\input /home/pasky/school/fastex/lib.tex


% zkontrolovat, jestli vsude U je pro mnozinu a \cU pro mnozinu mnozin

\subchapter{Topologick� prostory}{

\definition{
	{\bf Topologick� prostor} (nebo tak� {\bf topologie})
	je dvojice $(X,\cT)$, $\cT \subset \exp(x)$,
	spl�uj�c� t�i axiomy:
	\list{
	\alistItem{$\emptyset, X \in \cT$}
	\alistItem{$\cU \subset \cT \Rightarrow \bigcup \cU \in \cT$}
	\alistItem{$\cU \subset \cT, \cU \textbox{kone�n�} \Rightarrow \bigcap \cU \subset \cT$
		(tj. $A,B \in \cT \Rightarrow A \cap B \in \cT$)}
	}

	$\cT$ je syst�m otev�en�ch mno�in, zat�mco
	$\{X\setminus U : U \in \cT\}$ jsou uzav�en� mno�iny.
	Tedy m�me-li $a \in X$ a okol� $a$: $U \in \cT$, pak $a \in U$.
	\TODO{?}
}

\examples{
\list{
\listItem{$(X,\{\emptyset,X\})$ je topologick� prostor.}
\listItem{Z�kladn� p��klad: syst�m otev�en�ch mno�in
	v metrick�m prostoru $(M,d)$ tvo�� topologick� prostor
	(spl�uj� v�echny axiomy).}
}
}

\scpart{Metrizovateln� topologick� prostory}{

	\shortdef{$(X,\cT)$ je metrizovateln�}{
	$\cT$ jsou otev�en� mno�iny v n�jak�m metrick�m prostoru $(X,d)$.
	N�s budou zaj�mat jen takov�hle.
	}

	Je-li $(X,\cT)$ metrizovateln�,
	ka�d� kone�n� podmno�ina $X$ je uzav�en�.
	Nap�. p��klad (i) pro $|X| > 1$
	{\it nen�} metrizovateln� topologie.

	Je-li $(X,\cT)$ metrizovateln�,
	$$ \forall a,b \in X,\ a \ne b\ \existss U,V \in \cT: a \in U,\ b \in V,\ U \cap V = \emptyset $$
	neboli jde o {\bf hausdorffovskou} topologii.

}

\scpart{B�ze topologick�ho prostoru}{

	M�jme $(X,\cT)$. Pak jeho {\bf b�ze} je $U \subset \cT$ takov�,
	�e ka�d� $A \in \cT$ je sjednocen� n�jak�ch mno�in z $U$.

	\example{
		M�jme metrick� prostor $(M,d)$, pak
		$$ U = \{ B(a,r) : a \in M, r > 0 \} $$
		je b�z� topologie metrick�ho prostoru $(M,d)$.
		Tak jsme ale deifnovali otev�en� mno�iny v metrick�m prostoru!
	}

}

$(X,d_1), (X,d_2)$ nech� jsou metrick� prostory.
�ekneme o nich, �e jsou {\bf ekvivalentn�},
d�vaj�-li stejnou toplogii.

\example{
	M�jme $\real^n$, pak maximov� metrika $d_\infty$ a metrika
	$$ d_p(x,y) = \bigg( \sum_{i=1}^n |x_i-y_i|^p \bigg)^{1/p} \qquad p \ge 1 $$
	jsou ekvivalentn� na $\real^n$:

	M�jme
	$x = (x_1,\ldots,x_n)$,
	$y = (y_1,\ldots,y_n)$. Pak bez �jmy na obecnosti nech� plat�
	$$ \max_{1 \le i \le n} |x_i - y_i| = |x_1 - y_1| $$

	\medskip

	$$ |x_1 - y_1| \le d_p(x,y) \le n^{1/p}|x_1-y_1| $$
	$$ d_\infty(x,y) \le d_p(x,y) \le n^{1/p}d_\infty(x,y) $$

	Z toho n�jak plyne, �e v�echny metriky $d_p$ ($p \ge 1$)
	a $d_\infty$ jsou ekvivalentn�.

