\input /home/pasky/school/fastex/lib.tex


% zkontrolovat, jestli vsude U je pro mnozinu a \cU pro mnozinu mnozin

\subchapter{Topologické prostory}{

\definition{
	{\bf Topologický prostor} (nebo také {\bf topologie})
	je dvojice $(X,\cT)$, $\cT \subset \exp(x)$,
	splňující tři axiomy:
	\list{
	\alistItem{$\emptyset, X \in \cT$}
	\alistItem{$\cU \subset \cT \Rightarrow \bigcup \cU \in \cT$}
	\alistItem{$\cU \subset \cT, \cU \textbox{konečná} \Rightarrow \bigcap \cU \subset \cT$
		(tj. $A,B \in \cT \Rightarrow A \cap B \in \cT$)}
	}

	$\cT$ je systém otevřených množin, zatímco
	$\{X\setminus U : U \in \cT\}$ jsou uzavřené množiny.
	Tedy máme-li $a \in X$ a okolí $a$: $U \in \cT$, pak $a \in U$.
	\TODO{?}
}

\examples{
\list{
\listItem{$(X,\{\emptyset,X\})$ je topologický prostor.}
\listItem{Základní příklad: systém otevřených množin
	v metrickém prostoru $(M,d)$ tvoří topologický prostor
	(splňují všechny axiomy).}
}
}

\scpart{Metrizovatelné topologické prostory}{

	\shortdef{$(X,\cT)$ je metrizovatelný}{
	$\cT$ jsou otevřené množiny v nějakém metrickém prostoru $(X,d)$.
	Nás budou zajímat jen takovéhle.
	}

	Je-li $(X,\cT)$ metrizovatelný,
	každá konečná podmnožina $X$ je uzavřená.
	Např. příklad (i) pro $|X| > 1$
	{\it není} metrizovatelná topologie.

	Je-li $(X,\cT)$ metrizovatelný,
	$$ \forall a,b \in X,\ a \ne b\ \existss U,V \in \cT: a \in U,\ b \in V,\ U \cap V = \emptyset $$
	neboli jde o {\bf hausdorffovskou} topologii.

}

\scpart{Báze topologického prostoru}{

	Mějme $(X,\cT)$. Pak jeho {\bf báze} je $U \subset \cT$ taková,
	že každá $A \in \cT$ je sjednocení nějakých množin z $U$.

	\example{
		Mějme metrický prostor $(M,d)$, pak
		$$ U = \{ B(a,r) : a \in M, r > 0 \} $$
		je bází topologie metrického prostoru $(M,d)$.
		Tak jsme ale deifnovali otevřené množiny v metrickém prostoru!
	}

}

$(X,d_1), (X,d_2)$ nechť jsou metrické prostory.
Řekneme o nich, že jsou {\bf ekvivalentní},
dávají-li stejnou toplogii.

\example{
	Mějme $\real^n$, pak maximová metrika $d_\infty$ a metrika
	$$ d_p(x,y) = \bigg( \sum_{i=1}^n |x_i-y_i|^p \bigg)^{1/p} \qquad p \ge 1 $$
	jsou ekvivalentní na $\real^n$:

	Mějme
	$x = (x_1,\ldots,x_n)$,
	$y = (y_1,\ldots,y_n)$. Pak bez újmy na obecnosti nechť platí
	$$ \max_{1 \le i \le n} |x_i - y_i| = |x_1 - y_1| $$

	\medskip

	$$ |x_1 - y_1| \le d_p(x,y) \le n^{1/p}|x_1-y_1| $$
	$$ d_\infty(x,y) \le d_p(x,y) \le n^{1/p}d_\infty(x,y) $$

	Z toho nějak plyne, že všechny metriky $d_p$ ($p \ge 1$)
	a $d_\infty$ jsou ekvivalentní.

	Obecně máme-li $0 < r \le s$,
	$$ rd_1(x,y) \le d_2(x,y) \le sd_1(x,y)\qquad \forall x,y \in X$$
	platí, že $d_1$ a $d_2$ jsou ekvivalentní
	(do kouličky v jedné metrice můžu strčit menší kouličku v druhé metrice a naopak).

	Součinové metriky jsou ekvivalentní --- pro $a,b \ge 0$:
	$$ \max(a,b) \le \sqrt{a^2+b^2} \le a+b \le 2\max(a,b) $$
}

$(X_1,\cT_1)$ je {\bf podprostorem} $(X_2,\cT_2)$,
pokud $X_1 \subset X_2$ a $\cT_1 = \{ X_1 \cap A : A \in \cT_2 \}$.

