\input /home/pasky/school/fastex/lib.tex


\subchapter{Úplné metrické prostory}{

\definition{
	$(M,d)$ je úplný,
	pokud každá Cauchyovská posloupnost $(x_n) \subset M$
	má limitu $a \in M$.
}

\examples{
\list{
\listItem{$\real$ je úplný, stejně tak $\real^n$ nebo $[-5,+\infty) \subset \real$.
	Zato $[0,1)$, $\rat \subset \real$ úplné nejsou.
}
\listItem{$C[a,b]$ s maximovou metrikou je úplný (viz MA2).
	Mějme integrální metriku na $C[a,b]$:
	$$ d(f,g) = \int_a^b |f(x)-g(x)|\,dx $$
	Taková metrika už úplný metrický prostor nedává!

	Např. mějme $a=-1$, $b=1$, $(f_n) \subset C[-1,1]$ cauchyovskou.
	$f_n$ si vyrobíme mezi $\pm 1$ a $\pm 1/n$ konstantní ($\pm 1$)
	a lineární mezi $\mp 1/n$.
	Vezměme $m \le n$, pak
	$$ d(f_m,f_n) = \int_{-1}^1 |f_m(x) - f_n(x)| \, dx \le \int_{-1/m}^{1/m} 1\,dx = 2/m $$
	(tedy je jistě cauchyovská).

	Ptáme se, jestli $\existss f \in C[-1,1]: f_n \to f$.
	To by ale znamenalo
	$$ f = \cases{-1 & na $[-1,0)$ \cr 1 & na $(0,1]$} $$
	a to je ve sporu s tím, že $f$ je spojitá v 0.
}
\listItem{Kompaktní metrický prostor je vždy úplný (viz \ias{}{8}{}).}
\listItem{$(-\pi/2,\pi/2) \rightarrow \real$

	$$ f(x) = \arctg x \textnote{bijekce} $$
	$$ f^{-1}(x) = \tg x : (-\pi/2,\pi/2) \to \real $$

	Tedy $f$ i $f^{-1}$ jsou spojité a jde tudíž o homeomorfismus.
	Ale přesto $\real$ je úplný a $(-\pi/2,\pi/2)$ ne!
	$f$ je totiž stejnoměrně spojitá, $f^{-1}$ však ne
	(byly-li by obě stejnoměrně spojité, již by se úplnost zachovávala).
}
}
}

\theorem{16}{}{

	Úplnost metrického prostoru se zachovává při třech operacích:
	\list{
	\listItem{Přechod k uzavřenému podprostoru
		(je-li $(M,d)$ úplný a $E \subset M$, $E$ je uzavřená, právě když $(E,d)$ je úplný).}
	\listItem{Obraz prostým zobrazením $f$, pokud $f$ i $f^{-1}$ jsou stejnoměrně spojitá zobrazení.}
	\listItem{Kartézský součin
		(jsou-li $(M,d),(N,e)$ úplné, $(M \times N, \sqrt{d^2 + e^2})$ je též úplný).}
	}

	\shortproof{\DCV \sqed}

}

\penalty-1000

\definition{
	Zobrazení $f\colon (M,d) \to (N,e)$ je {\bf kontrahující}, pokud
	$$ \existss 0<g<1,\ \forall x,y \in M: e(f(x),f(y)) \le gd(x,y) $$
	(všimněme si, že $f$ je pak i stejnoměrně spojité).

	Máme-li $f\colon X \to X$, $a \in X$ je {\bf pevný bod $f$}, pokud
	$f(a) = a$.

	Máme-li $x_1 \in X$, $x_2 = f(x_1)$, $x_3 = f(x_2)$, $\ldots$:
	$(x_n) \subset X$, $x_{n+1} = f(x_n)$ nazveme
	{\bf posloupností iterací} zobrazení $f$.
}

\theorem{17}{Picardova--Banachova o pevném bodu}{

	Každé kontrahující zobrazení $f$ úplného metrického prostoru do sebe
	má právě jeden pevný bod
	a každá posloupnost $(x_n)$ iterací $f$ k němu konverguje.