	Obecn� m�me-li $0 < r \le s$,
	$$ rd_1(x,y) \le d_2(x,y) \le sd_1(x,y)\qquad \forall x,y \in X$$
	plat�, �e $d_1$ a $d_2$ jsou ekvivalentn�
	(do kouli�ky v jedn� metrice m��u str�it men�� kouli�ku v druh� metrice a naopak).

	Sou�inov� metriky jsou ekvivalentn� --- pro $a,b \ge 0$:
	$$ \max(a,b) \le \sqrt{a^2+b^2} \le a+b \le 2\max(a,b) $$
}

$(X_1,\cT_1)$ je {\bf podprostorem} $(X_2,\cT_2)$,
pokud $X_1 \subset X_2$ a $\cT_1 = \{ X_1 \cap A : A \in \cT_2 \}$.

M�me-li $(X,\cT)$, $Y \subset X$,
pak na $Y$ m�me {\bf indukovanou topologii}
$(Y,\cT')$, $\cT' = \{ Y \cap A : A \in \cT \}$.
Z�rove� $(Y,\cT')$ je podprostorem $(X,\cT)$.

{\bf Sou�in} topologick�ch prostor� $(X_1,\cT_1)$ a $(X_2,\cT_2)$ je $(X,\cT)$,
kde $X = X_1 \times X_2$ a $\cT$ je d�n b�z� $\{U_1 \times U_2 : U_1 \in \cT_1, U_2 \in \cT_2\}$
(vezmu-li m�sto $\cT_i$ b�zi, dostanu stejnou $\cT$).

\example{
	M�jme euklidovsk� metrick� prostor $(\real^n,d_2)$, tedy
	$$d_2 = \sqrt{(x_1-y_1)^2+\cdots+(x_n-y_n)^2}$$
	Vezm�me {\bf euklidovskou topologii} na $\real^n$.

	Plat�, �e euklidovsk� topologick� prostor $\real^2 = \real \times \real$
	(sou�in dvou euklidovsk�ch topologi� $\real'$).
	Podobn� pro $\real^{k+l} = \real^k \times \real^l$.
}

\scpart{Spojit� zobrazen�}{
	M�jme $f\colon X \to Y$ a $(X,U)$, $(Y,V)$ nech� jsou topologick� prostory.
	Vezm�me $a \in X$. Pak $f$ je spojit� v $a$, pokud
	pro ka�d� okol� $V$ bodu $f(a)$ existuje okol� $U$ bodu $a$
	takov�, �e $f(U) \subset V$ (sta�� testovat vzhledem k b�zi).
	$f$ je spojit�, je-li spojit� v ka�d�m $a \in X$.

	$$C(X,Y) = \{f \colon X \to Y : \hbox{$f$ je spojit�}\}$$

	\theorem{4}{}{
		Nech� $f\colon X \to Y$ a $(X,\cU)$ a $(Y,\cV)$ jsou topologick� prostory.
		Pak $f$ je spojit�, pr�v� kdy� pro ka�d� $V \in \cV$ je $f^{-1}(V) \in \cU$.

		\proof{
		\proofrightimpl{
			Nech� $f \in C(X,Y)$.
			Pro $V = \emptyset$: $f^{-1}(\emptyset) = \emptyset \in \cU$,
			to je v po��dku.

			Pro $V \ne \emptyset$ a $f(a) \in V$:
			$$\existss U_a \in \cU: a \in U_a,\ f(U_a) \subset V$$
			Tedy $U_a \subset f^{-1}(V)$ a $f^{-1}(V) = \bigcup_{a \in X \atop f(a) \in V} U_a$
			a proto nutn� $f^{-1}(V) \in \cU$.
		}
		\proofleftimpl{
			M�jme $a \in X$, $f(a) \in V \in \cV$.
			Podle p�edpokladu o $f$ v�m, �e $U = f^{-1}(V) \in \cU$, $a \in U$.
			M�me $f(U) \subset V$ (dokonce $f(U) = V$).