Máme-li $(X,\cT)$, $Y \subset X$,
pak na $Y$ máme {\bf indukovanou topologii}
$(Y,\cT')$, $\cT' = \{ Y \cap A : A \in \cT \}$.
Zároveň $(Y,\cT')$ je podprostorem $(X,\cT)$.

{\bf Součin} topologických prostorů $(X_1,\cT_1)$ a $(X_2,\cT_2)$ je $(X,\cT)$,
kde $X = X_1 \times X_2$ a $\cT$ je dán bází $\{U_1 \times U_2 : U_1 \in \cT_1, U_2 \in \cT_2\}$
(vezmu-li místo $\cT_i$ bázi, dostanu stejnou $\cT$).

\example{
	Mějme euklidovský metrický prostor $(\real^n,d_2)$, tedy
	$$d_2 = \sqrt{(x_1-y_1)^2+\cdots+(x_n-y_n)^2}$$
	Vezměme {\bf euklidovskou topologii} na $\real^n$.

	Platí, že euklidovský topologický prostor $\real^2 = \real \times \real$
	(součin dvou euklidovských topologií $\real'$).
	Podobně pro $\real^{k+l} = \real^k \times \real^l$.
}

\scpart{Spojitá zobrazení}{
	Mějme $f\colon X \to Y$ a $(X,U)$, $(Y,V)$ nechť jsou topologické prostory.
	Vezměme $a \in X$. Pak $f$ je spojité v $a$, pokud
	pro každé okolí $V$ bodu $f(a)$ existuje okolí $U$ bodu $a$
	takové, že $f(U) \subset V$ (stačí testovat vzhledem k bázi).
	$f$ je spojité, je-li spojité v každém $a \in X$.

	$$C(X,Y) = \{f \colon X \to Y : \hbox{$f$ je spojité}\}$$

	\theorem{4}{}{
		Nechť $f\colon X \to Y$ a $(X,\cU)$ a $(Y,\cV)$ jsou topologické prostory.
		Pak $f$ je spojité, právě když pro každé $V \in \cV$ je $f^{-1}(V) \in \cU$.

		\proof{
		\proofrightimpl{
			Nechť $f \in C(X,Y)$.
			Pro $V = \emptyset$: $f^{-1}(\emptyset) = \emptyset \in \cU$,
			to je v pořádku.

			Pro $V \ne \emptyset$ a $f(a) \in V$:
			$$\existss U_a \in \cU: a \in U_a,\ f(U_a) \subset V$$
			Tedy $U_a \subset f^{-1}(V)$ a $f^{-1}(V) = \bigcup_{a \in X \atop f(a) \in V} U_a$
			a proto nutně $f^{-1}(V) \in \cU$.
		}
		\proofleftimpl{
			Mějme $a \in X$, $f(a) \in V \in \cV$.
			Podle předpokladu o $f$ vím, že $U = f^{-1}(V) \in \cU$, $a \in U$.
			Máme $f(U) \subset V$ (dokonce $f(U) = V$).

			Tedy je $f$ spojité v $a$, a to v každém $a$ --- $f$ je tudíž spojité.
		}
		\qed
		}
	}

	\theorem{5}{}{
		Mějme zobrazení $X \opupon{f}{\to} Y \opupon{f}{\to} Z$, $(X,\cU)$, $(Y,\cV)$, $(Z,\cW)$
		jsou TPy, $h = f \o g$.
		\list{
		\listItem{$f,g$ jsou spojitá zobrazení $\Rightarrow$ $h$ je též spojité}
		\listItem{$f$ spojité v $a \in X$, $g$ spojité v $f(a)$ $\Rightarrow$ $h$ je spojité v $a$}
		}

		\proof{
		\list{
		\listItem{$W \subset Z$, $W \in \cW$.
			Pak $$h^{-1}(W) = \undernote{f^{-1}(\undernote{g^{-1}(W)}{\in \cV \textnote{$g$ spoj.}})}{\in \cU \textnote{$f$ spoj.}}$$
			Tedy $h$ je spojité.
		}
		\listItem{$a \in X$, $h(a) \in W \in \cW$.
			$g$ je spojité v $f(a)$,
			tedy $\existss V \in \cV$ takové,
			že $f(a) \in V$, $g(V) \subset W$.
			$f$ je spojité v $a$,
			tedy $\existss U \in \cU$ takové,
			že $a \in U$, $f(U) \subset V$.
			Tedy $h(U) \subset W$,
			takže $h$ je spojité v $a$.
		}
		}
		\qed
		}
	}

	Mějme topologické prostory $(X,\cU)$, $(Y,\cV)$.
	Bijekce $f\colon X \to Y$ je {\bf homeomorfismus}
	(isomorfismus topologických prostorů $X$ a $Y$),
	pokud $f$ i $f^{-1}$ jsou spojitá zobrazení.
	$X$ a $Y$ jsou pak {\bf homeomorfní}.

