\documentclass[a4paper,12pt]{report}
\usepackage{czech}
\usepackage{latexsym}
\frenchspacing
\csprimeson
%\pagestyle{empty}
\textwidth 16.5 cm
\oddsidemargin 0 cm
\topmargin -1.5 cm
\textheight 25 cm
\parskip 8pt
\parindent 0pt
%\overfullrule = 5pt
\overfullrule = 0pt
\emergencystretch = 2pt

\newcounter{mysect}
\newcounter{mysubsect}[mysect]


\newcommand{\mysection}[1]{
  \newpage
  \stepcounter{mysect}
  \addcontentsline{toc}{section}%
	{\arabic{mysect}. #1}
  {\LARGE\bfseries\sf \arabic{mysect}. #1}
  \vskip 16pt
}

\newcommand{\mysubsection}[1]{
  \vskip 20pt
  \stepcounter{mysubsect}
  \addcontentsline{toc}{subsection}%
	{\arabic{mysect}.\arabic{mysubsect}. #1}
  {\Large\bfseries\sf \arabic{mysect}.\arabic{mysubsect}. #1}
  \vskip 13pt
}

%\renewcommand{\contentsname}{}


\begin{document}

\thispagestyle{empty}

%\title{Provokativn� dobrodru�stv� Achilla a �elvy, odehr�vaj�c� se v rozli�n�ch
%kon�in�ch sv�tov�ch}

%\author{Petr Baudi�}

%\maketitle

\null\vfil

\begin{center}

{\large Soukrom� gymn�zium AD FONTES, o.p.s.}

\vskip 30pt

{\LARGE Semin�rn� pr�ce z~Matematiky}

\vskip 60pt

{\bfseries \Huge Fibonacciho ��sla}

\vskip 250pt

\vfil%\null

\end{center}

\begin{flushright}

{\large Petr Baudi�\\okt�va\\18. 12. 2003}

\end{flushright}

\vskip 50pt

\newpage




%\mysection{Obsah}
{\LARGE\bfseries\sf Obsah}%
  \vskip 16pt

%\tableofcontents

\makeatletter
\@starttoc{toc}
\makeatother

\newpage


\mysection{�vod}

%\bigskip


M�lokter� ��seln� �ada m� tak zvl�tn� a unik�tn� vlastnosti, jako ta, kterou
zde nyn� p�edstav�m. Jedn� se o~{\it Fibonacciho posloupnost}. Jako prvn� ji
formuloval ji� ve 13. stolet� pr�v� Leonardo Bonacci, ov�em ten je�t� netu�il,
jak v�znamnou roli bude hr�t p�i v�voji matematiky, a zejm�na, �e se stane snad
nejpodivuhodn�j�� posloupnost�, kterou zn�me, opl�vaj�c ��asn�m mno�stv�m
r�zn�ch matematick�ch vzor�.

Pozoruhodn� jsou nejen jej� numerick� vlastnosti, ale i bezpo�et praktick�ch
aplikac�. Nav�c se vyskytuje skryt� v~r�zn�ch form�ch v~cel� p��rodn� ���i, a
neoby�ejn� dob�e ukazuje, jak�m zp�sobem matematika dok�e popsat skute�n� sv�t
a p��rodu. Ji� sta�� �ekov� znali tzv. {\it zlat� �ez}, tedy pom�r nejl�pe
lad�c� lidsk�mu oku, kter� je ji� od antick�ch dob vyu��v�n hojn�
v~architektu�e, socha�stv�, v�tvarn�m um�n� i v~�etn�ch dal��ch odv�tv�ch.

V~t�to pr�ci bych v�m r�d odkryl ��asn� tajemstv� Fibonacciho ��sel v~cel� jeho
kr�se --- r�d bych nejd��ve popsal z�kladn� matematick� vlastnosti t�to �ady,
v�novat se budu v�ak jejich v�skytu v~p��rod� i praktick�mu uplatn�n�.
Nezapomenu ani na stru�nou historii Fibonacciho ��sel.