			Tedy je $f$ spojit� v $a$, a to v ka�d�m $a$ --- $f$ je tud�� spojit�.
		}
		\qed
		}
	}

	\theorem{5}{}{
		M�jme zobrazen� $X \opupon{f}{\to} Y \opupon{f}{\to} Z$, $(X,\cU)$, $(Y,\cV)$, $(Z,\cW)$
		jsou TPy, $h = f \o g$.
		\list{
		\listItem{$f,g$ jsou spojit� zobrazen� $\Rightarrow$ $h$ je t� spojit�}
		\listItem{$f$ spojit� v $a \in X$, $g$ spojit� v $f(a)$ $\Rightarrow$ $h$ je spojit� v $a$}
		}

		\proof{
		\list{
		\listItem{$W \subset Z$, $W \in \cW$.
			Pak $$h^{-1}(W) = \undernote{f^{-1}(\undernote{g^{-1}(W)}{\in \cV \textnote{$g$ spoj.}})}{\in \cU \textnote{$f$ spoj.}}$$
			Tedy $h$ je spojit�.
		}
		\listItem{$a \in X$, $h(a) \in W \in \cW$.
			$g$ je spojit� v $f(a)$,
			tedy $\existss V \in \cV$ takov�,
			�e $f(a) \in V$, $g(V) \subset W$.
			$f$ je spojit� v $a$,
			tedy $\existss U \in \cU$ takov�,
			�e $a \in U$, $f(U) \subset V$.
			Tedy $h(U) \subset W$,
			tak�e $h$ je spojit� v $a$.
		}
		}
		\qed
		}
	}

	M�jme topologick� prostory $(X,\cU)$, $(Y,\cV)$.
	Bijekce $f\colon X \to Y$ je {\bf homeomorfismus}
	(isomorfismus topologick�ch prostor� $X$ a $Y$),
	pokud $f$ i $f^{-1}$ jsou spojit� zobrazen�.
	$X$ a $Y$ jsou pak {\bf homeomorfn�}.

	\shortexample{$(0,1)$ a $\real$ (s euklidovskou topologi�) jsou homeomorfn�,
		nap�. prost�ednictv�m $$f\colon (0,1) \to \real,\ f(x) = \tg(\pi(x-1/2))$$
	}
}


\scpart{Kompaktn� prostory}{
	$(X,\cU)$ bu� topologick� prostor, $E \subset X$.
	{\bf Otev�en� pokryt�} $E$ pak bu�
	$$\{A_i \in \cU : i \in I\} : \bigcup_{i \in I} A_i \supset E$$

	$E$ je {\bf kompaktn� mno�ina}, pokud pro ka�d� otev�en� pokryt� $E$
	existuje kone�n� podpokryt�
	$$ J \subset I : \bigcup_{i \in J} A_i \supset E $$

	$(X,\cU)$ je {\bf kompaktn� prostor}, pokud $X$ je kompaktn�.

	$(X,\cU)$ bu� topologick� prostor, $E \subset X$.
	Pak $(E,\cU')$ bu� topologick� podprostor s indukovanou topologi�.
	Plat�, �e $(E,\cU')$ bude kompaktn� jako topologick� prostor,
	pr�v� kdy� $E$ je kompaktn� jako podmno�ina $(X,\cU)$.
	Tedy kompaktnost je {\it absolutn� vlastnost}.

	\example{
		Vezm�me $\real$ s euklidovskou topologi�.
		$(0,1) \subset \real$ nen� komapktn�,
		$\real$ nen� kompaktn�,
		$[0,\infty)$ nen� kompaktn�,
		ale $[a,b] \subset \real$ je kompaktn�.
	}

	\example{
		$X = [0,2\pi)$. Vezm�me $\real^2$ (nap�. jako $\cmplx$).
		$$ f\colon X \to Y,\ f(\varphi) = e^{i\varphi} $$
		$f$ je spojit� bijekce, ale $f^{-1}$ nen� spojit�:
		\asciiart{
      ,---.X
     / ,-. \
    / /  Y\ \
  -(-(--0--)-'-.----)
    \ \   /   /
     \ `-'   /
      `-----'
		}
		
	}

	\theorem{6}{}{
		$(X,\cU)$ bu� hausdorffovsk� topologick� prostor,
		Je-li $K \subset X$ kompaktn�, pak je $K$ uzav�en�.

