\input /home/pasky/school/fastex/lib.tex

\subchapter{Souvislé prostory}{

\definition{
	Mějme $(X,\cU)$. Řekneme, že $E \subset X$ je {\bf obojetná},
	je-li otevřená i uzavřená --- např. $\emptyset$, $X$.

	Řekneme, že $(X,\cU)$ je {\bf nesouvislý},
	má-li netriviální obojetnou podmnožinu $E$.

	Mějme $Y \subset X$, pak $Y$ je {\bf nesouvislá},
	je-li indukovaný podprostor $(Y,\cU')$ nesouvislý.

	Jinak řekneme, že $(X,\cU)$ je {\bf souvislý},
	resp.  $Y$ je souvislá.
}

\theorem{11}{}{
	Mějme topologický prostor $(X,\cU)$:

	\list{
	\listItem{$E \subset X$ je {\bf nesouvislá}, právě když
		$$ \existss A,B \in \cU: E \subset A \cup B,\ A \cap B = \emptyset.\ A \cap E \ne \emptyset,\ B \cap E \ne \emptyset $$
		(totéž platí s otevřenými i uzavřenými $A,B$).
	}
	\listItem{$(X,\cU)$ je {\bf souvislá}, právě když
		$$ \forall a,b \in X\ \existss \textbox{souvislá} E \subset X: a,b \in E $$
	}
	\listItem{$E,F \subset X$ nechť jsou souvislé, $E \cap F \ne \emptyset$.
		Pak platí, že $E \cup F$ je též souvislá.
	}
	}

	\proof{
	\list{
	\listItem{\DCV}
	\listItem{Rozdělme na dvě implikace:
	\proofleftimpl{Zřejmé, uvažme $E := X$.}
	\proofrightimpl{
		$(X,\cU)$ má popsanou vlastnost, ale je nesouvislý,
		tj. existuje $F \subset X$ obojetná taková,
		že $F \ne \emptyset$ a $X \setminus F \ne \emptyset$.
		Vezmu si $a \in F$, $b \in X \setminus F$
		a souvislou $E \subset X$ takovou, že $a,b \in E$.

		Přitom platí, že $E \subset F \cup (X \setminus F)$,
		to ale podle (i) ukazuje nesouvislost $E$
		(konec konců jde o sjednocení dvou disjunktních otevřených množin).
		\XXX
	}
	}
	\listItem{Pro spor nechť $E \cup F$ je nesouvislá, tj. podle (i):
		\list{
		\listItem{$E \cup F \subset A \cup B$}
		\listItem{$A,B$ otevřené}
		\listItem{$A \cap B = \emptyset$}
		\listItem{$A$ i $B$ protíná $E \cup F$}
		}

		Přitom je-li $E$ souvislé,
		pak $E \subset A$ nebo $E \subset B$
		(jinak by podle (i) $E$ byla nesouvislá)
		a stejně i $F \subset A$ nebo $F \subset B$.

		$$ E,F \subset A \derived \textbox{spor} (B \cap (E \cup F) = \emptyset) $$
		$$ E,F \subset B \derived \textbox{spor} (A \cap (E \cup F) = \emptyset) $$
		$$ E \subset A, F \subset B \derived \textbox{spor} (A \cap B \ne \emptyset) $$

		Tedy máme spor a $E \cup F$ musí být souvislá.
	}
	}
		\qed
	}

	\example{
		$$ E = [-5,-1) \cup [2,7] \subset \real $$

		Pak $E$ je nesouvislá, např. $A = (-\infty,0)$, $B=(0,+\infty)$.
	}

}

\theorem{12}{}{
	$E \subset \real$ je souvislá, právě když:
	$$ \forall x < y < z,\ x,z \in E \Rightarrow y \in E $$
	(tj. $E$ je interval).

	\proof{
	\proofrightimpl{
		Nechť $E$ není interval, tedy druhé tvrzení neplatí.
		$$ A := (-\infty,y), B := (y,+\infty) \derived E \subset A \cup B $$
		a tedy $E$ není souvislá (podle \ias{}{11}{(i)}).
	}
	\proofleftimpl{
		Nechť $E$ je nesouvislá, tedy
		$$E \subset A \cup B : A \cap B = \emptyset,\ A \cap E \ne \emptyset,\ B \cap E \ne \emptyset$$
		a uvažme uzavřené $A,B$.
		Vezměme $a \in A \cap E$ a $b \in B \cap E$, $a < b$.

		$[a,b] \not\subset E$, tedy $\existss c \notin E: a<c<b$, tj. $E$ není interval.
		Tedy předpokládejme nechť $[a,b] \subset E$ a~odvoďme spor.

		$$ d = \inf \{x \in [a,b]: x \in B\} $$
		Tvrdím, že $d \in B$:
		\list{
		\listItem{$d = b$: jasné}
		\listItem{$d < b$: $d \in B$ podle uzavřenosti $B$}
		\listItem{$d > a$: $[a,d) \subset A \Rightarrow d \in A$ ($A$ je uzavřená). \XXX}
		}
	}
		\qed
	}
}

\theorem{13}{}{
	\list{
	\listItem{Obraz souvislého prostoru je opět souvislý.}
	\listItem{Součin souvislých prostorů je také souvislý.}
	}

	\proof{
	\list{
	\listItem{Máme spojité zobrazení $f\colon X \to Y$,
		$(X,\cU)$, $(Y,\cV)$, a $(X,\cU)$ je souvislý.