\mysection{Matematick� apar�t}

\mysubsection{Fibonacciho �ada}

Italsk� matematik Leonardo Fibonacci poprv� formuloval definici t�to �ady
v~z�sad� stejn�, jak j� zn�me dnes. Nejobvyklej�� je rekurentn� z�pis:

$$F_{1} = 1$$
$$F_{2} = 1$$
$$F_{n+2} = F_{n+1} + F_{n}\hbox{, pro }n \in Z^+$$

Ov�em lze pou��t i alternativn� z�pis:

$$F_{0} = 0$$
$$F_{1} = 1$$
$$F_{n+2} = F_{n+1} + F_{n}\hbox{, pro }n \in Z^+_0$$

Nad�le budeme pou��vat druh� z�pis, nebo� je univerz�ln�j�� a bude n�m l�pe
slou�it p�i~odvozov�n� dal��ch vlastnost�.

Prvn�ch n�kolik �len� posloupnosti je tedy: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,
55, 89, 144, 233, 377, 610, \dots


\mysubsection{Zlat� �ez}

Zlat� �ez, zn�m� ji� v~antice (prvn� p�semn� zm�nka se nach�z� v~Euclidov�ch
Elementech, tedy poch�z� zhruba z~t�et�ho stolet� p�. n. l.), je jedna
z~nejv�znam�j��ch aplikac� Fibonacciho ��sel. Jeho z�sadn� roli budeme diskutovat
pozd�ji, nyn� si ho pouze nadefinujeme. Tradi�n� se ur�uje jako kladn� ko�en
kvadratick� rovnice

$$x^{2} - x - 1 = 0$$

$$x_{+} = {\sqrt{5} + 1 \over 2}$$

Hodnota zlat�ho �ezu se ozna�uje pr�v� jako $\phi$, i kdy� se m��eme setkat i
s~ozna�en�m $\tau$. Zlat� �ez $\phi$ je z�ejm� algebraick� iracion�ln� ��slo,
jeho p�ibli�n� hodnota je $\phi \simeq 1.618033988\dots$ Zav�d�me
p�itom je�t� $\varphi = \phi^{-1}$.

\newpage

V��e uvedenou kvadratickou rovnici m��eme p�epsat i jako

$$x = 1 + {1 \over x}$$

pon�vad� z�ejm� $x \not = 0$. Tedy

$$\phi = 1 + {1 \over 1 + {1 \over 1 + {1 \over \vdots}}}$$

To znamen�, �e $\phi$ je z�rove� ``nejiracion�ln�j��'' iracion�ln� ��slo, je
toti� nejobt��n�j�� vyj�d�it ho zlomkem racion�ln�ch ��sel.

Pokud se v�ak pod�v�me pozorn� na Fibonacciho �adu, v�imneme si, �e s~rostouc�m
$n$ pom�r dvou sousedn�ch ��sel Fibonacciho �ady konverguje k~$\phi$, tzn.
$\phi = \lim_{n \to \infty}{F_{n+1} \over F_{n}}$. To si snadno dok�eme:

$$\phi = {F_{n+1} \over F_{n}}$$

$$\phi = {F_{n-1} + F_{n} \over F_{n}}$$

$$\phi = 1 + {1 \over {F_{n} \over F_{n-1}}}$$

$$\phi = 1 + {1 \over 1 + {1 \over {F_{n-1} \over F_{n-2}}}}$$

$$\phi = 1 + {1 \over 1 + {1 \over 1 + {1 \over \vdots}}}$$

Ov�em plat� i siln�j�� tvrzen�, a to
$$\phi^{k} = \lim_{n \to \infty}{F_{n+k} \over F_{n}}$$


\newpage

\mysubsection{Lucasova �ada}

Francouzsk� matematik Edouard Lucas definoval alternativn� posloupnost ��sel,
kter� je a� na po��te�n� hodnoty shodn� s~Fibonacciho �adou:

$$L_{0} = 2$$
$$L_{1} = 1$$
$$L_{n+2} = L_{n+1} + L_{n}\hbox{, pro }n \in Z^+_0$$

Ov�em lze zapsat i:

$$L_{n} = F_{n-1} + F_{n+1}$$

$$L_{n} = {F_{2n} \over F_{n}}$$


\mysubsection{Obecn� Fibonacciho �ady}

Na Lucasov� �ad� jsme si uk�zali, �e �ada vztah� plat� i p�i zvolen� jin�ch
po��te�n�ch ��sel, ne� $0, 1$. M�jme tedy posloupnost $G(a,b)$:

$$G(a,b)_{0} = a$$
$$G(a,b)_{1} = b$$
$$G(a,b)_{n+2} = G(a,b)_{n} + G(a,b)_{n+1}$$