		\proof{
			Vezm�me bod $a \in X \setminus K$.
			Pak sta�� naj�t okol� $U_a$ bodu $a$ takov�,
			�e $U_a \cap K = \emptyset$. Pak~toti�
			$$X \setminus K = \bigcup_{a \in X \setminus K} U_a$$
			je otev�en�, tedy $K$ je uzav�en�.

			Zvolme $k \in K$, $a \in X \setminus K$.
			Tyto dva body maj� dle hausdorffovosti disjunktn� okol�:
			$$ k \in V(k) \in \cU,\ a \in U(k) = \cU,\ V(k) \cap U(a) = \emptyset $$
			$\{ V(k) : k \in K \}$ je p�itom otev�en� pokryt� $K$,
			tedy existuje kone�n� mnoho bod� $k_1,\ldots,k_n$ takov�ch, �e:
			$$K \subset \undernote{V(k_1) \cup \cdots \cup V(k_n)}{V}$$

			Uva�me okol� $a$ jako
			$$ \undernote{U(k_1) \cap \cdots U(k_n)}{U_a} $$
			$$ U_a \subset U(k_i)\qquad i \in \{1,\ldots,n\} $$
			$$ U_a \cap V(k_i) = \emptyset \qquad i \in \{1,\ldots,v\} $$
			$$ U_a \cap V = \emptyset $$
			$$ U_a \cap K = \emptyset $$
			\qed
		}
	}
}


\penalty-500


\scpart{Topologie revisited}{
	$X$, $\cB \subset \exp(X)$, $G(\cB) = \{ \bigcup \cU : \cU \subset \cB\}$.
	Kdy je $G(\cB)$ topologie na $X$?

	Nutn� podm�nky:
	\list{
	\listItem{$\bigcup \cB = X$}
	\listItem{$A_1,A_2 \in \cB \Rightarrow A_1 \cap A_2 \in G(\cB)$}
	}
	\shortexerc{Tyto dv� podm�nky jsou i posta�uj�c�.}
}

\scpart{Sou�inov� topologie}{
	$(X,\cU)$, $(Y,\cV)$ nech� jsou topologick� prostory.
	M�jme sou�in $(X \times Y, \cW)$,
	pak $\cW$ bude sou�inov� topologie zadan� b�z�
	$$ \cB = \{ U \times V: U \in \cU, V \in \cV \} $$

	$\cB$ m� vlastnosti b�ze:
	\list{
	\listItem{dokonce $X \times Y \in \cB$}
	\listItem{$U \times V, U' \times V' \in \cB$}
	}
	$$ (U \times V) \cap (U' \times V')
		= \undernote{(U \cap U')}{\in \cU} \times \undernote{(V \cap V')}{\in \cV}
		\in \cB $$
}


\theorem{7}{}{
	Kompaktnost se zachov�v� p�i t�ech operac�ch:
	\list{
	\listItem{P�echod k uzav�en�mu podprostoru, tj.:
		$$(X,\cU) \hbox{kompaktn�}, Y \subset X \textbox{uzav�en�} \Longrightarrow Y \textbox{kompaktn�}$$
	}
	\listItem{Obraz spojit�m zobrazen�m, tj.:
		$$ f\colon X \to Y \textbox{spojit�} \Longrightarrow f(x) \textbox{je kompaktn� podmno�ina $Y$} $$
	}
	\listItem{Krat�zsk� sou�in, tj.:
		$$ (X,\cU), (Y,\cV) \textbox{kompaktn� prostory} \Rightarrow (X,\cU) \times (Y,\cV) \textbox{je t� kompaktn�} $$
	}
	}

	\shortproof{Viz webov� text k p�edn�ce. \sqed}
}

\penalty-200

\definition{
	M�jme $X \subset M$, $\eps > 0$.  $X$ je $\eps$-s��, pokud
	$$ \forall a \in M\ \existss b \in X: d(a,b) < \eps $$
	a pak tak� plat�
	$$ M = \bigcup_{a \in X} B(a,\eps) $$
}

\penalty-100

\theorem{8}{}{
	Metrick� prostor $(M,d)$ je kompaktn�,
	pr�v� kdy� pro $\forall (x_n) \subset M$ m� konvergentn� podposloupnost
	(��kejme tomu vlastnost $P$).