		Tedy $f(X) \subset Y$ je souvislá podmnožina v $Y$.
		Bez újmy na obecnosti nechť $f(X) = Y$.
		Kdyby $Y$ byl nesouvislý, tak $Y = A \disjoin B$
		($A,B$ neprázdné a otevřené).
		Tedy $X = f^{-1}(A) \disjoin f^{-1}(B)$ a $X$ je nesouvislý.
		\XXX}
	\listItem{$(X,\cU)$, $(Y,\cV)$ nechť jsou souvislé,
		pak $(X \times Y,\cW)$ by měl být též souvislý
		(kde $\cW$ je součinová topologie).

		Díky $\ias{}{11}{(ii)}$ víme, že
		$$ a = (a_X,a_Y),\ b = (b_X,b_Y),\ a,b \in X \times Y $$
		$$ \sesac{\eqalign{Y' &= \{a_X\} \times Y \cr X' &= X \times \{b_y\}}}{\textbox{jsou souvislé podmnožiny v $X \times Y$}} $$
		(protože $X' \homeomorf X$ a $Y' \homeomorf Y$ --- jsou homeomorfní).

		Vezměme bod $\{(a_X,b_Y)\} = X' \cap Y'$,
		pak nutně $X' \cap Y' \ne \emptyset$
		a podle \ias{}{11}{(iii)} $X' \cup Y'$ je souvislá podmnožina.
	}
	}
	}
}

\theorem{14}{}{
	$(X,\cU)$ buď souvislý, $f \in \sC(X,\real)$.
	Pak $f(x)$ je interval v $\real$.
	Tj. spojitá funkce na souvislém prostoru nabývá všech mezihodnot (vzpomínáte na \ref{Darboux}e?).

	\shortproof{Přímý důsledek předchozí věty. \sqed}
}


\definition{
	$(X,\cU)$ buď topologický prostor.
	$E \subset X$ je {\bf obloukově souvislá},
	pokud $\forall a,b \in E$ existuje
	spojité zobrazení $f\colon [0,1] \to E$ takové,
	že $f(0)=a$, $f(1) = b$.

	Všimněme si, že je-li $E$ obloukově souvislá, je také souvislá.

	\example{
		Jsme v $\real^2 \supset E$.
		$$ E = \undernote{\{(x,\sin(1/x): x \in (0,1]\}}{E_1} \cup \undernote{(\{0\} \times [-1,1])}{E_2} $$
		(graf je $\sin(1/x)$ plus svislá úsečka v nule z -1 do 1).
		$$ E := E_1 \cup E_2 \qquad E_1 \cap E_2 = \emptyset $$
		je souvislá, ale není obloukově souvislá
		($a \in E_1$ se nedá spojit křivkou s $b \in E_2$ --- rozmyslete si proč).
	}
}

\theorem{15}{}{
	$E \subset \real^n$ buď otevřená a souvislá, pak $E$ je obloukově souvislá.

	\proof{
		Vezměme binární relaci na $E$:
		$a \sim b \Leftrightarrow a,b$ se dají spojit křivkou ležící v $E$.

		$\sim$ buď relace ekvivalence:
		\list{
		\listItem{reflexivita ($a \sim a$): $f(x) = a\quad x \in [0,1]$}
		\listItem{symetrie ($a \sim b \Rightarrow b \sim a$): $g(x) = f(1-x)$}
		\listItem{transitivita ($a \sim b, b \sim c \Rightarrow a \sim c$):
			$$ h(x) = \cases{f(2x) & $x \in [0,1/2]$\cr g(2x-1) & $x \in [1/2,1]$} $$
			Pro takovou bude stále platit $h: [0,1]\to E$.
		}
		}

		Mám množinu bloků (tříd ekvivalence) $E/\sim$.
		Vezmu blok $C \in E/\sim$, tj. množinu vzájemně ekvivalentních (v $\sim$) prvků z $E$.
		Říkám, že $C$ je otevřená: vezměme $c \in C$, $E$ je otevřená,
		tedy vždy $B(c,r) \subset E$ pro nějaké $r>0$.
		Máme-li úsečku $u=\overline{bc} \subset B(c,r) \subset E$,
		nutně také $b \in B(c,r)$, $b \sim c$, tedy $B(c,r) \subset C$.

		Každý blok je tedy otevřený.
		Pokud bychom však měli takové bloky $\ge 2$,
		pak $$E = C \disjoin \bigg(\bigdisjoin_{\textbox{\eightrm $\scriptstyle B$ blok}\atop{\scriptstyle B \ne C}} B\bigg)$$
		tedy by byla $E$ nesouvislá.

		Nutně tedy existuje pouze jeden blok, tedy
		$$ \forall a,b \in E: a \sim b $$
		\qed
	}

	\note{
		Tato věta platí, i když povolíme jako křivky jen lomené čáry.

		Co že je ta oblouková souvislost?
		V takovém případě můžeme mít nějaké obloukově souvislé křivky $A$, $B$,
		kde jedna protíná horní a dolní stranu nějakého čtverce v $\real^2$,
		druhá protíná levou a pravou stranu, a platí, že se musejí někde protnout.
		Přitom pokud jsou křivky jen souvislé, již mohou být i v takovémto případě
		disjunktní.
	}
}

}

\bend