	\shortexample{$(0,1)$ a $\real$ (s euklidovskou topologií) jsou homeomorfní,
		např. prostřednictvím $$f\colon (0,1) \to \real,\ f(x) = \tg(\pi(x-1/2))$$
	}
}


\scpart{Kompaktní prostory}{
	$(X,\cU)$ buď topologický prostor, $E \subset X$.
	{\bf Otevřené pokrytí} $E$ pak buď
	$$\{A_i \in \cU : i \in I\} : \bigcup_{i \in I} A_i \supset E$$

	$E$ je {\bf kompaktní množina}, pokud pro každé otevřené pokrytí $E$
	existuje konečné podpokrytí
	$$ J \subset I : \bigcup_{i \in J} A_i \supset E $$

	$(X,\cU)$ je {\bf kompaktní prostor}, pokud $X$ je kompaktní.

	$(X,\cU)$ buď topologický prostor, $E \subset X$.
	Pak $(E,\cU')$ buď topologický podprostor s indukovanou topologií.
	Platí, že $(E,\cU')$ bude kompaktní jako topologické prostor,
	právě když $E$ je kompaktní jako podmnožina $(X,\cU)$.
	Tedy kompaktnost je {\it absolutní vlastnost}.

	\example{
		Vezměme $\real$ s euklidovskou topologií.
		$(0,1) \subset \real$ není komapktní,
		$\real$ není kompaktní,
		$[0,\infty)$ není kompaktní,
		ale $[a,b] \subset \real$ je kompaktní.
	}

	\example{
		$X = [0,2\pi)$. Vezměme $\real^2$ (např. jako $\cmplx$).
		$$ f\colon X \to Y,\ f(\varphi) = e^{i\varphi} $$
		$f$ je spojitá bijekce, ale $f^{-1}$ není spojité:
		\asciiart{
      ,---.X
     / ,-. \
    / /  Y\ \
  -(-(--0--)-'-.----)
    \ \   /   /
     \ `-'   /
      `-----'
		}
		
	}

	\theorem{6}{}{
		$(X,\cU)$ buď hausdorffovský topologický prostor,
		Je-li $K \subset X$ kompaktní, pak je $K$ uzavřená.

		\proof{
			Vezměme bod $a \in X \setminus K$.
			Pak stačí najít okolí $U_a$ bodu $a$ takové,
			že $U_a \cap K = \emptyset$. Pak~totiž
			$$X \setminus K = \bigcup_{a \in X \setminus K} U_a$$
			je otevřená, tedy $K$ je uzavřená.

			Zvolme $k \in K$, $a \in X \setminus K$.
			Tyto dva body mají dle hausdorffovosti disjunktní okolí:
			$$ k \in V(k) \in \cU,\ a \in U(k) = \cU,\ V(k) \cap U(a) = \emptyset $$
			$\{ V(k) : k \in K \}$ je přitom otevřené pokrytí $K$,
			tedy existuje konečně mnoho bodů $k_1,\ldots,k_n$ takových, že:
			$$K \subset \undernote{V(k_1) \cup \cdots \cup V(k_n)}{V}$$

			Uvažme okolí $a$ jako
			$$ \undernote{U(k_1) \cap \cdots U(k_n)}{U_a} $$
			$$ U_a \subset U(k_i)\qquad i \in \{1,\ldots,n\} $$
			$$ U_a \cap V(k_i) = \emptyset \qquad i \in \{1,\ldots,v\} $$
			$$ U_a \cap V = \emptyset $$
			$$ U_a \cap K = \emptyset $$
			\qed
		}
	}
}


\penalty-500


\scpart{Topologie revisited}{
	$X$, $\cB \subset \exp(X)$, $G(\cB) = \{ \bigcup \cU : \cU \subset \cB\}$.
	Kdy je $G(\cB)$ topologie na $X$?