	\lemma{}{
		M�-li $(M,d)$ vlastnost $P$,
		$(M,d)$ m� pro $\forall \eps > 0$ kone�nou $\eps$-s��.

		\proof{
			Existuje $r > 0$ takov�, �e $(M,d)$ nem� kone�nou $r$-s��.
			P�itom $x_1 \in M$,
			tedy existuje $x_2 \in M$ takov�, �e $d(x_1,x_2) \ge r$
			(proto�e $\{x_i\}$ nen� $r$-s��).
			Ergo existuje $x_3 \in M$ takov�, �e $d(x_i,x_3) \ge r$ pro $i = 1,2$.

			Tedy vyrob�m $(x_n) \subset M$ takovou, �e $1 \le m < n$.
			To znamen�, �e $d(x_m,x_n) \ge r$ a tak
			$(x_n)$ nen� konvergentn� podposloupnost.

			Tud�� $(M,d)$ ale nem� vlastnost $P$.
			\qed
		}
	}

	\proof{
	\proofleftimpl{
		M�jme $(M,d)$ s vlastnost� $P$.
		Pro spor nech� $\cO$ je otev�en� pokryt� $M$, kter� nem� kone�n� podpokryt�.

		Vezm�me $S_n := 1/n$-s��. Dle lemmatu je $S_n$ kone�n�.
		V�imn�me si, �e $\existss x_n \in S_n$ takov�,
		�e $B(x_n,1/n)$ nelze pokr�t kone�n� mnoha prvky $\cO$.

		Uv��m posloupnost $(x_n) \subset M$.
		Pro jednoduchost nech� $x_n \to \alpha \in M$
		(z vlastnosti $P$, p�inejhor��m vyberu podposloupnost).
		$\alpha \in U \in \cO$, tedy
		$$ \existss r > 0: B(\alpha,r) \subset U $$

		Vezmu $m$ tak velk�, �e
		$$ d(x_m,\alpha) < r/2 \et 1/m < r/2 $$
		a z troj�heln�kov� nerovnosti plyne
		$$ B(x_m,1/n) \subset B(\alpha,r) \subset U $$
		
		A m�me spor, proto�e pomoc� $B(x_m,1/m)$ jsme pokryli $U$!
	}
	\proofrightimpl{
		Nech� $(M,d)$ je kompaktn�.
		Vezm�me libovolnou posloupnost $(x_n) \subset M$.
		$$ a \in M,\ a \in (x_n),\ \forall \eps > 0: \{ n \in \nat: d(x_n,a) < \eps \} \textbox{nekone�n�} $$
		M�-li $(x_n)$ limitn� bod $a$, tedy $(x_n)$ m� podposloupnost konverguj�c� z $a$.

		Nech� $(x_n)$ ��dn� limitn� bod nem�.
		Nen�-li $a \in M$ limitn�m bodem,
		$$ \existss r(a) > 0: I(a) = \{ n \in \nat : x_n \in B(a,r(a)) \} \textbox{kone�n�} $$

		Z otev�en�ho pokryt� $\cO = \{ B(a,r(a) : a \in M \}$
		vyberu kone�n� podpokryt�:
		$$ a_1,a_2,\ldots,a_t \in M: M = B(a_1,r(a_1)) \cup \cdots \cup B(a_t,r(a_t)) $$

		$$ \undernote{I(a_1) \cup \cdots \cup I(a_t)}{\textbox{\eightrm $I$ je kone�n�}} \subset \nat $$
		Vezmu si $m \in \nat \setminus I$. Jak vypad� $x_m$?
		$$ x_m \notin \bigcup_{i=1}^t B(a_i,r(a_i)) = M $$

		Zase jsme dostali spor, $x_m$ mus� p�ece n�kde le�et.
	}
	\qed
	}
}

\penalty-500


\theorem{9}{}{
	$X \subset \real^n$ je kompaktn�, pr�v� kdy� je uzav�en� a
	omezen� (tzn. $\existss B: X \subset B$ kde $B$ je koule).

