\input /home/pasky/school/fastex/lib.tex

\subchapter{Souvisl� prostory}{

\definition{
	M�jme $(X,\cU)$. �ekneme, �e $E \subset X$ je {\bf obojetn�},
	je-li otev�en� i uzav�en� --- nap�. $\emptyset$, $X$.

	�ekneme, �e $(X,\cU)$ je {\bf nesouvisl�},
	m�-li netrivi�ln� obojetnou podmno�inu $E$.

	M�jme $Y \subset X$, pak $Y$ je {\bf nesouvisl�},
	je-li indukovan� podprostor $(Y,\cU')$ nesouvisl�.

	Jinak �ekneme, �e $(X,\cU)$ je {\bf souvisl�},
	resp.  $Y$ je souvisl�.
}

\theorem{11}{}{
	M�jme topologick� prostor $(X,\cU)$:

	\list{
	\listItem{$E \subset X$ je {\bf nesouvisl�}, pr�v� kdy�
		$$ \existss A,B \in \cU: E \subset A \cup B,\ A \cap B = \emptyset.\ A \cap E \ne \emptyset,\ B \cap E \ne \emptyset $$
		(tot� plat� s otev�en�mi i uzav�en�mi $A,B$).
	}
	\listItem{$(X,\cU)$ je {\bf souvisl�}, pr�v� kdy�
		$$ \forall a,b \in X\ \existss \textbox{souvisl�} E \subset X: a,b \in E $$
	}
	\listItem{$E,F \subset X$ nech� jsou souvisl�, $E \cap F \ne \emptyset$.
		Pak plat�, �e $E \cup F$ je t� souvisl�.
	}
	}

	\proof{
	\list{
	\listItem{\DCV}
	\listItem{Rozd�lme na dv� implikace:
	\proofleftimpl{Z�ejm�, uva�me $E := X$.}
	\proofrightimpl{
		$(X,\cU)$ m� popsanou vlastnost, ale je nesouvisl�,
		tj. existuje $F \subset X$ obojetn� takov�,
		�e $F \ne \emptyset$ a $X \setminus F \ne \emptyset$.
		Vezmu si $a \in F$, $b \in X \setminus F$
		a souvislou $E \subset X$ takovou, �e $a,b \in E$.

		P�itom plat�, �e $E \subset F \cup (X \setminus F)$,
		to ale podle (i) ukazuje nesouvislost $E$
		(konec konc� jde o sjednocen� dvou disjunktn�ch otev�en�ch mno�in).
		\XXX
	}
	}
	\listItem{Pro spor nech� $E \cup F$ je nesouvisl�, tj. podle (i):
		\list{
		\listItem{$E \cup F \subset A \cup B$}
		\listItem{$A,B$ otev�en�}
		\listItem{$A \cap B = \emptyset$}
		\listItem{$A$ i $B$ prot�n� $E \cup F$}
		}

		P�itom je-li $E$ souvisl�,
		pak $E \subset A$ nebo $E \subset B$
		(jinak by podle (i) $E$ byla nesouvisl�)
		a stejn� i $F \subset A$ nebo $F \subset B$.

		$$ E,F \subset A \derived \textbox{spor} (B \cap (E \cup F) = \emptyset) $$
		$$ E,F \subset B \derived \textbox{spor} (A \cap (E \cup F) = \emptyset) $$
		$$ E \subset A, F \subset B \derived \textbox{spor} (A \cap B \ne \emptyset) $$

		Tedy m�me spor a $E \cup F$ mus� b�t souvisl�.
	}
	}
		\qed
	}

	\example{
		$$ E = [-5,-1) \cup [2,7] \subset \real $$

		Pak $E$ je nesouvisl�, nap�. $A = (-\infty,0)$, $B=(0,+\infty)$.
	}

}

\theorem{12}{}{
	$E \subset \real$ je souvisl�, pr�v� kdy�:
	$$ \forall x < y < z,\ x,z \in E \Rightarrow y \in E $$
	(tj. $E$ je interval).

	\proof{
	\proofrightimpl{
		Nech� $E$ nen� interval, tedy druh� tvrzen� neplat�.
		$$ A := (-\infty,y), B := (y,+\infty) \derived E \subset A \cup B $$
		a tedy $E$ nen� souvisl� (podle \ias{}{11}{(i)}).
	}
	\proofleftimpl{
		Nech� $E$ je nesouvisl�, tedy
		$$E \subset A \cup B : A \cap B = \emptyset,\ A \cap E \ne \emptyset,\ B \cap E \ne \emptyset$$
		a uva�me uzav�en� $A,B$.
		Vezm�me $a \in A \cap E$ a $b \in B \cap E$, $a < b$.

		$[a,b] \not\subset E$, tedy $\existss c \notin E: a<c<b$, tj. $E$ nen� interval.
		Tedy p�edpokl�dejme nech� $[a,b] \subset E$ a~odvo�me spor.

		$$ d = \inf \{x \in [a,b]: x \in B\} $$
		Tvrd�m, �e $d \in B$:
		\list{
		\listItem{$d = b$: jasn�}
		\listItem{$d < b$: $d \in B$ podle uzav�enosti $B$}
		\listItem{$d > a$: $[a,d) \subset A \Rightarrow d \in A$ ($A$ je uzav�en�). \XXX}
		}
	}
		\qed
	}
}

\theorem{13}{}{
	\list{
	\listItem{Obraz souvisl�ho prostoru je op�t souvisl�.}
	\listItem{Sou�in souvisl�ch prostor� je tak� souvisl�.}
	}

	\proof{
	\list{
	\listItem{M�me spojit� zobrazen� $f\colon X \to Y$,
		$(X,\cU)$, $(Y,\cV)$, a $(X,\cU)$ je souvisl�.

