta z}(a) = {\delta^4 f \over \delta z \delta x^2 \delta y}(a) = \cdots $$ } \theorem{12}{Taylorův rozvoj funkcí více proměnných}{ Mějme $f\colon U \subset \real^m \to \real$, $f \in C^n(U)$ a bod $a \in U$. Pak v okolí $a$ máme rozvoj $$ f(a+h) = \sum_{i=0}^n {1 \over i!}(h_1\delta_1 + h_2\delta_2 + \cdots + h_m\delta_m)^i f(a) + o(||h||^h) $$ $$ = \sum_{i_1,\ldots,i_m \ge 0 \atop i_1 + \cdots + i_m \le n} {1 \over i_1! \cdots i_m!} \cdot {\delta^{i_1 + \cdots + i_m} f \over \delta x_{i_1} \cdots x_{i_m}}(a) \cdot h_1^{i_1} \cdots h_m^{i_m} + o(||h||^h) $$ (Tato rovnost plyne z multinomické věty.) \penalty-500 \medskip Mějme $i_1 + \cdots + i_m = 0$, jdeme $\to f(a)$. Uvažme $(h_1\delta_1 + \cdots + h_m\delta_m)^i f$, vezměme např. $i=2$: $$ (h_1\delta x + h_2\delta y)^2 f = (h_1^2 \delta x \delta x + h_2^2 \delta y \delta y + 2 h_1h_2\delta x\delta y)f = h_1^2 {\delta^2 f \over \delta x^2} + h_2^2 {\delta^2 f \over \delta y^2} + 2h_1h_2 {\delta^2 f \over \delta x \delta y} $$ } } \scpart{Lokální extrémy}{ Mějme $f\colon U \subset \real^m \to \real$ a bod $a \in U$. Nechť existují $\delta_1f(a),\ldots,\delta_mf(a)$. Jaké jsou podmínky lokálního extrému funkce $f$ v $a$? Připomeňme si, že neostré lokální minimum v $a$ definujeme jako $$ \existss \delta > 0 : || x - a || < \delta \Rightarrow f(x) \ge f(a) $$ zatímco ostré lokální minimum v $a$ bude $$ \existss \delta > 0 : 0 < || x - a || < \delta \Rightarrow f(x) > f(a) $$ Všimněme si, že má-li $f$ v $a$ lokální extrém, $\grad f(a) = 0$ (neboť pro $\forall x_i,\ 1 \le i \le m: \diff{f}{x_i}(a) = 0$). Definujme {\bf stacionární body} (nebo také {\bf kritické body}) jako $\{a \in U: \grad f(a) = 0\}$. Vezmu $f \in C^2(U)$. Pak matice $$ H_f(a) = \left({\delta^2 f \over \delta x_i \delta x_j}(a)\right)_{i,j=1}^m $$ (tzv. {\bf Hessova matice}) bude symetrická. \smallskip Nechť matice $A \in \real^{n\times n}$ je symetrická. Vezměme její kvadratickou formu: $$ xAx^T = P(x_1,\ldots,x_n) = \sum_{i,j=1}^n a_{ij}x_ix_j \colon\ \real^n \to \real $$ Pak $A$ je pozitivně (negativně) definitní, pokud $$ \forall x \in \real^n \setminus \{\overline{0}\}: P(x) > 0 $$ (resp. $P(x) < 0$), a pozitivně (negativně) semidefinitní, pokud: $$ \forall x \in \real^n: P(x) \ge 0 $$ Matice $A$ je indefinitní, pokud není pozitivně ani negativně semidefinitní, tedy: $$ \existss x,y \in \real^n: P(x) > 0 \et P(y) < 0 $$ \theorem{13}{}{ Mějme $U \subset \real^m$, $f\colon U \to \real$, $f \in C^2(U)$. Pak vezmeme-li nějaký bod $a \in U$: \list{ \listItem{$\grad f(a) \ne \overline{0} \Rightarrow f$ nemá v $a$ lokální extrém (ani neostrý).} \listItem{$\grad f(a) = \overline{0}, H_f(a)$ je pozitivně (resp. negativně) definitní $\Rightarrow f$ má v $a$ ostré lokální minimum (resp. maximum).} \listItem{$\grad f(a) = \overline{0}, H_f(a)$ je indefinitní $\Rightarrow f$ nemá v $a$ (zase) ani neostrý lokální extrém.} } Neříkáme však nic o semidefinitních maticích. \penalty-500 \proof{ \list{ \listItem{Nechť např. $\delta_1 f(a) \ne 0$. Pak $$ f(a_1+h_, a_2, \ldots, a_m) = f(a) + \delta_1 f(a) h + o(h) $$ a existuje $\delta > 0$ takové, že $$- \delta < h < 0 \Rightarrow f(a_1+h,a_2,\ldots,a_m) < 0$$ nebo naopak $$0 < h < \delta \Rightarrow f(a_1+h,a_2,\ldots,a_m) > 0$$ } \listItem{Nechť $\grad f(a) = 0$. $f$ rozvineme v okolí $a$ pomocí Taylorova rozvoje (\ias{}{12}{}) do řady $n=2$: $$ f(a+h) = \sum_{i=0}^2 {\delta_1 h_1 + \cdots + \delta_m h_m)^i \over i!