Rozepi�me si n�kolik prvn�ch �len� na sou�ty $a$ a $b$:

$$G(a,b)_{2} = a + b$$
$$G(a,b)_{3} = a + 2b$$
$$G(a,b)_{4} = 2a + 3b$$
$$G(a,b)_{5} = 3a + 5b$$

Jak vidno, p�ipom�naj� koeficienty u~�len� $a$ a $b$ tak� vz�jemn� posunut�
Fibonacciho �ady. Doka�me si to:

$$G(a,b)_{n} = k_{n-1}a + j_{n-1}b$$
$$G(a,b)_{n+1} = k_{n}a + j_{n}b$$
$$G(a,b)_{n+2} = k_{n+1}a + j_{n+1}b$$

\newpage

P�itom je z�ejm�, �e

$$k_{n+1} = (k_{n-1}+k_{n})$$
$$j_{n+1} = (j_{n-1}+j_{n})$$

Tedy m��eme zapsat:

$$G(a,b)_{n} = F_{n-1}a + F_{n}b$$

Pon�vad� p�i d�kazu konvergence Fibonacciho �ady k~$\phi$ jsme v�bec
nepracovali s~po��te�n�mi hodnotami, m��eme prohl�sit, �e tento d�kaz plat� i
na obecn� Fibonacciho �ady, tedy pom�r sousedn�ch prvk� ve v�ech �ad�ch, kde
$n$-t� �len je sou�tem dvou p�edchoz�ch �len�, konverguje k~$\phi$.



\mysection{Vlastnosti}

\mysubsection{Binet�v vzorec}

T�mto vzorcem lze zjistit libovoln� $n$t� prvek Fibonacciho posloupnosti:

$$F_{n} = {\phi^{n} - (-\varphi)^{n} \over \sqrt{5}}$$

Pro obecn� posloupnosti pak z�ejm� bude platit:

$$G(a,b)_{n} = {(a\varphi + b) \phi^{n} + (a\phi - b) (- \varphi)^{n} \over \sqrt{5}}$$

Pro Lucasova ��sla pak plat�:

$$G(2,1)_{n} = {(2\varphi + 1) \phi^{n} + (2\phi - 1) (- \varphi)^{n} \over \sqrt{5}}$$

$$G(2,1)_{n} = {({2\over\phi} + 1) \phi^{n} + (2\phi - 1) (- \varphi)^{n} \over \sqrt{5}}$$

$$\phi = {1 + \sqrt{5} \over 2}$$

$$G(2,1)_{n} = {({4 \over 1 + \sqrt{5}} + 1) \phi^{n} + (1 + \sqrt{5} - 1) (- \varphi)^{n} \over \sqrt{5}}$$

$$G(2,1)_{n} = {\sqrt{5} \phi^{n} + \sqrt{5} (- \varphi)^{n} \over \sqrt{5}}$$

tedy

$$L_{n} = \phi^{n} + (-\varphi)^{n}$$


\mysubsection{Sou�et}

Zaj�mav� vlastnosti m� sou�et prvn�ch $n$ �len� posloupnosti:

$$S_{n} = F_{1} + F_{2} + \cdots + F_{n}$$
$$S_{n} = (F_{3} - F_{2}) + (F_{4} - F_{3}) + \cdots + (F_{n+2} - F_{n+1})$$

Jak vid�me, pro $(a + b)$ se $a$ z~prvn� z�vorky vykr�t� s~$b$ z~druh� z�vorky,
etc. Zbyde tedy pouze $b$ z~prvn� z�vorky a $a$ z~posledn� z�vorky, ergo:

$$S_{n} = -F_{2} + F_{n+2}$$
$$S_{n} = F_{n+2} - 1$$


\mysubsection{Test �lenstv� v~�ad�}

I. Gessel v~roce 1972 publikoval p�ekvapiv� jednoduch� pravidlo, kter� lze
pou��t p�i zkoum�n�, zda je ur�it� $n$ Fibonacciho ��slo:

$$\sqrt{5n^{2}+4} \in N \vee \sqrt{5n^{2}-4} \in N$$


\mysubsection{Posledn� ��slice}

Posloupnost posledn�ch ��slic Fibonacciho ��sel je cyklick� a m� d�lku periody
60~prvk�. Pro~posledn� dv� ��slice je d�lka cyklu 300~prvk�, pro posledn�
t�i~1500, pro posledn� �ty�i~15000, atd.