		Tedy $f(X) \subset Y$ je souvisl� podmno�ina v $Y$.
		Bez �jmy na obecnosti nech� $f(X) = Y$.
		Kdyby $Y$ byl nesouvisl�, tak $Y = A \disjoin B$
		($A,B$ nepr�zdn� a otev�en�).
		Tedy $X = f^{-1}(A) \disjoin f^{-1}(B)$ a $X$ je nesouvisl�.
		\XXX}
	\listItem{$(X,\cU)$, $(Y,\cV)$ nech� jsou souvisl�,
		pak $(X \times Y,\cW)$ by m�l b�t t� souvisl�
		(kde $\cW$ je sou�inov� topologie).

		D�ky $\ias{}{11}{(ii)}$ v�me, �e
		$$ a = (a_X,a_Y),\ b = (b_X,b_Y),\ a,b \in X \times Y $$
		$$ \sesac{\eqalign{Y' &= \{a_X\} \times Y \cr X' &= X \times \{b_y\}}}{\textbox{jsou souvisl� podmno�iny v $X \times Y$}} $$
		(proto�e $X' \homeomorf X$ a $Y' \homeomorf Y$ --- jsou homeomorfn�).

		Vezm�me bod $\{(a_X,b_Y)\} = X' \cap Y'$,
		pak nutn� $X' \cap Y' \ne \emptyset$
		a podle \ias{}{11}{(iii)} $X' \cup Y'$ je souvisl� podmno�ina.
	}
	}
	}
}

\theorem{14}{}{
	$(X,\cU)$ bu� souvisl�, $f \in \sC(X,\real)$.
	Pak $f(x)$ je interval v $\real$.
	Tj. spojit� funkce na souvisl�m prostoru nab�v� v�ech mezihodnot (vzpom�n�te na \ref{Darboux}e?).

	\shortproof{P��m� d�sledek p�edchoz� v�ty. \sqed}
}


\definition{
	$(X,\cU)$ bu� topologick� prostor.
	$E \subset X$ je {\bf obloukov� souvisl�},
	pokud $\forall a,b \in E$ existuje
	spojit� zobrazen� $f\colon [0,1] \to E$ takov�,
	�e $f(0)=a$, $f(1) = b$.

	V�imn�me si, �e je-li $E$ obloukov� souvisl�, je tak� souvisl�.

	\example{
		Jsme v $\real^2 \supset E$.
		$$ E = \undernote{\{(x,\sin(1/x): x \in (0,1]\}}{E_1} \cup \undernote{(\{0\} \times [-1,1])}{E_2} $$
		(graf je $\sin(1/x)$ plus svisl� �se�ka v nule z -1 do 1).
		$$ E := E_1 \cup E_2 \qquad E_1 \cap E_2 = \emptyset $$
		je souvisl�, ale nen� obloukov� souvisl�
		($a \in E_1$ se ned� spojit k�ivkou s $b \in E_2$ --- rozmyslete si pro�).
	}
}

\theorem{15}{}{
	$E \subset \real^n$ bu� otev�en� a souvisl�, pak $E$ je obloukov� souvisl�.

	\proof{
		Vezm�me bin�rn� relaci na $E$:
		$a \sim b \Leftrightarrow a,b$ se daj� spojit k�ivkou le��c� v $E$.

		$\sim$ bu� relace ekvivalence:
		\list{
		\listItem{reflexivita ($a \sim a$): $f(x) = a\quad x \in [0,1]$}
		\listItem{symetrie ($a \sim b \Rightarrow b \sim a$): $g(x) = f(1-x)$}
		\listItem{transitivita ($a \sim b, b \sim c \Rightarrow a \sim c$):
			$$ h(x) = \cases{f(2x) & $x \in [0,1/2]$\cr g(2x-1) & $x \in [1/2,1]$} $$
			Pro takovou bude st�le platit $h: [0,1]\to E$.
		}
		}

		M�m mno�inu blok� (t��d ekvivalence) $E/\sim$.
		Vezmu blok $C \in E/\sim$, tj. mno�inu vz�jemn� ekvivalentn�ch (v $\sim$) prvk� z $E$.
		��k�m, �e $C$ je otev�en�: vezm�me $c \in C$, $E$ je otev�en�,
		tedy v�dy $B(c,r) \subset E$ pro n�jak� $r>0$.
		M�me-li �se�ku $u=\overline{bc} \subset B(c,r) \subset E$,
		nutn� tak� $b \in B(c,r)$, $b \sim c$, tedy $B(c,r) \subset C$.

		Ka�d� blok je tedy otev�en�.
		Pokud bychom v�ak m�li takov� bloky $\ge 2$,
		pak $$E = C \disjoin \bigg(\bigdisjoin_{\textbox{\eightrm $\scriptstyle B$ blok}\atop{\scriptstyle B \ne C}} B\bigg)$$
		tedy by byla $E$ nesouvisl�.

		Nutn� tedy existuje pouze jeden blok, tedy
		$$ \forall a,b \in E: a \sim b $$
		\qed
	}

	\note{
		Tato v�ta plat�, i kdy� povol�me jako k�ivky jen lomen� ��ry.

		Co �e je ta obloukov� souvislost?
		V takov�m p��pad� m��eme m�t n�jak� obloukov� souvisl� k�ivky $A$, $B$,
		kde jedna prot�n� horn� a doln� stranu n�jak�ho �tverce v $\real^2$,
		druh� prot�n� levou a pravou stranu, a plat�, �e se musej� n�kde protnout.
		P�itom pokud jsou k�ivky jen souvisl�, ji� mohou b�t i v takov�mto p��pad�
		disjunktn�.
	}
}

}

\bend