} f(a) + o(||h||^2) \qquad h \in \real^m $$ $$ i=1 \to \grad f(a) h = 0 $$ $$ f(a+h) - f(a) = {1\over2}(\delta_1h_1 + \cdots + \delta_mh_m)^2f(a) + o(||h||^2) $$ $$ = {1\over2} \sum_{i,j=1}^m {\delta^2 f \over \delta x_i \delta x_j}(a)h_ih_j + o(||h||^2) $$ $$ = {1\over2} P(h_1,\ldots,h_m) + o(||h||^2) $$ (kde $P(\ldots)$ je kvadratická forma odpovídající $H_f(a)$) $$ = {1\over2} ||h||^2 (P(h_1/||h||,\ldots,h_m/||h||) + o(1)) $$ $$ = {1\over2} ||h||^2 (P(e) + o(1)) \qquad e = e(h) = (h_1/||h||,\ldots,h_m/||h||) $$ Všimněme si, že $||e|| = 1$, tedy $e \in S = \{ x \in \real^m: ||x|| = 1 \}$. $$ \mu = P(\alpha) = \min_S P(x) $$ $$ M = P(\beta) = \max_S P(x) $$ $$ \mu \le P(e) \le M $$ Přitom $H_f(a)$ (tj. $P$) je pozitivně definitní, právě když $0 < \mu$, a negativně definitní, právě když $M < 0$. Nechť $H_f(a)$ je pozitivně definitní. Pak $$\forall e \in S: P(e) \ge \mu > 0$$ $$\Rightarrow \existss \delta > 0,\ \existss h \in \real^m: 0 < ||h-a|| < \delta$$ $$\Rightarrow P(e) + o(1) \ge \mu/2 > 0 $$ $$\Rightarrow f(a+h) - f(a) > 0 $$ a v $a$ je ostré lokální minimum. Stejně pro negativně definitní $H_f(a)$. } \listItem{$H_f(a)$ je indefinitní, právě když $\mu < 0 < M$. $$ \existss \delta > 0,\ \forall t,\ 0 0$. } } \qed } } Vezměme $D \subset \real^m$, $f\colon D \to \real$. $D$ buď ``kruhovitý útvar'' skládající se z $D = U \disjoin H$ ($U$ je vnitřek, $H$ je hranice). Jaké jsou lokální a globální extrémy funkce $f$? \ias{}{13}{} nám pomůže najít lokální extrémy na $U$ ($S = \{a \in U: \grad f(a) = \overline{0} \}$), musí ale platit, že $f \in C^2(U)$. Najít lokální extrémy na $H$ nám pomůžou najít \ref{Lagrangovy multiplikátory}, o kterých si povíme blíže zanedlouho. Je-li $D$ kompaktní, $f$ (spojitá) na $D$ nabývá maximum i minimum. Není-li $D$ kompaktní, všimneme si, že umíme-li najít globální maximum, našli jsme i lokální maximum. \example{ Máme $f\colon \real^2 \to \real$ definovanou jako: $$ f(x,y) = y^2 + y\cos x - \sin x - 2 $$ Pak platí: $$ \grad f(x,y) = (\delta_x f, \delta_y f) = (-y\sin x - \cos x, 2y+\cos x) $$ $$ H_f(x,y) = \pmatrix{ -y\cos x + \sin x & -\sin x \cr -\sin x & 2 } $$ $$ S: \grad f(x,y) = (0,0) \Rightarrow S = \{(\pi/2 + k\pi,0): k \in \intgr\} $$ $$ H_f(\Delta_k) = \pmatrix{-1 & 1 \cr 1 & 2} \qquad n \in \nat,\ k = 2n+1 $$ $$ H_f(\Delta_k) = \pmatrix{1 & -1 \cr -1 & 2} \qquad n \in \nat,\ k = 2n $$ $$ k \hbox{liché}: P = -x^2 + 2xy + 2y^2 = -(x-y)^2 + 3y^2 \textnote{indef.} $$ $$ k \hbox{sudé}: P = x^2 0 2xy + 2y^2 = (x-y)^2 + y^2 \textnote{poz. def.} $$ Tudíž pro liché $k$ lokální extrém nemáme, zato sudé $k$ má ostré lokální minimum: $f(s_{2k}) = -3$. $f$ nemá globální maximum --- např. pro $f(\pi/2,y) = y^2-3 \to_{y \to \pm\infty} +\infty$ ($f$ není shora omezená). Alternativně to plyne z toho, že $f$ nemá lokální maximum. Ale co globální minimum? $f$ je $2\pi$-periodická v $x$, stačí se tedy na $f(x,y)$ dívat jen v pásu $0\le x \le 2\pi$: $$ f(0,y) = f(2\pi,y) = y^2 + y - 2 = (y+1/2)^2 - 9/4 \ge - 9/4 > -3 \textnote{hranice pásu} $$ $$ x \in \real,\ |y| \ge 2 \Rightarrow f(x,y) \ge y^2 - |y| - 3 = (y\pm1/2)^2 - 13/4 \ge 9/4 \ge -1 > -3 $$ Tedy $s_{2k}$ jsou všechny body, v nichž $f$ nabývá své globální minimum $-3$. } } \bend