\mysubsection{Mocniny}

Pro druhou mocninu Fibonacciova ��sla plat�

$$F_{n-1}F_{n+1} - F_{n}^{2} = (-1)^{n}$$

$${F_{n+1} \over F_{n}} - {F_{n} \over F_{n-1}} = {(-1)^{n} \over F_{n-1}F_{n}}$$

(To tak� dokazuje, �e v��e uveden� limita opravdu plat�, nebo� se rozd�l mezi
aproximacemi $\phi$ s~rostouc�m $n$ z�ejm� sni�uje, pom�r tedy konverguje.)

Z�rove� existuje i vztah pro sou�et mocnin dvou po sob� n�sleduj�c�ch
Fibonacciho ��sel:

$$F_{n}^2 + F_{n+1}^2 = F_{2n+1}$$

Pro libovoln� po sob� jdouc� $A, B, C, D$ pak plat�

$$B^2 - C^2 = AD$$


\mysubsection{Faktorizace}

Jednoduch�m pozorov�n�m zjist�me, �e ka�d� $k$t� Fibonacciho ��slo je n�sobek
$F_{k}$, tedy pro~$\forall n \in Z^{+} \wedge z k \in Z^{+}$ plat�, �e $F_{nk}$
je n�sobek $F_{k}$.

Proto plat�, �e dva po sob� n�sleduj�c� prvky Fibonacciho �ady jsou k~sob�
vz�jemn� prvo��sla, tedy nemaj� krom� $1$ ��dn� spole�n� prvek ve sv�m
prvo��seln�m rozkladu.


\mysubsection{D�litelnost}

Pokud chceme zjistit v�echna $F$, d�liteln� ur�it�m $d \in N$, nalezneme
nejni��� kladn� �len Fibonacciho posloupnosti $F_{n}$, d�liteln� dan�m $d$. Pak
plat�, �e v�echna $F$ d�liteln� $d$ jsou $F_{nk}$, kde $k \in N_{0}$.

Plat�, �e ka�d� dv� po sob� jdouc� ��sla Fibonacciho posloupnosti jsou
nesoud�ln�.


\mysubsection{Prvo��selnost}

Nech� m�me $F_{n} \not = 3$. Pak pokud je $F_{n}$ prvo��slo, $n$ je tak�
prvo��slo.  Nap�. $13$ je prvo��slo, a z�rove� plat� $F(7) = 13$, tedy $7$ je
tak� prvo��slo.  Pozor, opa�n� implikace neplat�!

P�edpokl�d� se, �e ve Fibonacciho i Lucasov�ch �ad�ch je nekone�n� mnoho
prvo��sel, zat�m se to v�ak nepoda�ilo dok�zat. Zato je pom�rn� snadn� dok�zat,
�e pro $F_{n} > 2$ neexistuje prvo��seln� $F_{n} + 1$.


\mysubsection{Pascal�v troj�heln�k}

Pokud si Pascal�v troj�heln�k zap��eme zarovnan� doleva, tzn. v�echny ��dky
za��naj� ve~stejn�m sloupe�ku, sou�et na $k$-t� diagon�le se bude rovnat
$F_{k}$. Z~toho vypl�v�, �e sou�et na $k$-t� diagon�le se rovn� sou�tu
p�edchoz�ch dvou diagon�l, co� je velmi u�ite�n� vlastnost zejm�na
v~kombinatorice, a m� sama o~sob� �adu praktick�ch aplikac�.

\begin{tabular}[t]{lllllll}
1 &   &    &    &    &   &  \\
1 & 1 &    &    &    &   &  \\
1 & 2 & 1  &    &    &   &  \\
1 & 3 & 3  & 1  &    &   &  \\
1 & 4 & 6  & 4  & 1  &   &  \\
1 & 5 & 10 & 10 & 5  & 1 &  \\
1 & 6 & 15 & 20 & 15 & 6 & 1
\end{tabular}




\mysection{Aplikace}

\begin{itemize}

\item P�evody mezi jednotkami (pom�r mezi kilometry a m�lemi se zhruba rovn�
$\phi$)

\item V�po�et $\pi/4$:

$$\arctan{1 \over F_{2n}} = \arctan{1 \over F_{2n+1}} + \arctan{1 \over F_{2n+2}}$$

\end{itemize}

\mysubsection{Mno�en� kr�l�k�}

P�vodn� podn�t k~vytvo�en� Fibonacciho sekvence byl popis mno�en� kr�l�k�
v~p��rod�.