	Nutné podmínky:
	\list{
	\listItem{$\bigcup \cB = X$}
	\listItem{$A_1,A_2 \in \cB \Rightarrow A_1 \cap A_2 \in G(\cB)$}
	}
	\shortexerc{Tyto dvě podmínky jsou i postačující.}
}

\scpart{Součinová topologie}{
	$(X,\cU)$, $(Y,\cV)$ nechť jsou topologické prostory.
	Mějme součin $(X \times Y, \cW)$,
	pak $\cW$ bude součinová topologie zadaná bází
	$$ \cB = \{ U \times V: U \in \cU, V \in \cV \} $$

	$\cB$ má vlastnosti báze:
	\list{
	\listItem{dokonce $X \times Y \in \cB$}
	\listItem{$U \times V, U' \times V' \in \cB$}
	}
	$$ (U \times V) \cap (U' \times V')
		= \undernote{(U \cap U')}{\in \cU} \times \undernote{(V \cap V')}{\in \cV}
		\in \cB $$
}


\theorem{7}{}{
	Kompaktnost se zachovává při třech operacích:
	\list{
	\listItem{Přechod k uzavřenému podprostoru, tj.:
		$$(X,\cU) \hbox{kompaktní}, Y \subset X \textbox{uzavřená} \Longrightarrow Y \textbox{kompaktní}$$
	}
	\listItem{Obraz spojitým zobrazením, tj.:
		$$ f\colon X \to Y \textbox{spojitá} \Longrightarrow f(x) \textbox{je kompaktní podmnožina $Y$} $$
	}
	\listItem{Kratézský součin, tj.:
		$$ (X,\cU), (Y,\cV) \textbox{kompaktní prostory} \Rightarrow (X,\cU) \times (Y,\cV) \textbox{je též kompaktní} $$
	}
	}

	\shortproof{Viz webový text k přednášce. \sqed}
}

\penalty-200

\definition{
	Mějme $X \subset M$, $\eps > 0$.  $X$ je $\eps$-síť, pokud
	$$ \forall a \in M\ \existss b \in X: d(a,b) < \eps $$
	a pak také platí
	$$ M = \bigcup_{a \in X} B(a,\eps) $$
}

\penalty-100

\theorem{8}{}{
	Metrický prostor $(M,d)$ je kompaktní,
	právě když pro $\forall (x_n) \subset M$ má konvergentní podposloupnost
	(říkejme tomu vlastnost $P$).

	\lemma{}{
		Má-li $(M,d)$ vlastnost $P$,
		$(M,d)$ má pro $\forall \eps > 0$ konečnou $\eps$-síť.

		\proof{
			Existuje $r > 0$ takové, že $(M,d)$ nemá konečnou $r$-síť.
			Přitom $x_1 \in M$,
			tedy existuje $x_2 \in M$ takové, že $d(x_1,x_2) \ge r$
			(protože $\{x_i\}$ není $r$-síť).
			Ergo existuje $x_3 \in M$ takové, že $d(x_i,x_3) \ge r$ pro $i = 1,2$.

			Tedy vyrobím $(x_n) \subset M$ takovou, že $1 \le m < n$.
			To znamená, že $d(x_m,x_n) \ge r$ a tak
			$(x_n)$ není konvergentní podposloupnost.

			Tudíž $(M,d)$ ale nemá vlastnost $P$.
			\qed
		}
	}

	\proof{
	\proofleftimpl{
		Mějme $(M,d)$ s vlastností $P$.
		Pro spor nechť $\cO$ je otevřené pokrytí $M$, které nemá konečné podpokrytí.

		Vezměme $S_n := 1/n$-síť. Dle lemmatu je $S_n$ konečná.
		Všimněme si, že $\existss x_n \in S_n$ takový,
		že $B(x_n,1/n)$ nelze pokrýt konečně mnoha prvky $\cO$.

		Uvážím posloupnost $(x_n) \subset M$.
		Pro jednoduchost nechť $x_n \to \alpha \in M$
		(z vlastnosti $P$, přinejhorším vyberu podposloupnost).
		$\alpha \in U \in \cO$, tedy
		$$ \existss r > 0: B(\alpha,r) \subset U $$

		Vezmu $m$ tak velké, že
		$$ d(x_m,\alpha) < r/2 \et 1/m < r/2 $$
		a z trojúhelníkové nerovnosti plyne
		$$ B(x_m,1/n) \subset B(\alpha,r) \subset U $$
		
		A máme spor, protože pomocí $B(x_m,1/m)$ jsme pokryli $U$!
	}
	\proofrightimpl{
		Nechť $(M,d)$ je kompaktní.
		Vezměme libovolnou posloupnost $(x_n) \subset M$.
		$$ a \in M,\ a \in (x_n),\ \forall \eps > 0: \{ n \in \nat: d(x_n,a) < \eps \} \textbox{nekonečná} $$
		Má-li $(x_n)$ limitní bod $a$, tedy $(x_n)$ má podposloupnost konvergující z $a$.