	\proof{
		Mějme $(x_n) \subset M$. Ta je cauchyovská, neboť
		$$ d(x_{n+2},x_{n+1}) \le qd(x_{n+1},x_n) \le q^2d(x_n,x_{n-1}) \le \cdots \le q^nd(x_2,x_1) $$
		a vezmeme-li $k,n \in \nat$,
		$$ d(x_{n+k}, x_n) \becauseof{$\Delta$}{\le} \sum_{i=1}^k d(x_{n+i},x_{n+i-1})
		   \le \sum_{i=1}^k q^{n+i-2}d(x_2,x_1) \le d(x_2,x_1)\sum_{i=1}^\infty q^{n+i-2} = d(x_2,x_1){q^{n-1} \over 1-q}$$
		a $(x_n)$ je cauchyovská, tzn. $\existss a \in M: x_n \to a$.

		$$ a = \lim_{n\to\infty} x_n = \lim_{n\to\infty} x_{n+1} = \lim_{n\to\infty} f(x_n) $$
		Ale pak ze spojitosti $f$ platí
		$$ f(\lim_{n\to\infty} x_n) = f(a) $$
		a $a$ je tedy pevný bod.

		Je opravdu pouze jeden? Mějme $a,b \in M$ pevné body $f$:
		$$ d(a,b) = d(f(a),f(b)) \le qd(a,b) \Rightarrow d(a,b) = 0 \Rightarrow a=b $$
		\qed
	}

}

\example{
	Mějme $y(x)\colon I \to \real$
	kde $I \subset \real$ je otevřený interval a $1 \in I$.
	Dále uvažme
	$$ y(1) = 3 \qquad y'(x) = y(x) \eqno (*) $$
	čemuž díky oné počáteční podmínce ($y(1) = 3$) vyhovuje
	jen a pouze
	$$ y(x) = 3/e \cdot e^x $$
	
	Obecně mějme funkci typu $(*)$:
	$$ (*) \cases{y(a) = b & \cr y'(x) = f(x,y(x)) &} $$
	$$ f(u,v) \colon \real^2 \to \real $$
	$$ a,b \in \real $$
}

\theorem{18}{Picard}{
	Nechť $f \in C(\real^2,\real)$ a navíc nechť $f$ je {\bf lipschitzovská}:
	$$ \existss M > 0,\ \forall u,v,w \in \real: |f(u,v) - f(u,w)| \le M|v-w| $$

	Pak $\forall a \in \real$ má okolí $I=(a-\delta,a+\delta)$,
	na němž má $(*)$ jednoznačné řešení.

	\proof{
		$(*)$ je ekvivalentní rovnici
		$$ y = y(x) = b + \int_a^x f(t,y(t))\,dt $$
		$$ x \in I = (a-\delta,a+\delta) $$
		$$ J = [a-\delta,a+\delta] $$
		
		Položme
		$$ A(y) = z(x) := b + \int_a^x f(t,y(t)\,dt $$
		$$ y = A(y) $$
		Všimněme si, že $z'(x) = f(x,y(x))$ ($z(x)$ má na $J$ spojitou derivaci). Tedy
		$$ A\colon C^1(J,\real') \to C^1(J,\real) $$
		(kde $C^1(J,\real) = \{g\colon J \to \real$: $g$ má na $J$ spojitou derivaci$\}$).

		$C^1(J,\real)$ s maximovou metrikou je úplný prostor.
		Navíc pro dostatečně malé $\delta>0$ je $A$ kontrahující:
		$$ y(x),z(x) \in C^1(J,\real) : d(A(y),A(z))
			= \max_{x \in J} \bigg|\int_a^x f(t,y(t))\,dt - \int_a^x f(t,z(t))\,dt \bigg| = $$
		$$ = \max_y \bigg| \int_a^x (f(t,y(t)) - f(t,z(t))\,dt \bigg|
			\le \bigg| \max_{x \in J} \int_a^x \undernote{|f(t,y(t)) - f(t,z(t))|}{\le M|y(t)-z(t)|}\,dt \bigg| $$
		a to podle Lipschitzovy podmínky odhadnu jako
		$$ \le \bigg| \max_{x \in J} \int_a^x M\undernote{|y(t)-z(t)|}{\le d(y,z)}\,dt \bigg|
			\le \bigg| \max_{x \in J} \undernote{\int_a^x Md(y,z)\,dt}{(x-a)Md(y,z)} \bigg|
			= \delta M d(y,z)$$

		Vezměme $\delta \le 1/2n$, tzn. $d(A(y),A(z)) \le 1/2 d(y,z)$
		a tedy podle \ias{}{17}{} $A$ má jednoznačný pevný bod $y$, $A(y) = y$.
		\qed
	}

	\shortnote{
		Lze to i jednodušeji, neboť stačí, že $f \in C[a-\delta,a+\delta]$.
	}
}

}

\bend