Kr�l�ci jsou schopni rozmno�ov�n� u� v~jednom m�s�ci, pokud tedy izolujeme
jeden p�r kr�l�k�, za dva m�s�ce se samici narod� dal�� p�r kr�l�k�. Pokud
p�edpokl�d�me, �e jsou na�i kr�l�ci nesmrteln� a samici se v�dy ka�d�
n�sleduj�c� m�s�c narod� p�r kr�l�k�, nab�z� se ot�zka, kolik p�r� kr�l�k�
budeme m�t za rok? A~pr�v� tu si polo�il Bonacci.

Na konci prvn�ho m�s�ce m�me pouze jeden p�r kr�l�k�, zat�mco na konci druh�ho
m�s�ce ji� vlastn�me dva p�ry kr�l�k�. T�et� m�s�c p�vodn� samice porod� t�et�
p�r. �tvrt� m�s�c porod� p�vodn� samice i samice z~p�ru, narozen�ho p�ed dv�ma
m�s�ci. $1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...$

\mysubsection{Vyu�it� v~um�n�}

V~um�n� i v~p��rod� se uplat�uje zejm�na vlastnost p��mo souvisej�c�
s~Fibonacciho ��sly, tedy zlat� �ez.

Ji� sta�� Egyp�an� znali zlat� �ez (p�esto�e je poprv� p�semn� zdokumentovan�
a� Pythagorasem), pozn�me to toti� z~jejich obrovsk�ch pyramid, strany jejich�
p�dorysu jsou k~sob� pr�v� v~pom�ru dan�m zlat�m �ezem. I~Vergilius v�dom�
(stejn� jako jin� ��m�t� b�sn�ci t� doby) vyu��val zlat�ho �ezu p�i kompozici
sv�ch b�sn�. Rusk� re�is�r Sergej Michajlovi� Ejzen�tejn rozst��hal sv�j
sv�tozn�m� film K�i�n�k Pot�mkin na jednotliv� hlavn� ��sti podle hodnoty
zlat�ho �ezu.

T�m�� v�echny Mozartovy son�ty se d�l� na dv� ��sti p�esn� v~bod�, ur�en�m
zlat�m �ezem. I~v~Bachov� d�lu nalezneme �etn� v�skyty Fibonacciho a Lucasov�ch
��sel. Zlat� �ez se vyu��v� i p�i vy�ez�v�n� d�r ve tvaru {\it f} v~housl�ch.

\mysubsection{V�skyt v~p��rod�}

V~p��rod� m��eme objevit �adu v�skyt� zlat�ho �ezu, neboli $\phi$, a� u� je to
rozm�st�n� bun�k v~meristemu, uspo��d�n� semen v~kv�tech a plodech, rozm�st�n�
okv�tn�ch l�stk� �i spir�ly v~ulit�ch mo�sk�ch �ivo�ich�. D�vod je neoby�ejn�
efektivnost vyu�it� m�sta, kterou zlat� �ez zaru�uje d�ky sv� ``dokonal�''
iracionalit�.


\mysection{Historie}

\mysubsection{Leonardo Bonacci}

Velk� italsk� matematik Leonardo Bonacci �il cca v~letech 1170--1250,
p�edpokl�d� se, �e se narodil i zem�el v~Pise. Otazn�ky obest�raj� i jeho
jm�no, pou��val toti� n�kolik p�ezd�vek. Zn�t ho m��eme jako Leonarda z~Pisy,
Leonarda Bigollo (lze p�elo�it jako budi�kni�emu �i cestovatel), nebo pr�v� pod
p�ij�men�m Fibonacci (zkratka z~{\em fillio Bonacci}).

P�esto�e skute�n� byl prvn�m, kdo Fibonacciho posloupnost popsal, objevil pouze
jej� z�kladn� formu, a nedochovaly se n�m ��dn� doklady o~hlub��m v�zkumu
(vypad� to, �e Fibonacci neznal souvislost s~$\phi$).

Bonacci hodn� cestoval, zejm�na po arabsk�ch zem�ch, tam se tak� nau�il z�klady
matematiky, a byl jedn�m z~prvn�ch, kdo ���il z�padn� Evropou arabsko-indsk�
��seln� syst�m (v~t� dob� byly st�le pou��v�ny ��msk� ��slice). T�m se zab�val
zejm�na ve sv� knize {\em Libra Abbaci}, koncipovan� zejm�na jako p��ru�ka pro
kupce t� doby. Tato kniha n�m d�v� unik�tn� sv�dectv� o~rozsahu matematick�ch
znalost� na p�elomu tis�cilet� v~k�es�ansk�m sv�t�.