		Nechť $(x_n)$ žádný limitní bod nemá.
		Není-li $a \in M$ limitním bodem,
		$$ \existss r(a) > 0: I(a) = \{ n \in \nat : x_n \in B(a,r(a)) \} \textbox{konečná} $$

		Z otevřeného pokrytí $\cO = \{ B(a,r(a) : a \in M \}$
		vyberu konečné podpokrytí:
		$$ a_1,a_2,\ldots,a_t \in M: M = B(a_1,r(a_1)) \cup \cdots \cup B(a_t,r(a_t)) $$

		$$ \undernote{I(a_1) \cup \cdots \cup I(a_t)}{\textbox{\eightrm $I$ je konečná}} \subset \nat $$
		Vezmu si $m \in \nat \setminus I$. Jak vypadá $x_m$?
		$$ x_m \notin \bigcup_{i=1}^t B(a_i,r(a_i)) = M $$

		Zase jsme dostali spor, $x_m$ musí přece někde ležet.
	}
	\qed
	}
}

\penalty-500


\theorem{9}{}{
	$X \subset \real^n$ je kompaktní, právě když je uzavřená a
	omezená (tzn. $\existss B: X \subset B$ kde $B$ je koule).

	\proof{
	\proofrightimpl{
		Platí v každém $(M,d)$: $X$ je kompaktní, tedy $X$ je uzavřená (\ias{}{6}{}).

		Buď $X$ neomezená.
		Platí, že pokud $x_n \in X \setminus B_n$, $(x_n) \subset X$ utíká do $\infty$.
		Mějme pevné $m \in \nat$, pak
		$$ \lim_{n\to\infty} d(x_m,x_n) = +\infty $$

		$(x_n)$ tedy nemá kovnergentní podposloupnost, a to znamená, že $X$ není kompaktní.
	}
	\proofleftimpl{
		(Funguje v $\real^n$, ale nikoliv v obecném metrickém prostoru.)

		Mějme uzavřenou a omezenou $X \subset \real^n$.
		$$ X \subset K = [0,a]^n = \undernote{[0,a]x \cdots x[0,a]}{n\times}\qquad a > 0 $$
		$K$ je přitom kompaktní v $\real^n$
		(z \ias{}{7}{(iii)}; $[0,a] \subset \real^1$ je kompaktní).
		$K$ je uzavřená (kvůli \ias{}{6}{}),
		$X$ je také uzavřená --- jako podmnožina $K$.
		Podle \ias{}{7}{(i)} je $X$ kompaktní podmnožina $K$.
		Tedy $X$ je kompaktní množina v $\real^n$.
	}
	\qed
	}
}


\theorem{10}{}{
	Mějme spojité zobrazení $f\colon X \to Y$
	a topologické prostory $(X,\cU)$, $(Y,\cV)$,
	kde $(X,\cU)$ je kompaktní.

	\list{
	\listItem{Buď $Y = \real$, pak $f$ na $X$ nabývá maxima i minima.}
	\listItem{Buď $f$ bijekce, $Y$ hausdorffovské. Pak $f^{-1}$ je také spojité.}
	\listItem{$X$, $Y$ nechť jsou metrické prostory, pak $f$ je stejnoměrně spojité:
		$$ \forall \eps > 0\ \existss \delta > 0 : a,b \in X,\ d_X(a,b) < \delta \Rightarrow d_Y(f(a),f(b)) < \eps $$
	}
	}

	\proof{
	\list{
	\listItem{Mějme $f \in C(X,\real)$, $X$ je kompaktní.
		Pak $f(x) \subset \real$ je kompaktní (\ias{}{7}{(ii)}).
		Podle \ias{}{9}{} je $f(x)$ uzavřená a omezená,
		tedy $\sup f(x) \in f(x)$.
		Pak ale $f(x)$ má největší prvek.
		Obdoně má i prvek nejmenší.
	}
	\listItem{Mějme bijektivní zobrazení $f\colon X \to Y$ z kompaktního do hausdorffovského topologického prostoru.
		Vezměme i inverzní zobrazení $g := f^{-1}$.

		\TODO{bzz?}
		\ias{}{4}{} říká, že $g^{-1}(Z)$, $Z \subset X$ je uzavřená. Tedy (\ias{}{7}{(i)}) $Z$ je kompaktní.
		$g^{-1}(Z) = f(Z) \subset Y$, přitom $f(Z)$ je kompaktní v $Y$ ($f$ je dle \ias{}{7}{(ii)} prosté).
		Tedy $f(Z)$ je uzavřená v $Y$ (\ias{}{6}{}), a tedy spojitá.
	}
	\listItem{\DCV (podobně jako stejnoměrná spojitost $f \in C(0,1)$)}
	}
	\qed
	}
}


}

\bend