	\proof{
	\proofrightimpl{
		Plat� v ka�d�m $(M,d)$: $X$ je kompaktn�, tedy $X$ je uzav�en� (\ias{}{6}{}).

		Bu� $X$ neomezen�.
		Plat�, �e pokud $x_n \in X \setminus B_n$, $(x_n) \subset X$ ut�k� do $\infty$.
		M�jme pevn� $m \in \nat$, pak
		$$ \lim_{n\to\infty} d(x_m,x_n) = +\infty $$

		$(x_n)$ tedy nem� kovnergentn� podposloupnost, a to znamen�, �e $X$ nen� kompaktn�.
	}
	\proofleftimpl{
		(Funguje v $\real^n$, ale nikoliv v obecn�m metrick�m prostoru.)

		M�jme uzav�enou a omezenou $X \subset \real^n$.
		$$ X \subset K = [0,a]^n = \undernote{[0,a]x \cdots x[0,a]}{n\times}\qquad a > 0 $$
		$K$ je p�itom kompaktn� v $\real^n$
		(z \ias{}{7}{(iii)}; $[0,a] \subset \real^1$ je kompaktn�).
		$K$ je uzav�en� (kv�li \ias{}{6}{}),
		$X$ je tak� uzav�en� --- jako podmno�ina $K$.
		Podle \ias{}{7}{(i)} je $X$ kompaktn� podmno�ina $K$.
		Tedy $X$ je kompaktn� mno�ina v $\real^n$.
	}
	\qed
	}
}


\theorem{10}{}{
	M�jme spojit� zobrazen� $f\colon X \to Y$
	a topologick� prostory $(X,\cU)$, $(Y,\cV)$,
	kde $(X,\cU)$ je kompaktn�.

	\list{
	\listItem{Bu� $Y = \real$, pak $f$ na $X$ nab�v� maxima i minima.}
	\listItem{Bu� $f$ bijekce, $Y$ hausdorffovsk�. Pak $f^{-1}$ je tak� spojit�.}
	\listItem{$X$, $Y$ nech� jsou metrick� prostory, pak $f$ je stejnom�rn� spojit�:
		$$ \forall \eps > 0\ \existss \delta > 0 : a,b \in X,\ d_X(a,b) < \delta \Rightarrow d_Y(f(a),f(b)) < \eps $$
	}
	}

	\proof{
	\list{
	\listItem{M�jme $f \in C(X,\real)$, $X$ je kompaktn�.
		Pak $f(x) \subset \real$ je kompaktn� (\ias{}{7}{(ii)}).
		Podle \ias{}{9}{} je $f(x)$ uzav�en� a omezen�,
		tedy $\sup f(x) \in f(x)$.
		Pak ale $f(x)$ m� nejv�t�� prvek.
		Obdon� m� i prvek nejmen��.
	}
	\listItem{M�jme bijektivn� zobrazen� $f\colon X \to Y$ z kompaktn�ho do hausdorffovsk�ho topologick�ho prostoru.
		Vezm�me i inverzn� zobrazen� $g := f^{-1}$.

		\TODO{bzz?}
		\ias{}{4}{} ��k�, �e $g^{-1}(Z)$, $Z \subset X$ je uzav�en�. Tedy (\ias{}{7}{(i)}) $Z$ je kompaktn�.
		$g^{-1}(Z) = f(Z) \subset Y$, p�itom $f(Z)$ je kompaktn� v $Y$ ($f$ je dle \ias{}{7}{(ii)} prost�).
		Tedy $f(Z)$ je uzav�en� v $Y$ (\ias{}{6}{}), a tedy spojit�.
	}
	\listItem{\DCV (podobn� jako stejnom�rn� spojitost $f \in C(0,1)$)}
	}
	\qed
	}
}


}

\bend