P�ed Fermatem byl z�ejm� v~z�padn� Evrop� Bonacci nejv�t��m mu�em v~teorii
��sel, dok�zal �adu teor�m� z~t�to oblasti a jeho pr�ce polo�ila z�klady pr�ce
�ady jeho n�sledn�k�.

\mysubsection{Dal�� historie}

Po smrti Bonacciho byl tento koncept znovuobjeven a� Johannesem Keplerem a pot�
je�t� Louisem Lam�. A� Edouard Lucas zdokumentoval Bonacciho prvenstv�, a
z�rove� se intenzivn� v�noval vlastnostem Fibonacciho ��sel (viz tak� Lucasova
��sla). Postaral se tak� o~n�le�it� zv�razn�n� t�to posloupnosti v~matematick�m
sv�t�, proto se ji� od t� doby Fibonacciho ��sly zab�vala �ada dal��ch
v�znamn�ch matematik�.

\mysection{Z�v�r}

Fibonacciho posloupnost a v�e s~n� souvisej�c� nevytv��� ��dn� vlastn� ��asn�,
av�ak abstraktn� matematick� sv�t. Pozoruhodn�mi a �asto p�ekvapiv�mi
souvislostmi popisuje toti� tento matematick� apar�t n� re�ln� sv�t,
neo�ek�van� vzory a pravidelnosti v~n�m, a pom�h� n�m tak proniknout a� k~jeho
podstat�. Osobn� pokl�d�m tuto ��st matematiky za~jednu z~nejzaj�mav�j��ch ---
p�esto�e nen� z�vratn� komplikovan�, je bezpochyby strhuj�c� a~skr�v� jist�
je�t� mnoho tajemstv�.


\mysection{P��lohy}

\mysubsection{Tabulky hodnot}

{\bf Fibonacciho posloupnost}

\begin{verbatim}
0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987 1597 2584 4181 6765 10946
17711 28657 46368 75025 121393 196418 317811 514229 832040 1346269 2178309
3524578 5702887 9227465 14930352 24157817 39088169 63245986 102334155
165580141 267914296 433494437 701408733 1134903170 1836311903 2971215073
4807526976 7778742049 12586269025 20365011074 32951280099 53316291173
86267571272 139583862445 225851433717 365435296162 591286729879
956722026041 1548008755920 2504730781961 4052739537881 6557470319842
10610209857723 17167680177565 27777890035288 44945570212853 72723460248141
117669030460994 190392490709135 308061521170129 498454011879264
806515533049393 1304969544928657 21114850779780503416454622906707
5527939700884757 8944394323791464 14472334024676221 23416728348467685
37889062373143906 61305790721611591 99194853094755497 160500643816367088
259695496911122585 420196140727489673 679891637638612258
1100087778366101931 1779979416004714189 2880067194370816120
4660046610375530309 7540113804746346429 12200160415121876738
19740274219868223167 31940434634990099905 51680708854858323072
83621143489848422977 135301852344706746049 218922995834555169026
354224848179261915075 573147844013817084101
\end{verbatim}

{\bf Lucasova posloupnost}

\begin{verbatim}
2 1 3 4 7 11 18 29 47 76 123 199 322 521 843 1364 2207 3571 5778 9349
15127 24476 39603 64079 103682 167761 271443 439204 710647 1149851 1860498
3010349 4870847 7881196 12752043 20633239 33385282 54018521 87403803
141422324 228826127 370248451 599074578 969323029 1568397607 2537720636
4106118243 6643838879 10749957122 17393796001 28143753123 45537549124
73681302247 119218851371 192900153618 312119004989 505019158607
817138163596 1322157322203 2139295485799 3461452808002 5600748293801
9062201101803 14662949395604 23725150497407 38388099893011 62113250390418
100501350283429 162614600673847 263115950957276 425730551631123
688846502588399 1114577054219522 1803423556807921 2918000611027443
4721424167835364 7639424778862807 12360848946698171 20000273725560978
32361122672259149 52361396397820127 84722519070079276 137083915467899403
221806434537978679 358890350005878082 580696784543856761
939587134549734843 1520283919093591604 2459871053643326447
3980154972736918051 6440026026380244498 10420180999117162549
16860207025497407047 27280388024614569596 44140595050111976643
71420983074726546239 115561578124838522882 186982561199565069121
302544139324403592003 489526700523968661124 792070839848372253127
1281597540372340914251
\end{verbatim}

{\bf ��slo $\phi$}

\begin{verbatim}
1.618033988749894848204586834365638117720309179805762862135448622705260462
81890244970720720418939113748475408807538689175212663386222353693179318006
07667263544333890865959395829056383226613199282902678806752087668925017116
96207032221043216269548626296313614438149758701220340805887954454749246185
69536486444924104432077134494704956584678850987433944221254487706647809158
84607499887124007652170575179788341662562494075890697040002812104276217711
17778053153171410117046665991466979873176135600670874807101317952368942752
19484353056783002287856997829778347845878228911097625003026961561700250464
33824377648610283831268330372429267526311653392473167111211588186385133162
03840052221657912866752946549068113171599343235973494985090409476213222981
01726107059611645629909816290555208524790352406020172799747175342777592778
62561943208275051312181562855122248093947123414517022373580577278616008688
38295230459264787801788992199027077690389532196819861514378031499741106926
08867429622675756052317277752035361393621076738937645560606059216589466759
55190040055590895022953094231248235521221241544400647034056573479766397239
49499465845788730396230903750339938562102423690251386804145779956981224457
47178034173126453220416397232134044449487302315417676893752103068737880344
17009395440962795589867872320951242689355730970450959568440175551988192180
20640529055189349475926007348522821010881946445442223188913192946896220023
01443770269923007803085261180754519288770502109684249362713592518760777884
66583615023891349333312231053392321362431926372891067050339928226526355620
90297986424727597725655086154875435748264718141451270006023890162077732244
99435308899909501680328112194320481964387675863314798571911397815397807476
15077221175082694586393204565209896985556781410696837288405874610337810544
43909436835835813811311689938555769754841491445341509129540700501947754861
63075422641729394680367319805861833918328599130396072014455950449779212076
12478564591616083705949878600697018940988640076443617093341727091914336501
37157660114803814306262380514321173481510055901345610118007905063814215270
93085880928757034505078081454588199063361298279814117453392731208092897279
22213298064294687824274874017450554067787570832373109759151177629784432847
47908176518097787268416117632503861211291436834376702350371116330725869883
25871033632223810980901211019899176841491751233134015273384383723450093478
60497929459915822012581045982309255287212413704361491020547185549611808764
26576511060545881475604431784798584539731286301625448761148520217064404111
66076695059775783257039511087823082710647893902111569103927683845386333321
56582965977310343603232254574363720412440640888267375843395367959312322134
37320995749889469956564736007295999839128810319742631251797141432012311279
55189477817269141589117799195648125580018455065632952859859100090862180297
75637892599916499464281930222935523466747593269516542140210913630181947227
07890122087287361707348649998156255472811373479871656952748900814438405327
48378137824669174442296349147081570073525457070897726754693438226195468615
33120953357923801460927351021011919021836067509730895752895774681422954339
43854931553396303807
\end{verbatim}



\newpage

\mysubsection{Seznam pramen�}

Graham, R. L., Knuth, D. E., Patashnik, O: Concrete Mathematics, Addison-Wesley, 1989, ISBN
0-201-14236-8

Hofstadter, Douglas R.: G�del, Escher, Bach: an Eternal Golden Braid, Basic Books, 1979, ISBN
0-465-02656-7

http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/fib.html

http://saazava.webpark.cz/Teorie/Fibonacci/Fibonacci.htm

http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eisA.cgi?Anum=A000045

http://math.holycross.edu/~davids/fibonacci/fibonacci.html

http://mathforum.org/dr.math/faq/faq.pascal.triangle.html

http://www.austms.org.au/Modules/Fib/

http://www.sdstate.edu/~wcsc/http/fibhome.html

http://education.lanl.gov/RESOURCES/ATPS/CHPTR02/P011.HTM

http://www.schoolnet.ca/vp-pv/amof/e\_fiboI.htm


\vfill

{
\noindent\hrule\vskip 4mm\noindent\small\copyright{}~2003 Petr Baudi�\\
M��e b�t neomezen� ���eno, ov�em pouze beze zm�n neodsouhlasen�ch autorem.\\
Sazba v~programu \LaTeX.
}

\end{document}
